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21.3特殊的平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知：是等边三角形，，点、分别是、边上的三等分点，，．如图所示，矩形的边经过点、，将矩形沿着边、折叠，折痕分别为、，，，则的最小值为（ ）
A．17 B．24 C．25 D．26
2．如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（ ）
A． B． C． D．2
3．小明用四根长度相同的木条制作了如图1所示的能够活动的菱形学具，并测得，对角线，接着把活动学具变为图2所示的正方形，则图2中的对角线的长为（ ）

A． B． C． D．
4．如图，矩形中，点是边上的一点，将矩形沿直线翻折，点落在 边上的点处．若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形中，E是边上一点，F是延长线上一点，，连接DE，DF，EF，M为中点，连接DM，CM．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，以其三边为边向外作正方形，点是 边上的一个动点，连结并延长交于点， 连结．当 时 ，的长为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法中，正确的是（ ）
A．顺次连接平行四边形各边中点所得到的四边形是矩形
B．正方形的对角线互相垂直平分且相等
C．矩形是轴对称图形且有四条对称轴
D．菱形的对角线相等
8．如图，先画一个边长为1的正方形，以其对角线为边画第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边画第三个正方形，，如此反复下去，…，那么第11个正方形的对角线长为（ ）
A． B． C． D．
9．萎形不一定具备的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
10．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点A落在点E处，交于点F且，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
11．如图，在中，，点是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ）
A． B．18 C． D．12
12．已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点，若．下列结论：①≌；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
13．如图，在中，，通过尺规作图得到的直线分别交于点，连接，若，则 ___________ ， ___________ ．
14．如图，在中，，是的中点，若，则的长为______．
15．如图所示，在矩形中，是上任一点，连接，是的中点，若的面积为，则矩形的面积为__________．
16．菱形ABCD的对角线BD=12，AC=10，则该菱形的面积为_________
17．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=12，如果∠AOD=60°，则DC=__．
三、解答题
18．如图，将长方形纸片进行折叠，使折痕的两个端点P、F分别在边上，顶点B落在边的E点处．已知．
(1)试求出的长度；
(2)请求的面积．
19．如图1，四边形ABCD是正方形，E是BC垂直平分线上的点，点E关于直线BD的对称点是，直线BE与直线交于点F．
(1)若点E是边BC的中点，连结AF．则∠FAB＝______．
(2)小聪认为：只要点E不在正方形的中心，则直线AF与AB所夹锐角度数不变，小敏尝试改变点E的位置，如图2，她将点E选在正方形内，且△EAD为等边三角形，请你帮助小敏求出直线AF与AB所夹锐角∠FAB的度数，以验证小聪观点的正确性．
(3)为继续验证小聪的观点，小敏尝试进一步通过改变点E的位置，探究计算出相应角度．以下是小敏提出的两种验证途径：
A．将点E选在边AD的中点处．
B．将点E选在正方形外，且使∠EBC＝45°的位置．
请你选择其中一种途径，画出相应图形，并求直线AF与AB所夹锐角的度数．我选择途径______（填“A”或“B”）来进行验证．
20．（1）问题提出：如图1，已知线段，试在线段外确定一点P，使得，画出满足条件的点P的位置．（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）问题探究：如图2，在矩形中，，且在矩形内部存在一动点P，使得，连接，试求的最小值．
（3）问题解决：如图3，在湿地公园边有一个边长为米的正方形空地，相关部门准备在正方形内靠近海边一侧选一点E作为乐启观光游玩中心，且满足，在中建立一广场雕塑I，使得I到三边的距离相等，为了让人们在欣赏雕塑I后能回到海边或者直接离开广场回家，规划在线段中点M处到点A处铺设一条大理石通道，为了快捷环保和节约成本，是否可以铺成一条满足上述条件的最短的通道，若可以，求出满足要求的通道的最小值，若不可以，请说明理由．
21．如图，平行四边形中，平分交于点E．
(1)用尺规完成基本作图：作的角平分线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形，请完成下面的证明过程．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴①_________，
∴．
∵平分，
∴②_________，
∴，
∴．
同理可证，
∴③_________．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵④_________，
∴四边形是菱形．
22．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，．
(1)如图1，点为线段上一点，若，求点的坐标；
(2)如图2，点在线段上，是直线上的两个动点且，是轴上任意一点，连接，求的最小值；
(3)在（2）的条件下，当取最小值时，为直线上一动点，是平面内任意一点，当四点构成的四边形是以为边的菱形时，请直接写出点的坐标．
23．如图，矩形的对角线相交于点O，点E、F分别在上，，连接，求证：．
24．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上，
(1)在图①中，作以AB为边的正方形ABCD，点C、D在小正方形的顶点上；
(2)在图②中，作以AB为一边的平行四边形ABEF，点E、F在小正方形的顶点上，且满足平行四边形ABEF的面积为5，则AE=___________
《21.3特殊的平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C D A B C D C
题号 11 12
答案 A C
1．D
【分析】本题主要考查了矩形和翻折，等边三角形的性质，轴对称的性质及勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并构造图形．
根据题意证明是等边三角形，得出，为定值，截去部分的矩形得出新矩形，作点关于点的对称点，连接，交于点，求出相关线段的长度，利用勾股定理求出，再利用翻折的性质即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，为定值，截去部分的矩形，可得如下图形，
此时，，
作点关于点的对称点，连接，交于点，
此时，值最小，为，
∴，
由勾股定理得，
由翻折的性质得，，
∴
∴的最小值为26．
故选：D．
2．A
【分析】延长交于点,作,垂足为，首先证明垂直平分线段是直角三角形，求出的长，在中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，延长交于点,作,垂足为，
在中，,
，
为的中点，
,
，
,解得，
由翻折的性质可知,
,，
，
，
，
，
,
,
,
为直角三角形，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识，能灵活运用面积法求高是解决此题的关键．
3．B
【分析】在图1中，可证得是等边三角形，得出，在图2中，由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：图1中，∵四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在图2中，∵四边形是正方形，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质．
4．C
【分析】先根据折叠的性质得到，，利用勾股定理求出的长，进而求出，设，则，在中，由勾股定理得；，则，据此求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可知，，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得；，
∴，
解得，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，求出的长是解题的关键．
5．D
【分析】在上截取，连接，运用正方形的性质证明△≌△，运用全等三角形的性质证明是等腰三角形，再用等腰三角形性质求，证明是的中位线，则得到，最后由三角形外角性质得到，即可得到答案．
【详解】解：在上截取，连接，
∵正方形，
∴，，
在△和△中
,
∴△≌△，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵点是的中点，，
∴是△的中位线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，综合性较强，能够灵活运用各性质，作出合适的辅助线构造出全等三角形是解决问题的关键．
6．A
【分析】此题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
过点作，交的延长线于，过点作，交的延长线于，证出，再利用全等三角形的性质证出，即可通过勾股定理求解．
【详解】解：过点作，交的延长线于，过点作，交的延长线于，如图所示：
∵四边形，，均为正方形，
∴，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，,
∴，,
∴
∴在和中，
，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故选：A．
7．B
【分析】根据平行四边形、矩形、正方形的判定与性质，以及中点四边形进行分析判断．
【详解】解：A． 顺次连接平行四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形，原说法错误，不符合题意；
B．正方形的对角线互相垂直平分且相等，原说法正确，符合题意；
C．矩形是轴对称图形且有2条对称轴，原说法错误，不符合题意；
D．菱形的对角线互相垂直，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中点四边形，平行四边形的判定与性质，矩形、菱形以及的性质等知识点，掌握以上知识，并能熟练运用是解题的关键．
8．C
【分析】第1个正方形的边长是1，对角线长为；第2个正方形的边长为，对角线长为，第3个正方形的边长为2，对角线长为；得出规律，即可得出结果．
【详解】解：由题意得，第1个正方形的边长是1，对角线长为；
第2个正方形的边长为，对角线长为，
第3个正方形的边长为2，对角线长为；
∴第n个正方形的对角线长为，
∴第11个正方形的对角线长为
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理；求出第一个、第二个、第三个正方形的对角线长，得出规律是解决问题的关键．
9．D
【分析】本题考查菱形的性质，菱形两组对边平行，四条边相等，两组对角相等，对角线互相垂直平分，以此可以求解．
【详解】解：A、菱形的对边平行且四边相等，此选项说法正确，不符合题意；
B、菱形的两组对角相等，此选项说法正确，不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直平分，此选项说法正确，不符合题意；
D、菱形的对角线不相等，此选项说法错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质，熟悉菱形的性质是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质，翻转变换一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．根据矩形的性质得到，得到，根据翻转变换的性质得到，，可得，即可求解．
【详解】解：在长方形中，，
，，
由折叠的性质可知，，，
，
∴，
∵，
，
故选：C．
11．A
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵中，点M是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
12．C
【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；②先说明，结合是等腰直角三角形，即，然后根据求解即可判定；③先说明是等腰直角三角形，再运用勾股定理求，然后用勾股定理求得即可；④过B作，交的延长线于F，先说明由是等腰直角三角形可求得，进而求得，用勾股定理可求 ，连接，求出的面积，然后减去的面积即可； 根据④求得的长，再结合正方形的性质即可判定．
【详解】解：①∵
∴
又∵，
∵在和中，
∴；故①正确；
②∵，
∴，
∵
∴，
∴，即；
∵过点A作的垂线交于点P．若
∴是等腰直角三角形，即
∴故②正确；
③∵， ，
∴， ，
又∵②中，
∴ ，故③正确；
④如图：过B作，交的延长线于F，
又∵③中，
∴
∴
又∵，
∴ ，
∴
∴
如图，连接，
∵，
∴ ，
∴
，故④正确．
⑤∵正方形，
∴，故⑤错误；
综上可知其中正确结论的序号是①②③④共4个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识是解答本题的关键．
13．
【分析】如图，连接，根据作图可知为的垂直平分线，从而得到，然后利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：如图，连接，由尺规作图可知为的垂直平分线，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
为斜边上的中线，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的作法与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
14．4
【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ，进而可得答案．
【详解】解：∵，是的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．24
【分析】根据矩形的性质和三角形中线的性质，求解即可．
【详解】解：连接，
是的中线，的面积为，
，
又∵矩形与同底等高，
矩形的面积．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线三角形分成面积相等的两个三角形；求三角形或矩形面积充分运用底，高相等的关系解答是解题的关键．
16．60
【分析】根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵菱形ABCD的对角线BD＝12，AC＝10，
∴该菱形的面积为：AC·BD＝×10×12＝60，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半．
17．
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA＝OD，然后判断出△AOD是等边三角形，再根据勾股定理解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD＝AC＝×12＝6，∠ADC=90°，
∵∠AOD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OA＝6，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质和勾股定理以及等边三角形的判定，解题关键是根据矩形的性质得出△AOD是等边三角形．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，熟记翻折前后两个图形能够重合得到相等的线段和角是解题的关键．
（1）过P作于H，根据勾股定理求出，进而可以解决问题；
（2）设，则，根据勾股定理求出x，得，，然后利用三角形的面积公式即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，过P作于H，
在中，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的面积．
19．(1)45°
(2)
(3)A：直线AF与AB所夹锐角为45°；B：∠FAB＝45°
【分析】（1）先判断出点是AD的中点，利用三角形的中位线即可判断出DF＝AD即可得出结论；
（2）先判断出∠AED＝75°，再判断出△ABF≌△EBF，即可得出结论；
（3）途径A：先判断出△ADE≌△BFE，进而判断出△ABF是等腰直角三角形，即可得出结论；
途径B：先判断出ED⊥BD，进而得出点与点F重合，再判断出△ADF≌△CDE即可得出结论．
【详解】（1）如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD＝BC，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CD，
∵点是点E关于正方形的对角线BD对称，
∴，
∴，
∵，
∴DF＝CD＝AD，
，
∴∠FAD＝45°．
故答案为：45°．
（2）如图所示：
∵△EAD是等边三角形，
∴∠EDA＝∠EAD＝60°，DE＝EA＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADB＝45°，∠DAB＝90°，
∴AE＝AB，，
∴，
∵点是点E关于DB的对称点，
∴，
∴∠FDE＝30°，
∴，
∴∠ADF＝∠EDF．
∵DF＝DF，
∴，
∴FA＝FE，
∴∠FAE＝∠FEA＝75°，
∴．
（3）选择途径A：
将点E选在AD边的中点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，AB＝AD，∠ADC＝∠DAB＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，
∵点是点E关于DB的对称点，
∴，
∴，
∴在DC上，
∴F在直线CD上，
∴，
∴∠FDE＝∠BAE，∠DFE＝∠ABE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴．
∴AB＝DF，
∴AD＝DF，
∵，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠FAD＝45°，
∴∠FAB＝135°，
∴直线AF与AB所夹锐角为45°．
选择途径B：
将点E选在正方形外，且使∠EBC＝45°的位置，连结CE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠DBA＝∠DBC＝45°，
∵E在BC的垂直平分线上，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC＝45°，
∴∠ECB＝45°，，
∴EB⊥DB，
∵点是点E关于BD的对称点，
∴，
∴，B，E三点共线，
∴点与点F重合，
∴FB＝BE，，
∴∠ABF＝∠CBE，
∴，
∴∠FAB＝∠ECB＝45°．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，对称的性质，线段垂直平分线定理，解（1）的关键是判断出DF＝AD，解（2）的关键是判断出△ADE≌△BFE．
20．（1）见解析；（2）8；（3）可以，最小值为5
【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角解题即可；
（2）以为直径作，连接，交于点P，根据两点间线段最短，可知这时最小，解勾股定理即可求出；在的下方作等腰直角三角形，以点O为圆心，为半径作，在优弧上取一点H，连接，所以点I在弧上运动；
（3）连接，可得I是的内心，所以，点M在以点F为圆心，50为半径的上运动，利用（）中的结论解题即可
【详解】（1）如图1，
以为直径作，在圆上任取不同于A，B的点P，
则；
（2）如图2，
以为直径作，连接，交于点P，
则最小，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为：8；
（3）如图3，
连接，
∵I到三边的距离相等，
∴I是的内心，
∴平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在的下方作等腰直角三角形，以点O为圆心，为半径作，在优弧上取一点H，连接，
∴，，
∴，
∴点I在弧上运动，
取的中点F，连接，
∵点M是的中点，
∴，
∴点M在以点F为圆心，50为半径的上运动，
连接，交于点M′，作交的延长线于G，当点M在处时，最小，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴的最小值为：．
【点睛】本题考查圆的内心，勾股定理，角平分线的定义，直径所对圆周角是直角，综合性强，难度大，掌握两点之间线段最短是解题的关键点．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法解答即可；
（2）根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，进而可得，同理可得，可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，进一步即可证得结论．
【详解】（1）如图，射线即为的角平分线；
（2）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
同理可证，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，属于常考题型，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．
22．(1)
(2)
(3)点的坐标为或或或．
【分析】（1）作于，由求得，从而得出，进一步得出结果；
（2）作点关于的对称点，将点沿的方向移动单位至，作于，交于，作于，交于，作于，则最小，最小为：，利用直角三角形的性质和勾股定理，进一步得出结果；
（3）由（2）得：，，从而得出，，根据勾股定理求得，进而得出坐标，进而得出点坐标，同样另外两点．
【详解】（1）解：如图1，
作于，
由得，
，
，
，
；
（2）解：如图2，
作点关于的对称点，将点沿的方向移动单位至，作于，交于，作于，交于，作于，
则最小，最小为：，
，，
，
，，，
，
，，，
∴，
，
，
的最小值为：；
（3）解：如图3，
，，
∴，
由勾股定理得，
由（2）得：，，
，
，
、、、四点构成的四边形是以为边的菱形，
，
，，
，，，，
，，
，，，，
∴点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．
23．见解析
【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质可得，可证明，即可求证．
【详解】证明：在矩形中，，，，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴．
24．(1)见解析
(2)作图见解析，
【分析】（1）根据题意直接作出正方形即可；
（2）作出平行四边形，利用割补法验证面积为5，然后由勾股定理即可得出结果．
【详解】（1）解：如图所示，四边形ABCD即为所求；
AB=BC=CD=AD=，
∴四边形ABCD为正方形；
（2）如图所示，平行四边形ABEF即为所求，
面积为：，
符合题意，
连接AE，AE=，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查勾股定理与网格，画正方形及平行四边形，理解题意，综合运用这些基础知识点是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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