资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
23.4实际问题与一次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．为加快修建速度，工程负责人将工程队分为甲、乙两组，从路的两端同时开工，两个组修建道路的长度（千米）与施工天数（天）的函数关系如图所示，则开工多少天时，两个组修建道路的长度相同（ ）
A．12 B．13 C．15 D．16
2．某种商品1月份的单价为15元/件，由于过节，2月份的单价上涨为20元/件，设购买该商品x件时，1月份需花费元，2月份需花费元，则关于x、和的以下说法中，错误的是（ ）．
A．和都与x成正比例，其中
B．x的取值范围是自然数，所以函数和的图象都不是直线
C．时，所以只要购买了该商品，一定是2月份的花费多
D．当两个月各购买该商品x件时，
3．首条贯通丝绸之路经济带的高铁线进入全线拉通试验阶段，试运行期间，一列动车匀速从西安开往西宁，一列普通列车匀速从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法：①西宁到西安两地相距1000千米，两车出发后3小时相遇；②普通列车到达终点共需12小时；③普通列车的速度是千米/小时；④动车的速度是250千米/小时．其中正确的有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．0
4．定义：若实数x，y满足，且，a为常数，则称点为“线点”．已知：在直角坐标系中，点．下列说法正确的是 （ ）
A．线点P的坐标满足或者
B．是线点
C．线点P在直线上（除外）
D．线点P在直线上（除外）
5．学过一次函数的知识后，某数学兴趣小组通过实验估计某液体的沸点，经过几次测量，得到如下数据：
时间（单位：）
液体温度（单位：）
当加热时，该液体沸腾，则其沸点温度是（ ）
A． B． C． D．
6．弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，如图所示，由此图可知不挂物体时弹簧的长度为（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，线段的垂直平分线交轴于点．则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为．下列结论：
①纸片的面积是；
②点E的坐标为；
③若直线既平分矩形的面积又平分的面积，则直线的解析式为；
④若点M是直线上的一个动点，连接EM，设，点C到的距离为n，则m与n之间的关系式为．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．周末老张和小胜相约从各自的家出发去体育馆打羽毛球，且老张家，小胜家，体育馆顺次在同一直线上，老张先从家出发4分钟后来到小胜家和小胜汇合，汇合时间忽略不计，两人以老张的速度一起走了4分钟后，小胜发现自己装备带错了需回家换装备，于是立即加速回家用了少许时间取了装备后又以加速后的速度赶往体育馆，老张仍以原速前行，结果小胜比老张提前1分钟到达体育馆．若老张与小胜两人和体育馆之间的距离（米）与小胜出发的时间（分钟）之间的函数图象如图所示．则以下说法错误的是（ ）．
A．小胜加速后的速度为250米/分钟
B．老张用了24分钟到达体育馆
C．小胜回家后用了0.6分钟取装备
D．小胜取了装备后追上老张时距离老张家3025米
10．定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“和一点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“和一点”，点，也是“和一点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“和一点”，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，已知四边形是正方形，，以为斜边在右侧作直角，使得且，连接交于点，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；…，按此规律作下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知两地相距300千米，甲骑摩托车从A地出发匀速驶向B地，当甲行驶后，乙骑自行车以的速度从B地出发匀速驶向A地，甲到达B地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙．在此过程中，甲、乙两人之间的距离与甲行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点P的纵坐标为240；③线段所在直线的解析式为；④当时，甲、乙两人之间相距60千米．其中说法正确的序号是______．
14．图①是某条公交车线路的收支差额（票价总收入减去运营成本）与乘客数量的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行了提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图①分别改画成图②和图③．你认为图②和图③两个图象中，反映乘客意见的是________．
15．平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（4，2）、点B（0，5），直线y=kx﹣2k+1恰好将△ABO平均分成面积相等的两部分，则k的值是_________．
16．如图所示，直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是OB的中点，D，E分别是直线AB和y轴上的动点，则CDE周长的最小值是____________．
17．一辆汽车在行驶的过程中，行驶的路程（千米）随着行驶时间（小时）的改变而改变，如果汽车行驶的速度是千米／小时，那么这两个变量之间的关系是 _____________ ．
三、解答题
18．学校6名教师和234名学生外出黄冈遗爱湖湿地公园春游一天，计划租车总费用不超过2300元，每辆车上至少要有1名教师跟车．现有甲、乙两种客车可供租用，甲种车每车限载45人，乙种车每车限载30人，限载量均不含司机．按天计算，租1辆甲种车和2辆乙种车，共需租金1000元；租2辆甲种车和1辆乙种车，共需租金1100元．
(1)求甲、乙两种车每天每车的租金；
(2)求最省钱的租车方案．
19．《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
（实验观察）实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表：
供水时间（小时） 0 2 4 6 8
箭尺读数（厘米） 4 16 28 40 52
(1)（探索发现）
若以供水时间为横轴，箭尺读数为纵轴，建立平面直角坐标系，描出以表格中数据为坐标的各点，试判断这些点是否在同一条直线上．如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，说明理由．
(2)（结论应用）应用上述发现的规律估算：供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？
(3)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为94厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）
20．如图1，在菱形中，P是对角线上的一个动点，，．设（），，．
图1 图2
小聪根据学习函数的经验，分别对这两种函数随点P的变化而变化的情况进行了探究，下面是小聪的探究过程，请补充完整：
(1)按照如表所示的值进行取点、画图测量．得到了，与x的几组对应值：
0 1 2 3 4 5 6 7 8
8 7 6 5 4 m 2 1 0
5 4.24 3.61 3.16 3 3.16 3.61 n 5
则表格中__________，__________．
(2)求出函数的解析式．
(3)①在图2中，画出函数，的图象．
@根据画出的函数，的图象，解决问题：若，则的长约为__________．（结果保留1位小数）
21．周末，佳佳、琪琪从学校出发，骑自行车去体育馆．两人同时从学校出发，以a米/分钟的速度匀速骑行，出发5分钟时，佳佳发现忘带球拍，以a米/分钟的速度按原路返回学校，取完球拍后（在学校取球拍的时间忽略不计），立即以另一速度追赶琪琪．佳佳追上琪琪后，两人继续以a米/分钟的速度骑行5分钟后到达体育馆，琪琪骑自行车的速度始终不变．设佳佳、琪琪两人相距的路程为s（米），行驶的时间为x（分钟），s与x之间的函数图象如图1所示，设佳佳距体育馆的路程为y（米），行驶的时间为x（分钟），y与x之间的部分函数图象如图2所示．
(1)学校与体育馆之间的距离为 米；
(2)当两人相距1000米时，求x的值；
(3)请在图2中补全y与x之间的函数图象．
22．定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“友好函数”．
例如：图是函数的图象，则它关于点的“友好函数”的图象如图所示，且它的“友好函数”的解析式为．
(1)直接写出函数关于点的“友好函数”的解析式．
(2)如图，点M是函数的图象上的一点，设点的横坐标为，是函数关于点的“友好函数”．
当时，若函数的函数值取值范围是，直接写出自变量的取值范围________；
如图，当以点、、、为顶点的矩形与函数的图象只有个公共点时，直接写出的取值范围________．
(3)当中的函数的图象与矩形有且仅有一个公共点时，在函数上是存在一点，使是以为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标________；
当中“主题干”中的函数的对称轴左侧图象与中矩形的边所围成的三角形图形中，其面积为时，直接写出点的坐标________．
23．如图，一次函数的图像与的图像交于点C，且点C的横坐标为，与x轴、y轴分别交于点A、点B．
(1)求m的值与的长；
(2)若点Q为线段上一点，且，求点Q的坐标．
24．已知：在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线经过点A，与y轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点P为直线一个动点，若的面积等于12时，请求出点P的坐标；
(3)如图2，将沿着x轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点D，使得以、、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点D的坐标；不存在，请说明理由．
《23.4实际问题与一次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C D D D B D D A
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】根据待定系数法，将甲和乙的函数解析式求出，然后联立求解，可将两个组修建道路长度相同时的开工时间求出．
【详解】解：设甲组修建10天后对应函数解析式为，
则解得
设乙组对应的函数解析式为，则，
由得
开工16天后两个组修建道路的长度相同，
故选：D．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，解题的关键是利用数形结合的思想求解及具备在直角坐标系中的读图能力．
2．C
【分析】根据题意得出函数解析式，然后根据函数解析式判断即可．
【详解】解：由题意得：其中，
故A选项正确，不符合题意；
x的取值范围是自然数，所以函数 y1 和 y2 的图象都不是直线，
故B正确，不符合题意；
时，并没有强调数量关系，
故C错误，符合题意；
当两个月各购买该商品x件时，，
故D正确，不符合题意；
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，根据题意得出函数解析式是解题的关键．
3．C
【分析】由x＝0时y＝1000及x＝3时y＝0的实际意义可得答案；根据x＝12时的实际意义可得，由速度＝路程÷时间，可得答案；设动车的速度为x千米/小时，根据“动车3小时行驶的路程+普通列车3小时行驶的路程＝1000”列方程求解可得；
【详解】解：①由x＝0时，y＝1000知，西宁到西安两地相距1000千米，由x＝3时，y＝0知，两车出发后3小时相遇，正确；
②由图象知x＝t时，动车到达西宁，
∴x＝12时，普通列车到达西安，
即普通列车到达终点共需12小时，正确；
③普通列车的速度是千米/小时，正确；
④设动车的速度为x千米/小时，
根据题意，得：3x+3×＝1000，
解得：x＝250，
动车的速度为250千米/小时，正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，根据题意弄懂函数图象中各拐点坐标的实际意义及行程问题中蕴含的相等关系是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查了新定义，涉及一次函数图象上点的坐标特征，平方差公式因式分解等知识点，理解新定义是解题的关键．
A：由题意得，两式相减得到，即可判断；B：将分别代入，根据新定义判断即可；C、D：由A可知，则，那么线点P在直线上，由于，则除外，故可判断C，D．
【详解】解：A、由题意得，
两式相减得到，，
∴，
，
，
，
故A错误，不符合题意；
B、将分别代入得：，
，
，
，
，
∴不是“线点”，故B错误，不符合题意；
C、由A可知，
∴，
∴线点P在直线上，
∵，
∴除外，
∴线点P在直线上，（除外），故C错误，不符合题意，D正确，符合题意，
故选：D．
5．D
【分析】根据表中随的变化而变化的趋势知与成一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，再将代入解析式求出的值即可得．
【详解】解：设，
根据题意，得：，
解得，
，
当时，，
即当加热时，油沸腾了，小明估计这种油的沸点温度是．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用表格中数据求出函数表达式是解题的关键．
6．D
【分析】直接利用待定系数法求出一次函数解析式，进而得出时，的值．
【详解】解：设与的关系式为，
∵图象经过，
∴
解得：
∴，
当时，，即弹簧不挂物体时的长度是10cm．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，正确求出函数关系式是解题关键．
7．B
【分析】先求出点A，B的坐标可得到，连接，根据线段垂直平分线的性质可得，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：当时，，
当时，，
解得：，
∴点，
∴，
如图，连接，

∵线段的垂直平分线交轴于点，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴点的坐标为．
故选：B
【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，线段垂直平分线的性质，勾股定理，利用数形结合思想解答是解题的关键．
8．D
【分析】如图，延长交轴于， 求解，，，，，可得，，可得①符合题意；可得，可得②符合题意；如图，连接交于点，连接交于点，结合矩形和平行四边形，可得直线即直线既平分矩形的面积又平分的面积，进一步可得③符合题意；如图，连接，过作于，求解，进一步可得④符合题意．
【详解】解：如图，延长交轴于，
∵一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为，
∴，，，，，
∴，，纸片面积为：，故①符合题意；
∴，故②符合题意；
如图，连接交于点，连接交于点，
∵矩形和平行四边形，
∴直线即直线既平分矩形的面积又平分的面积，
∵，，，
∴，，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；故③符合题意；
如图，连接，过作于，
由题意可得：，而的面积为，
∴，
∴，
∵当最小时，最大，
∴当时，最小，
∵，
∴，解得：，
此时，
∴m与n之间的关系式为，故④符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查的是一次函数的应用，矩形，平行四边形的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
9．D
【分析】根据题意可以在图上分辨出老张和小胜的函数图像，根据6.4分钟后的图像曲线可以计算出小张加速后的速度，从而判断出A选项；再根据共行4分钟，可以计算出老张的速度，从而算出老张的总用时，判断出B选项；根据老张总共用时，可以计算出小胜赶往体育馆用时，从而可以判断出C选项；再通过设方程求出小胜追上老张所用时间，可以计算出老张从家到被小胜追上所用时间，最后即可计算出最后答案．
【详解】A、小胜加速后用min走了m，
速度为m/min，
故选项A正确，不符合题意；
B、老张全程速度不变，和小胜一起用4分钟走了m，
速度为m/min，由图可知小胜家到体育馆距离为3000m，
老张用时min，再加上之前找小胜家用的4分钟，
总共用时24分钟，
故选项B正确，不符合题意；
C、因老张用20分钟到体育馆，所以小胜花19分钟到，
所以小胜赶往体育馆用时min，
所以图中他逗留家中的时间为min，
故选项C正确，不符合题意；
D、6.4分钟时，老张走了m，
距离体育馆还剩m，小胜开始返回体育馆，
设t分钟时小胜追上老张，
得，解得，
此时从家开始老张总共用了分钟，
距离老张家m，
故选项D错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图像的实际运用，行程问题的基本关系，一元一次方程的应用，解本题的关键是计算出两个人的速度．
10．A
【分析】本题主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式、函数图象的运用等知识点，正确画出函数图象是解题的关键．根据“和一点”的定义可以得出，进而可以得出由所有“和一点”所构成的函数及其图象，又通过过点的图象上存在“和一点得到一次函数与“和一点”构成的函数存在交点，然后运用待定系数法求得的最小值和最大值，即可确定的取值范围．
【详解】解：由题意可得：点到轴，轴的距离和为1，即，去绝对值后可得：
，
将“和一点”的函数表示在直角坐标系中如图：
一次函数的图象经过点，且图象上存在“和一点”，
一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点，
当一次函数的图象在直线与直线之间时，一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点，
当最小时，一次函数图象过点，
由题意可得：，
解得：，即的最小值为．
当最大时，一次函数与图象过点，
由题意可得：
则有，
解得：，
即的最大值为2．
．
故选：A．
11．B
【分析】以边所在直线为轴，所在直线为轴，点为原点建立平面直角坐标系，根据勾股定理求出，，运用面积关系求出，运用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立方程组求出，根据两点间距离公式求出的长即可 ．
【详解】解：以边所在直线为轴，所在直线为轴，点为原点建立平面直角坐标系，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，即，
解得，
∴，，
过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
同理可求，直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
∴，
∴．
12．B
【分析】本题考查了一次函数、坐标的规律变换，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
根据点由轴对称可得点，再逐次由轴对称得，，……，由此即可归纳类推出一般规律，由此即可得，代入，即可求得点的纵坐标．
【详解】解：∵点，轴，轴，轴，轴，……，轴，轴，
点与点O关于直线对称；∴点，即；
点与点O关于直线对称；∴点，即；
点与点O关于直线对称；∴点，即；
……，
∴，
当时，，
代入，
得，
∴．
故选：B．
13．②④
【分析】本题考查了同学们从图像中获取信息解决问题的能力及数形结合的思想，关键是从图像中获取到正确的信息，并能应用信息解决问题．
①根据题意，两人距离y为时间x的函数，由图象可知两人起始距离为，甲走4小时时两车相遇，由此即可求得甲的速度为每小时；进一步求出甲到B地的时间为5小时，甲原路返回直到追上乙时，比乙多走，列方程解答即可；②当甲行驶1小时时，两人的距离等于减去甲1小时走的路程，即可得到P的纵坐标；③从两人相遇到甲到达B时用1小时，M的横坐标为5，此时两人距离等于两人一小时走的路程和，即可求出M的纵坐标，由的坐标即可求出线段所在直线的解析式；④分别计算当，，时，甲、乙两人之间距离即可．
【详解】解：①，
(小时)，
设甲最终追上乙时乙行驶了a小时，由题意得：，
解得：，故①错误；
②，
所以P的纵坐标为240，②正确；
③，
所以M坐标为，
又因为Q的坐标为，
设线段所在直线的解析式，
解得：，
所以③错误；
④时，；
时， ；
时，，④正确;
综上所述：②④正确．
故答案为：②④．
14．③
【分析】把读题看图两结合，从中获取信息做出判断，点A和点B表示的意义可得出答案
【详解】解：由图像可知：A点表示公交公司的该条公交路线的运营成本为1万元；
B点表示当乘客量为1.5万人时，公交公司的该条公交路线收支恰好平衡；
所以反映乘客意见的是图③；
故答案为：③．
【点睛】此题考查了一次函数的应用，函数图象问题，正确理解题目中收支差额y的含义，以及函数图象的意义是解决本题的关键．
15．﹣2
【分析】由题意可得直线y=kx﹣2k+1恒过，进而依据直线y=kx﹣2k+1恒过BC即△ABO中线时恰好将△ABO平均分成面积相等的两部分，代入点B（0，5）即可求解.
【详解】解：如图，
由，可知当，不论k取何值，，
即直线y=kx﹣2k+1恒过，
又因为点O为坐标原点，点A（4，2），可知为OA中点，
可知当直线y=kx﹣2k+1恒过BC即△ABO中线时恰好将△ABO平均分成面积相等的两部分，
所以代入点B（0，5）可得：，解得：.
故答案为：.
【点睛】本题考查一次函数解析式与三角形的综合，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键.
16．
【分析】作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，FB，FG，由轴对称的性质，可得，，故当点，，，在同一直线上时，的周长，此时周长最小，依据勾股定理即可得到的长，进而得到周长的最小值．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，FB，FG，
直线与两坐标轴分别交于、两点，
∴令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝－4，
，，
∴，
又∵点是的中点，
∴，
∵点C与点G关于对称，
∴，，
∴，
∵，，
，
又∵点C与点F关于AB对称，
，，，
，
∵，，
∴的周长，
当点，，，在同一直线上时，的周长最小，为FG的长，
∵在中，，
周长的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短问题，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称的性质找到点、点位置，属于中考常考题型．
17．
【分析】本题考查了一次函数与行程问题，根据数量关系路程等于速度乘以时间列式求解即可，掌握一次函数与行程问题的计算方法是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，，
故答案为： ．
18．(1)甲种车日租金为400元，乙种车日租金为300元
(2)租甲种车4辆，乙种车2辆，总租金最少，为2200元
【分析】（1）设甲种车日租金为a元/天，乙种车日租金为b元/天．根据题意：“租1辆甲种车和2辆乙种车，共需租金1000元”；“租2辆甲种车和1辆乙种车，共需租金1100元”；列出方程组，求解即可；
（2）根据客车总数不能小于（取整为6）辆，即可求出共需租客车的辆数；设租甲种车x辆，乙种车（6﹣x）辆，由题意得出400x+300（6﹣x）≤2300，得出取值范围，分析得出即可．
【详解】（1）解：设甲种车日租金为a元/天，乙种车日租金为b元/天，则
，
解得．
即甲种车日租金为400元，乙种车日租金为300元．
（2）解：由每辆客车上至少要有1名老师，客车总数不能大于6辆，
又要保证所有师生有车坐，客车总数不能小于辆，
综合起来可知客车总数为6辆．
设共租车n辆，则＜n≤6，
∵n为正整数，
∴n＝6，
设租甲种车x辆，乙种车（6﹣x）辆，总费用记为y元，则
，
∴4≤x≤5，x为整数，
y＝400x+300（6﹣x）＝100x+1800，
∵k＝100＞0，
∴y随x增大而增大，
∴x=4时y取得最小值，
∴＝100×4+1800＝2200．
即租甲种车4辆，乙种车2辆，总租金最少，为2200元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用和理解题意的能力及一次函数的应用，关键是根据题目所提供的等量关系和不等量关系，列出方程组和不等式求解．
19．(1)作图见解析，；
(2)72
(3)当天晚上的23:00．
【分析】（1）将各点在坐标系中直接描出即可；观察发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm，由此可判断它们在同以直线上，设直线解析式为，再代入两个点坐标即可求解；
（2）当时，代入(2)中解析式即可求出箭尺的读数；
（3）当时，代入(2)中解析式即可求出供水时间，再结合实验开始时间为8:00即可求
【详解】（1）解：(1)将表格中各点在直角坐标系中描出来如下图所示：
分析表格中数据发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm，观察(1)中直角坐标系点的特点，发现它们位于同一直线上，
设直线解析式为，代入点(0，6)和点(2，18)，
得到，解得，
∴直线的表达式为：；
（2）当供水时间达到12小时时，即时，代入中，
解得cm，
∴此时箭尺的读数为；
（3）当箭尺读数为94厘米时，即时，代入中，
解得(小时)，
∴经过15小时后箭尺读数为94厘米，
∵实验记录的开始时间是上午8:00，
∴箭尺读数为90厘米时对应的时间为8+15=23，即对应当天晚上的23:00．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用问题，读懂题目，掌握一次函数的图形及性质是解决本题的关键．
20．(1)3；4.24
(2)
(3)①见解析；②3.1
【分析】（1）由可得m的值；由第二组数据结合全等可得n的值；
（2）由即可求解；
（3）①描点即可完成作图；②令，找到函数的图象与函数的图象的交点横坐标即可求解．
【详解】（1）解：当时，
∵
∴
当时，
在上截取cm，如图所示：

由第二组数据可得：此时cm
∵四边形为菱形
∴，
∴
∴cm
故答案为：3；4.24
（2）解：∵
∴
（3）解：①如图所示：

②当时，即
令，在图②中画出函数的图象，如图所示：

由图可得：函数的图象与函数的图象的交点横坐标大约为
故答案为：3.1cm
【点睛】本题考查了函数在实际问题中的应用．涉及了描点作图、根据实际问题求函数解析式、数形结合等．掌握函数的定义即求解是解题关键．
21．(1)5000；200；
(2)7.5或15；
(3)见解析．
【分析】本题考查一次函数的应用、行程问题等知识，解答本题时认真分析函数图象反应的数量关系是关键．
（1）由图②可得学校与体育馆之间的路程和a的值；
（2）分两种情况：当佳佳返回学校时和当佳佳追琪琪时，分别列式计算即可；
（3）计算出佳佳第20分钟时y的值和第25分钟时y的值，完成图象．
【详解】（1）解：由图②可得学校与体育馆之间的路程为5000米，
（米/分），
故答案为：5000，200；
（2）解：当佳佳返回学校时，，
当佳佳追琪琪时，设佳佳的速度是m米/分，
则，
解得，
所以此时，
答：当两人相距1000米时，x的值是7.5或15；
（3）解：由（2）得，佳佳追琪琪的过程中，
当时，佳佳的速度是400米/分，
当时，，
佳佳、琪琪两人第25分钟时，到达体育馆，
如图，
．
22．(1)当时，；当时，
(2)①；②
(3)①，；②或
【分析】仿照题干中“友好函数”的定义写出函数关于点的“友好函数”的解析式；
写出函数关于点的“友好函数”的解析式，根据此时函数值的取值范围是分两种情况求解，第一种情况是当时，可得；第二种情况是当时，可得．
当矩形与函数的图像只有一个公共点是，则“友好函数”只能经过点，设左侧的函数解析式为，把点的坐标代入解析式求出即可；
当为直角三角形且为一条直角边时，分两种情况求解，一种情况是为斜边，另一种情况是为斜边，
当与矩形围成的三角形的面积为时，分两种情况求解，一种情况是与、边围成的三角形的面积为，另一种情况是与、边围成的三角形的面积为．
【详解】（1）解：如下图所示，
函数关于点的“友好函数”的解析式为；
（2）解：如下图所示，
当时，函数关于点的“友好函数”是，
当时，可得，
解得：，
当时，可得，
解得：，
综上所述，当时，的取值范围是；
矩形与函数的图像只有一个公共点是，则“友好函数”只能经过点，
设左侧的函数解析式为，
把点的坐标代入可得：，
解得：，
此时在点左侧的函数解析式为，
点也在函数上，
，
解得：；
（3）解：如下图所示，
由可知，
设点的坐标为，
点、，
，
，，
当为斜边时，，
，
解得：，此时。
点的坐标为，
当为斜边时，，
，
解得：，此时。
点的坐标为，
综上所述点的坐标为或；
如下图所示，
当的面积为时，设点的坐标为，则，
设函数左侧的函数解析式为，
则有，
解得：，
函数左侧的函数解析式为，
点的横坐标为，
点的纵坐标为，
，
，
，
解得：或，
当时，点的坐标为，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
函数左侧的函数解析式为，
解方程组，
得，
点的坐标为；
当的面积为时，设点的坐标为，则，
设函数左侧的函数解析式为，
则有，
解得：，
函数左侧的函数解析式为，
点的横坐标为，
点的纵坐标为，
，
，
，
解得：或，
当时，点的坐标为，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
函数左侧的函数解析式为，
解方程组，
得，
点的坐标为，
综上所述点的坐标为或．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用；理解并运用新定义“友好函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．
23．(1)；；
(2)点坐标为；
【分析】（1）把点的横坐标代入正比例函数解析式，求得点的纵坐标，然后把点的坐标代入一次函数解析式即可求得的值，从而得到一次函数的解析式，则易求点的坐标，然后根据勾股定理即可求得；
（2）由得到的长，即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：∵点在直线上，点的横坐标为，
∴点坐标为，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴直线的函数表达式为，
令，则
令，则，解得，
，
∴．
（2）解：∵，
∴
，
∴点坐标为．
【点睛】考查两条直线相交问题，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积公式等，比较基础，难度不大．
24．(1)
(2)点P的坐标为或；
(3)存在，，，
【分析】（1）设直线的解析式，求出点的坐标，把、的坐标代入解析式计算即可；
（2）设点的横坐标为，分情况讨论，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可．
（3）按为菱形边长和对角线两种情况讨论，最后根据菱形的性质求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式，
直线与轴，轴分别交于、两点，
，，
直线经过点，与轴交于点，
，
，
直线的解析式：；
（2）解：由题意可知，，
设点的横坐标为，
当点在第二象限时，
由题意得，
解得，
，
点P的坐标为；
当点在第一象限时，不存在，舍去，
当点在第四象限时，
由题意得，
解得，
，
点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或；
（3）解：设将沿着轴平移个单位长度得到，
，
，，
设点坐标为，
①当为以、、、为顶点的菱形边长时，有两种情况：
当时，即，
此时，即点在轴上，且，
点与点重合，即．
当时，
，，
，
解得，
此时，即点在轴上，
且，
．
②当为以、、、为顶点的菱形对角线时，，即点在的垂直平分线上，且，关于对称，
当向左一移动，，，，
，
解得或（舍），
当向右移动时，，，，
，
解得（舍）或（舍），
，
．
综上所述，存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为，，．
【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，菱形的性质与判定等相关知识，分类讨论等数学思想，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑