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2026年湖南邵阳市高三下学期第二次联考数学试题
1．（2026·邵阳模拟）已知集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2026·邵阳模拟）已知复数满足，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．复数在复平面内对应的点位于第一象限
C．复数的共轭复数为
D．将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为
3．（2026·邵阳模拟）在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2026·邵阳模拟）清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（　　）
A．24种 B．36种 C．64种 D．72种
5．（2026·邵阳模拟）已知函数，则下列结论错误的是（　　）
A．
B．
C．函数在区间上单调递增
D．函数的图象关于点中心对称
6．（2026·邵阳模拟）已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（　　）
A． B．9 C．15 D．20
7．（2026·邵阳模拟）已知函数，，则（　　）
A．是偶函数，且在单调递增
B．是偶函数，且在单调递减
C．是奇函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在单调递减
8．（2026·邵阳模拟）在正四棱锥中，是棱PA的中点，平面EBC将该正四棱锥分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（　　）
A． B． C． D．
9．（2026·邵阳模拟）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交于，两点，则下列结论成立的是（　　）
A．的周长为8 B．
C．的最小值为 D．存在直线，使得
10．（2026·邵阳模拟）下列说法正确的是（　　）
A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3
B．若随机变量，，则
C．某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25
D．一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为
11．（2026·邵阳模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（　　）
A．
B．若是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为
C．的最大值为
D．若点是的外心，且，，则
12．（2026·邵阳模拟）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，动点满足.当取最大值时，　 　.
13．（2026·邵阳模拟）已知，则　 　.
14．（2026·邵阳模拟）已知函数（，，），若在上恒成立，则的最大值为　 　.
15．（2026·邵阳模拟）已知数列是等差数列，且，，数列满足，.
（1）求的通项公式，并证明数列是等比数列；
（2）若数列满足，求的前项和.
16．（2026·邵阳模拟）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法从甲、乙两所学校共抽取120名学生.通过测验得到如下数据：甲校50名学生中有10名学生的数学成绩优秀；乙校70名学生中有10名学生的数学成绩优秀.根据抽样数据的分析，得到不完整抽样数据列联表，如表（一）所示.
单位：人
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校 　 10 50
乙校 　 10 70
合计 　 　 　
表（一）
（1）完成表（一）列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？
（2）已知甲、乙两所学校利用AI自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化数据如下：甲校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为，乙校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为.若从甲、乙两所学校数学不优秀的学生中采用随机抽样的方式抽出1名学生，用样本估计总体，用频率估计概率，求该学生数学成绩有效转化的概率.
参考公式与数据：
，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．（2026·邵阳模拟）如图，在四棱锥中，，，，，，，点在线段上，，平面平面.
（1）求证：；
（2）设点是三棱锥的外接球的球心，且四棱锥的体积是，求直线与平面所成角的正弦值.
18．（2026·邵阳模拟）已知双曲线的渐近线方程为，右焦点为，直线与相切于点.
（1）若与的渐近线分别交于，两点，证明：点为线段AB的中点；
（2）已知直线：，：，若与，分别交于点，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．（2026·邵阳模拟）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若函数有两个零点和，且，求证：；
（3）设函数，，若与的图象有两个交点，，试比较与的大小.（参考数据：，）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算；对数函数的图象与性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：易知，，
则，即.
【分析】先解一元二次不等式求得集合，求对数函数定义域得集合，再根据集合的并集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、易知，则，故A错误；
B、复数对应的点为，位于第一象限，故B正确；
C、复数的共轭复数是，故C错误；
D、复数对应的点为，绕原点按逆时针方向旋转，得到的点为，所以所得向量对应的复数应为，故D错误.
【分析】利用复数代数形式的除法法则求得，再计算复数的模即可判断A；根据复数在复平面内的表示求解即可判断B；求共轭复数即可判断C；求出旋转所得向量对应的复数即可判断D.
3．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：易知，
因为，所以，则.
故答案为：A.
【分析】以为基向量表示，根据，求，再求的值即可.
4．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，将4名青年志愿者分为三组，共有种情况，再分配到3个社区，共有种情况，则共有种不同情况．
【分析】根据分组、分配求解即可．
5．【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数的最小正周期，则，故A正确；
B、由为最大值，可知是函数的对称轴，
则，故B正确；
C、，令，可得，
则函数在区间上不单调，故C错误；
D、因为，所以函数的图象关于点中心对称，故D正确.
【分析】求函数的最小正周期，根据函数周期性分析即可判断A；根据正弦函数对称性的性质分析即可判断BD；根据函数的单调性即可判断C.
6．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由，，
可得，，
因为，和的面积分别为1，，，
所以，，所以，
则
，
当且仅当时，即等号成立，则的最小值是.
【分析】根据向量的数量积，结合三角形的面积求得，最后利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
7．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数，
的定义域为，满足，即是偶函数，
当时，，
当时，，则，
，
因为，所以，所以，所以，
则在上是单调递增.
【分析】求函数的定义域，利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，求出在范围内的表达式，求导，利用导数判断函数在范围内的单调性即可.
8．【答案】B
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱锥的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：在正四棱锥中，是棱PA的中点，
取PD的中点为，连接EF，BE，CF，CE，CA，FA，所以，
因为，所以，所以，，，四点共面，
所以平面EBC在四棱锥上的截面是平面BCFE，
平面BCFE把四棱锥分为两个部分，设四棱锥的体积为，高为，
设四边形的面积为，
则，
同理，
设点到平面AEF的距离是，
则，
即，故，
所以体积较小部分与体积较大部分的体积之比为.
故答案为：B.
【分析】取PD的中点为，连接EF，BE，CF，CE，CA，FA，推出，，，四点共面，
平面EBC在四棱锥上的截面是平面BCFE，再利用等体积法得到各个几何体之间的体积关系，据此求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式；椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、由椭圆的定义可得，
则的周长为，故A正确；
B、，当且仅当时等号成立，故B正确；
C、设直线的方程为，，
联立，消元整理可得，
，，
，
当时，最小为1，故C错误；
D、当直线过短轴顶点时，最大，
此时，即最大为，
所以存在直线，使得，故D正确．
【分析】根据椭圆的定义求解即可判断A；利用基本不等式求解即可判断B；设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合椭圆弦长公式求解即可判断C；根据的最大角即可判断D．
10．【答案】B,C
【知识点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式；超几何分布；二项分布；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、，从小到大选取第2和第3个数的平均数作为第25百分位数，
即，则数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3.5，故A错误；
B、随机变量，由，可得，解得，
则，故B正确；
C、这15名学生的数学成绩的平均数为，
故这15名学生的数学成绩的方差为，故C正确；
D、2罐中有奖券的概率为，故D错误.
【分析】根据百分位数的定义求解即可判断A；利用二项分布的期望求得的值，再根据方差公式求解即可判断B；利用总体方差和样本方差的关系求解即可判断C；利用超几何分布求解相应的概率即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A、，由正弦定理可得，
则，
因为，，，所以，所以，故A正确；
B、由正弦定理，得，，
则，解得，
因为是边AC的中点，则，且，
可得，当且仅当时取等号，
则，故B错误；
C、
，当且仅当，即时等号成立，
则的最大值为，故C正确；
D、因为，，则，即，，，
因为，则，
即，解得，故D正确.
【分析】利用正弦定理，结合两角和正弦公式化简求解即可判断A；利用正弦定理求得，再利用平面向量结合基本不等式运算求解即可判断B；由（1）的结论，结合三角形内角和定理以及两角和的余弦公式、辅助角公式化简整理可得，再根据正弦函数的性质求最值即可判断C；根据向量数量积的几何意义，结合外心性质可得，解方程即可判断D.
12．【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程；轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设，
因为，所以，整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
则当取最大值时，与圆相切，则，
在中，，则.
故答案为：.
【分析】设，由，利用两点间距离公式化简求得点的轨迹方程，判断出当取最大值时点的位置，结合直线与圆的位置关系求解即可.
13．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由，
可得，
则.
故答案为：.
【分析】利用余弦的二倍角以及诱导公式化简已知条件求出，再利用同角三角函数基本关系，结合二倍角公式化简求值即可.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可得恒成立，
令，，即恒成立，，
，
若，则；
若，令，的定义域为，，
当时，有；当时，有，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，的最小值为，
因为恒成立，则恒成立，解得，即，
（ⅰ）当时，则有；
（ⅱ）当时，则有，则，
令，，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值，
综合（1）（2）得：的最大值为，则的最大值为.
故答案为：.
【分析】由题意可得恒成立，令，，故恒成立，，分和讨论，当，令，求导，利用导数判断函数的单调性，求最小值，得，再分和讨论，构造新函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求该目标式的最大值即可.
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由，，可得，解得，
则；
由，得，即，
因为，所以是一个以4为首项，3为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可得，则，即，
故.
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的求和；等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意利用等差数列的通项公式求等差数列的公差，即可得到其通项公式；由数列满足，，根据等比数列的定义可证明数列是等比数列；
（2）由（1）可得，则，利用分组求和法，结合等差数列、等比数列的前项和公式求即可.
（1）设等差数列的公差为，由，，
得，解得.
所以.
由得，即，
又，
所以是一个以4为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，所以.
所以.
所以.
16．【答案】（1）解：列联表如下：
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校 40 10 50
乙校 60 10 70
合计 100 20 120
零假设为：两校学生的数学成绩优秀率无差异.
根据列联表数据，计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为两校学生的数学成绩优秀率没有差异；
（2）解：设事件“利用AI自习室帮助该学生且数学成绩能有效转化”，事件“该学生来自甲校”，
事件“该学生来自乙校”，
由题意可得，，且，，
则，即该学生数学成绩有效转化的概率为.
【知识点】独立性检验；全概率公式；2×2列联表
【解析】【分析】（1）由题意，先完成列联表，再进行零假设、根据卡方公式计算卡方值，与临界值比较判断即可；
（2）先记事件，利用全概率公式求解即可.
（1）列联表如下：
单位：人
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校 40 10 50
乙校 60 10 70
合计 100 20 120
零假设为：两校学生的数学成绩优秀率无差异.
根据列联表数据，计算得到
.
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为两校学生的数学成绩优秀率没有差异.
（2）设事件“利用AI自习室帮助该学生且数学成绩能有效转化”，
事件“该学生来自甲校”，事件“该学生来自乙校”，则
，，且，，
则，
所以该学生数学成绩有效转化的概率为.
17．【答案】（1）证明：在直角梯形中，，，则，，
在中，，，所以，，
因为，所以，
在中，，，
则，
又因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以；
（2）解：取的中点为，连接PO，因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
所以，解得，
以点为原点，分别以，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，
设，因为点是三棱锥的外接球的球心，则点应在平面上，所以，
又，，所以，解得，所以，
所以，
设是平面的一个法向量，
则，即，取，则，，可得，
设直线与平面所成的角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值是.
【知识点】球内接多面体；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质得到平面，进而得到线线垂直；
（2）取的中点为，连接PO，利用面面垂直的性质证明平面，再根据四棱锥 的体积求得，以点为原点，分别以，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）证明：在直角梯形中，，，则，.
在中，，，所以，.
因为，所以.
在中，，，
则.
又，所以.
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
（2）取的中点为，连接PO. 因为，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
所以，解得.
以点为原点，分别以，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，.
，.
设，因为点是三棱锥的外接球的球心，则点应在平面上，所以.
又，，
所以，解得，所以.
所以.
设是平面的一个法向量，
则，即，取，则，，
所以.
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值是.
18．【答案】（1）解：设双曲线，
由题意得：，解得，故双曲线方程为，
设，则ⅰ）当切线斜率不存在时，由对称性可知，为AB的中点；
ⅱ）当切线斜率存在时，设切线（或），
联立，消去得：，
由，即，
又，则，，
所以，即，解得，
所以直线，又，则，
联立方程组：，消去得，
将，代入上式化简为，恒成立，
设，，则，即为AB的中点；
（2）解：因为与相交，所以切线的斜率存在，
由（1）知，切线，将，分别代入切线的方程得，，
则，，
故，
故存在，使得恒成立.
【知识点】平面内两点间的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设双曲线，由题意列方程组，求解即可得双曲线的标准方程；再分直线是否存在斜率进行分类讨论，当切线斜率存在时，设切线，联立直线与双曲线方程，消元整理，结合一元二次方程根与系数关系进行运算求解证明即可；
（2）由（1）知，切线，将，分别代入切线的方程得点的坐标，再根据两点间距离公式，结合（1）的结论进行求解即可.
（1）设双曲线，
由题意得：解得故双曲线方程为.
设，则
ⅰ）当切线斜率不存在时，由对称性可知，为AB的中点.
ⅱ）当切线斜率存在时，设切线（或）
联立方程组：消去得：.
由，即.
又，则，，
所以，即，解得.
所以直线，又，则.
联立方程组：消去得：，因为.
则上式化简为，恒成立.
设，，则，所以为AB的中点.
（2）因为与相交，则切线的斜率存在，
由（1）知，切线，将，分别代入切线的方程得
所以，，则，
.
所以.
故存在，使得恒成立.
19．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
当时，取极小值，极小值为，无极大值；
（2）证明：有两个零点，即方程有两个不同实根和，，
设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，，
的大致图象，如图所示：
可知函数的最低点为，，
直线的方程为，直线的方程为，
则直线与函数的图象交点的横坐标分别是和，
设与直线和的交点的横坐标分别是和，，解方程可得，，，
当时，，则函数的图象在线段的下方，
当时，，
令，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，其中，
故函数的图象在线段的下方，根据单调性可得，，则，
故；
（3）解：由得，即，，，
两式相加，得；
两式相减，得，
所以，
所以，
即，
不妨令，记，则，
令，则，
所以在上单调递增，则，
所以，即，所以，
又，
所以，即，
令，则时，，在上单调递增，
又因为，所以，
则，即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值即可；
（2）由题意可得：方程有两个不同实根和，设，利用导数判断其单调性，求最值，作出函数的大致图象，根据导数与最值的关系求出函数的最值点，分别求出直线、方程，可得到与直线的交点横坐标及差值，再比较与差值的大小即可；
（3）根据与的图象有两个交点得到，通过构造函数及导数与最值的关系得到，结合基本不等式得到，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性的关系求解即可.
（1）的定义域为，，
当时，. 当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，取极小值，极小值为，无极大值.
（2）有两个零点，即方程有两个不同实根和，.
设，则.
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，.
的大致图象如图所示，
可知函数的最低点为，，
直线的方程为，直线的方程为.
则直线与函数的图象交点的横坐标分别是和，
设与直线和的交点的横坐标分别是和，.
解方程可得，，.
当时，，
所以函数的图象在线段的下方.
当时，.
令，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，所以，其中，
故函数的图象在线段的下方.
所以根据单调性，可得，，所以，
故.
（3）由得，即，
所以，，
两式相加，得；
两式相减，得，
所以，
所以，
即.
不妨令，记，则，
令，则，
所以在上单调递增，则，
所以，即，所以.
又，
所以，即.
令，则时，，
所以在上单调递增.
又，
所以，
所以，即.
1 / 12026年湖南邵阳市高三下学期第二次联考数学试题
1．（2026·邵阳模拟）已知集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；对数函数的图象与性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：易知，，
则，即.
【分析】先解一元二次不等式求得集合，求对数函数定义域得集合，再根据集合的并集运算求解即可.
2．（2026·邵阳模拟）已知复数满足，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．复数在复平面内对应的点位于第一象限
C．复数的共轭复数为
D．将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A、易知，则，故A错误；
B、复数对应的点为，位于第一象限，故B正确；
C、复数的共轭复数是，故C错误；
D、复数对应的点为，绕原点按逆时针方向旋转，得到的点为，所以所得向量对应的复数应为，故D错误.
【分析】利用复数代数形式的除法法则求得，再计算复数的模即可判断A；根据复数在复平面内的表示求解即可判断B；求共轭复数即可判断C；求出旋转所得向量对应的复数即可判断D.
3．（2026·邵阳模拟）在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：易知，
因为，所以，则.
故答案为：A.
【分析】以为基向量表示，根据，求，再求的值即可.
4．（2026·邵阳模拟）清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（　　）
A．24种 B．36种 C．64种 D．72种
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，将4名青年志愿者分为三组，共有种情况，再分配到3个社区，共有种情况，则共有种不同情况．
【分析】根据分组、分配求解即可．
5．（2026·邵阳模拟）已知函数，则下列结论错误的是（　　）
A．
B．
C．函数在区间上单调递增
D．函数的图象关于点中心对称
【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数的最小正周期，则，故A正确；
B、由为最大值，可知是函数的对称轴，
则，故B正确；
C、，令，可得，
则函数在区间上不单调，故C错误；
D、因为，所以函数的图象关于点中心对称，故D正确.
【分析】求函数的最小正周期，根据函数周期性分析即可判断A；根据正弦函数对称性的性质分析即可判断BD；根据函数的单调性即可判断C.
6．（2026·邵阳模拟）已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（　　）
A． B．9 C．15 D．20
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由，，
可得，，
因为，和的面积分别为1，，，
所以，，所以，
则
，
当且仅当时，即等号成立，则的最小值是.
【分析】根据向量的数量积，结合三角形的面积求得，最后利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
7．（2026·邵阳模拟）已知函数，，则（　　）
A．是偶函数，且在单调递增
B．是偶函数，且在单调递减
C．是奇函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在单调递减
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数，
的定义域为，满足，即是偶函数，
当时，，
当时，，则，
，
因为，所以，所以，所以，
则在上是单调递增.
【分析】求函数的定义域，利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，求出在范围内的表达式，求导，利用导数判断函数在范围内的单调性即可.
8．（2026·邵阳模拟）在正四棱锥中，是棱PA的中点，平面EBC将该正四棱锥分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱锥的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：在正四棱锥中，是棱PA的中点，
取PD的中点为，连接EF，BE，CF，CE，CA，FA，所以，
因为，所以，所以，，，四点共面，
所以平面EBC在四棱锥上的截面是平面BCFE，
平面BCFE把四棱锥分为两个部分，设四棱锥的体积为，高为，
设四边形的面积为，
则，
同理，
设点到平面AEF的距离是，
则，
即，故，
所以体积较小部分与体积较大部分的体积之比为.
故答案为：B.
【分析】取PD的中点为，连接EF，BE，CF，CE，CA，FA，推出，，，四点共面，
平面EBC在四棱锥上的截面是平面BCFE，再利用等体积法得到各个几何体之间的体积关系，据此求解即可.
9．（2026·邵阳模拟）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交于，两点，则下列结论成立的是（　　）
A．的周长为8 B．
C．的最小值为 D．存在直线，使得
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式；椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、由椭圆的定义可得，
则的周长为，故A正确；
B、，当且仅当时等号成立，故B正确；
C、设直线的方程为，，
联立，消元整理可得，
，，
，
当时，最小为1，故C错误；
D、当直线过短轴顶点时，最大，
此时，即最大为，
所以存在直线，使得，故D正确．
【分析】根据椭圆的定义求解即可判断A；利用基本不等式求解即可判断B；设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合椭圆弦长公式求解即可判断C；根据的最大角即可判断D．
10．（2026·邵阳模拟）下列说法正确的是（　　）
A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3
B．若随机变量，，则
C．某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25
D．一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为
【答案】B,C
【知识点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式；超几何分布；二项分布；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、，从小到大选取第2和第3个数的平均数作为第25百分位数，
即，则数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3.5，故A错误；
B、随机变量，由，可得，解得，
则，故B正确；
C、这15名学生的数学成绩的平均数为，
故这15名学生的数学成绩的方差为，故C正确；
D、2罐中有奖券的概率为，故D错误.
【分析】根据百分位数的定义求解即可判断A；利用二项分布的期望求得的值，再根据方差公式求解即可判断B；利用总体方差和样本方差的关系求解即可判断C；利用超几何分布求解相应的概率即可判断D.
11．（2026·邵阳模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（　　）
A．
B．若是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为
C．的最大值为
D．若点是的外心，且，，则
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A、，由正弦定理可得，
则，
因为，，，所以，所以，故A正确；
B、由正弦定理，得，，
则，解得，
因为是边AC的中点，则，且，
可得，当且仅当时取等号，
则，故B错误；
C、
，当且仅当，即时等号成立，
则的最大值为，故C正确；
D、因为，，则，即，，，
因为，则，
即，解得，故D正确.
【分析】利用正弦定理，结合两角和正弦公式化简求解即可判断A；利用正弦定理求得，再利用平面向量结合基本不等式运算求解即可判断B；由（1）的结论，结合三角形内角和定理以及两角和的余弦公式、辅助角公式化简整理可得，再根据正弦函数的性质求最值即可判断C；根据向量数量积的几何意义，结合外心性质可得，解方程即可判断D.
12．（2026·邵阳模拟）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，动点满足.当取最大值时，　 　.
【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程；轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设，
因为，所以，整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
则当取最大值时，与圆相切，则，
在中，，则.
故答案为：.
【分析】设，由，利用两点间距离公式化简求得点的轨迹方程，判断出当取最大值时点的位置，结合直线与圆的位置关系求解即可.
13．（2026·邵阳模拟）已知，则　 　.
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由，
可得，
则.
故答案为：.
【分析】利用余弦的二倍角以及诱导公式化简已知条件求出，再利用同角三角函数基本关系，结合二倍角公式化简求值即可.
14．（2026·邵阳模拟）已知函数（，，），若在上恒成立，则的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可得恒成立，
令，，即恒成立，，
，
若，则；
若，令，的定义域为，，
当时，有；当时，有，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，的最小值为，
因为恒成立，则恒成立，解得，即，
（ⅰ）当时，则有；
（ⅱ）当时，则有，则，
令，，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值，
综合（1）（2）得：的最大值为，则的最大值为.
故答案为：.
【分析】由题意可得恒成立，令，，故恒成立，，分和讨论，当，令，求导，利用导数判断函数的单调性，求最小值，得，再分和讨论，构造新函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求该目标式的最大值即可.
15．（2026·邵阳模拟）已知数列是等差数列，且，，数列满足，.
（1）求的通项公式，并证明数列是等比数列；
（2）若数列满足，求的前项和.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由，，可得，解得，
则；
由，得，即，
因为，所以是一个以4为首项，3为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可得，则，即，
故.
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的求和；等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意利用等差数列的通项公式求等差数列的公差，即可得到其通项公式；由数列满足，，根据等比数列的定义可证明数列是等比数列；
（2）由（1）可得，则，利用分组求和法，结合等差数列、等比数列的前项和公式求即可.
（1）设等差数列的公差为，由，，
得，解得.
所以.
由得，即，
又，
所以是一个以4为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，所以.
所以.
所以.
16．（2026·邵阳模拟）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法从甲、乙两所学校共抽取120名学生.通过测验得到如下数据：甲校50名学生中有10名学生的数学成绩优秀；乙校70名学生中有10名学生的数学成绩优秀.根据抽样数据的分析，得到不完整抽样数据列联表，如表（一）所示.
单位：人
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校 　 10 50
乙校 　 10 70
合计 　 　 　
表（一）
（1）完成表（一）列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？
（2）已知甲、乙两所学校利用AI自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化数据如下：甲校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为，乙校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为.若从甲、乙两所学校数学不优秀的学生中采用随机抽样的方式抽出1名学生，用样本估计总体，用频率估计概率，求该学生数学成绩有效转化的概率.
参考公式与数据：
，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：列联表如下：
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校 40 10 50
乙校 60 10 70
合计 100 20 120
零假设为：两校学生的数学成绩优秀率无差异.
根据列联表数据，计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为两校学生的数学成绩优秀率没有差异；
（2）解：设事件“利用AI自习室帮助该学生且数学成绩能有效转化”，事件“该学生来自甲校”，
事件“该学生来自乙校”，
由题意可得，，且，，
则，即该学生数学成绩有效转化的概率为.
【知识点】独立性检验；全概率公式；2×2列联表
【解析】【分析】（1）由题意，先完成列联表，再进行零假设、根据卡方公式计算卡方值，与临界值比较判断即可；
（2）先记事件，利用全概率公式求解即可.
（1）列联表如下：
单位：人
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校 40 10 50
乙校 60 10 70
合计 100 20 120
零假设为：两校学生的数学成绩优秀率无差异.
根据列联表数据，计算得到
.
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为两校学生的数学成绩优秀率没有差异.
（2）设事件“利用AI自习室帮助该学生且数学成绩能有效转化”，
事件“该学生来自甲校”，事件“该学生来自乙校”，则
，，且，，
则，
所以该学生数学成绩有效转化的概率为.
17．（2026·邵阳模拟）如图，在四棱锥中，，，，，，，点在线段上，，平面平面.
（1）求证：；
（2）设点是三棱锥的外接球的球心，且四棱锥的体积是，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：在直角梯形中，，，则，，
在中，，，所以，，
因为，所以，
在中，，，
则，
又因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以；
（2）解：取的中点为，连接PO，因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
所以，解得，
以点为原点，分别以，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，
设，因为点是三棱锥的外接球的球心，则点应在平面上，所以，
又，，所以，解得，所以，
所以，
设是平面的一个法向量，
则，即，取，则，，可得，
设直线与平面所成的角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值是.
【知识点】球内接多面体；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质得到平面，进而得到线线垂直；
（2）取的中点为，连接PO，利用面面垂直的性质证明平面，再根据四棱锥 的体积求得，以点为原点，分别以，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）证明：在直角梯形中，，，则，.
在中，，，所以，.
因为，所以.
在中，，，
则.
又，所以.
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
（2）取的中点为，连接PO. 因为，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
所以，解得.
以点为原点，分别以，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，.
，.
设，因为点是三棱锥的外接球的球心，则点应在平面上，所以.
又，，
所以，解得，所以.
所以.
设是平面的一个法向量，
则，即，取，则，，
所以.
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值是.
18．（2026·邵阳模拟）已知双曲线的渐近线方程为，右焦点为，直线与相切于点.
（1）若与的渐近线分别交于，两点，证明：点为线段AB的中点；
（2）已知直线：，：，若与，分别交于点，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：设双曲线，
由题意得：，解得，故双曲线方程为，
设，则ⅰ）当切线斜率不存在时，由对称性可知，为AB的中点；
ⅱ）当切线斜率存在时，设切线（或），
联立，消去得：，
由，即，
又，则，，
所以，即，解得，
所以直线，又，则，
联立方程组：，消去得，
将，代入上式化简为，恒成立，
设，，则，即为AB的中点；
（2）解：因为与相交，所以切线的斜率存在，
由（1）知，切线，将，分别代入切线的方程得，，
则，，
故，
故存在，使得恒成立.
【知识点】平面内两点间的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设双曲线，由题意列方程组，求解即可得双曲线的标准方程；再分直线是否存在斜率进行分类讨论，当切线斜率存在时，设切线，联立直线与双曲线方程，消元整理，结合一元二次方程根与系数关系进行运算求解证明即可；
（2）由（1）知，切线，将，分别代入切线的方程得点的坐标，再根据两点间距离公式，结合（1）的结论进行求解即可.
（1）设双曲线，
由题意得：解得故双曲线方程为.
设，则
ⅰ）当切线斜率不存在时，由对称性可知，为AB的中点.
ⅱ）当切线斜率存在时，设切线（或）
联立方程组：消去得：.
由，即.
又，则，，
所以，即，解得.
所以直线，又，则.
联立方程组：消去得：，因为.
则上式化简为，恒成立.
设，，则，所以为AB的中点.
（2）因为与相交，则切线的斜率存在，
由（1）知，切线，将，分别代入切线的方程得
所以，，则，
.
所以.
故存在，使得恒成立.
19．（2026·邵阳模拟）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若函数有两个零点和，且，求证：；
（3）设函数，，若与的图象有两个交点，，试比较与的大小.（参考数据：，）
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
当时，取极小值，极小值为，无极大值；
（2）证明：有两个零点，即方程有两个不同实根和，，
设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，，
的大致图象，如图所示：
可知函数的最低点为，，
直线的方程为，直线的方程为，
则直线与函数的图象交点的横坐标分别是和，
设与直线和的交点的横坐标分别是和，，解方程可得，，，
当时，，则函数的图象在线段的下方，
当时，，
令，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，其中，
故函数的图象在线段的下方，根据单调性可得，，则，
故；
（3）解：由得，即，，，
两式相加，得；
两式相减，得，
所以，
所以，
即，
不妨令，记，则，
令，则，
所以在上单调递增，则，
所以，即，所以，
又，
所以，即，
令，则时，，在上单调递增，
又因为，所以，
则，即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值即可；
（2）由题意可得：方程有两个不同实根和，设，利用导数判断其单调性，求最值，作出函数的大致图象，根据导数与最值的关系求出函数的最值点，分别求出直线、方程，可得到与直线的交点横坐标及差值，再比较与差值的大小即可；
（3）根据与的图象有两个交点得到，通过构造函数及导数与最值的关系得到，结合基本不等式得到，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性的关系求解即可.
（1）的定义域为，，
当时，. 当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，取极小值，极小值为，无极大值.
（2）有两个零点，即方程有两个不同实根和，.
设，则.
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，.
的大致图象如图所示，
可知函数的最低点为，，
直线的方程为，直线的方程为.
则直线与函数的图象交点的横坐标分别是和，
设与直线和的交点的横坐标分别是和，.
解方程可得，，.
当时，，
所以函数的图象在线段的下方.
当时，.
令，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，所以，其中，
故函数的图象在线段的下方.
所以根据单调性，可得，，所以，
故.
（3）由得，即，
所以，，
两式相加，得；
两式相减，得，
所以，
所以，
即.
不妨令，记，则，
令，则，
所以在上单调递增，则，
所以，即，所以.
又，
所以，即.
令，则时，，
所以在上单调递增.
又，
所以，
所以，即.
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