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第二十一章四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，正方形中，E是边上一点，F是延长线上一点，，连接DE，DF，EF，M为中点，连接DM，CM．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．平行四边形中，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正方形中，，分别交、于、，连、，下列结论：①；②；③且；④若为中点，则．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．如图，在中，，D是上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④若，则．其中结论正确的序号为（　　）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
5．如图，在中， ，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，交于点P，连接，当时，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
6．如图，正方形中，，连接，的平分线交于点；在上截取，连接，分别交，于点，，点是线段上的动点，于点，连接，以下结论：①；②；③④的最小值是，其中错误的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边三角形ADE，则∠BED等于（ ）
A．30° B．37.5°
C．45° D．50°
8．如图，正方形中，点P为延长线上任一点，连结，过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F．下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点的位置，与CD交于点E，若AB=8，AD=2，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．20 B．14 C．10 D．
11．在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A．120° B．110° C．60° D．70°
12．如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题
13．如图，在平行四边形中，，点H为对角线的中点，点E，F分别在边，上，，点G为的中点，则的长为______．
14．如图，点是平行四边形的对称中心，为边的中点，点在边上，且，若，分别表示和的面积，则与之间的等量关系是______．
15．如图，点为矩形的中心，轴，轴，，则点的坐标为______；若矩形中，，，，在轴上，矩形以每秒个单位长度向右平移秒得到矩形，点、、、分别为、、、的对应点，与此同时，点从点出发，沿矩形的边以每秒个单位长度的速度顺时针方向运动即…连接，，点为的中点，当的面积为时，则点坐标为______．
16．中，，则_____度．
17．如图，，的两个锐角顶点分别在上滑动，直角顶点在内随之运动，若，则的最大值为___．
三、解答题
18．如图，在矩形中，，为边上的一动点（不与点重合），连接，作点关于直线的对称点，作射线交边于点．
(1)如图1，当点与点重合时，作交于点．
①求证：四边形为菱形；
②求线段的长．
(2)当时，直接写出线段的长．
19．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴负半轴相交于点A，与轴正半轴相交于点C，直线与轴正半轴交于点B，且点B的坐标为．
(1)如图1，求直线的解析式；
(2)如图2，点D在延长线上，过点D作轴交的延长线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在第四象限，连接，且，过点作轴于点，为上一点，为上一点，为上一点，连接交于点，若，，，，求点的坐标．
20．问题：已知：直线及直线外一点P．
求作：直线PQ，使得．
下列是小东给出的作法：如图，直线上任取两点A，B作射线AP，分别以P，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点Q(与P点在直线l的同一侧且不与点A重合)；作直线PQ，则直线PQ即为所求．根据小东的尺规作图过程，请你：用直尺和圆规补全图形；
证明：．
21．在平面直角坐标系中，对于其中，给出如下定义：连接，交于点，将点关于直线对称得到点，我们称为的有缘点．

(1)若请在图中画出的有缘点，并求出点的坐标；
(2)已知，，当时，若上存在的有缘点，求b的值．
22．（1）若多边形的内角和为，求此多边形的边数；
（2）一个n边形的每个外角都相等，如果它的一个内角与相邻外角的度数之比为，求n的值．
23．如图所示，在平行四边形中，于点E，于点，延长至点G，使．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是矩形．
24．如图，在中，，，，，分别是，的中点，交的延长线于点．求四边形的面积．
《第二十一章四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D B D A C D A A
题号 11 12
答案 C A
1．D
【分析】在上截取，连接，运用正方形的性质证明△≌△，运用全等三角形的性质证明是等腰三角形，再用等腰三角形性质求，证明是的中位线，则得到，最后由三角形外角性质得到，即可得到答案．
【详解】解：在上截取，连接，
∵正方形，
∴，，
在△和△中
,
∴△≌△，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵点是的中点，，
∴是△的中位线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，综合性较强，能够灵活运用各性质，作出合适的辅助线构造出全等三角形是解决问题的关键．
2．D
【分析】根据平行四边形的对角相等、邻角互补的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，∠A+∠D=180°，
∵∠A+∠C=260°，
∴∠A=∠C=130°，
∴∠B=180°-∠A=50°，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质是解决问题的关键．
3．D
【分析】过B作BD的垂线，截取BH = MD，连接AH，HN．易证，，得出MN=HN，再根据勾股定理即可证明，从而可判断①；延长CB，截取BI=DE，连接AI．易证，，得出IF=EF，即DE+BF=EF，从而可判断②；过点F作交AE的延长线于点J．过J作于点K，连接CJ．过J作交BD于点G．易证为等腰直角三角形，得出AF=FJ，从而可证，进而可证明四边形BCJG为平行四边形，得出GJ=BC=AD．再证明，得出AM=MJ，最后由等腰三角形的性质即得出，，故可判断③；延长CB，截取BL=DE，连接AL，设DE=a，BF=b，根据②同理可证EF=LF，BL=DE，即得出EF=LF=a+b．再结合E为CD中点，得出CD=BC=2a，CF=2a-b，CE=a．最后在中由勾股定理得出，整理即得出，从而可求出，故可判断④．
【详解】解：过B作BD的垂线，截取BH = MD，连接AH，HN，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，，，
∴，
∴，
∴,AM=AH．
∵，，
∴，
∴．
又∵AN=AN，
∴，
∴MN=HN．
在Rt中，，
∴，故①正确；
延长CB，截取BI=DE，连接AI，如图，
∵AD=AB，，，
∴，
∴AI=AE，．
∵，
∴，
∴．
又∵AF=AF，
∴，
∴IF=EF，即DE+BF=EF，故②正确；
过点F作交AE的延长线于点J．过J作于点K，连接CJ．过J作交BD于点G，如图．
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴AF=FJ，
∴，
∴AB=FK=BC，BF=KJ，
∴CK=BF=KJ，
∴，
∴，
∴四边形BCJG为平行四边形，
∴GJ=BC=AD．
∵，
∴．
又∵，AD=GJ，
∴，
∴AM=MJ，
∴，，故③正确；
延长CB，截取BL=DE，连接AL，如图，
设DE=a，BF=b，
根据②同理可证EF=LF，BL=DE，
∴EF=LF=a+b．
∵E为CD中点，
∴CD=BC=2a，
∴CF=2a-b，CE=a．
在中，，
∴，
整理，得：
∴，故④正确．
综上可知正确的有4个．
故选D．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性强，为困难题型．熟练掌握上述知识并正确的作出辅助线是解题关键．
4．B
【分析】由中，，，以及，继而可得①正确；由①可证得，即可得②正确；易得③是等腰三角形，但不能证得是等边三角形；由若，易求得，则可证得，继而证得．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴；故①正确；
∴，
∵，
∴；故②正确；
∵，
∴，
但不能判定是等边三角形；故③错误；
∵若，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．故④正确．
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是的中点是解此题的关键．
5．D
【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．延长到，延长交于点，延长，过点作，根据正方形的性质及全等三角形的判定证明，，，再由其性质及勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，延长到，，延长交于点，延长，过点作，
∵ 正方形，正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∵ 正方形，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵ 正方形，，
∴，
∵ 正方形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵ 正方形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
在中，连接，
∴，，
∴，
故选：D．
6．A
【分析】本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的性质．①利用正方形的性质证明得到进而可证；②利用正方形的性质证明，得到，证明，进而可证；③求得的长度，然后求出，进而可证；④证明垂直平分，过点作，利用垂线段最短可知的长度为最小值，利用等面积法可求．
【详解】解：∵正方形，
∴， ，则，
在和中,
，
∴，
∴，则，
∴，
∴，故①正确；
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴
，
，
，
即，结论③错误；
连接，
，
，
，
∴垂直平分，
，
当时，有最小值，
过点作，
则的长度为的最小值，
，
即的最小值为，故④正确．
错误的为：③，个数为1，
故选：A．
7．C
【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得AB=AD=AE，∠BAE=150°，可求∠BEA=15°，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°，
∴∠BAE=150°，AB=AE，
∴∠AEB=15°，
∴∠BED=45°．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
8．D
【分析】①在EF上取一点G，使FG=FP，连接BG、PG，，构建三角形全等和平行四边形，证明△BFG≌△EFP（SAS），得BG=PE，再证明四边形ABGP是平行四边形，可得结论；②如图3，连接AC交BD于O，，证明四边形DCGP是平行四边形，可得结论；③连接CG，由①知：PG∥AB，PG=AB，证明四边形OCGF是矩形，△BFG≌△EFP可作判断；④证明，根据，可作判断．
【详解】解：如图1，在EF上取一点G，使FG=FP，连接BG、PG，
∵EF⊥BP，
∴∠BFE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBC=∠ABD=45°，
∴BF=EF，
在△BFG和△EFP中，
，
∴△BFG≌△EFP（SAS），
∴BG=PE，∠PEF=∠GBF，
∵∠ABD=∠FPG=45°，
∴AB∥PG，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=∠APF+∠FPE=∠FPE+∠PEF=90°，
∴∠APF=∠PEF=∠GBF，
∴AP∥BG，
∴四边形ABGP是平行四边形，
∴AP=BG，
∴AP=PE；
故①正确；
如图2，连接CG，
由①知：PG∥AB，PG=AB，
∵AB=CD，AB∥CD，
∴PG∥CD，PG=CD，
∴四边形DCGP是平行四边形，
∴CG=PD，CG∥PD，
∵PD⊥EF，
∴CG⊥EF，即∠CGE=90°，
∵∠CEG=45°，
∴CE=CG=PD；
故③正确；
如图3，连接AC交BD于O，
∠CGF=∠GFD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，BD=
∴∠COF=90°，
∴四边形OCGF是矩形，
∴OC=FG，BD=2OC=2FG，
△BFG≌△EFP，
，
，
故②正确；
④，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行四边形和矩形的判定和性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
9．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，得出，即可作答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴，
故选：A．
10．A
【分析】根据折叠的性质可以得到、，再根据阴影部分即可求解；
【详解】解：根据折叠的性质可以得到、，
阴影部分的周长为
故答案为A．
【点睛】此题主要考查了矩形和折叠的性质，掌握矩形和折叠的性质，理解阴影部分的周长是解题的关键．
11．C
【分析】根据平行四边形的邻角互补解答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：邻角互补，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
12．A
【分析】延长交于点,作,垂足为，首先证明垂直平分线段是直角三角形，求出的长，在中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，延长交于点,作,垂足为，
在中，,
，
为的中点，
,
，
,解得，
由翻折的性质可知,
,，
，
，
，
，
,
,
,
为直角三角形，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识，能灵活运用面积法求高是解决此题的关键．
13．/
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形和三角形的中位线，含有30度角的直角三角形性质与勾股定理．连接并延长交于点P，连接，过点P作于点H，得，，则是的中位线，进而得，在中，根据得，，在中，再利用三角形三角形的性质求解即可．
【详解】解：连接并延长交于点P，连接，过点P作于点H，如图所示：
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，，，
∵点H为对角线的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵点G为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴和都是直角三角形，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】根据平行四边形的性质可得点O是的中点，由三角形中线平分三角形面积推出，，由此即可得到答案．
【详解】解：∵点是平行四边形的对称中心，
∴点O是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为边的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中线的性质，正确得到，是解题的关键．
15． ； 或．
【分析】本题考查矩形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握矩形的性质，根据点的运动情况分类讨论是解题的关键．根据矩形的性质直接求解得到点A的坐标，当时，在y轴的左侧，当点在上时，，解得(不符合题意 ，舍去)；当点在上时，，解得(不符合题意，舍去)；当点在上时，，解得(不符合题意，舍去)；当点在上时，，解得；当时，在轴的右侧，当点在上时，，解得(不符合题意，舍去)；当点在上时，，解得(不符合题意，舍去)；当点在上时，，解得(不符合题意，舍去)；当点在上时，，解得；求出后再分别求出、点坐标，即可求点坐标．
【详解】解：，，
，
，的面积为，
点到的距离是，
，
，，
当时，在y轴的左侧，
当点在上时，，
解得：(不符合题意，舍去)；
当点在上时，，
解得：(不符合题意，舍去)；
当点在上时，，
解得：(不符合题意，舍去)；
当点在上时，，
解得：，
，，
是的中点，
；
当时，在轴的右侧，
当点在上时，，
解得：(不符合题意，舍去)；
当点在上时，，
解得：(不符合题意，舍去)；
当点在上时，，
解得(不符合题意，舍去)；
当点在上时，，
解得：，
，，
是的中点，
；
综上所述：点坐标为或
16．
【分析】根据平行四边形的性质得到,则，又由即可得到答案．
【详解】解：如图，

∵四边形是平行四边形，
∴,
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形对边平行是解题的关键．
17．
【分析】取的中点，连接，根据直角三角形的性质可以得到的长度，最后根据三角形的两边之和大于第三边即可求得的最大值．
【详解】解：如图所示，取的中点，连接
∵，，，
∴，
∵在中，，
∴当三点共线的时候，有最大值，
即的最大值为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形的两边之和大于第三边，根据题意做出辅助线是解题的关键．
18．(1)①证明见解析；②
(2)线段的长是3或
【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、菱形的判定定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用轴对称性质将对称点的线段（如、）和角（如）进行转化，结合矩形对边平行且相等、内角为直角的性质，灵活运用勾股定理计算线段长度，同时在小问2中注意根据对称点B'的位置进行分类讨论．
（1）①先根据矩形对边平行（）和已知，证得四边形AFPE是平行四边形；再由轴对称性质得，结合矩形内错角相等（），推出，进而得；最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，证得四边形为菱形．
②由矩形边长得、，设，则；在中，利用勾股定理（）列方程，求解得的长．
（2）先由轴对称得、，结合矩形性质推出；根据算出，在中用勾股定理求；再分两种情况：①在矩形内部时，，则；②在矩形外部时，，则．
【详解】（1）①证明：如图1，连接，
∵四边形是矩形，点P与点C重合，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵点B与点关于直线对称，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为菱形．
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
∴线段的长是．
（2）当点落在矩形内部时，如图2，
∵点B与点关于直线对称，
∴是连接的线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
，
，
∴；
当点落在矩形外部时，如图3，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
综上所述，线段的长是3或
19．(1)直线的解析式为
(2)
(3)
【分析】（1）求出直线与y轴交点C的坐标，由待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）由点E在直线上且已知其横坐标，则可求得点E的坐标；由轴，点D、E的纵坐标相同，从而由D点在直线上可求得点D的坐标，即可求得，即与的函数关系式；
（3）过点作，交延长线于点，证明，则得，从而有；在上截取，则得，过点作，过点作，两线交于S，连接，得四边形为正方形；证明，则可得是等腰直角三角形，由此可证明，进而可得四边形是平行四边形，得，；在中由勾股定理建立方程求出t的值，即可求得点E的坐标．
【详解】（1）解：与轴交于点C，当时，，
，
，
设直线的解析式为，
经过点和，
，解得，
直线的解析式为；
（2）解：的横坐标为，且在上，
，
即；
∵轴，
∴点D的纵坐标为，
点D在直线上，
，解得，
即，
∴，
即；
（3）解：过点作，交延长线于点，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
在上截取，
，
，
过点作，过点作，两线交于S，连接，
，
四边形为矩形，
又，
矩形为正方形，
，，
在和中，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
∴，
∵，
四边形为平行四边形，
，
，，
，由（2）知，
，
，
，
在中，，
即，
化简得，
，
解得，（舍去），
，
【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，点在函数图象上的坐标特征，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性强，难度较大，构造全等三角形与正方形是解题的关键与难点．
20．（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据题干要求逐步作图即可，注意保留作图痕迹；
（2）由作图可得： 证明四边形是平行四边形即可得到答案．
【详解】（1）作图如下：
（2）证明：连接BQ，
由作图知
所以：四边形ABQP是平行四边形，
所以：．
【点睛】本题考查的是作已知直线的平行线，同时考查了平行四边形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
21．(1)；
(2)1或3．
【分析】（1）根据条件作图即可，过点P作，结合矩形的性质可得，即可求解；
（2）分情况讨论：当点Q在 上时，可得为等腰直角三角形，根据条件可求，即可求出；当点Q在上时，根据条件可证，即可求出，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴点如图所示，

∵矩形
∴，
∵，，
过点P作，
∴，，
∴，
∴
∵点P与点Q关于直线对称，
∴；
（2）解：当点Q在 上时，由题意可知 为等腰直角三角形，如图，

∴，
∵，，交于点，
∴
∴；
当点Q在上时，如图，

由对称可知，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【点睛】本题考查一次函数和几何综合，涉及到全等三角形的判定与性质等，灵活运用所学知识是关键．
22．（1）15；（2）15
【分析】本题主要考查了多边形的内角和，多边形的内角与外角关系、方程的思想．
（1）根据多边形的内角和计算公式作答；
（2）先根据多边形的内角和外角的关系，求出一个外角．再根据外角和是固定的，从而可代入公式求解．
【详解】解：（1）设此多边形的边数为n，则
，
解得，．
故此多边形的边数为15；
（2）设多边形的一个外角为度，则一个内角为度，依题意得
，
解得．
，
．
故n的值为15．
23．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质证明，利用全等三角形的判定方法证明即可；
（2）利用全等三角形的性质得到，证明四边形是平行四边形，即可得到结论；
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
于点E，于点F，
，
在和中，
，
；
（2）证明：由（1）得：，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形．
24．12
【分析】由于，易证，则，从而证明四边形是平行四边形，则，推出，最终证得，再求解即可．
【详解】解：，
．
是的中点，
．
在与中，
，
．
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
．
又，
，
．
，，，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，涉及到全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，综合程度较高．
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