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19.2二次根式的乘法与除法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列关于的表述错误的是（ ）
A．是最简二次根式 B．是无理数
C．就是 D．大于5
2．如图，在长方形中，将四边形沿折叠，的对应边为，与交于点G，延长经过点A，延长交于点H，，则为（ ）
A．10 B．16 C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，平分与相交于点，若，，则的长是( )
A． B． C． D．
8．如图， 以 的两条直角边向内分别作两个等边三角形与 ，连接， 若， 则下列叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列各数中，与的积为有理数的是（ ）
A．2 B．3 C． D．
10．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
11．下列选项中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
12．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．是13的算术平方根 B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．是最简二次根式 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
二、填空题
13．如图，在矩形中，，．点在边上，且，分别是边上的动点，且，是线段上的动点，连接．若取最小值，则线段的长为__________．
14．计算：__________________．
15．计算：____________．
16．计算：________
17．如图，在四边形 中，，，连接，，过 A 作 交 于 D．若，则 ______________ ．
三、解答题
18．求下列各式的值．
(1)
(2)
(3)
(4)
19．计算：
(1)；
(2)．
20．如何在数轴上作出表示的点，我们可以这样做：如下图，在数轴上找出表示与1的点，分别记为点A与点C，作，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数即为
参照上述方法，请在下面数轴上找出表示的点
21．如图是单位长度为1的正方形网格．
(1)在图1中画出一条长度的平方为10的线段；
(2)在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．
22．解决下列问题：
(1)计算：；
(2)如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道与的长度相等，滑梯的高度，．求滑道的长度．
(3)
23．如图，在中，，，点是边上一动点，连接，以线段为腰作等腰直角，．

(1)求证：是直角三角形；
(2)若，，求的长；
(3)当面积最小时，请你写出线段与线段之间的位置关系和数量关系，并说明理由．
24．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．
(1)如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是______；
【拓展延伸】
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】
(3)如图3，两块斜边长都为4cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长为______cm．
《19.2二次根式的乘法与除法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A A B D A D C C
题号 11 12
答案 A A
1．D
【分析】最简二次根式是不能继续开方的根式，无理数是无限不循环小数，比较二次根式与整数时先把二次根数还原成化简前的数字，再把整数平方，然后比较大小．
【详解】解：A、已经不能继续开方，是最简二次根式，故A正确，不符题意；
B、不能继续开方的根式都是无理数，故B正确，不符题意；
C、中间是省略的称号，故C正确，不符题意；
D、，5=，明显后者大，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式判断、无理数判断、无理数和整数大小比较，理解二次根式的相关定义是解题关键．
2．C
【分析】先求解，，如图，过作于，证明，，，都为等腰直角三角形；再进一步结合轴对称的性质与勾股定理可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，，
如图，过作于，
∵长方形，
∴，，，，
由对折可得：，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，都为等腰直角三角形；
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C
【点睛】本题考查的是长方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
3．A
【分析】本题考查二次根式的运算性质，包括乘法、减法、乘方和算术平方根的定义，准确计算是解题的关键．
逐一验证各选项是否符合运算法则即可得解．
【详解】二次根式乘法法则：，
，故正确；
，故错误；
，故错误；
，故错误；
故选．
4．A
【分析】本题考查二次根式的概念、二次根式的性质，理解最简二次根式的概念是解答的关键．
根据最简二次根式的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，此选项符合题意；
B、不是最简二次根式，此选项不符合题意；
C、不是最简二次根式，此选项不符合题意；
D、不是最简二次根式，此选项不符合题意，
故选：A．
5．B
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．
【详解】解：、，故不是最简二次根式；
、是最简二次根式，符合题意；
、，故不是最简二次根式；
、，故不是最简二次根式；
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．解题的关键是根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
6．D
【分析】本题考查了最简二次根式，分母有理化，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、不是最简二次根式，，故C不符合题意；
D、最简二次根式，，故D符合题意；
故选：D．
7．A
【分析】如图，过作于H， 则，证明再证明 可得 再利用勾股定理求解再利用勾股定理解方程即可．
【详解】解：如图，过作于H， 则，
∵平分，
设 则
由勾股定理可得：
解得： 即
故选A
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，“作出辅助线构建直角三角形，以便于利用角平分线的性质定理与勾股定理”是解本题的关键．
8．D
【分析】设与交于F点，根据等边三角形的性质可得为的平分线，进而可证明是等腰直角三角形，即可得，设，根据勾股定理可得，进而可求解与的关系，即可判定求解．
【详解】解：设与交于F点，
∵，和是等边三角形，
∴，
∴
∴为的平分线，
∴，且F为的中点，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设， 在中，，
在中，
∴
∴
∴
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理，二次根式的除法运算，含角的直角三角形，等腰直角三角形，等边三角形的性质等知识的综合运用，根据勾股定理，利用x表示的长是解题的关键．
9．C
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法及有理数的定义，根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据有理数的定义进行判定即可得出答案．
【详解】解：A、为无理数，故本选项不符合题意；
B、为无理数，故本选项不符合题意；
C、为有理数，故本选项符合题意；
D、为无理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
10．C
【分析】最简二次根式：被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐一判断即可．
【详解】解：A.＝2，不是最简二次根式，不符合题意；
B.的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C.是最简二次根式，符合题意；
D.＝4不是最简二次根式，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的判断，掌握“最简二次根式的定义”是解本题的关键．
11．A
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据被开方数不含分母、小数、开得尽方的因式，即为最简二次根式，据此进行逐个分析，即可作答．
【详解】解：∵
∴属于最简二次根式的是
故选：A
12．A
【分析】根据算术平方根、三角形外角定理、最简二次根式定义、平行线性质逐项判断即可求解．
【详解】解：A. “是13的算术平方根”，判断正确，符合题意；
B. “三角形的一个外角大于任何一个内角”，应为“三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角”，判断错误，不合题意；
C.“是最简二次根式，被开方数中含有分母”，不是最简二次根式，判断错误，不合题意；
D. “两条直线被第三条直线所截，内错角相等”，两条直线不一定平行，判断错误，不合题意．
故选：A
【点睛】本题考查了命题、算术平方根、三角形外角定理、最简二次根式定义、平行线性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键，注意：题设成立，结论一定成立的命题是真命题；题设成立，结论不一定成立的命题是假命题．
13．
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，如图，作关于的对称点，连接，可得当共线，且时，，此时最小，证明四边形为矩形，可得，进一步可得答案．
【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，
∴，
当共线，且时，
，此时最小，
∵在矩形中，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由对称可得：，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法法则计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
15．
【分析】根据二次根式的乘法法则和负整数指数幂的意义计算．
【详解】解：原式
．
故答案为．
【点睛】此题考查了实数的运算、负整数指数幂，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
16．7
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法等知识点，将乘方运算转化成乘法运算是解题的关键．
先将二次根式的乘方运算转化成乘法运算，然后再计算即可．
【详解】解：．
故答案为：7．
17．/
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，过点D分别作的垂线，垂足分别为H、M，过点E作于N，可证明，得到；再证明，，得到，导角得到，得到，，证明是等腰直角三角形，得到，则，可得．
【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足分别为H、M，过点E作于N，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为；．
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查的是二次根式的乘法，二次根式的性质；
（1）根据二次根式的性质计算即可；
（2）根据二次根式的性质计算即可；
（3）根据二次根式的性质计算即可；
（4）根据二次根式的乘法法则进行计算即可求解．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式
（4）解：原式．
19．(1)
(2)
【分析】（1）先根据零指数幂的意义、二次根式的性质和二次根式的除法法则运算，然后合并即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂的意义是解决问题的关键．
20．见详解
【分析】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意，利用勾股定理构建两直角边分别为2和4的直角三角形，进而可以得到表示的点．
【详解】解∶在数轴上找出表示与2的点，分别记为点与点，作，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数即为；
由作法可得，
，
，
点表示数为∶，点即为求作的点．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据勾股定理结合网格特点作图即可；
（2）利用勾股定理作出以为边的正方形即可．
【详解】（1）解：如图1所示，，即为所求；
（2）解：如图2所示，正方形的边长为，则面积为．
【点睛】本题考查了勾股定理，是基础题，熟练掌握网格结构以及勾股定理的应用是解题的关键．
22．(1)1
(2)
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）利用平方差公式计算即可；
（2）设，则，在中，由勾股定理建立方程求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：设，
则，
由题意得：，
在中，，
∴
解得，
∴．
23．(1)见解析；
(2)；
(3)，，理由见解析．
【分析】（1）先证明，可得，，可得，可得是直角三角形；
（2）证明，可得．求解，可得，由（1）知，是直角三角形，可得，可得，从而可得答案；
（3）当面积最小时，即最小时，则当时，最小，证明，可得，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，，
∴，
∴是直角三角形；
（2）∵，是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得；
（3），，理由如下：
当面积最小时，即最小时，
∴当时，最小，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上，当面积最小时，，且．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，熟练的利用等腰直角三角形的性质解题是关键．
24．(1)DA=DB+DC
(2)DA=DB+DC；理由见解析
(3)
【分析】（1）延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°，知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ABD=∠ACE，证得△ABD △ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证明△ADE是等边三角形，等量代换可得结论；
（2） 同理可证△ABD △ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，由勾股定理得，等量代换即得结论；
（3）由直角三角形的性质可得QN的长，由勾股定理可得MQ的长，由（2）知，由此可求得PQ长．
【详解】（1）（1）延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BDC=120°，
∴∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
又∵∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∴△ABD △ACE(SAS)，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，
（2）DA=DB+DC，
理由如下：延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，
∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，
∴∠ABD+∠ACD=180°
又∵∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，CE=BD，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∴，
∴，
∴，
（3）如图所示：连接PQ，
∵，∠QMN=30°，
∴，
根据勾股定理得，
由（2）知，
∴，
【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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