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21.1四边形及多边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，四边形中，．若中，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将一张六边形纸片沿虚线剪开，剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
3．下列命题中，正确的是（　　）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．三角形中的角所对的边等于长边的一半
C．等边三角形的对称轴是它三个内角的角平分线 D．n边形的内角和为
4．一个凸九边形中有三个内角分别为，，，则它的其它内角的度数不可能为（ ）．
A． B． C． D．
5．一个正多边形，它的一个外角为，则这个正多边形的边数是（ ）
A．十 B．十二 C．八 D．九
6．六边形的外角和是（ ）
A． B． C． D．
7．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示），其轮廓是个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，右图是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．正六边形与正方形摆放如图所示，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．某同学用纸剪出了三种多边形，为凸四边形，凸五边形，凸六边形，每种至少剪出一个，剪出多边形的边数之和为79，那么剪出的多边形的所有内角中，直角的个数最多是（ ）
A．66 B．70 C．74 D．78
10．下列各命题中，是假命题的是（ ）
A．两个锐角的和是直角 B．有理数和无理数统称实数
C．多边形的外角和等于 D．任何一个命题都有逆命题
11．下列说法正确的是（ ）
A．n边形的内角和是360度
B．多边形的外角和就是这个多边形所有外角的和
C．平行四边形的对边相等
D．平行四边形对角互补
12．如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，若，则一定等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，用边长相等的1个正方形和4个正五边形拼成如图所示的美丽图案，点为正方形和相邻两个正五边形的公共顶点，、分别是这两个正五边形的顶点，则的度数为______°．
14．如图所示，________．
15．边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是______（请填序号）．
①正方形与正三角形②正五边形与正三角形③正六边形与正三角形④正八边形与正方形
16．若一个正多边形的一个内角的度数是它相邻外角度数的3倍，则这是一个正______边形．
17．一个零件的横截面是正八边形，每个内角都相等，则每个内角的度数是__________°．
三、解答题
18．如图，六边形中，，，，，，求的度数．
19．列式计算：求图中x的值．
20．如图，点P为∠AOB内一定点，过点P作PD⊥OA于点D，请用尺规作图法在OB上求作一点Q，使得∠AOB与∠DPQ互补（保留作图痕迹，不写作法）．
21．在正方形网格图中，正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．在下列边长为1的6×6正方形网格图中，A、B为格点，按要求画出格点多边形．
(1)面积为6的格点三角形ABC；
(2)有一个内角为直角，面积为7的格点四边形ABCD．
22．根据下面的对话，求多边形飞盘的边数．
23．如图，在△ABC中，点E，F分别为AC，AB上的点，连接DE，DF，且∠BAC+∠EDF＝180°．
（1）求证：∠AFD＝∠BED；
（2）若DE＝DF请说明AD平分∠BAC．
24．阅读材料：两个三角形各有一个角互为对顶角，这两个三角形叫做对顶三角形．
解决问题：如图，与是对顶三角形．

(1)试说明：；
(2)试利用上述结论解决下列问题：若、分别平分与，，，
①求的度数（用含m、n的代数式表示）；
②若、分别平分与，，求的取值范围．
《21.1四边形及多边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D A B C C C C A
题号 11 12
答案 C C
1．B
【分析】本题考查了四边形的内角和，三角形的内角和，掌握三角形和四边形的内角和是正确解答的关键．
先根据三角形内角和为求出，再根据四边形内角和为，即可求出的度数．
【详解】解：∵在中，，，
．
∵在四边形中，，
．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了多边形的内角和定理，掌握多边形内角和公式是解题关键．根据多边形的内角和定理可知，边数相等的两个多边形内角和相等，再逐个判断得出答案．
【详解】解：①剪开后的两个图形都是五边形，内角和相等，符合题意；
②剪开后的两个图形分别是三角形和七边形，内角和不相等，不符合题意；
③剪开后的两个图形分别是三角形和五边形，内角和不相等，不符合题意；
④剪开后的两个图形都是四边形，内角和相等，符合题意；
即符合要求的是①④，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查判定命题的真假，三角形外角的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，多边形的内角和定理，掌握相关的知识是解题的关键．
根据三角形外角的性质判定A，根据直角三角形的性质判定B，根据等边三角形的性质判定C，根据多边形内角和定理判定D．
【详解】解：A． 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，错误，该选项不符合题意；
B． 直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半，错误，该选项不符合题意；
C． 等边三角形的对称轴是它三个内角的角平分线所在的直线，错误，该选项不符合题意；
D． n边形的内角和为，正确，该选项符合题意；
故选：D．
4．A
【分析】本题考查多边形的内角和，掌握好多边形内角和的计算方法是解题关键
利用九边形内角和公式求出剩余六个内角的和，再根据凸多边形每个内角小于的性质，分析哪个选项作为内角会导致剩余五个内角的和不小于．
【详解】解：九边形内角和为，
∵有三个内角之和为，
∴剩下六个角之和为，
设其中一个角为，则剩下五个角之和为，
∵凸多边形每个内角都小于，
∴，
解得，，只有选项A不满足．
故选：A．
5．B
【分析】由已知得每个外角为，根据外角和为即可求得多边形的边数．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是正多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和是是解题的关键．
6．C
【分析】此题考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和是是解题的关键．
【详解】解：∵多边形的外角和都是，
∴六边形的外角和为，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了多边形外角和定理，掌握正八边形的外角和为是解此题的关键．由多边形的外角和定理可直接求出结论．
【详解】正八边形的外角和为，
每一个外角为，
故选：．
8．C
【分析】求出正六边形和正方形的每个内角度数，求得，在等腰中求底角度数．
【详解】解：正六边形的每一个内角是，正方形的每个内角是，
，
，
，
；
故选：．
【点睛】本题考查正多边形的内角和等腰三角形的性质，多边形的内角和公式是解题的关键．
9．C
【分析】根据多边形的内角和判断出凸四边形、凸五边形和凸六边形直角的最多个数，从而确定出四边形中直角最多，再求剪出一个凸四边形，一个凸五边形，一个凸六边形的边数，然后根据剩余的边数情况解答即可．
【详解】解：凸四边形最多有四个直角，凸五边形和凸六边形最多有三个直角，
剪出一个凸四边形，一个凸五边形，一个凸六边形共有15条边，最多有个直角，
剩下条边，
由于要直角尽可能多，
则都是凸四边形，且凸四边形四个角都是直角时，直角最多，
64条边组成16个凸四边形，共有64个直角，
所以直角的个数最多是．
10．A
【分析】根据直角的定义、实数的分类、多边形的外角和、命题的逆命题，进行分析，即可一一判定．
【详解】解：A.两个锐角的和不一定是直角，如，故该选项错误，是假命题；
B.有理数和无理数统称实数，故该选项正确，是真命题；
C.多边形的外角和等于，故该选项正确，是真命题；
D.任何一个命题都有逆命题，故该选项正确，是真命题；
故选：A．
【点睛】本题考查了判断命题的真假，熟练掌握和运用判断命题真假的方法是解决本题的关键．
11．C
【分析】根据多边形内角和和外交和、平行四边形的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、n边形的内角和是(n-2)·180°，故本选项错误；
B、多边形的外角和是对每一个内角取一个外角，这些外角的和是360度，故本选项错误；
C、平行四边形的对边相等，故本选项正确；
D、平行四边形对角相等，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了多边形内角和和外交和、平行四边形的性质，解决此题的关键是熟练的掌握以上性质．
12．C
【分析】本题考查四边形的内角和，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
延长到点，使，连接，则，根据，得到，，证得，从而得到，，再推导，证得，进而得到，故，完成求解．
【详解】解：延长到点，使，连接，则，
∵，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
13．
【分析】本题考查多边形的内角与外角，掌握正五边形、正方形内角的计算方法是正确解答的关键．
先求出正五边形、正方形的内角的度数，再根据周角的定义进行计算．
【详解】解：正五边形的每一个内角的度数为，
∵正方形的每一个内角为，而点P为正方形和相邻两个正五边形的公共顶点，
∴，
故答案为：．
14．540
【分析】本题考查了多边形内角和公式，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．如图（见解析），根据三角形外角的性质可得知，，，然后根据五边形的内角和公式可得，代入即可得到答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：540．
15．②
【分析】分别求出各个正多边形每个内角的度数，再结合镶嵌的条件即可作出判断．
【详解】解：正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是，，能作平面镶嵌；
正三角形的每个内角是，正五边形每个内角是，，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能作平面镶嵌；
正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，能作平面镶嵌；
正八边形的每个内角是，正方形的每个内角是，，能作平面镶嵌．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．掌握镶嵌的条件是解题的关键．
16．8
【分析】首先设正多边形的一个内角等于x°，由在正多边形中，一个内角的度数恰好等于它相邻外角的度数的3倍，即可得方程：x=3（180-x），解此方程即可求得答案．
【详解】解：设正多边形的一个内角等于x°，
∵一个内角的度数恰好等于它相邻的外角的度数的3倍，
∴x=3（180-x），
解得：x=135，
外角度数是180°-135°=45°，
∴这个多边形的边数是：360°÷45°=8．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，方程思想的应用是解题的关键．
17．135
【分析】本题考查多边形的内角与外角．根据多边形的外角和为即可得出结果．
【详解】解：∵一个八边形，它的每个内角都相等，
∴这个八边形的每个外角都相等，
∴每个外角的度数，
∴每个内角的度数．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，多边形内角和定理，延长交延长线于G，利用三角形外角性质，平行线的性质，多边形内角和定理计算即可．
【详解】解：延长交延长线于G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
解法2：连接，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．100
【分析】本题考查了四边形的内角和定理，根据题意，列式计算即可．
【详解】根据题意，列式，
解得，
故图中x的值为100．
20．见解析
【分析】由四边形内角和为，与互补，，可知，故作即可．
【详解】解：如图，∠DPQ即为所求．
【点睛】本题考查四边形内角和定理，复杂作图等知识点，灵活运用知识并规范作图是解题关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用三角形的面积公式，可知作出了的图形高与低的乘积为12，由此去构造问题得解；
（2）利用图形中AB的位置特点先构造一个直角内角，再去满足面积要求即可求解．
【详解】（1）如图，取网格点C，连接AC、BC，即是满足要求的△ABC，
理由：由图，连接AD，可知BC=4，BC边上的高为AD，且AD=3，
则三角形的面积，
故所画三角形满足条件；
（2）如图，选取网格点C、D，连接AD、DC、DB，则四边形ABCD即为所求，
．
理由如下：
连接BD，如图可知AB=AD=，BD=，DC=1，△DCB的DC边上的高为4，
利用勾股定理的逆定理可知△ADB是直角三角形，且∠DAB=90°，
四边形的面积，
,
，
四边形的面积，
即四边形ABCD满足有一个内角为直角，且面积为7，
故所画四边形满足条件．
【点睛】本题考查作图---应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
22．多边形飞盘的边数为6
【分析】本题考查了多边形内角和的应用，属于基础题，记住多边形内角和公式是解题关键．设多边形飞盘的边数为n，根据，解答即可．
【详解】解：设多边形飞盘的边数为n，根据题意得：
，
解得：，
答：多边形飞盘的边数为6．
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据四边形内角和得到，再根据同角的补角相等这一性质求解即可；
（2）过点作，，根据全等三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：（1）∵
∴
又∵
∴
（2）过点作，，如下图：
则
由（1）得
∴
在和中
∴
∴
在和中
∴
∴
∴AD平分∠BAC
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质．
24．(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）利用三角形内角和结合“8”字型模型证明即可；
（2）①由（1）中的结论推导可得；
②先根据角平分线得到，再利用四边形内角和结合求得，最后解不等式即可．
【详解】（1）解：在中，，
在中，，
又，
．
（2）①、分别平分与，
，.
与是对顶三角形，是对顶三角形
①.
与是对顶三角形，
②
由①+②，得
，
，
②、分别平分与，
，，
同理可求得
在四边形中，
，，.
由（1）①证得，则
，
，
解得．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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