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第十九章二次根式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设的小数部分为a，则的值为（ ）
A．22 B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
5．如图是一块长方体木块，长，宽，高，棱上的点P处有一滴蜂蜜，，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点B处，沿着长方体的表面爬行到点P处吃蜂蜜，那么蚂蚁需要爬行的最短路径的长是（ ）

A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则
；
．
下列选项中正确的有（ ）个．
①若a是的小数部分，则的值为；
②若（其中b、c为有理数），则；
③．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．下列语句中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若a为任意实数，则 D．若a为任意实数，则
10．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．正方形的对角线相等
C．对顶角相等 D．若，则
11．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．下列各数中不是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知实数x，y满足，则_______．
14．若互不相等的实数，，满足，，则__________．
15．如图，在等腰中，，，D在边上，在的延长线上，连接，，，下列五个结论：
①；
②；
③若平分，则；
④若，则；
⑤若为的中点，则．
其中正确的是______（填写序号）
16．已知，，则_________．
17．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为_______，最大值为______，的小数部分为______．
三、解答题
18．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简 ．
19．计算：所有满足方程的整数解之和．
20．如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设．
(1)用含x的代数式表示的长．
(2)点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？
(3)根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值．
21．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的5倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．
(1)若一个三角形的三边长分别是1，，，这个三角形是否为“平方倍三角形”？请你作出判断并说明理由；
(2)若一个直角三角形是“平方倍三角形”，求该直角三角形的三边之比（将比值按从小到大的顺序排列）；
(3)如图，在中，，，是边上的高，若是“平方倍三角形”，求的面积．
22．如图，将一个长为，宽为的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形，求纸片剩余部分的面积．
23．如图，在中，，垂足分别为E，F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若， ，，试求四边形的面积．
24．如图，在中，，，，，．
(1)如图1，连接，，当时，求的面积；
(2)如图2，点G在线段上，连接，点N在线段上，连接BN，当时，求线段，，的关系；
(3)点G在射线上，连接，点N在线段上，连接，且，连接，取的中点M，连接，若，当最小时，求出的面积．
小明在刚看到这个问题的时候不知道怎么思考，在用几何画板作图时，意外发现当点N在上移动时，点M也沿着一条直线运动，马上建立直角坐标系进行了验证，发现点M的运动轨迹确实是一条直线，请你根据小明的发现求解，并写出主要过程．
《第十九章二次根式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A C A B D D A A
题号 11 12
答案 C B
1．A
【分析】根据无理数的估算，求的小数部分为，然后代入，根据二次根式的乘法，利用二次根式的性质进行化简，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴的整数部分为3，则小数部分，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法，利用二次根式的性质进行化简，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握各知识的运用．
2．C
【分析】根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一判断即可．
【详解】A、 ，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
3．A
【分析】本题考查二次根式的乘法、整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键．根据二次根式的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和单项式乘单项式逐项判断即可．
【详解】解：A、，计算正确，符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：A．
4．C
【分析】由的值进行化简到=，再求得，把式子两边平方，整理得到，再把两边平方，再整理得到，原式可变形为，利用整体代入即可求得答案．
【详解】解∵
=
=
∴
∴
整理得
∴
∵
∴
整理得
∴
∴
∴
=
=
=
=
=
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的化简，乘法公式，提公因式法因式分解等知识，关键在于熟练掌握相关运算法则和整体代入的方法．
5．A
【分析】要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
【详解】
解：第一种情况：把我们所看到的上面和右面组成一个平面，

，， ，，
，，
则所走的最短路径的长是；
第二种情况：把我们看到的前面与右面组成一个长方形，

，， ，，
所以走的最短路径的长是；
第三种情况：把我们所看到的上面和后面组成一个长方形，

，，， ，
则所走的最短路径的长是；
，
所走的最短路径的长是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是平面展开-最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段．
6．B
【分析】本题考查二次根式的加法，二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据二次根式的加法，二次根式的乘法运算规则，逐一验证各选项的正确性．
【详解】A． 二次根式相加需为同类根式（即被开方数相同），与不是同类根式，无法合并，故本选项不符合题意；
B． ，是同类二次根式，同类根式相加，系数相加，根式部分不变，即，原式计算正确，故本选项符合题意；
C． 根据二次根式乘法法则，，而选项结果为，原式计算错误，故本选项不符合题意；
D． ，选项结果为3，原式计算错误，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．D
【分析】根据二次根式的加减乘除计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减乘除计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
8．D
【分析】由，可得，则，再根据分母有理化即可判断①；由可得，以此得到方程组，求解即可判断②；证明，再对原式裂项即可判断③．
【详解】解：由题意得：，
∵，是的小数部分，
∴，则，故①正确；
∵，
∴，
即
∴，即，
∵b、c为有理数
∴，解得，
∴，故②正确；
∵
，
∴
，故③正确，
故正确的有①②③，共3个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式的应用、等式的性质，灵活利用题干所给方法进行解决问题是解题关键．
9．A
【分析】本题考查了二次根式的性质，，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴若，则，故A正确；
若，则，
∴，故B错误；
，故C错误；
，故D错误；
故选：A
10．A
【分析】将每个命题的条件和结论对调，再判断其正确与否．
【详解】A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，
逆命题是，平行四边形的对角线互相平分，成立；
B.正方形的对角线相等，
逆命题是，对角线相等的四边形是正方形，不成立；
C.对顶角相等，
逆命题是，相等的两个角是对顶角，不成立；
D.若，则，
逆命题是，若，则，不成立．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了逆命题及其真假，解决问题的关键是熟练掌握构造逆命题的方法，其真伪的判断．
11．C
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用二次根式的乘法的法则，二次根式加减的法则，平方差公式和完全平方公式对各项进行运算即可．
【详解】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
12．B
【分析】本题考查的是有理数，无理数的含义，整数与分数统称有理数，无限不循环小数是无理数，二次根式的化简，本题根据定义逐一分析即可．
【详解】解：∵，
∴，，是无理数，是有理数，
故选B
13．
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系． 设，，得出x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．
【详解】解：设 ，，
∴，，
∴①
∵②
∴由①②得：，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴
故答案为：．
14．
【分析】本题考查分式的化简求值，根据已知得出，，，两边相乘即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
∴
故答案为：．
15．①②③⑤
【分析】本题考查了全等三角形的判定和证明，解题关键是利用旋转全等模型构造三角形全等，转化线段关系，从而利用勾股定理解三角形.
延长、交于点，可得，，从而证明，进而可得，过点作、，利用全等三角形的对应高相等（可证）即可得出，从而由角平分线判定定理得出平分，故结论②正确，若平分，易证，从而可得，再结合30度直角三角形和45度直角三角形性质和勾股定理计算判断④错误⑤正确.
【详解】解：延长、交于点，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，故结论①正确，
又∵，
∴，
∴，，
过点作、，垂足分别为、，
∴，
∴，
∴，
∴平分，即，故结论②正确，
③若平分，
即，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，故结论③正确；
④若，
∴，，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵在中，，
∴，
整理得：，
当时不成立，故结论④错误，
⑤若为的中点，设，则，
∴，
∵，即：，
∴，
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴．故结论⑤正确，
综上所述：正确结论有①②③⑤，
故答案为①②③⑤.
16．
【分析】根据二次根式有意义的条件可求解x，y值，进而可求解a值．
【详解】解：由题意得2x-8≥0且2x-8≤0，
∴2x-8=0，
解得x=4，
∴y=0+0+3=3，
∴a===，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义时被开方数为非负数求解是解题的关键．
17． 3 75
【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解．先进行分母的有理化计算，即化去分母中的根号，得到，然后通过估算减去整数部分即可；解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．
【详解】解：，且为整数，
最小为3，
是大于1的整数，
越小，越小，则越大，
当时，
，
，
故的小数部分为
故答案为：3；75；
18．
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、数轴的应用等知识点，根据数轴确定相关代数的正负是解题的关键．
先由数轴确定a、b、c的符号，进而确定每个二次根式被开方数括号内的正负，然后根据二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算法则计算即可．
【详解】解：根据数轴可知，，，
，，，
．
19．84
【分析】考查完全平方公式，二次根式的性质，换元法，根据绝对值分类讨论．
先根据完全平方公式配方，再根据二次根式性质将式子转化为绝对值，运用换元法将方程转化为不含二次根式的方程，分情况讨论后，回代求解．
【详解】解：，
，
原方程可变形为：，
，
，
令，
则方程变形为：，
（1）当时，，得，与矛盾，舍去；
（2）当时，，得，等式恒成立，此时；
（3）当时，，得，与矛盾，舍去；
由，，
得：，
两边平方得，，
解得，，
整数解之和：．
20．(1)
(2)点A、C、E在一条直线上；
(3)25
【分析】本题考查了勾股定理和最短路径问题，涉及到了二次根式等知识，解题关键是理解题意，会构造图形，利用了数形结合的思想方法．
（1）利用勾股定理分别求出，，即可求解；
（2）延长至F，使，连接，证明四边形是矩形，得到，求出，由两点之间线段最短，可知当点A、C、E在一条直线上时的值最小，即可求解；
（3）利用前面两题的方法先构造出图形，再求解即可．
【详解】（1）解：已知，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴．
（2）解：当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是；
理由如下：如图，延长至F，使，连接
由，
则，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由两点之间线段最短，可知当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是．
（3）解：
如图，H为线段上一动点，分别过点P、Q作，连接、．已知，，，设．
∴，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小，
延长至G，使，连接，
同理可证四边形是矩形，
∴，
∴，
由两点之间线段最短，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小，最小值是25，
∴代数式的最小值是25．
21．(1)这个三角形是“平方倍三角形”，理由见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）根据“平方倍三角形”的定义，即可求解；
（2）设直角边长为，，斜边为，根据“平方倍三角形”的定义，可得，从而得到，，即可求解；
（3）由（2）知，的三边比为，从而得到，或，，再结合勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：结论：这个三角形是“平方倍三角形”．
理由：，，
，
这个三角形是“平方倍三角形”．
（2）解：设直角边长为，，斜边为，
为“平方倍三角形”
，且，
，
，
，
；
（3）解：是“平方倍三角形”，
由（2）知，的三边比为，
，或，，
当，时，设，由勾股定理得，
，
解得，
，
的面积为，
当，时，设，由勾股定理得，
，
解得，
，
的面积为，
综上：的面积为或．
【点睛】本题主要考查了理解新定义，勾股定理，直角三角形的性质等，理解“平方倍三角形”的定义时解题的关键．
22．384
【分析】本题考查了二次根式的应用，长方形的面积、正方形的面积，根据题意，首先算出长方形的面积，然后再算出剪去的四个小正方形的面积，再相减即可得出剩余部分的面积．
【详解】解：长方形的面积：，
减去的四个小正方形的面积和：，
所以剩余部分的面积为：．
23．(1)见解析
(2)20
【分析】本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理等知识点，掌握以上知识是解题的关键．
（1）利用平行四边形的性质，结合已知条件，证明，即可得到答案；
（2）由（1）可知，，得到，设，则，在 和 中， 由勾股定理解得： ，，再根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，，
∴，
∴，即，
设，则，
∵，
∴，
在 和 中， 由勾股定理得：，
，即，
解得：，
，
∵四边形是平行四边形，
∴．
24．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）过点作于点，连接，根据等腰直角三角形的性质以及已知条件得出，进而可得，结合已知线段的长度以及勾股定理分别求得，即可求解；
（2）延长交于点，连接，证明，得出即，根据是等腰直角三角形，则，得出；
（3）根据题意得出在射线上运动，当时，取的最小值；进而证明，再求得，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接，
∵在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示，延长交于点，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，
，
∴
∴，
由（1）可得是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴即，
又∵，
∴是等腰直角三角形，则，
∴，即；
（3）解：依题意在射线上运动，
∴当时，取得最小值；
证明如下：如图所示，取的中点，连接，，
同（2）可得，
∵是的中点，，
∴，，
设，，
∵，
∴，则，
∴；
同理可得，
∴，，
∴，；
又∵，
∴，
∴，
∴；
即在射线上运动；
∴当时，取的最小值；
如图所示，∵，
∴，
即，
∴点M在射线上运动；
过点作于点，过点作于点，
则；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，二次根式的混合运算；熟练掌握以上知识是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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