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广东省深圳市南山区育才教育集团2025-2026学年九年级下学期中考一模试题数学试卷
1．春节期间，深圳市的气温变化频繁。某天，最高气温下降了3℃，最低气温上升了1℃。如果气温下降3℃记为-3℃，则上升1℃记为（　　）
A．+3℃ B．+1℃ C．-1℃ D．-2℃
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：气温下降3℃记为-3℃，则上升1℃记为+1℃
故答案为：B
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．如图，在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四
棱锥称之为“阳马”。关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．它的主视图是直角三角形 B．它的左视图是矩形
C．它的俯视图是直角三角形 D．它的主视图是矩形
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
它的主视图是直角三角形，A正确，D错误
它的左视图是三角形，B错误
它的俯视图是矩形，C错误
故答案为：A
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式。若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式如下：（反应条件已省略）
①
②
③
④
小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
④生成物带有沉淀
∴小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是
故答案为：D
【分析】根据概率公式即可求出答案.
4． 下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，不能合并，不符合题意；
B：，正确，符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
5． 解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①可得：x<2
解②可得：x<-3
∴不等式①和不等式②的解集在数轴上表示如下：
故答案为：A
【分析】分别解两个不等式，再将不等式在数轴上表示出来即可.
6．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射。由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中折射后也是平行的。如图∠1=45°，∠2=125°，则∠3+∠4=（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图
∵a∥b，c∥d
∴∠1=∠3，∠2=∠5，∠4+∠5=180°
∵∠1=45°，∠2=125°
∴∠3=45°，∠5=125°，∠4=55°
∴∠3+∠4=100°
故答案为：C
【分析】根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
7．已知某产品的利润为80元/件，每天销量为240件，通过市场调研，发现该产品在此基础上售价每上升2元/件时，每天销量下降4件。设某天的售价上升m元/件时，该天的利润达20000元，则可列方程（　　）
A．（80+2m)(240- 4m）=20000 B．（80+m)（240- 4m）=20000
C．（80+2m)(240- 2m）=20000 D．（80+m)(240-2m)=20000
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设某天的售价上升m元/件时，该天的利润达20000元
由题意可得：（80+m)(240-2m)=20000
故答案为：D
【分析】设某天的售价上升m元/件时，该天的利润达20000元，根据题意建立方程即可求出答案.
8．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE，以点E旋转中心将线段AE顺时针旋转90°，得到线段FE，连接AF。线段AF，FE交边CD于点G，H，则GH的长为（　　）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点F分别作BC，CD的垂线，交BC的延长线于点I，交CD于点J
∵以点E旋转中心将线段AE顺时针旋转90°，得到线段FE
∴AE=EF，∠AEF=90°
∴∠AEB+∠CEH=180°-∠AEF=90°
∵边长为6的正方形ABCD
∴AD∥BC，AB=BC=CD=AD=6，∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°
∴∠AEB+∠BAE=180°-∠ABE=90°
∴∠BAE=∠CEH
∵点E是BC的中点
∴
∵FI⊥BI
∴∠EIF=∠ABC=90°
在△ABE和△EIF中
∴△ABE≌△EIF(AAS)
∴EI=AB=6，FI=BE=3
∴CI=EI-EC=3
∵FJ⊥CD
∴∠FJC=∠EIF=∠DCI=90°
∴四边形CIFG是矩形
∵CI=3=FI
∴四边形CIFG是正方形
∴CJ=FI=CI=FJ=3=EC，FJ∥IC
∴∠CEH=∠JFH
在△CEH和△JFH中
∴△CEH≌△JFH(AAS)
∴
∵CD=6，CJ=3
∴DJ=CD-CH=3
∵AD∥BC，FJ∥BC
∴AD∥FJ
∴△ADG∽△EJG
∴
∴
∴
故答案为：B
【分析】过点F分别作BC，CD的垂线，交BC的延长线于点I，交CD于点J，根据旋转性质可得AE=EF，∠AEF=90°，根据三角形内角和定理可得∠AEB+∠CEH=90°，根据正方形性质可得AD∥BC，AB=BC=CD=AD=6，∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，根据角之间的关系可得∠BAE=∠CEH，再根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△EIF(AAS)，则EI=AB=6，FI=BE=3，根据正方形判定定理可得四边形CIFG是正方形，则CJ=FI=CI=FJ=3=EC，FJ∥IC，即∠CEH=∠JFH，再根据全等三角形判定定理可得△CEH≌△JFH(AAS)，则，根据边之间的关系可得DJ，再根据相似三角形判定定理可得△ADG∽△EJG，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．因式分解：9x2-18x+9=　 　.
【答案】9(x-1)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：9x2-18x+9=9(x2-2x+1)=9(x-1)2
故答案为：9(x-1)2
【分析】提公因式，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
10．若关于x的分式方程=1的解为x=2，则m的值为　 　.
【答案】3
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入=1
∴
解得：m=3
故答案为：3
【分析】将x=2代入方程可得关于m的一次方程，解方程即可求出答案.
11．若函数y=kx与函数y= (k≠0)的图象交于两点，其中一个交点的坐标为（1，2026），则另一个交点的坐标是　 　.
【答案】(-1，-2026)
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵函数y=kx与函数y= (k≠0)的图象交于两点，其中一个交点的坐标为（1，2026），
∴另一个交点的坐标是(-1，-2026)
故答案为：(-1，-2026)
【分析】根据反比例函数图象的对称性，结合关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
12．如图，AB是⊙O内接正n边形的一条边，若∠ACB=144°，则n=　 　.
【答案】5
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，OA，OB
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形
∴∠D+∠ACB=180°
∵∠ACB=144°
∴∠D=180°-144°=36°
∴∠AOB=2∠D=72°，即正多边形的中心角的度数为72°
∴
故答案为：5
【分析】在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，OA，OB，根据圆内接四边形性质可得∠D，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB，再根据圆内接正多边形性质即可求出答案.
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AC中点，连接BD，过点D作DE⊥BD交AB于点E，若BE=3AE，则tanA的值为　 　.
【答案】
【知识点】平行线的判定；勾股定理；相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥AC于点F
∴BC⊥AC
∴BF∥BC
∴∠AFE=∠ACB=90°
∴△AEF∽△ABC
∴
∵BE=3AE
∴AB=AE+BE=4AE
∴
设EF=a，AF=b，则BC=4a，AC=4b
∵点D为AC中点
∴
∴DF=AD-AF=b
∴
∵DE⊥BD
∴∠BDE=90°
∴
∵BE=3AE
∴BE2=9AE2
∴17a2+5b2=9(a2+b2)
∴b2=2a2
∵a>0，b>0
∴
∴
故答案为：
【分析】过点E作EF⊥AC于点F，根据直线平行判定定理可得BF∥BC，再根据相似三角形判定定理可得△AEF∽△ABC，则，根据边之间的关系可得AB=4AE，则，设EF=a，AF=b，则BC=4a，AC=4b，根据线段中点可得，根据边之间的关系可得DF，根据勾股定理可得DE，BD，BE，AE，根据边之间的关系建立方程，化简可得，再根据正切定义即可求出答案.
14．计算：
【答案】解：原式=3++（2-）+1
=6
【知识点】求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则；实数的绝对值；求算术平方根
【解析】【分析】根据二次根式性质，特殊角的三角函数值，绝对值性质，有理数的乘方化简，再计算加减即可求出答案.
15．随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐。小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为420km。该汽车租赁公司有A，B，C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆。为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】
（1）小明共调查了 ▲ 辆A型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图；
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“390km”对应的圆心角度数
为　 　°。
（3）【分析数据】
型号 平均里程(km) 中位数（km） 众数（km）
A 400 400 410
B 432 m 440
C 453 450 n
由上表填空：m=　 　，n=　 　.
（4）【判断决策】
结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由。
【答案】（1）解：20；补全条形统计图如下：
（2）72
（3）430；450
（4）解：小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行
程约为420km，故A型号的平均数、中位数和众数均低于420，不符合要求；B、
C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电
动汽车较为合适。
【知识点】扇形统计图；条形统计图；折线统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
小明共调查A型纯电动汽车6÷30%=20辆
故答案为：20
（2）
故答案为：72
（3）B型号中，将数据按从小到大的顺序排列，处在最中间的数据为430，430
∴中位数
C型号中，出现次数最多的为450km
∴n=450
故答案为：430；450
【分析】（1）根据A型号的人数与占比可得总车辆数，求出400km的车辆数，再补全图形即可.
（2）根据360°乘以390的占比即可求出答案.
（3）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（4）根据各统计量的意义即可求出答案.
16． 2026年年初，一款玩偶产品以其独特的情绪价值爆火，广受年轻人的青睐。已知这种产品需要多种原料，记其中两种原料分别为A，B。某企业购进了这两种原料A，B，其中购进48千克A材料和20千克B材料的总价与购进24千克A材料和32千克B材料的总价相同，设这两种材料的单价分别为x，y（单位：元/千克）。
（1）试求x，y之间的等量关系；
（2）当总价为8.8万元时，求x，y的值。
【答案】（1）解：由题意可知：48x+20y=24x+32y，
化简得：y=2x；
（2）解：由题可知48x+20y=88000，
化简得：12x+5y=22000，
由(1) y=2x，
所以解得：x=1000，y=2000。
答：x，y的值分别为1000与2000。
【知识点】二元一次方程组的其他应用；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据两种材料的总价相同建立等式，化简计算即可求出答案.
（2）根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
17．已知四边形ABCD是平行四边形，且AB（1）如图1，点E在BC上，连接AE，EF，在不添加新的辅助线的前提下，请增加一个条件：　 　，使得四边形ABEF是菱形；
（2）如图2，请在BC上求作与点B，E不重合的两点G，H，连接AG，HF，使得四边形AGHF是菱形。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
【答案】（1）AF=BE，可使四边形ABEF是菱形
（2）解：作法一：如图，四边形AGHF即为所作：
作法二：如图，四边形AGHF即为所作；
【知识点】菱形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（1）方法一：添加条件：AF=BE，可使四边形ABEF是菱形；
理由：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AFIIBE，
∵AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF=AB，
∴四边形ABEF是菱形；
方法二：添加条件：AE平分∠BAF，可使四边形ABEF是菱形；
理由：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AFIIBE，
∴∠FAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠FAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵AF=AB，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF=AB，
∴四边形ABEF是菱形；
【分析】（1）方法一：添加条件：AF=BE，可使四边形ABEF是菱形；根据平行四边形判定定理及性质，菱形判定定理即可求出答案.
添加条件：AE平分∠BAF，可使四边形ABEF是菱形：根据平行四边形性质可得AFIIBE，则∠FAE=∠BEA，根据角平分线定义可得∠BAE=∠FAE，则∠BAE=∠BEA，根据等角对等边可得AB=BE，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据题意作图即可.
18．如图，以AB为直径的经过点C，连接AC，BC。过点O作，交AC于点E，交于点D，过点D作，交AB的延长线于点F。
（1） 求证：DF是的切线；
（2） 连接BD，若，，求的面积。
【答案】（1）证明：∵⊙O过点C，AB为⊙O的直径，
∴C=90°，
∵DE//BC，
∴∠DEA=∠C=90°，
∴FD//AC，
∴∠FDE=∠DEA=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：如图，延长CB交DF于点H，
，
四边形CEDH是矩形，
，，
，
，，
在Rt中，
，
，
∵是AB的中点， ，
∴OE是△ABC的中位线，
，
，
，
，
，
∴△BDF的面积为
【知识点】三角形的面积；矩形的判定；切线的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得C=90°，根据直线平行性质可得∠DEA=∠C=90°，根据直线平行判定定理可得FD//AC，则∠FDE=∠DEA=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）延长CB交DF于点H，根据矩形判定定理可得四边形CEDH是矩形，则，，根据勾股定理可得BC，根据三角形中位线定理可得OE，再根据边之间的关系可得DE，BH，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得DF，再根据三角形面积即可求出答案
19．综合与实践
【实验目的】探究竖直上抛运动中，抛出的第一个小球在后面小球相遇时经历的时间规律。
【实验原理】竖直上抛运动中，小球的速度v(米/秒)与运动时间t(秒)的关系式为，小球距离抛出点的竖直距离y(米)与运动时间t(秒)的关系式为，
其中，g是常数，代表小球抛出时的初速度，g的值取10米/秒2；
【实验过程】将小球从抛出点以恒定的初速度竖直上抛，每隔1秒抛出一球。（空气阻力忽略不计，小球在上升与下降过程中相遇时不互相碰撞）
【实验数据】第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离y（米）与运动时间（秒）的关系图
象是顶点为（3，45），经过原点的抛物线（如图所示）。
【实验任务】
（1）求出第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离у（米）与运动时间↑（秒）的关系式，并写出小球抛出时的初速度v0的值；
（2）①请在图中坐标系中画出第二个与第三个小球抛出后离抛出点的竖直距离у（米）与运动时间t（秒）的关系图象；
②从第一个小球抛出到第一个小球落回抛出点之间最多能抛出几个小球（包含第一个小球）？请通过计算加以说明；
（3）观察图像，求第一个小球抛出后与第n（n>1)个小球相遇时经历的时间T（秒）与n的关系式。
【答案】（1）解：由题可设第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离y（米）与运动时间t（秒）的关系式为，
因为它经过点（0，0），所以，
解得：，
所以，
即，
又因，
所以；
（2）解：①第二个与第三个小球抛出后离抛出点的竖直距离y（米）与运动时
间t（秒）的关系图象如图所示。
②因为v=vo-gt，
所以v=30-10t，
当小球到达最高点时，v=0，
所以当小球到达最高点时，0=30-10t，
此时t=3，
由对称性可知：小球从抛出点竖直抛出到返回抛出点要经历2=6秒，
因为每经过1秒抛出一个小球，
因此从抛出点到返回抛出点之间最多可以抛出6个小球；
（3）解：由于在时第一个球抛出，第一个球将在空中依次和5个球相遇，并且相遇的时刻是在该小球下落过程中，是在那5个球的上升过程中，设第一次相遇的时刻为，则有：
，
解得，
同理可得，，，；
所以第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间T(秒)与n的关系式为，
即。
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）设第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离y（米）与运动时间t（秒）的关系式为，根据待定系数法将点(0，0)代入解析式可得，再根据对应项相等即可求出答案.
（2）①根据题意作图即可.
②根据二次函数性质即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
20．综合与探究
【定义】如图 1，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 ，那么称点 C为线段 AB 的分割点。
（1）【理解】如图 2，在等腰 中，，，点 P 是 AB 的分割点，求 AP 的长；
（2）【应用】如图 3，在等腰 中，，，点 P 是 AB 的 分割点，点 D 在 AB 的上方，，AD 与 CP 相交于点 E，PD 与 BC 相交于点 F，求证：；
（3）【拓展】如图 4，点 G，H 同时从点 A 出发，分别以 1 个单位/秒和 个单位/秒的速度沿 AC，AB 方向运动，以 GH 为边向右作 ，直线 GD 与 CB，CH 分别交于点 M，N，当点 G 运动至 AC 的分割点时，直接写出 的值。
【答案】（1）证明：∵点P是AB的的分割点，
∴，
∵，，
∴，
∴AP=2
（2）证明：∵点P是AB的的分割点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴
（3）解： 或
【知识点】相似三角形的判定；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：（3）由题可知点G，H分别是AC，AB的的分割点，可证；
如图1，当，时，可证得，此时可以证得 ；
如图2，当，时，连接HM，
可证得，从而证得，，进而可以证得点M是ND的的分割点，且所以，由此可以证得。
【分析】（1）根据分割点定义，结合等腰直角三角形性质即可求出答案.
（2）根据分割点定义可得，根据等腰直角三角形性质可得，则，根据相似三角形性质可得根据角之间的关系可得∠CAD，∠DPB，∠CPD，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：当，时，当，时，连接HM，根据相似三角形性质，结合分割点定义即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市南山区育才教育集团2025-2026学年九年级下学期中考一模试题数学试卷
1．春节期间，深圳市的气温变化频繁。某天，最高气温下降了3℃，最低气温上升了1℃。如果气温下降3℃记为-3℃，则上升1℃记为（　　）
A．+3℃ B．+1℃ C．-1℃ D．-2℃
2．如图，在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四
棱锥称之为“阳马”。关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．它的主视图是直角三角形 B．它的左视图是矩形
C．它的俯视图是直角三角形 D．它的主视图是矩形
3．化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式。若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式如下：（反应条件已省略）
①
②
③
④
小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是（　　）
A． B． C． D．
4． 下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5． 解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射。由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中折射后也是平行的。如图∠1=45°，∠2=125°，则∠3+∠4=（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
7．已知某产品的利润为80元/件，每天销量为240件，通过市场调研，发现该产品在此基础上售价每上升2元/件时，每天销量下降4件。设某天的售价上升m元/件时，该天的利润达20000元，则可列方程（　　）
A．（80+2m)(240- 4m）=20000 B．（80+m)（240- 4m）=20000
C．（80+2m)(240- 2m）=20000 D．（80+m)(240-2m)=20000
8．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE，以点E旋转中心将线段AE顺时针旋转90°，得到线段FE，连接AF。线段AF，FE交边CD于点G，H，则GH的长为（　　）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
9．因式分解：9x2-18x+9=　 　.
10．若关于x的分式方程=1的解为x=2，则m的值为　 　.
11．若函数y=kx与函数y= (k≠0)的图象交于两点，其中一个交点的坐标为（1，2026），则另一个交点的坐标是　 　.
12．如图，AB是⊙O内接正n边形的一条边，若∠ACB=144°，则n=　 　.
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AC中点，连接BD，过点D作DE⊥BD交AB于点E，若BE=3AE，则tanA的值为　 　.
14．计算：
15．随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐。小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为420km。该汽车租赁公司有A，B，C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆。为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】
（1）小明共调查了 ▲ 辆A型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图；
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“390km”对应的圆心角度数
为　 　°。
（3）【分析数据】
型号 平均里程(km) 中位数（km） 众数（km）
A 400 400 410
B 432 m 440
C 453 450 n
由上表填空：m=　 　，n=　 　.
（4）【判断决策】
结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由。
16． 2026年年初，一款玩偶产品以其独特的情绪价值爆火，广受年轻人的青睐。已知这种产品需要多种原料，记其中两种原料分别为A，B。某企业购进了这两种原料A，B，其中购进48千克A材料和20千克B材料的总价与购进24千克A材料和32千克B材料的总价相同，设这两种材料的单价分别为x，y（单位：元/千克）。
（1）试求x，y之间的等量关系；
（2）当总价为8.8万元时，求x，y的值。
17．已知四边形ABCD是平行四边形，且AB（1）如图1，点E在BC上，连接AE，EF，在不添加新的辅助线的前提下，请增加一个条件：　 　，使得四边形ABEF是菱形；
（2）如图2，请在BC上求作与点B，E不重合的两点G，H，连接AG，HF，使得四边形AGHF是菱形。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
18．如图，以AB为直径的经过点C，连接AC，BC。过点O作，交AC于点E，交于点D，过点D作，交AB的延长线于点F。
（1） 求证：DF是的切线；
（2） 连接BD，若，，求的面积。
19．综合与实践
【实验目的】探究竖直上抛运动中，抛出的第一个小球在后面小球相遇时经历的时间规律。
【实验原理】竖直上抛运动中，小球的速度v(米/秒)与运动时间t(秒)的关系式为，小球距离抛出点的竖直距离y(米)与运动时间t(秒)的关系式为，
其中，g是常数，代表小球抛出时的初速度，g的值取10米/秒2；
【实验过程】将小球从抛出点以恒定的初速度竖直上抛，每隔1秒抛出一球。（空气阻力忽略不计，小球在上升与下降过程中相遇时不互相碰撞）
【实验数据】第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离y（米）与运动时间（秒）的关系图
象是顶点为（3，45），经过原点的抛物线（如图所示）。
【实验任务】
（1）求出第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离у（米）与运动时间↑（秒）的关系式，并写出小球抛出时的初速度v0的值；
（2）①请在图中坐标系中画出第二个与第三个小球抛出后离抛出点的竖直距离у（米）与运动时间t（秒）的关系图象；
②从第一个小球抛出到第一个小球落回抛出点之间最多能抛出几个小球（包含第一个小球）？请通过计算加以说明；
（3）观察图像，求第一个小球抛出后与第n（n>1)个小球相遇时经历的时间T（秒）与n的关系式。
20．综合与探究
【定义】如图 1，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 ，那么称点 C为线段 AB 的分割点。
（1）【理解】如图 2，在等腰 中，，，点 P 是 AB 的分割点，求 AP 的长；
（2）【应用】如图 3，在等腰 中，，，点 P 是 AB 的 分割点，点 D 在 AB 的上方，，AD 与 CP 相交于点 E，PD 与 BC 相交于点 F，求证：；
（3）【拓展】如图 4，点 G，H 同时从点 A 出发，分别以 1 个单位/秒和 个单位/秒的速度沿 AC，AB 方向运动，以 GH 为边向右作 ，直线 GD 与 CB，CH 分别交于点 M，N，当点 G 运动至 AC 的分割点时，直接写出 的值。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：气温下降3℃记为-3℃，则上升1℃记为+1℃
故答案为：B
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
它的主视图是直角三角形，A正确，D错误
它的左视图是三角形，B错误
它的俯视图是矩形，C错误
故答案为：A
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
④生成物带有沉淀
∴小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是
故答案为：D
【分析】根据概率公式即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，不能合并，不符合题意；
B：，正确，符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①可得：x<2
解②可得：x<-3
∴不等式①和不等式②的解集在数轴上表示如下：
故答案为：A
【分析】分别解两个不等式，再将不等式在数轴上表示出来即可.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图
∵a∥b，c∥d
∴∠1=∠3，∠2=∠5，∠4+∠5=180°
∵∠1=45°，∠2=125°
∴∠3=45°，∠5=125°，∠4=55°
∴∠3+∠4=100°
故答案为：C
【分析】根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设某天的售价上升m元/件时，该天的利润达20000元
由题意可得：（80+m)(240-2m)=20000
故答案为：D
【分析】设某天的售价上升m元/件时，该天的利润达20000元，根据题意建立方程即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点F分别作BC，CD的垂线，交BC的延长线于点I，交CD于点J
∵以点E旋转中心将线段AE顺时针旋转90°，得到线段FE
∴AE=EF，∠AEF=90°
∴∠AEB+∠CEH=180°-∠AEF=90°
∵边长为6的正方形ABCD
∴AD∥BC，AB=BC=CD=AD=6，∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°
∴∠AEB+∠BAE=180°-∠ABE=90°
∴∠BAE=∠CEH
∵点E是BC的中点
∴
∵FI⊥BI
∴∠EIF=∠ABC=90°
在△ABE和△EIF中
∴△ABE≌△EIF(AAS)
∴EI=AB=6，FI=BE=3
∴CI=EI-EC=3
∵FJ⊥CD
∴∠FJC=∠EIF=∠DCI=90°
∴四边形CIFG是矩形
∵CI=3=FI
∴四边形CIFG是正方形
∴CJ=FI=CI=FJ=3=EC，FJ∥IC
∴∠CEH=∠JFH
在△CEH和△JFH中
∴△CEH≌△JFH(AAS)
∴
∵CD=6，CJ=3
∴DJ=CD-CH=3
∵AD∥BC，FJ∥BC
∴AD∥FJ
∴△ADG∽△EJG
∴
∴
∴
故答案为：B
【分析】过点F分别作BC，CD的垂线，交BC的延长线于点I，交CD于点J，根据旋转性质可得AE=EF，∠AEF=90°，根据三角形内角和定理可得∠AEB+∠CEH=90°，根据正方形性质可得AD∥BC，AB=BC=CD=AD=6，∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，根据角之间的关系可得∠BAE=∠CEH，再根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△EIF(AAS)，则EI=AB=6，FI=BE=3，根据正方形判定定理可得四边形CIFG是正方形，则CJ=FI=CI=FJ=3=EC，FJ∥IC，即∠CEH=∠JFH，再根据全等三角形判定定理可得△CEH≌△JFH(AAS)，则，根据边之间的关系可得DJ，再根据相似三角形判定定理可得△ADG∽△EJG，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】9(x-1)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：9x2-18x+9=9(x2-2x+1)=9(x-1)2
故答案为：9(x-1)2
【分析】提公因式，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
10．【答案】3
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入=1
∴
解得：m=3
故答案为：3
【分析】将x=2代入方程可得关于m的一次方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】(-1，-2026)
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵函数y=kx与函数y= (k≠0)的图象交于两点，其中一个交点的坐标为（1，2026），
∴另一个交点的坐标是(-1，-2026)
故答案为：(-1，-2026)
【分析】根据反比例函数图象的对称性，结合关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
12．【答案】5
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，OA，OB
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形
∴∠D+∠ACB=180°
∵∠ACB=144°
∴∠D=180°-144°=36°
∴∠AOB=2∠D=72°，即正多边形的中心角的度数为72°
∴
故答案为：5
【分析】在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，OA，OB，根据圆内接四边形性质可得∠D，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB，再根据圆内接正多边形性质即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】平行线的判定；勾股定理；相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥AC于点F
∴BC⊥AC
∴BF∥BC
∴∠AFE=∠ACB=90°
∴△AEF∽△ABC
∴
∵BE=3AE
∴AB=AE+BE=4AE
∴
设EF=a，AF=b，则BC=4a，AC=4b
∵点D为AC中点
∴
∴DF=AD-AF=b
∴
∵DE⊥BD
∴∠BDE=90°
∴
∵BE=3AE
∴BE2=9AE2
∴17a2+5b2=9(a2+b2)
∴b2=2a2
∵a>0，b>0
∴
∴
故答案为：
【分析】过点E作EF⊥AC于点F，根据直线平行判定定理可得BF∥BC，再根据相似三角形判定定理可得△AEF∽△ABC，则，根据边之间的关系可得AB=4AE，则，设EF=a，AF=b，则BC=4a，AC=4b，根据线段中点可得，根据边之间的关系可得DF，根据勾股定理可得DE，BD，BE，AE，根据边之间的关系建立方程，化简可得，再根据正切定义即可求出答案.
14．【答案】解：原式=3++（2-）+1
=6
【知识点】求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则；实数的绝对值；求算术平方根
【解析】【分析】根据二次根式性质，特殊角的三角函数值，绝对值性质，有理数的乘方化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】（1）解：20；补全条形统计图如下：
（2）72
（3）430；450
（4）解：小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行
程约为420km，故A型号的平均数、中位数和众数均低于420，不符合要求；B、
C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电
动汽车较为合适。
【知识点】扇形统计图；条形统计图；折线统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
小明共调查A型纯电动汽车6÷30%=20辆
故答案为：20
（2）
故答案为：72
（3）B型号中，将数据按从小到大的顺序排列，处在最中间的数据为430，430
∴中位数
C型号中，出现次数最多的为450km
∴n=450
故答案为：430；450
【分析】（1）根据A型号的人数与占比可得总车辆数，求出400km的车辆数，再补全图形即可.
（2）根据360°乘以390的占比即可求出答案.
（3）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（4）根据各统计量的意义即可求出答案.
16．【答案】（1）解：由题意可知：48x+20y=24x+32y，
化简得：y=2x；
（2）解：由题可知48x+20y=88000，
化简得：12x+5y=22000，
由(1) y=2x，
所以解得：x=1000，y=2000。
答：x，y的值分别为1000与2000。
【知识点】二元一次方程组的其他应用；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据两种材料的总价相同建立等式，化简计算即可求出答案.
（2）根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
17．【答案】（1）AF=BE，可使四边形ABEF是菱形
（2）解：作法一：如图，四边形AGHF即为所作：
作法二：如图，四边形AGHF即为所作；
【知识点】菱形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（1）方法一：添加条件：AF=BE，可使四边形ABEF是菱形；
理由：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AFIIBE，
∵AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF=AB，
∴四边形ABEF是菱形；
方法二：添加条件：AE平分∠BAF，可使四边形ABEF是菱形；
理由：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AFIIBE，
∴∠FAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠FAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵AF=AB，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF=AB，
∴四边形ABEF是菱形；
【分析】（1）方法一：添加条件：AF=BE，可使四边形ABEF是菱形；根据平行四边形判定定理及性质，菱形判定定理即可求出答案.
添加条件：AE平分∠BAF，可使四边形ABEF是菱形：根据平行四边形性质可得AFIIBE，则∠FAE=∠BEA，根据角平分线定义可得∠BAE=∠FAE，则∠BAE=∠BEA，根据等角对等边可得AB=BE，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据题意作图即可.
18．【答案】（1）证明：∵⊙O过点C，AB为⊙O的直径，
∴C=90°，
∵DE//BC，
∴∠DEA=∠C=90°，
∴FD//AC，
∴∠FDE=∠DEA=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：如图，延长CB交DF于点H，
，
四边形CEDH是矩形，
，，
，
，，
在Rt中，
，
，
∵是AB的中点， ，
∴OE是△ABC的中位线，
，
，
，
，
，
∴△BDF的面积为
【知识点】三角形的面积；矩形的判定；切线的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得C=90°，根据直线平行性质可得∠DEA=∠C=90°，根据直线平行判定定理可得FD//AC，则∠FDE=∠DEA=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）延长CB交DF于点H，根据矩形判定定理可得四边形CEDH是矩形，则，，根据勾股定理可得BC，根据三角形中位线定理可得OE，再根据边之间的关系可得DE，BH，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得DF，再根据三角形面积即可求出答案
19．【答案】（1）解：由题可设第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离y（米）与运动时间t（秒）的关系式为，
因为它经过点（0，0），所以，
解得：，
所以，
即，
又因，
所以；
（2）解：①第二个与第三个小球抛出后离抛出点的竖直距离y（米）与运动时
间t（秒）的关系图象如图所示。
②因为v=vo-gt，
所以v=30-10t，
当小球到达最高点时，v=0，
所以当小球到达最高点时，0=30-10t，
此时t=3，
由对称性可知：小球从抛出点竖直抛出到返回抛出点要经历2=6秒，
因为每经过1秒抛出一个小球，
因此从抛出点到返回抛出点之间最多可以抛出6个小球；
（3）解：由于在时第一个球抛出，第一个球将在空中依次和5个球相遇，并且相遇的时刻是在该小球下落过程中，是在那5个球的上升过程中，设第一次相遇的时刻为，则有：
，
解得，
同理可得，，，；
所以第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间T(秒)与n的关系式为，
即。
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）设第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离y（米）与运动时间t（秒）的关系式为，根据待定系数法将点(0，0)代入解析式可得，再根据对应项相等即可求出答案.
（2）①根据题意作图即可.
②根据二次函数性质即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：∵点P是AB的的分割点，
∴，
∵，，
∴，
∴AP=2
（2）证明：∵点P是AB的的分割点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴
（3）解： 或
【知识点】相似三角形的判定；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：（3）由题可知点G，H分别是AC，AB的的分割点，可证；
如图1，当，时，可证得，此时可以证得 ；
如图2，当，时，连接HM，
可证得，从而证得，，进而可以证得点M是ND的的分割点，且所以，由此可以证得。
【分析】（1）根据分割点定义，结合等腰直角三角形性质即可求出答案.
（2）根据分割点定义可得，根据等腰直角三角形性质可得，则，根据相似三角形性质可得根据角之间的关系可得∠CAD，∠DPB，∠CPD，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：当，时，当，时，连接HM，根据相似三角形性质，结合分割点定义即可求出答案.
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