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第二十章勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．勾股定理描述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如左图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按右图的方式放置在最大正方形内．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列四组数中，是勾股数的是（　　）
A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．32，42，52
3．在中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在△ABC中，∠BAC=90°，点D在边BC上，AD=AB ( )
A．若AC=2AB，则∠C=30°
B．若AC=2AB，则3BD=2CD
C．若∠B=2∠C，则AC=2AB
D．若∠B=2∠C，则S△ABD=2△ACD
6．如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9cm2和25cm2，则该直角三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（ ）
A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或厘米
8．下面各组数是三角形三边的长，则能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，，3 C．4，12，13 D．6，8，10
9．已知三角形的边长分别是5、7、8，则这个三角形的面积是（ ）
A．9 B． C．10 D．
10．如图，在中，，，点C在上，连接，将沿着直线翻折至所在平面得到，交于点F，连接，若，，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在等边中，点A、C分别在x轴、y轴上，，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）
A．4 B． C． D．
12．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C = 90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于点E，CD=6，则AB等于（ ）．
A．6 + 12 B．6+ 6 C．4 D．4+ 4
二、填空题
13．已知的两直角边a、b满足关系，则第三边c的长为____．
14．如图，以的每一条边为边，在边的同侧作三个正三角形、和．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则___________°．
15．如图，在边长为6的等边三角形中，D为的中点，射线，M，N分别为线段、射线上的点，连接，若，则的最小值为__________．
16．关于，有下列条件：①；②；③；④．其中能确定是直角三角形的是_________．
17．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请你写出一组“勾股数”___________．
三、解答题
18．如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．
19．如图，点在中，，，求图中阴影部分的面积．
20．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意即：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．求折断处离地面的高度．（注：其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）请把这个实际问题转化成数学问题，要求：画出几何图形，应用符号语言写出已知和问题，不写解答过程．
如图，已知：
求：
21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)尺规作图：作∠A的角平分线AP交BC于点P；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图中，若AC=5，BC=12，求CP的长．
22．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度，，，求滑梯的水平距离的长．
23．如图，两条公路，相交于点C，从A点沿直线再修建一条公路到B点．若，，．

(1)求证：
(2)若公路的中点M与点C被湖隔开．求M，C两点间的距离．
24．如图，在中，，，，求的长．
《第二十章勾股定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C D B A D D D D
题号 11 12
答案 D A
1．C
【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是树立数形结合思想，知道大正方形面积等于两个小正方形面积和，通过面积和差得出阴影部分面积等于重叠部分面积．根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，再利用面积和差可以得出阴影部分面积等于重叠部分面积．
【详解】解：由图可知，阴影部分面积大正方形面积两个小正方形面积重叠部分面积，根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，右图中，重叠部分为一个长方形，
∴阴影部分面积重叠部分面积，
∵重叠部分的长为，宽为，
∴阴影部分面积重叠部分面积，
故选：．
2．A
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【详解】解：A、62+82＝102能构成勾股数，故符合题意；
B、0.3，0.4，0.5不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；
C、，，不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；
D、（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成勾股数，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
3．C
【分析】根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，BC2+AC2=32+42=25，AB2=52=25，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠C=90°．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的逆定理．
4．D
【分析】本题考查了勾股定理逆定理以及三角形的内角和定理的应用，若三角形的三边满足勾股定理或者三角形有一个内角为直角，则三角形是直角三角形，据此即可求解；
【详解】解：若，则；
∵，
∴，
∴，是直角三角形；
故A不符合题意；
若，则，
即：，是直角三角形;
故B不符合题意；
若，设，则，
∴，
解得：，
∴，是直角三角形;
故C不符合题意；
若，则，
∵，
∴不是直角三角形，故D符合题意；
故选：D
5．B
【分析】根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半，可得BC=2AB＞AC，从而可判断选项A、C；
作AE⊥BC，根据勾股定理和等面积法克求得BC、BD和DC，从而得出BD和CD的关系，可判断选项B；
可先得出AD为中线，根据三角形中线平分三角形的面积可判断选项D．
【详解】解：由题，∠BAC=90°，点D在BC边上，AD=AB，
A.若AC=2AB，则，
若∠C=30°，BC=2AB，故A错误；
B. 若AC=2AB，则，
作AE⊥BC，则，
可得，
∵AD=AB，
∴，
∴，
∴3BD=2CD，故B正确；
C. 若∠B=2∠C，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠C=30°，∠B=60°，
∴BC=2AB，AC＜2AB，故C错误；
D. 若∠B=2∠C，由选项C可得∠C=30°，∠B=60°，
∵AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∴∠DAC=∠ADB-∠C=30°=∠C，
∴AD=DC=BD，即AD为△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ACD，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，勾股定理，含30°角的直角三角形．熟练掌握这些定理，能借助已知条件，选择合适的定理分析是解题关键．
6．A
【分析】根据勾股定理求出另一条直角边的长，再根据直角三角形的面积公式求出直角三角形的面积．
【详解】解：根据正方形面积公式可得直角三角形的一边长为：=3（cm），
根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：=4（cm），
可得这个直角三角形的面积为：×3×4=6（cm2）．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、算术平方根以及直角三角形面积的求法，理解直角三角形的面积等于其两直角边长乘积的一半是解题的关键．
7．D
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解出第三边的长，继而即可求出周长．
【详解】设第三边为x，（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，
∵由勾股定理，得，
∴（负值舍去），
周长为：厘米；
（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，
∵由勾股定理，得，
∴（负值舍去），
周长为：厘米．
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理，当已知条件中没有明确斜边时，要注意分类讨论，一些学生往往忽略这一点，造成漏解．
8．D
【分析】根据三角形三边关系定理和勾股定理的逆定理逐项验证即可．
【详解】解：A、，故不能构成直角三角形；
B、，不能构成三角形；
C、，故不能构成直角三角形；
D、，故能构成直角三角形．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
9．D
【分析】画出三角形的边长分别是作CD⊥AB于D，先由勾股定理计算出CD的长度，再根据面积公式计算即可．
【详解】如图：作CD⊥AB于D，
由勾股定理得： ，
即，
解得：，
∴，
∴△ABC的面积＝．
故选：D
【点睛】此题考查了勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．D
【分析】过点作于点，根据条件得出和为等腰直角三角形，由翻折的性质得出相等的角和边，令，根据直角列出方程求出，求出相关角的度数，证明为等边三角形，得出，假设线段的长度，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由翻折的性质可得，令，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
由翻折的性质得，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
设，
由勾股定理得，
∴，
解得（负值已舍去）
∴，
∵，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等内容，解题的关键是掌握以上性质．
11．D
【分析】取AC的中点D，连接OD，BD，利用三角形原理，当O、D、B三点共线时OB取得最大值，且最大值等于OD+BD，计算出OD，BD的长度即可．
【详解】如图，取AC的中点D，连接OD，BD，
∵△ABC是等边三角形，∠AOC=90°，AC=4，
∴DO==CD=AD，，
∵DO+BD≥OB，
∴OB≤DO+BD=，
当O、D、B三点共线时OB取得最大值，且最大值等于，
故选D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系定理，熟练掌握直角三角形性质和三角形三边关系定理是解题的关键．
12．A
【分析】首先证明△ABC是等腰直角三角形，再根据角平分线的性质查得DE=6，进而判断△ADE是等腰直角三角形，求出AD=，得到AC=6+6，从而可得结论．
【详解】解：∵AC=BC，∠C = 90°，
∴
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB
∴DE=DC=6，∠AED = 90°，
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴AC=AD+DC=6+6
∴
故选：A
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，求出AD=是解答本题的关键．
13．
【分析】本题考查了勾股定理，非负数的性质，解题的关键是利用非负数的性质求出a，b，再利用勾股定理计算．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴第三边c的长为
故答案为：．
14．150
【分析】先根据甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和，可得出，再结合等边三角形的面积由勾股定理的逆定理可得出，进而可得出答案．
【详解】解：过点作，
∵甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和，
∴，则，
∴，
∵、和为等边三角形，
∴，，
则中边上的高为：，
∴，
同理可得：，，
∴．
从而　．
所以，．
故答案为：150．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形的面积及等边三角形的性质，解答此题时要注意把三角形面积之间的关系转化为三边之间的关系，再由直角三角形及等边三角形的性质即可得出结论．
15．
【分析】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用对称解决最短问题．取的中点P，连接，由可证，可得，由折叠的性质可得，可得当点B，点M，点F三点共线时，有最小值为的长，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，取的中点P，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵D为中点，点P是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
如图，将沿折叠，得到，过点F作直线于H，
∴，
∴，
∴，
∴当点B，点M，点F三点共线时，有最小值为的长，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．①②③
【分析】根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答．
【详解】解：①
是直角三角形；
②设，则，，
∵，
∴，
∴是直角三角形；
③
∴是直角三角形；
④时，，
∴是锐角三角形；
故能确定是直角三角形的有①②③．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
17．6，8，10（答案不唯一）
【分析】根据勾股数的定义，即可求解．
【详解】解：∵，
∴这一组“勾股数”为6，8，10．
故答案为：6，8，10（答案不唯一）
【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若a，b，c是满足的三个正整数，则称a，b，c为勾股数．
18．（1）是，见解析；（2）千米
【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；
（2）设，则，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）是；
理由是：在中，
∵，
∴，
∴，
∴CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设，则，
在中，
，
∴，
解得：，
答：原来的路线AC的长为千米
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解题的关键．
19．
【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理及其逆定理，利用所给条件准确运算是解决本题的关键．
【详解】解：在中，，，
,
在中，，
，
即,
,
的面积为,
的面积为,
阴影部分面积为，
故阴影部分面积为24．
20．见解析
【分析】把实际问题转化为数学问题，应用勾股定理即可．
【详解】如图，已知：中，，，.
求：线段的长．
解：设线段的长为x，
∵，
∴，
中，，，
∴
∴
解得
∴折断处离地面的高度为尺，
答：折断处离地面的高度为尺．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)CP的长为．
【分析】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作AP平分∠BAC；
（2）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=PC=x，则PB=12-x，先利用勾股定理计算出AB=13，再根据S△ABP=AB×PD=PB×AC，计算即可得出x．
【详解】（1）解：如图，AP为所作；
；
（2）解：过点P作PD⊥AB于点D，
∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，∠C=90°，
∴PD=PC，
在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，
∴AB=，
设PD=PC=x，则PB=12-x，　
∵S△ABP=AB×PD=PB×AC，
∴13x=5(12-x) ，
解得：x=．
∴CP的长为．
【点睛】本题考查了基本作图－作已知角的角平分线．勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设的长为，由题意得，由勾股定理可得，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：设的长为，由题意得，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
答：的长为．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求解即可；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，解答即可．
【详解】（1）∵，，，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵点M是的中点，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．
24．
【分析】根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得出再根据勾股定理求出的值．
【详解】∵在中，，，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是勾股定理及含30°角的直角三角形的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解答此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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