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19.1二次根式及其性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．5
5．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下，
甲：
乙：
由此，两位同学共同得到“任何实数都等于它的相反数”的结论．
两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（ ）
A．第一个等号后 B．第二个等号后
C．第三个等号后 D．两位同学都没错
7．观察下列二次根式的化简：
，
，
，
则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若二次根式有意义，则下列实数中，可以取的值是（ ）
A． B． C． D．
9．a、b是两个任意实数，则下列不等式中不成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
10．若下列代数式都是二次根式，则其中的取值为全体实数的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．化简的结果是（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
13．对一切实数k，有成立，求k的最大值．
14．已知，当分别取，，，，时，所对应值的总和是_______．
15．已知实数a满足，则的值为______．
16．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简 ______．

17．设则不超过的最大整数为______．
三、解答题
18．化简：
（1）； （2）．
19．已知，求的值．
20．计算：．
21．【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件．
【感知探索】补全下面两个问题的解答过程：
（）已知，化简．
解：原式，
∵（显性条件），
请进一步完成的化简．
（）三角形的三边长分别为，化简．
解：∵三角形的三边长分别为，
∴的取值范围是______．（隐含条件）
化简．
【拓展应用】解方程：．
22．求代数式的值，其中．下图是小亮和小芳的解答过程．
(1)__________的解法是错误的，错误的原因是__________．
(2)求代数式的值，其中．
23．观察下列等式：
；
；
；
；
……
(1)请你按上述规律写出第5个等式：_______；
(2)用含字母n（n为正整数）的等式表示这一规律，并给出证明．
24．解答下列各题
（1）计算：．
（2）下面是小彬同学练习整式运算的过程，请认真阅读并完成相应习任务．
化简： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步
任务一：①以上求解步骤中，第一步运算用到的数学公式是__________，__________；
②以上求解步骤中，第__________步开始出现错误，错误的原因是__________；
③化简的正确结果为__________．
任务二：请你根据平时的学习经验，就整式运算时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
《19.1二次根式及其性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C D A B C D D B
题号 11 12
答案 D D
1．C
【分析】利用二次根式的化简的法则，立方根的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，立方根，解题关键是对相应的运算法则的掌握．
2．C
【分析】利用二次根式的性质对各项进行化简即可．
【详解】，故A不符合题意；
，故B、D不符合题意，C符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是掌握二次根式的性质．
3．C
【分析】本题考查了二次根式有意义以及分式有意义的条件，二次根式有意义：被开方数为非负数；分式有意义：分母不为0，据此作答即可．
【详解】解：∵
∴
解得且
故选：C
4．D
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质，即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
5．A
【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案．
【详解】解：由题意，可得
，
，
，
……
，
∴
．
故选：A．
6．B
【分析】本题主要考查了二次根式的性质， 要求 且 ．甲和乙在第二个等号后应用此性质时，未考虑a和的非负性，导致错误．
【详解】解：，而非简单等于或．
甲的过程：（正确），但 仅当 时成立；
乙的过程：（正确），但 仅当（即 ) 时成立．
两位同学在第二个等号后应用根式性质时，均未确保或非负．
首次共同错误出现在第二个等号后．
故选：B．
7．C
【分析】本题考查二次根式运算中探索规律，能够发现式子的规律是解答此题的关键．先根据每个式子的规律得出的式子，再计算即可．
【详解】由题可得：，，，
所以，
所以
，
所以，
故选：C．
8．D
【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可得．
【详解】由题意，
解得，
即可以取的值是．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
9．D
【分析】对于A，通过，即可判断；对于B、通过，结合即可判断；对于C、通过，结合，分当时，
当时进行判断即可；对于D，取即可判断．
【详解】解：A、∵，
∴
∵
∴，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故B不符合题意；
C、
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，则，
当时，则，
∵此时，
∴，
综上，，
∴，
∴，故C不符合题意；
D、取，，
不满足，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，平方的非负性，化简绝对值，化简二次根式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
10．B
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可．
【详解】解：A. ，x的取值为x≥-3；
B. ，x的取值为全体实数；
C. ，x的取值为-2＜x≤2；
D. ，x的取值为x＞1．
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，难度不大，注意掌握二次根式的被开方数为非负数．
11．D
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质逐一判断即可．
【详解】解：A选项：，故本选项错误；
B选项：，故本选项错误；
C选项：，故本选项错误；
D选项：，本选项正确．
故选：D．
12．D
【分析】先将根号内整理为和，再化简，并计算即可．
【详解】原式．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，理解是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式组的解集，先根据二次根式有意义的条件求出，设，则，得到，即，即可解答．
【详解】解：由题意得 且 ，
解得且，
∴，
设，
则，
∵，
∴，即，
∴的最小值为，
∴的最大值为．
14．
【分析】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值，整式的加减，代数式求值，根据，依题意，分，两种情况讨论，求得的值，进而求得答案．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴，
当x分别取1，2，3，…，2023时，所对应y值的总和是．
故答案为：．
15．或
【分析】本题主要考查了分式的求值，熟悉完全平方公式的结构特点及平方根的定义是解题的关键．
由于是实数且，需分和两种情况讨论．当时，利用已知条件求出的平方，再取正值；当时，直接由已知条件推导出的值．
【详解】当时，，原方程化为．
∵
∴．
∵，
∴，
∴．
当时，，原方程化为，
即
∴．
综上，的值为或．
16．1
【分析】根据数轴上点的位置判断出的正负，再利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，最后合并同类项即可解答．
【详解】解：由数轴可得：，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解本题的关键．
17．
【分析】本题考查二次根式的化简，能正确化简是解答本题的关键．
首先将化简，可得，然后再代入原式求出即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
不超过的最大整数，
故答案为：．
18．（1）；（2）
【分析】先把能开的开出来，注意分母要有理化，且结果要最简．
【详解】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题考查二次根式的化简，掌握开方方法和分母有理化是本题解题关键．
19．
【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
利用完全平方式化简，得到，再代值运算即可．
【详解】解：∵，
把代入，得，
∴，
∵，，
∴
20．
【分析】本题考查实数的混合运算，先进行负整数指数幂，去绝对值和乘方运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
21．（）；（），；【拓展应用】．
【分析】本题考查了二次根式，三角形的三边关系，解方程等，
（）根据二次根式的性质即可求出答案；
（）根据三角形的三边关系可得，然后根据二次根式的性质即可求出答案；根据二次根式的性质可得x的取值范围，然后根据二次根式的性质化简，再解方程即可求出答案；
解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及三角形的三边关系．
【详解】解：（）原式，
∵（显性条件），
由题意得（隐含条件），
∴，
∴，
∴原式，
；
（）∵三角形的三边长分别为，
∴，
∴的取值范围是，（隐含条件）
∴原式
，
，
故答案为：；
【拓展应用】由题意得，
∴（隐含条件），
∴原方程可化为：，
解得，符合题意．
22．(1)小亮 因式分解错误
(2)
【分析】（1）需根据二次根式的性质，结合的取值判断绝对值内式子的正负，分析小亮和小芳的解法；
（2）先将被开方数化为完全平方式，再利用二次根式性质化简，代入的值计算．
【详解】（1）解：小亮的解法是错误的，
错误的原因是：对化简时，错误地将变形为（实际应为），且未正确利用的性质判断符号．
（2）解：原式．
根据二次根式性质，已知，则，故：
代入化简：
原式．
将代入，
解得：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题关键是先将被开方数化为完全平方式，再结合字母的取值判断绝对值内式子的正负，进而正确化简．
23．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据所给式子的形式进行求解；
（2）根据所给式子的形式不难看出式子的值与序号之间的关系：第n个等式：．
【详解】（1）解：∵；
；
；
；
……
∴第5个等式：，
故答案为：；
（2）解：第n个等式：，
证明：
，
∵n为正整数，
∴．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，掌握将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式是解题关键．
24．（1）9；（2）任务一：①平方差公式，完全平方公式；②二，去括号时，括号前是负，括号里的各项符号都要改变；③；任务二：公式、法则要运用正确、要确定好运算顺序．
【分析】（1）先计算二次根式乘法，再计算负整数指数幂和乘方，最后计算加减法即可得到答案；
（2）①观察解题过程可知，第一步用到了完全平方公式和平方差公式，②观察解题过程可知，第二步开始出现错误，具体的错误是去括号时，没有变号；③先利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项，再根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）任务一：①以上求解步骤中，第一步运算用到的数学公式是平方差公式，完全平方公式，
故答案为：平方差公式，完全平方公式；
②以上求解步骤中，第二步开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号前是负，括号里的各项符号都要改变；
故答案为：二，去括号时，括号前是负，括号里的各项符号都要改变．
③
解：原式
．
故答案为：
任务二：公式、法则要运用正确、要确定好运算顺序等．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法计算，负整数指数幂，整式的混合计算，完全平方公式及平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法及整式混合运算法则是解题的关键．
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