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20.2勾股定理的逆定理及其应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，有下列说法正确结论的个数是（ ）
①，，能组成三角形；
②能组成三角形；
③能组成直角三角形；
④能组成直角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，1 D．5，12，23
3．下列几组数，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．20，30，40 D．15，20，25
4．下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1，1，2 B．3，4，5 C．3，4，12 D．4，6，8
6．下列各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，，2 B．1，，3 C．1，2，3 D．1，，
7．如图，在三角形，，，是上中点，是射线上一点．是上一点，连接，，，点在上，连接，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．9
8．满足下列条件的一定能构成直角三角形的一组是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列条件：①，②，③，④．⑤中，能确定是直角三角形的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．在中，分别是的对边，不能组成直角三角形的是( )
A．三边之比 B．
C．三角之比 D．
11．如图是一个港湾，港湾两岸有，两个码头，千米，千米，现有一艘货船从码头出发，根据计划，货船应先停靠岸的处装货，再停靠 岸的处装货，最后到达码头． 小明根据所学的知识，合理安排两岸的装货地点，发现使货船行驶的水路最短距离为，那么这个港湾两岸的夹角的度数是（ ）
A． B． C． D．
12．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．6，7，8 C．5，6，7 D．4，5，6
二、填空题
13．某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知m，m，，m，m，这块地的面积为______
14．已知，以、、为三边长构成三角形，则此三角形的形状为______．
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝4，CD＝8，则四边形ABCD的面积为__．
16．已知一个三角形的三条边的长分别为，那么这个三角形的最大内角度数为_________．
17．如图，在四边形中，为的中点，于点，，，，，则四边形的面积为_____．
三、解答题
18．高州市在创建全国文明城市期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知，，，，．

(1)求空地的面积；
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
19．如图，在四边形中，，，，，．

(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
20．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)网格中的形状是______；
(2)在图①中确定一点，连接、，使与全等；
(3)在图②中的边上确定一点，连接，使与的面积比．
21．如图，平面直角坐标系中，，，，过点作轴的垂线．
(1)作出关于直线的轴对称图形；
(2)直接写出（_________，_________），（_________，_________）；
(3)中边上的高___________．
22．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．
23．已知：在中，于点．
(1)如图1，若于点，．求证：是菱形．
(2)如图2，连、交于点，试探究：，，，之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)如图3，若，于点交于点，连接，其中，且以、、为边构成的三角形的面积为20．求的面积．
24．在平面直角坐标系中，点O为原点，点，点C在x轴正半轴上，连接，．
(1)如图1，求点C的坐标；
(2)如图2，点P在第一象限，连接，线段与相交于点G，且，点E在线段上，点F在线段上，且，连接，若，求的度数；
(3)如图3，在（2）问条件下，若点E为线段中点，求线段的值．
《20.2勾股定理的逆定理及其应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C C B D D D C B
题号 11 12
答案 B A
1．B
【分析】本题考查三角形三边关系与勾股定理逆定理的应用，需结合直角三角形的勾股定理、面积公式，对每个结论逐一分析判断．
【详解】解：是的三边，为斜边，为斜边上的高
，，
，
①，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，
①错误；
②，，
又能组成三角形，
，
，
即，
均为正数，
，
∴能组成三角形，②正确；
③，
又，
根据勾股定理逆定理，能组成直角三角形，
③正确；
④，
又，
，
，
即，
不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，
④错误；
综上，正确的结论有2个．
故选：B．
2．B
【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握．根据勾股定理的逆定理，将各个选项逐一计算即可得出答案．
【详解】解：A、∵，∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵，∴1，1，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵，∴6，8，1不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵，∴5，12，23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据三角形两短边的平方和等于长边的平方的三角形为直角三角形逐项分析即可得解，熟练掌握勾股定理逆定理是解此题的关键．
【详解】解：A、∵，∴3，4，5能作为直角三角形三边长，故不符合题意；
B、∵，∴5，12，13能作为直角三角形三边长，故不符合题意；
C、∵，∴20，30，40不能作为直角三角形三边长，故符合题意；
D、∵，∴15，20，25能作为直角三角形三边长，故不符合题意；
故选：C．
4．C
【分析】本题考查三角形内角和定理、勾股定理的逆定理等知识点，灵活运用所学知识判定三角形是否为直角三角形成为解题的关键．
根据直角三角形的定义（有一个角为90°）和勾股定理的逆定理，逐个分析每个条件是否能使为直角三角形即可．
【详解】解：∵ 在中，，
∴对于①：，即，解得：，故是直角三角形；
对于②：设，则，故是直角三角形；
对于③：，则，即，故是直角三角形；
对于④：，即，故是直角三角形．
对于⑤：设，则，
∴，解得：，
∴最大角，故不是直角三角形．
综上，有4个条件能确定直角三角形．
故选C．
5．B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键是熟练运用勾股定理的逆定理加以判断即可．
【详解】解：A、因为，不能构成三角形；故此选项不符合题意；
B、因为，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C、因为，不能构成三角形；故此选项不符合题意；
D、因为，不能构成直角三角形．故此选项不符合题意；
故选：B．
6．D
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、1+2=3，不能构成三角形，故不符合题意；
D、，能构成直角三角形，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
7．D
【分析】延长到K，使得，连接，先由勾股定理的逆定理可以得到是等腰直角三角形，，，由，得到，设，则，然后证明，得到，，则，即可证明，推出；设，证明，得到，，即可推出，得到，则，由此即可得到答案．
【详解】解：延长到K，使得，连接，
∵在三角形，，且，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵H是上中点，是等腰直角三角形，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∵F是射线上一点，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
设，
∵，，，
∴
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
8．D
【分析】本题主要考查了直角三角形的判定方法，三角形内角和定理和勾股定理逆定理的实际运用，灵活的应用知识点是解决问题的关键．运用直角三角形的判定方法，当一个角是直角时，或当两边的平方和等于第三条边的平方时，可得出它是直角三角形，对每个选项分别判定即可．
【详解】解：A、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，无法得到或为，
∴不一定是直角三角形；
B、∵，，
∴，，，
∴不是直角三角形；
C、∵，
∴设，，（），
∴，
∴不是直角三角形；
D、∵，即，
∴，
∴是直角三角形，且是斜边．
故选：D
9．C
【分析】根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答．
【详解】解：①时，
∵
∴
∴，是直角三角形，符合题意；
②，是直角三角形，符合题意；
③，设，
则，
从而，是直角三角形，符合题意；
④当时，显然是最大角，则
，是锐角三角形，不符合题意；
⑤，，是直角三角形，符合题意；
综上所述，能确定△ABC是直角三角形的有4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，同时也考查了三角形内角和定理．
10．B
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理判断即可．
【详解】解：A、，故可以构成直角三角形，不符合题意；
B、由，则，故不能构成直角三角形，符合题意；
C、由可得，即，故可以构成直角三角形，不符合题意；
D、由可得，即，故构成直角三角形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．
11．B
【分析】分别作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，则、为两岸的装货地点，是货船行驶的水路最短路程，利用勾股定理的逆定理证明，构造等边三角形可求出，根据对称性可知，则可解决问题．
【详解】解：分别作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，则、为两岸的装货地点，是货船行驶的水路最短路程，
，
，
，
延长至点，使，
，
则，
且是的垂直平分线，
，
，
则为等边三角形，
，
由对称的性质知：
．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，轴对称最短路径问题，轴对称的性质，中垂线的性质，等边三角形的性质和判定，灵活运用轴对称变换的思想是解题的关键．
12．A
【分析】本题考查直角三角形的判定，利用勾股定理的逆定理一一计算判断即可．
【详解】解：．，可以构成直角三角形，故该选项符合题意；
．，构不成直角三角形，故该选项不符合题意；
C．，构不成直角三角形，故该选项不符合题意；
．，构不成直角三角形，故该选项不符合题意；
故选：A．
13．
【分析】根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，从而不难求得这块地的面积．
【详解】解：连接，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
在中，，
是直角三角形，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
14．直角三角形
【分析】由题意，即，根据非负性可得，故，则此三角形的形状即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴此三角形的形状为直角三角形．
故答案为：直角三角形
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用，解题的关键是利用绝对值、根式、完全平方数的非负性求出a、b、c的值．
15．4+16．
【分析】连接BD，构造等边三角形和直角三角形，分别求这两个三角形的面积，相加即可．
【详解】连接BD．
∵AD＝AB＝4，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AD＝4，
∵BC＝，CD＝8，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴∠BDC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝×42+×4×8＝4+16，
故答案为4+16．
【点睛】本题考查了等边三角形、勾股定理逆定理以及特殊三角形面积的求法，根据题意，添加适当的辅助线，构造特殊三角形是解题关键．
16．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握定理是解决问题的关键．由三边长度利用勾股定理的逆定理可判定此三角形为直角三角形，则最大角可求．
【详解】解：，
∴此三角形为直角三角形，
则三角形最大内角度数为．
故答案为： ．
17．/
【分析】连接BD，先求出BD的长，再根据勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，进而利用三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：连接，
为的中点，，
∴DE是AB的垂直平分线，，
∵，
，
，
，
，，
，
是直角三角形，
四边形的面积
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形解答．
18．(1)
(2)17100元
【分析】（1）连接，直接利用勾股定理得出，进而利用勾股定理逆定理得出，即可计算面积；
（2）将（1）中求得的面积乘以150即可得出答案．
【详解】（1）解：连接，如图，

∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
（2）（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理：
（1）利用勾股定理解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，则四边形的面积等于与面积之和．
【详解】（1）解：，，，
；
（2）解：，，，
，
是直角三角形，
，
四边形ABCD的面积为．
20．(1)直角三角形；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】（1）先根据勾股定理求出，，，再根据勾股定理的逆定理得出答案；
（2）根据全等三角形的判定作图即可；
（3）根据网格取的中点P，连接，则为的中线，可得与面积相等，则与的面积比是．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
（2）解：如图①，即为所求；
（3）解：如图②，点即为所求．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，作全等三角形，三角形中线的性质，熟知三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)4；1；5；4
(3)
【分析】（1）作出点A、B、C关于直线l的对称点、、，顺次连接即可；
（2）根据图形写出点、的坐标即可；
（3）先求出、、的长，然后利用等积法求出边上的高即可．
【详解】（1）解：作出点A、B、C关于直线l的对称点、、，顺次连接，则即为所求，如图所示：
（2）解：点，．
故答案为：4；1；5；4．
（3）解：，，，
∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
∴中边上的高为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了作轴对称图形，勾股定理及逆定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出点A、B、C的对应点，熟练掌握勾股定理．
22．(1)直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可证明；
（2）过点作，交于点，利用勾股定理求出，利用等积法求出，由点到地面的距离为即可求解．
【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下：
在中，
∵，，，
∴，
∴为直角三角形．
（2）解：如图所示，过点作，交于点，
∵，
∴，
∵，
即，
∴，
∴点到地面的距离为：．
23．(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)84
【分析】（1）证明，得，即可由菱形的判定定理得出结论．
（2）过点D作交延长线于F，证明四边形是平行四边形，得到，，从而得出，然后由勾股定理得出，再由平行四边形的性质得．
（3）连接，，得，再由勾股定理和其逆定理得出以、、为边构成的三角形是以为斜边的直角三角形，根据其面积为8，求出、，即可由平行四边形的面积公式求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是菱形．
（2）解：．
证明：过点D作交延长线于F，
∵，
∴，，，，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴
∵于点．
∴
由勾股定理，得，
，
∴
∴
∴．
（3）解：连接，
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
由勾股定理，得：
，
∴
∴以、、为边构成的三角形是以为斜边的直角三角形，
∵
∴
∴
∵以、、为边构成的三角形的面积为8，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形与平行四边形的面积．熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】对于（1），作，根据勾股定理求出，再说明是等边三角形，可得答案；
对于（2），连接，根据等边三角形的性质得，再根据三角形内角和定理得，结合“边角边”证明，可知是等边三角形，然后根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，最后根据得出答案；
对于（3），延长交于点T，连接，，作，得，在上取点R，使，由，得即可证明，可得是等边三角形，接下来说明，然后证明，可得，再设，则，可表示，，最后根据勾股定理求出m，可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点A作，交x轴于点B，
∵点，
∴．
根据勾股定理，得，
∵，
∴，
∴.
根据勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴点；
（2）解：如图所示，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∴．
在中，，
即，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形，
即，
∴．
（3）解：如图所示，延长交于点T，连接，，
过点A作于点H，得，在上取点R，使，
由（2）得，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
由（2）得，
∴，，
∴，
∴．
∵点E是的中点，
∴．
又，
∴，
∴．
在中，，
∴．
设，则，
在中，，
∴，．
在中，，
即 ，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，特殊角的三角函数值，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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