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20.1勾股定理及其应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为5，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．45 B．44 C．40 D．36
2．如图，三棱柱每个侧面都是长方形，其高为，底面为直角三角形，其直角边长分别为，，围绕三棱柱的侧面，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在的网格中构造正方形，以长度为半径，数轴的原点为圆心画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点；再以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点；以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点．以此类推，点在数轴上对应的数是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，已知等边的边长为8，点是边上的动点，以为边向右作等边，点是边的中点，连接， 则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．不能确定
5．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大的正方形E的面积是（ ）．
A．90 B．15 C．47 D．26
6．已知直角三角形两边的长分别为6和8，则此三角形的周长为（ ）
A．24 B． C．或24 D．
7．如图所示，数轴上与点A所对应的实数为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．定义：如图，点M，N把线段分割成和三条线段，若以线段为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，则（　　）
A．5 B．12 C．13 D．5或13
9．如图，是的角平分线，，，，，分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论：①；②；③的最小值是；④若平分，则的面积为9．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
10．如图，中，，，D、E为上两点，且，F为外一点，且，，则下列结论：①；②垂直但不平分；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，在中，，平分交于点，点在边上，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
12．如图在四边形中，，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点F，交于点O，若点O是的中点，则的长为（ ）
A． B． C．3 D．4
二、填空题
13．在中，，已知，，则_______
14．小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为__________．
15．如图，中，，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则的周长等于_________．
16．如图，在中，，，，、、分别是线段、、上的动点，连接、、，当的周长最小时， ______．
17．如图，已知在等腰三角形中，为的中点，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值为______．
三、解答题
18．“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算：在中，，，点D在BC上，且，这样就可以得出与的大小关系，请说出你的答案并结合图形通过计算说明理由．
19．数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法．
(1)在学习乘法公式时，通过对图的面积“算两次”得到．请设计一个图形说明成立；（画出示意图，并标上字母）

(2)如图，两个直角边长分别为、，斜边长为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．试用两种不同的方法计算梯形的面积，你能发现直角三角形的三边长、、有什么数量关系吗？（注：写出解答过程）

(3)根据（2）中的结论回答，当，时，则的值为______．
20．图①、图②均是的正方形网格，小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图．
(1)线段的长为________；
(2)在图①中，以线段为边画一个等腰直角三角形；
(3)在图②中，以线段为边画一个轴对称四边形，使其面积为8．
21．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中画出一个与全等且有一条公共边的格点三角形．
(2)在图②中画出一个与全等且只有一个公共点的格点三角形．
22．如图，单摆绕点左右摆动，摆绳长度为．处于水平位置，为单摆停止运动后的静止位置．摆动过程中为某一瞬时状态，此时，求点相对于点升高的长度．
23．同学们在学习了全等三角形和等腰三角形后，进行了如下探究：
(1)如图1，在等边内部有一点，连接，，，以为边在的右侧作等边，连接，试证明：
(2)在第（1）问的条件下，若，则的度数是
(3)应用，如图2，在中，，．在直线的上方有一点，连接，，，若，则存在实数使得成立，请求出的值．
24．如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）．
(1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点B滑动到点C，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗绳的长度；
(2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端D重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离的长度）．
《20.1勾股定理及其应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C C C C D D C
题号 11 12
答案 A A
1．A
【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 a，b，斜边为c，根据图1，结合已知条件得到， ，进而求出，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，
∵图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为5，
∴， ，
∴，
∴图2中大正方形的面积为．
故选∶A
2．B
【分析】本题考查了三棱柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理．将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可．
【详解】解：如图为三棱柱的侧面展开图，
∵底面为直角三角形，其直角边长分别为，，
∴斜边长为，
∴，，，
∴，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算，二次根式的加减运算，规律探究题．先根据勾股定理求出的长度，进而得到对应的数，再通过分析与的关系，找出对应的数的规律，最后根据规律求出在数轴上对应的数．
【详解】解：由题意得，
∵以长度为半径，数轴的原点为圆心画圆，交数轴正半轴于点，
∴，即对应的数为；
∵，在的右侧取最近整数点，
∴对应的数为3；
∵以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点，
∴，
则，对应的数为；
∵，在的右侧取最近整数点，
∴对应的数为4；
∵以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点，
∴，
∴，
∴对应的数为；
通过前面的计算，我们可以得到：
对应的数为；
对应的数为；
对应的数为；
对应的数为；
对应的数为；
对应的数为；
对应的数为；
；
∴奇数时，对应的数为；偶数时，对应的数为．
∵2026为偶数，此时，
将代入对应的数为中，
可得：．
故选：A．
4．C
【分析】首先结合等边三角形的性质证明，由全等三角形的性质可得，进而可得点的运动轨迹在经过点，且与夹角为的射线上，当时，取最小值，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”以及勾股定理解得此时的值，即可获得答案．
【详解】解：∵与均为等边三角形，且等边的边长为8，
∴，，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹在经过点，且与夹角为的射线上，
∴当时，取最小值，如图，
∵点是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，准确判断点的运动轨迹是解题关键．
5．C
【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理进行求解即可．
【详解】解：由勾股定理，得：正方形A、B下面的正方形的面积为：，正方形C、D下面的正方形的面积为：，
∴最大的正方形E的面积为；
故选C．
6．C
【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x，由于8是直角边还是斜边不能确定，故应分8是斜边或x为斜边两种情况讨论．
【详解】解：设Rt△ABC的第三边长为x，
①当8为直角三角形的直角边时，x为斜边，
由勾股定理得，，
此时这个三角形的周长=6+8+10=24；
②当8为直角三角形的斜边时，x为直角边，
由勾股定理得，
此时这个三角形的周长=，
∴此三角形的周长为：或24．
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理，二次根式的化简，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
7．C
【分析】根据勾股定理求出圆的半径为，再用两点间的距离等于右边点的坐标减掉左边点的坐标得到答案．
【详解】解：由图可知，直角三角形的两边长分别为2和1，有勾股定理可得，斜边长为:
，
∴为圆的半径，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数在数轴上的表示方法，关键在于应用勾股定理求出圆的半径，再根据两点间的距离计算结果．
8．D
【分析】本题考查勾股定理，分两种情况：为最大线段，为最大线段，根据勾股定理分别计算即可．
【详解】分两种情况：①当为最大线段时，因为点M，N是线段的勾股分割点，
所以；
②当为最大线段时，因为点M，N是线段的勾股分割点，
所以
综上所述，的值为5或13．
故选D．
9．D
【分析】①根据等腰三角形的性质得出垂直平分，得出，根据三角形三边关系即可得出结论；
②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明，，得出，，即可得出结论；
③过点A作于点M，当点P在与交点上时，，且最小值为，根据等积法求出即可；
④过点P作于点N，得出，求出，即可求出结果．
【详解】解：①，是的角平分线，
，，
垂直平分，
，
，
，
，故①正确；
②，
，，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
③根据解析①可知，，
当最小时，最小，
过点A作于点M，如图所示：
当点P在与交点上时，，且最小值为，
是的角平分线，
，
，
，
，
即的最小值是，故③正确；
④过点P作于点N，如图所示：
平分，，
，
，
，
，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②③④，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，垂线段最短，垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质．
10．C
【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大．
根据等腰直角三角形的性质得到，证得，推出，根据全等三角形的性质即可得到，故①符合题意；根据等腰三角形的性质即可得到垂直平分，故②不符合题意；由是等腰直角三角形，得到，根据勾股定理即可得到，故③符合题意；连接，根据垂直平分，得到，根据勾股定理和等量代换即可得到，故④符合题意．
【详解】解：∵，，
∴，
∵ ，
∴
∵，
∴，
∴，
在和，
，
∴，
∴，故①符合题意；
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
根据等腰三角形的三线合一，得垂直平分，故②不符合题意；
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，故③是符合题意；
连接，如图所示：
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
在中，，
则，
故④是符合题意的．
故选：C
11．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，过作交的延长线于，过作于，可得，即得，，得到，得到，， 得到，进而根据角平分线可得，得到是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过作交的延长线于，过作于，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故选：．
12．A
【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF=FC.再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF=BC=4，等量代换得到FC=AF=6，利用线段的和差关系求出FD=AD-AF=1.然后在Rt△FDC中利用勾股定理即可求出CD的长．
【详解】解：如图，连接FC，由题可得，点E和点O在AC的垂直平分线上，
∴EO垂直平分AC，
∴AF=FC，
∵AD∥BC，
∴∠FAO=∠BCO，
在△FOA与△BOC中，
∴△FOA≌△BOC(AAS)
∴AF=BC=4，
∴FC=AF=4，FD=AD-AF=1，
在△FDC中，∠D=90°，
∴CD2+DF2=FC2，
即CD2+12=42，
解得CD=．
故选：A．
【点睛】本题考查了基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质的综合运用．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，确定EO垂直平分AC是解决问题的关键．
13．15
【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理可以计算出的长．
【详解】解：∵在中，，已知，，
∴，
故答案为：15．
14．2
【分析】根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可．
【详解】根据题意画出示意图，如图，则AC=0.5m，，，

所以BC即为河水深度，，
∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
解得：BC=2（m），
故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键．
15．7
【分析】此题考查了勾股定理及图形的折叠的知识．根据勾股定理求得，由题意得，，则的周长等于，即可求解．
【详解】在中，
∵，，，
∴，
由折叠过程可得，，
则的周长等于．
故答案为：7．
16．
【分析】分别作点关于、的对称点、，连接、、、、、，作，垂足为，过点作的垂线，交的延长线于点．根据轴对称的性质可得，，， ，，，由线段公理可得，当、、、四点共线，且时，三角形的周长最小．此时等于，使用勾股定理和直角三角形的性质，计算出即可．
【详解】解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接、、、、、，作，垂足为，过点作的垂线，交的延长线于点，
由轴对称的性质可知，，，
∴，，，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
由线段公理可得，，
当、、、四点共线时，取得最小值，
∵，，
∴的最小值为，即的周长最小值为，
∵，
∴，
∵，
∴当，即点与点重合时，取得最小值，
综上所述，当、、、四点共线，且时，的周长最小，最小值为；
当、、、四点共线，且时，如图，此时，
∵，，
∴，，
∴，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称的性质，线段最值问题，全等三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识是关键．
17．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB＝90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB＝CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵AD＝12，BD＝5，AB＝13，
∴ ，
∴∠ADB＝90°，
∵D为BC的中点，BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴点B，点C关于直线AD对称，
过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB＝CE的值最小，
∵S△ABCAB CEBC AD，
∴13 CE＝10×12，
∴CE，
∴PE+PB的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题．
18．
【分析】根据勾股定理求得AB= ，AD=，然后利用三角形三边关系得出结果．
【详解】解：在直角△ABC中，∠C=90°，
∴AB= ，
∵CD=BC-BD=2
由勾股定理得：AD= ，
在△ABD中，∵AD+BD＞AB，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理主要有两个作用：已知两边求出第三边，把勾股定理作为等量关系列方程．
19．(1)见解析
(2)
(3)13
【分析】（1）根据长方形的面积画图即可；
（2）根据梯形的面积的两种计算方法得出等式，再化简即可解答；
（3）由题意可得:,再运用完全平方公式变形，然后代入计算即可得到答案．
【详解】（1）解：图形如下：

（2）解：梯形的面积为：
，
梯形的面积也可以表示为：，
，
．
（3）解：∵，
∴．
故答案为13．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，代数式求值、勾股定理等知识点，用两种方法表示图形的面积是解题的关键．
20．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据勾股定理，，解答即可；
（2）根据三角形全等判定和性质去构造全等三角形即可；
（3）根据轴对称图形，分割法计算图形的面积，依据去画图即可．
【详解】（1）根据勾股定理，，
故答案为：．
（2）根据题意，画图如下：
则即为所求．
（3）根据题意，画图如下：
则四边形即为所求．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）取格点D，连接即可，由勾股定理可得，继而由可得；
（2）取格点，连接，由勾股定理可得，，继而由可得．
【详解】（1）解：即为所作：
（2）解：如图，即为所作：
22．
【分析】本题考查了勾股定理，30度角所对的直角边是斜边的一半，先过点作于点，得出，运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：过点作于点，
∵，
在中，，，
则，
由勾股定理可知：，
则，
∴点相对于点升高的长度为
23．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，，从而可得，然后利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质可得，由等边的性质可得，从而可得，进而可得，然后由等边的性质可得，从而可得；
（3）将绕点A顺时针旋转得到，连接, 过点A作，垂足为点H，得到等腰，，进而可得，再由勾股定理可得，最后利用等腰三角形和勾股定理求出线段的数量关系，从而推出，即可求得．
【详解】（1）证明：和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）知，
，
是等边三角形
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，连接，过点A作，垂足为点H，
由旋转的性质可知：,，，，
，
，
，
,，
，
在中，，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键将实际问题转化为几何问题．
（1）根据题意可知构成直角三角形，设，根据勾股定理即可求得的长度；
（2）过点D作，垂足为F，于是构成矩形，在直角三角形中利用勾股定理即可求得的长，即为标杆和旗杆的水平距离的长度．
【详解】（1）设旗绳的长度为，则旗杆的长为，
解得：，即．
答：旗绳的长度为．
（2）由题意可知：
过点D作，垂足为F，
则，
答：标杆与旗杆的水平距离为．
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