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23.3一次函数与方程（组）、不等式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②，；③当时，；④不等式解集是．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论错误的是（　　）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数的图象与x轴的交点坐标是(2，0)
C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象
D．若两点A (1，y1)，B (3，y2)在该函数图象上，则y1＜y2
3．关于函数有下列结论，其中错误的是（ ）
A．图象经过点（1，1）
B．若点A（0，），B（2，）在图象上，则
C．图象向下平移2个单位长度得解析式为
D．当时，
4．如图，一次函数与轴，轴分别交于，两点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．一次函数与的图象如图所示，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，一次函数和 ，无论 取何值，始终有 ，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知直线与相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，函数和的图象相交于点，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直线与交于点，直线与x轴的交点坐标为，则下列四个结论：①，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．一次函数是常数)与是常数) 的图象交于点，下列结论正确的序号是（ ）
①关于x的方程的解为；②；③当时，；④若，则
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
11．如图，直线和相交于点，则不等式关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．一次函数与的图象如图所示，下列说法：
①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知一次函数和的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是________．
14．一次函数与图像之间的位置关系是________，这说明方程组解的情况是__________．
15．函数（）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为__________．
16．要研究使x，y满足的范围问题时，我们可以借助观察的图象解决．如图，阴影部分为满足的区域，若x，y满足条件，令，则M的取值范围为 _____．
17．已知一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为______．
三、解答题
18．在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象是由一次函数 向上平移4个单位长度得到的．
(1)求该函数的解析式；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值都小于函数 的值，直接写出n的取值范围．
19．若直线与直线于相交于第三象限内一点，求m得取值范围．
20．已知一次函数y=-2x+2，请在所给直角坐标系中画出此函数的图像，根据图像求出当-2≤y≤2时x的取值范围．
21．【活动回顾】：
七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线；结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．

示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线．
（1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）；
（2）观察图象，上述两条直线的交点坐标为________，由此得出这个二元一次方程组的解是________；
【拓展延伸】：
（3）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值．
（4）在同一平面直角坐标系中，一次函数图象和一次函数的图象，如图3所示．请根据图象，判断方程组的解的情况，并说明理由．
22．已知直线与直线相交于点，直线经过点．
(1)求m的值；
(2)求直线的解析式；
(3)求两条直线与y轴围成的三角形的面积．
23．（1）知识再现：
如图1，在中，，顶点C在直线l上．过点A、B分别作于点D，于点E，求证：．
（2）活动探究：
我们知道，在平面直角坐标系中，点的位置与n的取值有关．小明同学想研究点N的位置是否均在某一个函数图象上，于是联想到课本中的方法：①研究函数图象性质的方法，即列表、描点、连线、验证；②类比解方程组的消元法，即设，，用消元法可求得y与x的关系，即可以知道点N在什么函数的图象上．
请你任选上述一种方法判断：对于m取任意一实数，相应的点是否在某一个函数图象上？请说明你的判断理由．
（3）拓展应用：
如图2，在直角坐标系中，点轴于点A,轴于点C,P是线段上的一个动点，第一象限内的点Q是直线与直线的交点，点R在平面内．若以A、P、Q、R，为顶点的四边形是以为对角线的正方形，求a的值．
24．【初步探究】（）如图，在四边形中，，点是边上一点，， ，连接，判断的形状，并说明理由．
【解决问题】（）如图，在长方形中（足够长），点是边上一定点，在边上分别作出点，使得点是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，．要求：仅用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．
【拓展应用】（）如图，在直角坐标系中，已知、，点在第一象限内，若是等腰直角三角形，求点坐标
（）如图，直角坐标系中，已知点，是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，连接，则的最小值是
《23.3一次函数与方程（组）、不等式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C B D D A D B
题号 11 12
答案 B A
1．B
【分析】此题主要考查了一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力，一次函数的图象有四种情况，由的符号决定．
仔细观察图象，①的正负看函数图象从左向右成何趋势即可；②看与轴的交点坐标；③看两函数图象的交点横坐标；④以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大．
【详解】解：①∵的图象从左向右呈下降趋势，
∴，故①正确；
②∵与轴的交点在负半轴上，
∴，另一条直线与轴交于正半轴，所以，故②错误；
③两函数图象的交点横坐标为3，
∴当时，，故③正确；
④当时，，故④错误；
故正确的判断是①③．
故选：B．
2．D
【分析】根据一次函数的性质，以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断．
【详解】解：A、函数经过一、二、四象限，不经过第三象限，故A选项正确．
B、当y=0时，x=2，则函数图象与x轴交点坐标是（2，0），故B选项正确；
C、函数的图象向下平移4个单位长度得y=-2x+4-4=-2x，故C选项正确；
D、一次项系数小于0，则函数值随自变量的增大而减小，
∵1＜3，
∴y1＞y2，故D选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
3．C
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特点判定A；根据一次函数的性质判定B；根据一次函数图象规律判定C；利用一次函数与x轴交点，求不等式解集，判定D．
【详解】解：A、当x=1时，y=-x+2=1，故图象经过点（1，1），故本选项正确，不合题意；
B、∵函数y=-x+2中．k=-1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵0＜2，
∴y1＞y2，故本选项正确，不合题意；
C、根据平移的规律，函数y=-x+2的图象向下平移2个单位长度得解析式为y=-x，故本选项错误，符合题意；
D、把x=2代入函数y=-x+2=0，所以当x＞2时，y＜0，故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b（k≠0）的性质：当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x增大而减小；当b＞0，图象与y轴的交点在x的上方；当b=0，图象经过原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x的下方，也考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数与不等式关系．
4．C
【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式．由一次函数的图象过点，且随的增大而减小，从而得出不等式的解集．
【详解】解：一次函数的图象与轴交于点，
当时，有．
故选：C．
5．B
【分析】此题考查了利用一次函数图象求不等式的解集，根据一次函数图象的交点求解即可，熟练掌握一次函数图象交点坐标与不等式的关系是解题的关键
【详解】解：一次函数与的图象交于点
∴的解集即为在下方的部分，
∴的解集是
故选：B
6．D
【分析】本题考查一次函数综合问题， 充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．先判断两直线平行，始终有 ，求解当过时，，再利用数形结合的方法解题即可．
【详解】解：由题意可知：∵一次函数 的图象过定点 ，
一次函数 过定点 ，
∵无论 取何值，始终有 ，
∴两直线平行，才会始终有 ，
∴，
当过时，
∴，
解得：，
此时两条直线相交，
如图，

∴且，
当时，如图，不符合题意；

故选：D
7．D
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，主要培养学生的观察图象的能力和理解能力．掌握一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集是解题的关键．
根据图象和交点坐标得出关于x的不等式的解集是，即可得出答案．
【详解】解：与相交于点，
根据图象可知：不等式的解集是，
在数轴上表示为：故选：D．
8．A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的知识．首先将点的坐标代入正比例函数中求得的值，再结合图象得出方程的解．
【详解】解：函数经过点，
，
解得：，
由图象得：方程的解为，
故选：A．
9．D
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，正确记忆相关知识点是解题关键，根据正比例函数和一次函数的性质，结合图象判断即可，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．
【详解】解：∵经过二，四象限，
∴，
∵经过一、二、三象限，
∴，
故①正确；
，当时，，
故②正确；
结合图象可得，当时，直线的图象在的图象下方，，
故③正确；
结合图象，当时，，
，
，
，
故④正确．
故选：D．
10．B
【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数的交点问题与不等式的取值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据两个直线交点的横坐标即为的解，判断①；都同时把代入两个一次函数中，化简即可判断②，因为一次函数的交点问题与不等式的取值之间的关系，则判断③；结合一次函数的性质，的的值无法求出，即可判断④．
【详解】解：∵一次函数是常数)与是常数) 的图象交于点，
∴关于x的方程的解为
故①是正确的；
∵一次函数是常数)与是常数) 的图象交于点，
把点代入
得
∴
∴
把点代入
∴
则
∴
故②是正确的；
∵,
∴
∵
∴
∴
∴
故④是正确的；
∵一次函数的的值无法求出
∴当时，是无法确定的；
故③是错误的；
故选：B
11．B
【分析】先把点代入直线y=2x+1求出m的值，故可得出A点坐标，再根据函数图象进行解答即可．
【详解】解：∵直线y=2x+1和y=kx+3相交于点，
∴=2m+1，解得m=，
∴A(，)，
由函数图象可知，当x≥时，直线y=2x+1的图象不在直线y=kx+3的图象的下方，
∵当x≥时，kx+3≤2x+1．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
12．A
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式的关系等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
根据题意和函数图象，利用一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式的关系，即可判断各说法是否正确，从而解答本题．
【详解】解：由图象可知，对于函数来说，y随x的增大而增大，故①正确；
根据题意可得：，，则函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确；
由可得，故不等式的解集是，故③不正确；
当时，，则，故④正确；
综上，正确的有：，
故选：A．
13．
【分析】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解．
【详解】解：∵一次函数和的图象交于点，
∴关于x，y的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
14． 平行 无解
【分析】根据一次函数y=2x与y=2x+ 1的自变量系数k相等判断图像平行，由平行得两条直线没有交点判断方程组无解．
【详解】解∶∵一次函数y=2x与y=2x+ 1的自变量系数k相等，
∴一次函数与图像的位置关系是平行，
∴一次函数与的图像没有交点，
∴方程组无解，
故答案为∶平行，无解．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的综合求解，利用数形结合的思想是解题的关键．
15．
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握从图象上获得信息是解题的关键；从图象上得到函数的增减性及与轴的交点的横坐标，即可得出答案．
【详解】解：由函数图象可知：函数的图象经过，并且函数值随的增大而减小，
当时，函数值小于，即关于的不等式的解集为，
故答案为：．
16．/
【分析】根据题意确定x，y满足题设条件的区域，找到临界点A、B，即可求解．
【详解】解：由题意得，下图阴影部分（所在的区域）为x，y满足题设条件的区域，
联立，
解得：，即点，
对于，令，则，故点，
由得：，
则为直线与y轴交点的纵坐标，
如图，当直线：过点A时，此时最小，即M最大，
将点A坐标代入上式得：，解得：，
同理当直线：过点B时，此时最大，即M最小，
即，解得：，
故．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的性质和图象，涉及到不等式等知识点，弄懂题意是解题的关键，题目综合性强，难度很大．
17．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征得到b=4k，k＜0，解不等式得到答案．
【详解】由题意得，一次函数y=kx+b的图象经过（-4，0），k＜0，
∴-4k+b=0，
∴b=4k，
∴不等式可化为：2kx-4k＜0，
解得，x＞2，
故答案为：x＞2．
【点睛】本题考查的是一次函数与不等式，掌握一次函数图象上点的坐标特征、一元一次不等式的解法是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了求解一次函数的解析式、平移的知识；解题的关键是熟练掌握平移、一次函数图象的性质，从而完成求解．
（1）根据一次函数平移的性质分析，即可得到答案；
（2）根据一次函数图象的性质分析，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象向上平移4个单位长度得到，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）如图，当时，，
当过时，，
如图，当时，图象如下图，
∴当时，对于x的每一个值，函数的值都小于函数 的值， n的取值范围为．
19．
【分析】本题主要考查了两直线相交的问题，点所在象限的特点以及解不等式组和解二元一次方程组，根据题意，联立两直线解析式求出交点的坐标，再根据交点在第三象限内即列出不等式组求解即可．
【详解】解：关于x，y的方程组，
∴它的解是，
又∵直线与直线相交于第三象限内一点，
∴，
解得：．
20．作图见解析，0≤x≤2
【分析】先分别求出直线与x轴、y轴的交点坐标，然后根据两点确定一条直线即可画出函数图像；再利用数形结合思想确定当2≤y≤2时x的取值范围即可．
【详解】解：在y=-2x+2，中，当x=0时，y=2；当y=0时，-2x+2=0，解得：x=1，
∴函数图像经过（0，2）和（1，0）两点，
故作图如下：
如图可知：当-2≤y≤2时，x的取值范围为0≤x≤2．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，掌握一次函数的性质和数形结合思想是解答本题的关键．
21．（1）见解析（2）（3，2），（3）4（4）无解，见解析
【分析】（1）首先写出每个二元一次方程的两组解，x为横坐标，y为纵坐标，两点确定一条直线，画出图像即可；
（2）由图可知交点坐标，而交点横坐标即为方程组解中x的值，交点纵坐标即为方程组解中y的值；
（3）将两点的坐标代入方程，列出关于a，b的二元一次方程组，即可求出a，b的值；
（4）①将方程组的两个二元一次方程转化为两个一次函数，而这两个一次函数的k相等，所以两直线平行；②两直线没有交点，故方程组无解．
【详解】（1）对于的图像，任取两组解：，
即可根据画出的图像；
对于的图像，任取两组解：，
即可根据画出的图像，图象如图所示：

（2）根据图象可知，两直线的交点坐标为
∴二元一次方程组的解为，
故答案为：，；
（3）将点和点代入二元一次方程，
得，
解方程组，得，
∴；
（4）∵与的k值相等，
∴两直线平行，没有交点，
∴方程组的无解．
方程组无解．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标，解题关键是掌握两个一次函数求交点与二元一次方程组的关系．
22．(1)3
(2)
(3)1
【分析】本题考查一次函数的交点，待定系数法求一次函数和与坐标轴所围成图形的面积，掌握待定系数法和求与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
（1）已知x的值，代入求y的值，即可求解；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）根据题意先求出与y轴的交点坐标，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：在直线上，
，
则m的值为3；
（2），
，
直线经过点和，
，解得，
直线的解析式为；
（3）如图，与y轴交于点C，与y轴交于点D，
当时，，则，
当时，，则，
，
又，
，
则两条直线与y轴围成的三角形的面积为1．
23．（1）见解析；（2）符合点M在直线上；（3）或
【分析】（1）利用“”证明即可；
（2）方法一：画出图象，根据图象即可发现这些点在同一直线上，利用待定系数法求解即可；
方法二：设，，用消元法可求y与x的表达式；
（3）求得Q点坐标，可得点在直线上，分两种情况：通过证得三角形全等，得出关于a的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
．
在与中，
，
．
（2）解：点在的图象上．
方法一：
列表：
… 0 1 2 3.5 …
… 0 1 2.5 …
… …
描点：如图
连线：如图
通过描点观察发现这些点在同一直线上，
设一次函数的解析式为，取点和点代入，
得，解得，
所以y和x的函数关系式为，
验证：当时，，
所以符合点M在直线上．
方法二：
∵，
∴，
∴．
∴y和x的函数关系式为．
∴符合点M在直线上．
（3）解：由，得，
所以点．
由题可知以A、P、Q、R为顶点的四边形是以为对角线正方形有两种情形．
（1）情形一：
点Q在线段下方，如图，
因为四边形是正方形，所以，
过Q作直线轴于点M，交线段与点N，同理（1）得，
所以，
因为，
所以，
所以；
（2）情形二：
点Q在线段上方，如图，因为四边形是正方形，所以，
过Q作直线轴于点M，交所在直线于点N，
同理（1）得，
所以，因为，
所以，所以．
综上或．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程、求一次函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（）证明见解析；（）作图见解析；（）或或；（）．
【分析】（）证明，即可求解；
（）如图，以点为圆心，长为半径作弧交于点，以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则点即为所求；
（）分以为顶点，为腰；以为顶点，为腰；以为底；三种情况求解即可；
（）设点的坐标为，则点，由得到求的值，相当于求点到点和点的最小值，据此即可求解．
【详解】（）是等腰直角三角形．
理由如下：∵，，，
∴，
∴，，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（）如图，以点为圆心，长为半径作弧交于点，以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则点即为所求．
理由：同方法一样，可证明为等腰直角三角形；
（）如图，以为顶点，为腰，根据题意，得点的坐标为；
以为顶点，为腰，根据题意，得点的坐标为）；
以为底，连接交于点，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，，，，
∴直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，
联立得，
解得，
∴交点的坐标为，
由图易判断点关于对称的点位于第四象限，不合题意，舍去，
综上所述，点的坐标为：或或；
（）如图作于，
设点的坐标为，由（）知：，，则点，则，
的值，相当于求点到点和点的最小值，
相当于在直线上寻找一点，使得点到、到的距离和最小，
作关于直线的对称点，
而，
∵，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题为考查了三角形全等的判定和性质、勾股定理、一次函数的交点，最小值等，运用分类讨论思想是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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