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21.2平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，点，分别为边，的中点，点在线段上，且，若，，则线段的长为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点M处，折痕为；再将分别沿折叠，此时点落在上的同一点N处．则关于结论：①；②当四边形是平行四边形时，．下列说法正确的是（ ）
A．①②都错误 B．①②都正确
C．①正确②错误 D．①错误②正确
3．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列三个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）
A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
4．如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E、F分别在边上，点E、F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动，与交于点G，则在这个运动过程中，下列说法正确的个数是（ ）
①菱形的面积是；②始终为等边三角形；③线段长的最小值为；④点G所走过的路径长为1．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．在平行四边形中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，且，则图中平行四边形的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，将一个正五边形变形为四边形，其中三点共线，，则的度数将（ ）
A．增大 B．增大 C．增大 D．增大
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF．求证：DE＝BF．以下是排乱的证明过程：
①∵AE＝CF，∴BE＝FD；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD；
③∴DE＝BF，
④∴四边形EBFD是平行四边形．
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．①→②→③→④ B．①→④→②→③ C．②→①→④→③ D．②→④→①→③
9．在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，菱形中，，E和点F分别在边上，连接，，若M、N分别为线段的中点，则线段的长度等于（ ）
A． B． C． D．3
11．如图，在四边形ABCD中，，，且，垂足为O，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形…，如此进行下去，得到四边形．下列结论正确的有（ ）
①是△ABD的中位线；②是△ABO的中位线；③四边形是菱形；④四边形的面积是．
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
12．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，的平分线交于F，且，则线段的长为（　　）
A．8 B．9 C． D．
二、填空题
13．如图，中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AC于点E，已知的周长为14，则的周长为________．
14．如图，在中，∠ABC的平分线BE交AD于E，BC＝5，AB＝3，则DE的长为___
15．如图，在锐角三角形中，为三角形内部一点，，，，，则的面积为 _______．
16．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD⊥BD，垂足为D，E为AC中点．若AB＝5，BC＝3，则DE的长为________．
17．如图，在中，，，，则的长为________．
三、解答题
18．如图，在正方形网格由，每个小正方形的边长部是1，点A，B，C都在格点上，点D，E分别是线段的中点．

(1)图中的是不是直角三角形？答：______；（填“是”或“不是”）
(2)计算线段的长．
19．已知，在四边形中，点，位于线段的异侧，，，如图1．

(1)求的度数；
(2)以为边作平行四边形，如图2，求出的大小；
(3)在（2）的条件下，若，，直接写出的长度．
20．作图题
（1）填空：如果长方形的长为3，宽为2，那么对角线的长为_________．
（2）如下图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点（端点），分别按下列要求画图（不要求写画法和证明，但要标注顶点）．
①在图1中，分别画三条线段AB、CD、EF，使AB=、CD=、EF=．
②在图2中，画三角形ABC，使AB=3、BC=、CA=．
③在图3中，画平行四边形ABCD，使，且面积为6．
21．取任意一张三角形纸片，你能把它剪成四个全等的三角形吗？说明你的方法，并画出示意图．
22．问题提出：（1）如图，等腰中，，，是的中点，是边上的高，是上的一动点，则的最小值为______；
问题探究：（2）如图2，在平行四边形中，，，，，是边上的动点，且，则的最小值是多少？
问题解决：（3）如图是夹角为的港湾（），岸上有一个码头，湾内有个小岛，，小岛与的距离为，与的距离为．现拟在，岸上设置，，三处游客接驳点，点在上，点，在上，且为了游客方便及安全，，之间的距离为，客船从码头出发，沿前行，最终到达小岛，请问，根据两岸接驳点的安排，是否存在最短的运输路线？若存在，请求出最短运输路线长；若不存在，请说明理由．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，CE是AB边上的中线，延长AB至点D，使BD＝AC，连接CD．求证：CD＝2CE．
24．如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知，设．
(1)用含x的代数式表示的值；
(2)探究：当点C满足什么条件时，的值最小？最小值是多少？
《21.2平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C A B C B C B B
题号 11 12
答案 C C
1．C
【分析】由题意知，是的中位线，是斜边的中线，则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，是的中位线，是斜边上的中线，
∴，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了中位线的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
2．D
【分析】本题主要考查了翻折变换、平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并灵活运用这些性质是解题的关键．
由折叠的性质可得，由平角的性质可得，可证，由平行线的性质可得，若，则，即四边形为矩形，而题目中无条件证明此结论，即可判断①；由平行四边形和折叠的性质可得，由直角三角形的性质可得即可判断②．
【详解】解：由折叠的性质可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
若，则，即四边形为矩形，而题目中无条件证明此结论，故结论①不正确；
∵，
∴，
由折叠的性质可得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故结论②正确．
故选：D．
3．C
【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．
【详解】解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
∴有2种可能使四边形ABCD为平行四边形．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
4．A
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，先由菱形的性质得到，，再证明是等边三角形，得到，利用勾股定理可得，则，根据菱形面积等于其对角线乘积的一半可判断①；证明，得到，进而证明，则是等边三角形，据此可判断②；当时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法可求出的最小值为，据此可判断③；由菱形的对称性可得，整个运动过程是点G的运动是一个往返过程，点G先从点A运动到最远（离点A）为止，再从最远位置运动回点A，且点G运动到最远位置时此时点E刚好是的中点，点F为的中点，当点E刚好是的中点，点F为的中点时，为的中位线，则可证明，，由勾股定理可得，则，即点G离点A的最远距离为。
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，故①正确；
由题意得，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故②正确；
∴，
∴当时，有最小值，即此时有最小值，
当时，此时有，即，
∴的最小值为，故③正确；
∵，
∴，即，
∴由菱形的对称性可得，整个运动过程是点G的运动是一个往返过程，点G先从点A运动到最远（离点A）为止，再从最远位置运动回点A，且点G运动到最远位置时此时点E刚好是的中点，点F为的中点，
当点E刚好是的中点，点F为的中点时，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点G离点A的最远距离为，
∴整个过程中点G的路程为，故④正确；
故选；A.
5．B
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等可得答案.
【详解】解：如图，∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴；
故选：B
6．C
【分析】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定和性质，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定即可
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴平行四边形有三个，
故选C
7．B
【分析】本题考查了多边形内角和外角，平行四边形的判定和性质，求得图1中的度数，连接图2中，证明四边形是平行四边形，可得是等边三角形，即可求得图2中的度数，进行比较即可，掌握多边形内角和定理是解题的关键．
【详解】解：如图，连接图2中，
，
，
根据图1中为正五边形，可得，
四边形是平行四边形，
，，
根据图1中为正五边形，可得，
是等边三角形，
，
，
，
在图1中正五边形每个内角都相等，
在图1中，
，
的度数增大了．
故选：B．
8．C
【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，再证BE＝FD，得四边形EBFD是平行四边形，即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝CF，
∴BE＝FD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴DE＝BF，
则证明步骤正确的顺序是②→①→④→③，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握判定和性质是解决问题的关键．
9．B
【分析】根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，
∵∠A+∠C=210°，
∴∠A=∠C=105°，
∴∠B=75°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
10．B
【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形中位线定理，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
连接，取的中点H，连接，过点N作于K，由菱形的性质可得，可证是等边三角形，可得，由三角形中位线定理可得，可得，可求，然后运用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，取的中点H，连接，过点N作于K，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵M、N分别为线段的中点，点H是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
故选：B．
11．C
【分析】根据题意找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系，再逐一对四个选项作出分析与判断：①根据中位线的定义分析解答；②根据中位线的定义分析解答；③根据菱形的判定定理推断；④根据四边形的面积与四边形ABCD的面积间数量关系解答．
【详解】解：是的中点，是AD的中点，
是的中位线，故①正确；
不在的边上（即不是边的中点），
不是的中位线，故②错误；
分别是边AB，AD，BC，CD的中点
四边形是平行四边形，
同理四边形是平行四边形，
四边形是矩形
分别是边的中点
四边形是菱形
同理可得四边形是矩形，四边形是菱形，故③正确；
四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且
由三角形的中位线定理可知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半
即四边形的面积是，故④正确，
综上所述，正确的有①③④
故选：C．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边一半是解题关键．
12．C
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，过点C作，交于N，证明四边形是平行四边形，得出，由等腰直角三角形的性质得出，，最后再由勾股定理计算即可得出答案，添加适当的辅助线构造平行四边形是解此题的关键．
【详解】解：如图，过点C作，交于N，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
则，
同理可得，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
13．28
【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，可知OE是线段BD的中垂线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，得出AD+CD=14，继而可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=14．
∵平行四边形ABCD的周长为2（AD+CD），
∴ ABCD的周长为28，
故答案为：28．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质及线段的线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是判断出OE是线段BD的中垂线．
14．2
【分析】由BE平分∠ABC知∠ABE=∠CBE，再由四边形ABCD是平行四边形知BCAD，BC=AD=5，据此得∠CBE=∠AEB，结合以上结论得出∠ABE=∠AEB，据此知AB=AE=3，根据DE=AD-AE可得答案．
【详解】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BCAD，BC=AD=5，
∴∠CBE=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=3，
∴DE=AD-AE=5-3=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质、平行线的判定、等腰三角形的判定等知识点．
15．
【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理的应用、三角形中位线的判定和性质，旋转到，延交于点，作于，先证明是直角三角形，利用勾股定理解得，再证明是的中位线，最后根据三角形面积公式即可解答．
【详解】设，则，
旋转到，延交于点，
则，，，，
，
即，
又，
，
，
，
，，
，
，
作于，
∴，
，
∴．
故答案为：．
16．1
【分析】延长CD交AB于点F，证明，根据全等三角形的性质得到BF=BC=3，CD=DF，进而得到AF=AB-BF=2，再根据三角形中位线定理即可得到DE的长．
【详解】如图，延长CD交AB于点F，
∵CD⊥BD，
∴∠BDC=∠BDF=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠FBD
又∵BD=BD，
∴
∴BF=BC=3，CD=DF，
∴AF=AB-BF=5-3=2，
又∵E为AC中点，D为FC的中点，
∴DE为的中位线，
∴DE=AF=，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题关键．
17．
【分析】本题考查勾股定理，平行四边形的性质．根据题意先用勾股定理求，再用平行四边形对边相等的性质即可．
【详解】解：
,
四边形是平行四边形
．
故答案为：．
18．(1)是
(2)
【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）根据三角形中位线定理进行求解即可．
【详解】（1）解：由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：是；
（2）解：由（1）得，
∴，
∵D，E分别是线段的中点，
∴是中位线，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）延长至，使得，连接，证明，得，，，进而证明为等腰直角三角形，即可得到答案；
（2）延长至，使得，连接，，交于，延长交 于，首先证明，进而可得，再证明，易得，，进而证明，可知，即可求得答案；
（3）结合（2）证明为等腰直角三角形，设，则，在中，利用勾股定理建立关于的方程并求解，可得，再在中，由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图3，延长至，使得，连接，

∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴；
（2）如图4，延长至，使得，连接，，交于，延长交 于，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
由（1）可知，是等腰直角三角形，，
∴，
由（1）知，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图4，由（2）可知，，，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，可得，
即，
解得，
∴，
在中，由勾股定理，可得．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题关键是构造全等三角形和熟练掌握相关性质定理．
20．（1）；（2）①见解析；②见解析；③见解析
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）答案不唯一，根据勾股定理计算画出即可．
【详解】（1）∵长方形的长为3，宽为2，
∴对角线的长为，
故答案为：；
（2）只要画图正确可（不唯一）
①三条线段AB、CD、EF如图1所示：
②三角形ABC如图2所示：
③平行四边形ABCD如图3 所示：
．
【点睛】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21．见解析
【分析】先取的三边的中点D、E、F，连接、、，即可得出答案．
【详解】解：如图，方法为：取的三边的中点D、E、F，连接、、，沿、、剪开，即可得出四个全等的三角形，
理由如下：
∵D，E，F分别为，，的中点，
∴，，，
∴，
∴，
同理可得：，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和三角形的中位线，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，通过此题培养了学生的思维能力和动手操作能力．
22．（1）；（2）的最小值是；（3）存在最短的运输路线，最短运输路线长
【分析】本题考查线段和差的最值问题，涉及对称的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点；
（1）连接，得到，当三点共线时，最小，在中利用勾股定理求解即可；
（2）如图，作点关于的对称点，交延长线于，在线段上取一点，使，连接，，，先证明四边形是平行四边形，得到，根据点关于的对称点，得到， ，则，当、、三点共线时，最小，中利用勾股定理求解即可；
（3）过作，，连接，得到四边形是平行四边形，，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、，则，，得到，当、、、四点共线时，最小，中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）如图，连接，
∵等腰中，，，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，
∵是的中点，
∴，
中，，
∴的最小值为，
故答案为：；
（2）如图，作点关于的对称点，交延长线于，在线段上取一点，使，连接，，，
∵在平行四边形中，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，，，
∴，
∵点关于的对称点，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴当、、三点共线时，最小，
中，，，则，
∴，，
中，，，
∴，
∴的最小值是；
（3）存在最短的运输路线；
过作，，连接，如图
∴四边形是平行四边形，
∴，
如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、，则，，
∴，
∴当、、、四点共线时，最小，
过作于，于，交于，过作于，于，则四边形、都是矩形，
∴，，，，
∵小岛与的距离为，与的距离为，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即在上，
∵，点关于的对称点，
∴，，，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
中，，，
∴，，
∴，
∵中，，，
∴，
∴最小值为，
即最短运输路线长为.
23．见解析
【分析】取的中点连接，由SAS判定得到再利用三角形的中位线定理得到即可得到结论．
【详解】证明：取的中点连接，如图所示：
点分别是的中点，
在和中，
，
（SAS），
是的中位线，
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，构造三角形全等是解此题的关键．
24．(1)
(2)当A、C、E三点共线时，的值最小，最小值是5
【分析】（1）根据线段的和差，可得的长，根据勾股定理，可得答案；
（2）根据两点之间线段最短，可得线段的最小值为的长，根据勾股定理，可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴都是直角三角形，
∵，，
∴，
在中，
∴，
，
∴；
（2）解：当A、C、E三点共线时，的值最小，最小值为的长，
过A作交的延长线于F，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是5．
【点睛】本题考查轴对称——最短路线问题和勾股定理，解题的关键是掌握轴对称——最短路线问题和勾股定理．
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