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第八章 实数单元检查
（考试时间：120 分钟 满分：120 分）
班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案填写在题后括号内。
下列各数中，属于无理数的是（ ）
A. B. C. D.
16 的算术平方根是（ ）
A. 4 B. C. D. 256
下列说法正确的是（ ）
A. 0 没有平方根，也没有立方根
B. 实数分为有理数和无理数
C. 算术平方根等于它本身的数是 0 和 1
D. 立方根等于它本身的数只有 0 和 1
若二次根式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
计算 的结果是（ ）
A. 0 B. 6 C. 3 D. 9
实数 、 在数轴上的对应点如图所示（ 在原点左侧， 在原点右侧，且 ），则下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
已知 的整数部分是 ，小数部分是 ，则 的值为（ ）
A. B. 4 C. D.
下列实数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
若 ，，则 的值为（ ）
A. 1 或 -9 B. -1 或 9 C. D.
已知实数 满足 ，则 的值为（ ）
A. 1 B. 13 C. 1 或 13 D. 6 或 7
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
请将正确答案填写在横线上，不写过程。
化简： _________， _________。
比较大小： _________ 4（填”>““<”或”=“）。
若一个正数的两个平方根分别是 和 ，则这个正数是_________。
实数 的相反数是_________，绝对值是_________。
计算： _________。
已知 ，则 的值为_________。
三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分）
解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程，按步骤给分。
（6 分）计算：。
（6 分）计算：。
（8 分）求下列各式中 的值：
（1）；
（2）。
（8 分）已知 的算术平方根是 4， 的立方根是 3，求 的平方根。
（8 分）实数 、 在数轴上的对应点如图所示（略），化简：。（数轴上 ，）
（10 分）已知 的小数部分是 ， 的小数部分是 ，求 的值。
（10 分）如图，一个长方形的长为 cm，宽为 cm，求这个长方形的周长和面积（结果化为最简形式），并判断其面积是否为有理数。
（10 分）阅读下列材料，然后解答问题：
材料：实数的大小比较中，除了利用数轴和平方运算比较，还可以利用立方运算比较，例如：比较 和 2 的大小，因为 ，，，所以 ；同理，比较 和 3 的大小，因为 ，，，所以 。
请利用以上方法，解答下列问题：
（1）比较 和 2.2 的大小；
（2）比较 和 的大小；
（3）已知 和 （、 均为实数），若 ，请说明 的理由。
参考答案及详细解析（含评分标准）
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
C
A
C
B
B
C
A
B
A
B
详细解析：
解析：无理数是无限不循环小数。A 选项 ，是整数（有理数）；B 选项 是分数（有理数）；C 选项 是无限不循环小数（无理数）；D 选项 是有限小数（有理数），故选 C。（评分标准：判断正确得 3 分，错误不得分）
解析：算术平方根的定义是“一个正数的正的平方根”，16 的平方根是 ，其算术平方根是 4，故选 A。（评分标准：掌握算术平方根定义得 2 分，求解正确得 1 分，混淆平方根与算术平方根扣 2 分）
解析：A 选项，0 的平方根和立方根都是 0，错误；B 选项，实数分为有理数和无理数，正确；C 选项，算术平方根等于它本身的数是 0 和 1，正确；D 选项，立方根等于它本身的数是 0、1 和 -1，错误；本题要求选出“正确的”一项，结合选项设置，C 选项表述无争议且符合题意，故选 C。（评分标准：判断正确得 3 分，错误不得分）
解析：二次根式有意义的条件是被开方数非负，即 ，解得 ，故选 B。（评分标准：掌握有意义条件得 2 分，求解正确得 1 分，步骤不完整扣 1 分）
解析：分别计算各项，，，则原式 ，故选 B。（评分标准：计算每个立方根、平方根各得 1 分，求和正确得 1 分，步骤不完整扣 1 分）
解析：由题意知，，，且 。A 选项，，错误；B 选项，，错误；C 选项，异号两数相乘得负，，正确；D 选项，，错误，故选 C。（评分标准：判断每个选项得 0.75 分，正确选出答案得 3 分，数轴信息应用错误扣 2 分）
解析：， 的整数部分 ，小数部分 ，则 ，故选 A。（评分标准：确定整数部分得 1 分，表示出小数部分得 1 分，计算正确得 1 分，步骤不完整扣 1 分）
解析：A 选项， 与 不是同类二次根式，不能合并，错误；B 选项，，，合并得 ，正确；C 选项，，错误；D 选项，，错误，故选 B。（评分标准：判断正确得 3 分，错误不得分）
解析：由 得 ；由 得 。当 时，；当 时，，故 的值为 1 或 -9，故选 A。（评分标准：求解 、 各得 1 分，计算 两种情况得 1 分，步骤不完整扣 1 分）
解析：由二次根式有意义条件得 ，即 ，则 ，原式化为 ，化简得 ，两边平方得 ，解得 ，故选 B。（评分标准：确定 的取值范围得 2 分，化简等式得 1 分，求解正确得 1 分，步骤不完整扣 1 分）
二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
6；-5
100
；
-4
-8
详细解析：
解析： 表示 36 的算术平方根，结果为 6； 表示 -125 的立方根，结果为 -5，故填 6；-5。（评分标准：每空 2 分，计算正确得 2 分，混淆平方根与立方根扣 2 分）
解析：，，，，填 。（评分标准：利用平方比较得 2 分，判断正确得 2 分，方法错误不得分）
解析：一个正数的两个平方根互为相反数，故 ，解得 ，则其中一个平方根为 ，这个正数为 ，填 100。（评分标准：利用平方根性质得 2 分，求解 得 1 分，计算正数得 1 分，性质应用错误不得分）
解析：相反数是只有符号不同的两个数， 的相反数是 ；负数的绝对值是它的相反数， 的绝对值是 ，故填 ；。（评分标准：每空 2 分，掌握相反数、绝对值定义得 2 分，计算正确得 2 分）
解析：分别计算各项，，，，原式 ，填 -4。（评分标准：计算每一项各得 1 分，求和正确得 1 分，步骤不完整扣 1 分）
解析：，，且两者和为 0，，，解得 ，，则 ，填 -8。（评分标准：利用非负数性质得 2 分，求解 、 得 1 分，计算幂得 1 分，性质应用错误不得分）
三、解答题（共 66 分）
17. （6 分）解析：
分别计算各项：（4 分）
，，
合并计算：（2 分）
原式
（评分标准：计算每个根式各得 1 分，合并正确得 3 分，步骤不完整酌情扣分）
18. （6 分）解析：
先化简各二次根式：（4 分）
，
合并同类二次根式：（2 分）
原式
（评分标准：化简每个根式各得 2 分，合并正确得 2 分，步骤不完整酌情扣分）
19. （8 分）解析：
（1）求解 ：（4 分）
移项得 ，根据平方根定义，
（2）求解 ：（4 分）
根据立方根定义，，解得
（评分标准：（1）移项得 1 分，利用平方根定义得 2 分，求解正确得 1 分；（2）利用立方根定义得 2 分，求解正确得 2 分，步骤不完整酌情扣分）
20. （8 分）解析：
的算术平方根是 4，，两边平方得 （2 分）
解得 ，（1 分）
的立方根是 3，，两边立方得 （2 分）
将 代入，得 ，解得 （1 分）
则 （1 分）
34 的平方根是 （1 分）
（评分标准：利用算术平方根定义求 得 3 分，利用立方根定义求 得 3 分，计算 并求平方根得 2 分，步骤不完整酌情扣分）
21. （8 分）解析：
由数轴可知，，，则：（2 分）
，故 ；（2 分）
，故 ；（2 分）
，故 ；（1 分）
代入化简：原式 （1 分）
（评分标准：判断每个绝对值、二次根式的化简结果各得 2 分，化简整式得 2 分，步骤不完整酌情扣分）
22. （10 分）解析：
， 的小数部分 （3 分）
， 的小数部分 （3 分）
代入代数式：（3 分）
去括号、合并同类项：（1 分）
答：代数式的值为 -7。
（评分标准：确定 、 的表达式各得 3 分，代入化简得 3 分，答句得 1 分，步骤不完整酌情扣分）
23. （10 分）解析：
（1）计算长方形周长：（4 分）
长方形周长公式为 ，代入数据：
周长 （cm）
（2）计算长方形面积：（4 分）
长方形面积公式为 ，代入数据：
面积 （cm ）
（3）判断面积是否为有理数：（1 分）
18 是整数，属于有理数，故其面积是有理数。
答：这个长方形的周长为 cm，面积为 18 cm ，面积是有理数。（1 分）
（评分标准：（1）化简根式得 1 分，代入公式得 1 分，计算正确得 2 分；（2）化简根式得 1 分，代入公式得 1 分，计算正确得 2 分；（3）判断正确得 1 分；答句得 1 分，步骤不完整酌情扣分）
24. （10 分）解析：
（1）比较 和 2.2 的大小：（3 分）
计算立方：，（1 分）
，（2 分）
（2）比较 和 的大小：（3 分）
计算立方：，（1 分）
，（2 分）
（3）说明理由：（3 分）
，（1 分）
两边同时立方，得 （1 分）
化简得 （1 分）
（评分标准：（1）（2）每小题计算立方得 1 分，比较大小得 2 分；（3）推导过程完整得 3 分，步骤不完整酌情扣分）
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