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22.1函数的概念
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为和7时，输出y的值相等，则b的值是（ ）
A． B． C．4 D．2
2．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与半径之比）为π．则这个问题的变量是（ ）
A．π B．r C．C D．r，C
3．一本笔记本5元，买本共付元，在这个过程中，变量是（ ）
A．5和 B．5和 C．和 D．5，和
4．函数的自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
5．函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．关于x的新函数定义如下：
（1）当时，：
（2）当（p是正整数，q是整数，，且p，q不含除1以外的公因数）时，；
（3）当x为无理数时，．
例：当时，；当时，．
以下结论：①当时，；
②若a、b是互不相等且不为0的有理数，当时，函数值记为，当时，函数值记为，当时，函数值记为，则一定有：
③若，则对应的自变量x有且只有4种不同的取值；
④若，则满足的自变量x的取值共有12个．
正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．五一假期，小明去游乐场坐了摩天轮，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的关系如图所示，已知摩天轮匀速转动，则下列说法正确的是（ ）
A．自变量是小明离地面的高度h，因变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间t
B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面9米
C．摩天轮转一周需要9分钟
D．当时，小明处于上升状态
8．函数的自变量的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
9．函数y＝的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠0 B．x≠1 C．x≠±1 D．全体实数
10．油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，剩余油量（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　）
A． B． C． D．
11．韩师傅到银州区某加油站加油，如图是所用加油机上的数据显示屏，其中自变量是（ ）
A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和油量
12．矩形的面积是200，它的长y和宽x之间的关系表达式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a的_________．
14．在函数y＝中，自变量x的取值范围是_____．
15．在函数中，自变量x的取值范围是__________．
16．函数，中自变量的取值范围是______．
17．函数的定义域是________．
三、解答题
18．求下列函数当时的函数值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．我市某镇组织若干辆汽车装运完A、B两种水果共100吨到外地销售．根据下表中的信息，解答以下问题．
水果品种 A B
每辆汽车运载量（吨） 6 4
每吨水果获利（元） 2500 3000
(1)设共转运A种水果x吨，获利y元，求y与x之间的函数表达式；
(2)受客观因素限制，每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满．如果20辆车恰好装完所有水果，请计算所获总利润为多少元？
20．某种西瓜子每千克18元，小明购买西瓜子的总价y（元）与购买的数量x（千克）之间的关系满足下面表格．
(1)补全表格．
数量x（千克） 0.5 1 3 …
总价y（元） 36
(2)试写出y与x之间的关系式：_________．
(3)小明购买这种瓜子5.7千克，花费了多少元？
21．在学习函数时，我们需要根据函数图象研究函数性质，某班数学课中开展对函数的研究，列表如下．
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 1 0 1 4 9 …
(1)填写上表，并根据表格数据描出对应的点，画出函数的图象．
(2)根据函数图象，当时，直接写出y的取值范围______．
22．小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回到家，他描绘了离家的距离与时间的变化情况，如下图所示．
图象表示了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
23．如图，已知直线与交于点平分，三角形为等腰三角形，且．点是线段上的一点（不与点重合），点在射线上，满足，连接．
(1)求证：；
(2)设的面积为，求与的函数解析式．
24．如图，已知，等边三角形的边长是，是边上的一个动点（与点、不重合），连接，作的垂直平分线分别与边、交于点、．
(1)和的周长之和为______；
(2)设为，的周长为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
(3)当是直角三角形时，求的长．
《22.1函数的概念》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C B B A D A D B
题号 11 12
答案 B D
1．D
【分析】本题考查了程序框图，一次函数的函数值．理解程序框图的运算规则是解题的关键．
当时，；当时，；由题意得，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，当时，；
当时，．
由题意得，，
解得．
故选：D．
2．D
【分析】根据函数的定义：在一个变化的过程中，函数中的每个变量x的值，变量y按照一定的法则有一个确定的值与之对应，在这个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，来解答．
【详解】根据函数的定义：函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，可知自变量是圆的半径r，因变量是圆的周长C．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的定义，熟知函数的定义是解题的关键．
3．C
【分析】根据变量和常量的定义进行判断即可．
【详解】解：一本笔记本5元，买本共付元，在这个过程中，变量是买的本数本和所付的金额元，
故选：C．
【点睛】本题考查常量，变量，理解常量，变量的定义是正确解答的关键．
4．B
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出的范围．
【详解】解：由题意得：且，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了求自变量的取值范围、二次根式、分式有意义的条件，熟练掌握被开方数大于或等于0，分母不等于0是解题关键．
5．B
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，根据此条件即可求出x的范围．
【详解】解：由题意得，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件：分母不为0，是解题关键．
6．A
【分析】①根据函数的定义求值即可；②举一个反例说明即可；③根据定义，由y的值求出相应的x值即可；④根据y的范围，设，求出，再由p的可能取值，确定q的所有可能取值即可．
【详解】解：①∵是无理数，
∴当时，；故①符合题意；
②∵a、b是互不相等且不为0的有理数，
设，则，
设，则，
∴，则，故②不符合题意；
③当时，或或……，故③不符合题意；
④∵，
∴x一定是有理数，且，
设，则，
∴，
∵，
∴p的可能取值为1，2，3，4，5，
当时，q可以取2022，2023，共2个，
当时，q可以取4045，共1个，
当时，q可以取6067，6068，共2个，
当时，q可以取8089，8091，共2个，
当时，q可以取10111，10112，10113，10114，共4个，
∴的自变量x的取值共有11个，故④不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是新定义的含义，函数的特点，理解新函数的特征是解本题的关键．
7．D
【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确认识图象，理解自变量和应变量是解题的关键．
根据函数图象，结合题意，逐一判断各选项，可得到结果．
【详解】解： A．根据图形，可得到自变量为小明坐上摩天轮后的旋转时间，因变量是小明离地面的高度，故原说法错误，此选项不符合题意；
B．摩天轮最低点距地面3米，最高点距地面45米，故原说法错误，此选项不符合题意；
C．摩天轮转一周需要6分钟，故原说法错误，此选项不符合题意；
D．当时，小明离地面的高度越来越大，所以处于上升状态，故说法正确，此选项符合题意；
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件；
根据二次根式有意义，被开方数非负，分式有意义分母不为零得出不等式组，求解即可．
【详解】解：由得：且，
解得：且，
故选：A．
9．D
【分析】由题意直接依据分母不等于0进行分析计算即可.
【详解】解：由题意可得，
所以自变量x的取值范围是全体实数.
故选：D.
【点睛】本题考查求函数自变量x的取值范围以及分式有意义的条件，注意掌握分式有意义的条件即分母不等于0是解题的关键.
10．B
【分析】利用油箱中存油量减去流出油量等于剩余油量，根据等量关系列出函数关系式即可．
【详解】解：由题意得：流出油量是，
则剩余油量：，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了列函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
11．B
【分析】本题考查了自变量，因变量，常量的定义，熟练掌握以上定义是解题的关键．根据定义判断即可．
【详解】金额随油量的变化而变化，所以油量是自变量，金额是因变量．单价是不变的，所以单价是常量．
故选：B．
12．D
【分析】根据等量关系“长=矩形的面积 宽”，把相关数值代入即可求解．
【详解】解；由题意得
．
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的面积的灵活应用，关键是找到所求量的等量关系．
13．函数值
【解析】略
14．1≤x≤2
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，2﹣x≥0，x﹣1≥0，
解得x≤2，x≥1，
∴1≤x≤2．
故答案为：1≤x≤2．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
15．x≠-2
【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，3x+6≠0，
解得x≠-2．
故答案为：x≠-2．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．
16．
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟知分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【详解】解：由题意可得，，
解得：，
故答案为：．
17．
【分析】根据被开方数是非负数，列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得
，
解得．
故答案为．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围，一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了求函数值，熟练掌握求函数值的方法是解题的关键：当已知函数解析式及自变量的值，欲求函数值时，实质就是求代数式的值．
（1）将代入函数解析式求值即可；
（2）将代入函数解析式求值即可；
（3）将代入函数解析式求值即可；
（4）将代入函数解析式求值即可．
【详解】（1）解：当时，
；
（2）解：当时，
；
（3）解：当时，
；
（4）解：当时，
．
19．(1)
(2)270000
【分析】设共转运A种水果x吨，则共转运B种水果吨，根据获利等于A种水果所获利润加B种水果所获利润，列出函数关系式，即可求解；
（2）设转运A种水果a辆，则转运B种水果辆，根据题意，列出方程，可得转运A种水果10辆，则转运B种水果10辆，从而得到共转运A种水果60吨，则共转运B种水果40吨，即可求解．
【详解】（1）解：设共转运A种水果x吨，则共转运B种水果吨，根据题意得：
，
即y与x之间的函数表达式为；
（2）解：设转运A种水果a辆，则转运B种水果辆，根据题意得：
，
解得：，
即转运A种水果10辆，则转运B种水果10辆，
∴共转运A种水果60吨，则共转运B种水果40吨，
∴所获总利润为元．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
(3)元
【分析】（1）根据总价=数量×单价解答；
（2）根据总价=数量×单价解答；
（3）把代入（2）中的关系式求解即可．
【详解】（1）当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
补全表格如下．
数量x（千克） 0.5 1 2 3 …
总价y（元） 9 18 36 54 …
（2）y与x之间的关系式：．
（3）当时，元．
【点睛】本题考查了利用表格和关系式表示变量之间的关系，正确理解题意、读懂表格信息是关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了描点法画函数图象、求函数解析式，正确作出函数图象是解题的关键．
（1）由表格可知，函数经过，得到，再代入和求出对应的的值，即可填写表格；根据表格数据描出对应的点，用光滑的曲线连接各点即可画出函数图象；
（2）当时，观察函数图象中y的最小值和最大值，即可解答．
【详解】（1）解：由表格可知，函数经过，
，
解得：，
函数解析式为，
当时，；
当时，；
则填表如下：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点，画出函数图象如下：
（2）解：由图象可知，当时，y的最小值为0，最大值为9，
y的取值范围为．
故答案为：．
22．图象表示了离家的距离与时间这两个变量之间的关系，其中时间是自变量，离家的距离是因变量．
【分析】此题考查了从函数图象获取信息．从函数图象即可得到图象表示了离家的距离与时间这两个变量之间的关系，其中时间是自变量，离家的距离是因变量．
【详解】解：图象表示了离家的距离与时间这两个变量之间的关系，其中时间是自变量，离家的距离是因变量．
23．(1)证明过程见详解
(2)
【分析】（1）如图所示，过点作于点，作于点，则，由角平分线的性质定理可得，结合题意，运用“”证明，得到，由此即可求解；
（2）如图所示，过点作于点，由等腰三角形的性质“三线合一”可得，根据含角的直角三角形的性质可得，同理可得，则有，，，结合（1）中的证明可得，，由，即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，过点作于点，作于点，则，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，过点作于点，
∵，平分，
∴，
∵，
∴是中线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
同理，在中，，
∴，，
∴，
∴，，
由（1）可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点是线段上的一点（不与点重合），
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，含角的直角三角形的性质，函数关系的确定，掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，含角的直角三角形的性质，数形结合分析思想是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由等边三角形的性质得，再由线段垂直平分线的性质得，，然后得出的周长＋的周长为，即可求解；
（2）求出的周长，得出，再由，且，得出定义域；
（3）两种情况，①时，由含角的直角三角形的性质得，则，再由，得，求解即可；
②时，由含角的直角三角形的性质得，则，再由，得，求解即可．
【详解】（1）解：∵等边三角形的边长是，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，，
∴的周长＋的周长
．
故答案为：．
（2）∵是的垂直平分线，
∴，，
∴的周长，
设为，的周长为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∴关于的函数解析式是，它的定义域是．
（3）∵等边三角形的边长是，
∴，
设为，分两种情况：
①当时，如图1所示：
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即；
②当时，如图2所示：
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即．
综上所述，当是直角三角形时，的长为或．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形两锐角互余以及三角形周长的计算等知识，运用了分类讨论和方程的思想．熟练掌握等边三角形的性质和垂直平分线的性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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