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广东省深圳市实验中学2025—2026学年八年级第二学期数学第四次学情自测试卷（2026.03.27)
1．下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
B是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
D既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
2．若，则下列不等式变形错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，故正确，不合题意；
B、∵，
∴，故正确，不合题意；
C、∵，
∴，故正确，不合题意；
D、∵，
∴，
∴，故错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．下列由左到右的变形中属于因式分解的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A：不是因式分解，不符合题意；
B：是因式分解，符合题意；
C：不是因式分解，不符合题意；
D：不是因式分解，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．如图，函数y= ax+4和y=2x的图象相交于点A（m，3)，则不等式 ax+4>2x的解集为（　　)
A． B．x<3 C． D．x>3
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：将点A（m，3)代入y=2x可得，2m=3，解得：
∴
∴当时，ax+4>2x
故答案为：A
【分析】将点A坐标代入函数y=2x可得，当函数y= ax+4的图象在函数y=2x的图象图象上方时，有ax+4>2x，结合函数图象即可求出答案.
5．如图，在△ABC中， BC=9cm.将△ABC沿BC所在直线向右平移，所得的对应图形为△DEF ，当点E在点C左侧时，连接AD，若AD=2CE，则平移的距离是（　　)
A．12cm B．9cm C．6cm D．15cm
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC沿BC所在直线向右平移，所得的对应图形为△DEF
∴AD=BE=CF，BC=EF=12
∵AD=2CE
∴
故答案为：C
【分析】根据平移性质，结合边之间的关系即可求出答案.
6．如图，△ABC中， ∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转（ 得到△ADE ， DE交AC于F .当α=42°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（　　)
A．80° B．82° C．84° D．86°
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可得，∠BAC=∠DAE=55°，AB=AD，
∵α=42°
∴∠DAF=13°，∠B=∠ADB=∠ADE=69°
∴∠AFE=∠DAF+∠ADE=82°
故答案为：B
【分析】根据旋转性质可得∠BAC=∠DAE=55°，AB=AD，再根据角之间的关系可得∠DAF=13°，∠B=∠ADB=∠ADE=69°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
7．若关于x的不等式组 的解集只有3个整数解，则a的取值范围是（　　)
A．10【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①可得：
解不等式②可得：
∵不等式组的解集只有3个整数解
∴
解得：10故答案为：A
【分析】分别解两个不等式，再根据不等式组有3个整数解建立关于a的不等式，再解不等式即可求出答案.
8．如图，点O是等边△ABC内一点， OA=2， OB=2 ， OC=4，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，则 的值为（　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：在△BO'A和△BOC中
∴△BO'A≌△BOC(SAS)
∴O'A=OC=4
连接OO'
由旋转性质可得△BOO'是等边三角形
∴OO'=OB=2
在△AOO'中，AO=2，OO'=2，AO'=4
∴AO2+OO'2=AO'2
∴△AOO'是直角三角形，∠AOO'=90°
∴，
∴
∵△BO'A≌△BOC
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据全等三角形判定定理可得△BO'A≌△BOC(SAS)，则O'A=OC=4，连接OO'，根据旋转性质可得△BOO'是等边三角形，则OO'=OB=2，根据勾股定理逆定理可得△AOO'是直角三角形，∠AOO'=90°，再根据三角形面积即可求出答案.
9．因式分解： 　 　．
【答案】a（a+2）（a-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=a（a+2）（a-2）.
故答案为a（a+2）（a-2）.
【分析】根据因式分解的提公因式法和公式法中的平方差公式即可得出答案.
10．关于x的方程的解是一个非负数，则a的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵x-a=1-2x，
∴x+2x=a+1，
∴3x=a+1，
∴x=.
∵不等式的解是一个非负数，
∴≥0，
∴a≥-1.
故答案为：a≥-1.
【分析】根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤可得x，由不等式的解是一个非负数可得x≥0，据此可得关于a的不等式，求解即可.
11．在Rt△ABC中， ∠C=90°， BC=6，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP交BC于点D.若∠B=∠CAD，则BD的长为　 　.
【答案】4
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠C=90°
∴∠CAB+∠B=90°
∴∠B+∠CAD+∠BAD=90°
由题意可得，AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD
∵∠B=∠CAD
∴∠B=∠CAD=∠BAD=30°
∴AD=BD
在Rt△ACD中，∠CAD=30°
∴AD=2CD
∴BD=2CD
∵BC=6
∴
∴BD=4
故答案为：4
【分析】根据三角形内角和定理可得∠CAB+∠B=90°，根据角之间的关系可得∠B+∠CAD+∠BAD=90°，由题意可得，AD平分∠BAC，根据角平分线定义可得∠CAD=∠BAD，再根据角之间的关系可得∠B=∠CAD=∠BAD=30°，根据等角对等边可得AD=BD，再根据含30°角的直角三角形性质可得AD=2CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．如图△ABC中， ，将BC边绕点B顺时针旋转90°至BD，连接AD，则AD=　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N
∵∠CAB=45°，∠AMC=90°
∴∠CAB=∠ACM=45°
∵
∴AM=CM=1
由题意可得，BC=BD，∠CBD=90°
∴∠CBM+∠DBN=90°
∵∠CBM+∠BCM=90°
∴∠BCM=∠DBN，∠CBM=∠BDN
在△BCM和△DBN中
∴△BCM≌△DBN(ASA)
∴BN=AM=1，DN=BM=2，AN=AB+BN=4
∴
故答案为：
【分析】作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，根据等腰直角三角形性质可得AM=CM=1，根据角之间的关系可得∠BCM=∠DBN，∠CBM=∠BDN，再根据全等三角形判定定理可得△BCM≌△DBN(ASA)，则BN=AM=1，DN=BM=2，AN=AB+BN=4，再根据勾股定理即可求出答案.
13．如图， D是等边三角形ABC外一点，连接AD、BD、CD，已知BD=8， CD=3，则AD的最小值为　 　.（此时∠BDC=　 　
【答案】5；60°
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：以BD为边向外作等边三角形BDE，连接CE
∵△BDE，△ABC为等边三角形
∴BE=BD，AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°
∴∠ABD=∠CBE
在△ABD和△∠CBE中
∴△ABD≌△∠CBE(SAS)
∴CE=AD
∵BE=BD=DE=8，CD=3
∴当C，D，E三点共线时，CE有最小值
∴CE=DE-CD=5
∴AD的最小值为5，此时∠BDC=60°
故答案为：5；60°
【分析】以BD为边向外作等边三角形BDE，连接CE，根据等边三角形性质可得BE=BD，AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°，则∠ABD=∠CBE，再根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△∠CBE(SAS)，则CE=AD，当C，D，E三点共线时，CE有最小值，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．解不等式组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：解不等式3x-2<2x+2得x<4；
解不等式6-x≥1-3（x-1)得x≥-1，
故不等式组的解集为：-1≤x<4
（2）解：解不等式（1）得
解不等式（2）得x≥0.
故不等式组的解集为：x≥0.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可.
（2）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可.
15．如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建系.
（1）将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移 1 个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出A1的坐标 ▲ ；
（2）将△A1B1C1绕点（0，-1)顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3） △A2B2C2是由△ABC绕点（写坐标)　 　顺时针旋转　 　度得到的.
【答案】（1）解：如图所示， △A1B1C1即为所求，由题可得A1（-3，4)；
（2）解：如图所示， △A2B2C2即为所求；
（3）（2，-4)；90
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移性质作图即可.
（2）根据旋转性质作图即可.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
16．“满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱，某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的青提和红提供客户对比品尝，购买2千克红提和5千克青提用了78元，购买3千克红提和4千克青提用了75元.
（1）求每千克红提和青提进价各是多少元.
（2）若该水果商城决定再次购买同种红提和青提共40千克，且再次购买的费用不超过450元，且每种提子进价保持不变，若红提的销售单价为13元，青提的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的红提和青提售完后获得利润最大 最大利润是多少
【答案】（1）解：设每千克红提的进价x元，则每千克青提的进价是y元，
由题意得： 解得：
答：每千克红提的进价是9元，则每千克青提的进价是12元；
（2）解：设购买红提a千克，
由题意得： 9a+12（40-a)≤450，解得： a≥10，
设利润为w元，
由题意得： w=（13-9)a+（18-12)（40-a)=-2a+240，
由-2<0可知w随a的增大而减小，
∴当a=10时， w有最大值=220，此时， 40-a=30，
答：购买红提10千克，青提30千克，售完后获得利润最大，最大利润是220元
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每千克红提的进价x元，则每千克青提的进价是y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买红提a千克，根据题意建立不等式，解不等式可得a的范围，设利润为w元，根据总利润=单件利润×总销售量建立函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
17．如图，在锐角 中，点E是AB边上一点， 于点D， AD与EC交于点G.
（1）求证： 是等腰三角形.
（2）若BE=10，CD=3，G为CE中点，求AG的长.
【答案】（1）解：证明： ∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°， ∠DCG+∠DGC=90°，
∵EB=EC，
∴∠B=∠DCG，
∴∠BAD=∠DGC，
∵∠AGE=∠DGC，
∴∠BAD=∠AGE，
∴EA=EG，
∴△AEG是等腰三角形
（2）解：过点E作EF⊥AG，垂足为F，
∴∠EFG=90°，
∵EA=EG， EF⊥AG，
∴AG=2FG，
∵G为CE中点，
∵EB=EC=10，
∵∠EFG=∠CDG=90°， ∠EGF=∠CGD，
∴△EFG≌△CDG（AAS)，
∴FG=DG，
在Rt△CDG中， CD=3，
∴FG=DG=4，
∴AG=2FG=8，
∴AG的长为8.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据垂直可得∠ADB=∠ADC=90°，根据三角形内角和定理可得∠B+∠BAD=90°， ∠DCG+∠DGC=90°，根据等边对等角可得∠B=∠DCG，则∠BAD=∠DGC，根据角之间的关系可得∠BAD=∠AGE，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）过点E作EF⊥AG，垂足为F，根据等腰三角形三线合一性质可得AG=2FG，根据线段中点可得，根据边之间的关系可得GC，再根据全等三角形判定定理可得△EFG≌△CDG（AAS)，则FG=DG，根据勾股定理即可求出答案.
18．【代数推理】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究.
（1）小明的方法是从小到大逐一列举：
3 …
则小明列举的第8个“智慧数”是　 　.
（2）小华在小明列举的基础上发现：除1外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明：
证明：设k是正整数，
又∵k是正整数，
∴2k+1为大于或等于3的奇数.
∴除1 外，所有的正奇数都是“智慧数”.
她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，请参考上面的方法进行证明。
（3）用含有k的式子表示除1、2、4外的其它非“智慧数”：　 　.（k是正整数)
（4）根据（3）的结论，将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是多少
【答案】（1）13
（2）证明：设n是大于1的正整数，
则
=4n，
∵n是大于1的正整数，
∴n+1和n-1都是正整数，
∴4n是“智慧数”，
又∵4n能被4整除，
∴除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；
（3）4k+2
（4）解：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，
∵（2025-1)÷3=674……2，
∴第2025个智慧数在674+1=675 （组)，并且是第2个数，即675×4+3=2703.
将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是2703.
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律；数的整除性；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1）解：
∴12和13都是“智慧数”，
∴小明列举的第8个“智慧数”是13，
（3）解：由（2）可知除1外的所有奇数是“智慧数”，除4外的所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，
∴除1，2，4外的非“智慧数”一定是偶数且不能被4整除，
∴除1，2，4外的非“智慧数”除以4的余数一定为2，
∴除1，2，4外的非“智慧数”可以表示为4k+2
【分析】（1）根据智慧数的定义，结合等式的变换，总结规律即可求出答案.
（2）设n是大于1的正整数，根据智慧数的定义列式，结合完全平方公式化简，再根据整除的意义即可求出答案.
（3）根据（2）中结论即可求出答案.
（4）把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，结合有理数的减法，除法可得第2025个智慧数在674+1=675 （组)，并且是第2个数，即675×4+3=2703，即将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是2703.
19．【费马点】
（1）【问题背景】在已知△ABC所在平面内求一点P ，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1).这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在 1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”.解决方法如下：
如图2，把△APC绕A 点逆时针旋转60°得到 （点P 、C的对应点分别为点P1、C1)，连接PP1.当B、P、P1、C1四点在同一直线上时， 点P是△ABC的“费马点”.
证明过程如下：
由旋转可知
则
▲ ，
为等边三角形，
∴ ▲ ，
∴当B、P、P1、C1四点在同一直线上时， PA+PB+PC的值
最小，即点P 是△ABC的“费马点”.
此时： ∠APB=∠APC=∠BPC= ▲ .
（2）【迁移应用】如图3， 已知锐角△ABC， 分别以AB， AC为边向外作正△ABE和正△ACD，连接CE、BD相交于P点， CE交AB于点M ， BD交AC于点N. 求∠CPD的度数.
（经过一定的证明我们可知：所得点P 也是△ABC的“费马点”)
（3）【拓展提升】如图4， △ABC中， ∠ABC=60°， 点P是△ABC内一点， AB=4， BC=6，求 PA+PB+PC的最小值.
【答案】（1）证明：由旋转可知△APC≌△AP1C1，
则
∵∠PAP1=60°，
∴△APP1为等边三角形，
∴当B， P， P1， C1四点在同一直线上时， PA+PB+PC的值最小，即点P是△ABC的“费马点”.
此时： ∠APB=∠APC=∠BPC=120°.
（2）解：∵△AEB和△ADC均为等边三角形，
∴EA=EB=AB， AD=AC=DC， ∠EAB=∠DAC=60°，
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠BAD=∠EAC，
在△EAC和△BAD中，
∴△EAC≌△BAD（SAS)，
∴∠ACE=∠ADB，
设∠ACE=∠ADB=α，则∠PCD=60°+α，∠PDC=60°-α，
由三角形内角和定理可得，
（3）解：将△BPA绕点B顺时针旋转60°得到△BFE，作EH⊥CB交CB于H，如图：
∵∠ABC=60°， ∠ABE=60°，
∴∠EBC=120°，
∵PB=BF， ∠PBF=60°，
∴△PBF 是等边三角形，
∴PB=PF，
∵PA=EF，
∴PA+PB+PC=EF+PF+PC，
根据两点之间线段最短可知，当E，F，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值即为EC的长，
在Rt△EBH中， ∠EBH=180°-∠EBC=60°， EB=AB=4，
∴CH=BH+CB=2+6=8，

【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形；费马点模型
【解析】【分析】（1）根据旋转性质可得△APC≌△AP1C1，则，再根据等边三角形判定定理可得△APP1为等边三角形，则，再根据边之间的关系可得，则当B， P， P1， C1四点在同一直线上时， PA+PB+PC的值最小，即点P是△ABC的“费马点”，结合角之间的关系即可求出答案.
（2）根据等边三角形性质可得EA=EB=AB， AD=AC=DC， ∠EAB=∠DAC=60°，再根据角之间的关系可得∠BAD=∠EAC，再根据全等三角形判定定理可得△EAC≌△BAD（SAS)，则∠ACE=∠ADB，设∠ACE=∠ADB=α，则∠PCD=60°+α，∠PDC=60°-α，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（3）将△BPA绕点B顺时针旋转60°得到△BFE，作EH⊥CB交CB于H，根据补角可得∠EBC=120°，再根据等边三角形判定定理可得△PBF 是等边三角形，则PB=PF，根据边之间的关系可得PA+PB+PC=EF+PF+PC，当E，F，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值即为EC的长，解直角三角形可得BH，EH，根据边之间的关系可得CH，再根据勾股定理即可求出答案.
20．【旋转构造】
（1）【问题背景】如图1，P是等边 外一点， 则
小明为了证明这个结论，将 绕点A逆时针旋转（ 请根据此思路完成这个证明；
（2）【迁移应用】如图2，P是等边 内一点，且 则 　 　.
（3）【拓展提升】如图3，在等腰直角 中， 点P在 外部，且 若PC=6，求 的面积.
（4）如图4，在四边形ABCD中， 点 E在四边形ABCD内部，且 求AB的长.
【答案】（1）证明：将△PAB绕点A逆时针旋转60°，
可得△APB≌△AP'C，
∴PB=P'C， ∠APB=∠AP'C=30°，
则△APP'为等边三角形，
在 Rt△PP'C中，由勾股定理可得：
（2）150°
（3）解：如图3，作BD⊥PB交PC的延长线于点D，连接AD，
∵∠BPC=45°，
∴∠BDP=45°，
故BP=BD.
∵∠PBD=∠CBA=90°，
∴∠PBC=∠DBA，
在△PBC和△DBA中，
∴△PBC≌△DBA（SAS)，
∴PC=AD=6， ∠ADB=∠BPC=45°，
∴∠PDA=∠BDP+∠ADB=45°+45°=90°，
故△APC的面积
（4）解：如图4，把EA绕点E顺时针旋转90°至EF，连接CF，连接BF，即 EA=EF.
由旋转可知∠AED=∠FEC，
在△AED和△FEC中，
∴△AED≌△FEC（SAS)，
∴AD=CF， ∠ADE=∠FCE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠EDC+∠DCE+∠ECB=180°，
∵∠EDC+∠DCE=90°，
∴∠ADE+∠ECB=90°，即∠FCE+∠ECB=90°，即∠FCB=90°，
由勾股定理可得
∵∠AEB=135°，
∴∠BEF=360°-∠AEB-∠AEF=360°-135°-90°=135°，
∴∠AEB=∠BEF，
在 和 中，
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；旋转全等模型
【解析】【解答】解：（2）如图2所示，将△ABP绕点A逆时针旋转60°至△ACP'，连接PP'，则△ABP≌△ACP'，
∴∠APB=∠AP'C， △APP'为等边三角形，
故
则∠APB+∠P'PC=∠AP'C+∠P'PC
=360°-∠P'AP-∠APP'-∠PCP'
=150°，
故
故答案为：150°
【分析】（1）将△PAB绕点A逆时针旋转60°，可得△APB≌△AP'C，根据全等三角形性质可得PB=P'C， ∠APB=∠AP'C=30°，再根据等边三角形判定定理可得△APP'为等边三角形，根据角之间的关系可得∠PP'C，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）将△ABP绕点A逆时针旋转60°至△ACP'，连接PP'，则△ABP≌△ACP'，即∠APB=∠AP'C， △APP'为等边三角形，根据勾股定理逆定理可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）作BD⊥PB交PC的延长线于点D，连接AD，根据等角对等边可得BP=BD，再根据全等三角形判定定理可得△PBC≌△DBA（SAS)，则PC=AD=6， ∠ADB=∠BPC=45°，根据角之间的关系可得∠PDA，再根据三角形面积即可求出答案.
（4）把EA绕点E顺时针旋转90°至EF，连接CF，连接BF，即 EA=EF，根据旋转性质可得∠AED=∠FEC，再根据全等三角形判定定理可得△AED≌△FEC（SAS)，则AD=CF， ∠ADE=∠FCE，根据直线平行性质可得∠ADE+∠EDC+∠DCE+∠ECB=180°，根据角之间的关系可得∠FCB=90°，根据勾股定理可得BF，根据角之间的关系可得∠AEB=∠BEF，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市实验中学2025—2026学年八年级第二学期数学第四次学情自测试卷（2026.03.27)
1．下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　)
A． B．
C． D．
2．若，则下列不等式变形错误的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列由左到右的变形中属于因式分解的是（　　)
A． B．
C． D．
4．如图，函数y= ax+4和y=2x的图象相交于点A（m，3)，则不等式 ax+4>2x的解集为（　　)
A． B．x<3 C． D．x>3
5．如图，在△ABC中， BC=9cm.将△ABC沿BC所在直线向右平移，所得的对应图形为△DEF ，当点E在点C左侧时，连接AD，若AD=2CE，则平移的距离是（　　)
A．12cm B．9cm C．6cm D．15cm
6．如图，△ABC中， ∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转（ 得到△ADE ， DE交AC于F .当α=42°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（　　)
A．80° B．82° C．84° D．86°
7．若关于x的不等式组 的解集只有3个整数解，则a的取值范围是（　　)
A．108．如图，点O是等边△ABC内一点， OA=2， OB=2 ， OC=4，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，则 的值为（　　)
A． B． C． D．
9．因式分解： 　 　．
10．关于x的方程的解是一个非负数，则a的取值范围是　 　.
11．在Rt△ABC中， ∠C=90°， BC=6，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP交BC于点D.若∠B=∠CAD，则BD的长为　 　.
12．如图△ABC中， ，将BC边绕点B顺时针旋转90°至BD，连接AD，则AD=　 　.
13．如图， D是等边三角形ABC外一点，连接AD、BD、CD，已知BD=8， CD=3，则AD的最小值为　 　.（此时∠BDC=　 　
14．解不等式组：
（1）
（2）
15．如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建系.
（1）将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移 1 个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出A1的坐标 ▲ ；
（2）将△A1B1C1绕点（0，-1)顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3） △A2B2C2是由△ABC绕点（写坐标)　 　顺时针旋转　 　度得到的.
16．“满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱，某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的青提和红提供客户对比品尝，购买2千克红提和5千克青提用了78元，购买3千克红提和4千克青提用了75元.
（1）求每千克红提和青提进价各是多少元.
（2）若该水果商城决定再次购买同种红提和青提共40千克，且再次购买的费用不超过450元，且每种提子进价保持不变，若红提的销售单价为13元，青提的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的红提和青提售完后获得利润最大 最大利润是多少
17．如图，在锐角 中，点E是AB边上一点， 于点D， AD与EC交于点G.
（1）求证： 是等腰三角形.
（2）若BE=10，CD=3，G为CE中点，求AG的长.
18．【代数推理】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究.
（1）小明的方法是从小到大逐一列举：
3 …
则小明列举的第8个“智慧数”是　 　.
（2）小华在小明列举的基础上发现：除1外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明：
证明：设k是正整数，
又∵k是正整数，
∴2k+1为大于或等于3的奇数.
∴除1 外，所有的正奇数都是“智慧数”.
她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，请参考上面的方法进行证明。
（3）用含有k的式子表示除1、2、4外的其它非“智慧数”：　 　.（k是正整数)
（4）根据（3）的结论，将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是多少
19．【费马点】
（1）【问题背景】在已知△ABC所在平面内求一点P ，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1).这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在 1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”.解决方法如下：
如图2，把△APC绕A 点逆时针旋转60°得到 （点P 、C的对应点分别为点P1、C1)，连接PP1.当B、P、P1、C1四点在同一直线上时， 点P是△ABC的“费马点”.
证明过程如下：
由旋转可知
则
▲ ，
为等边三角形，
∴ ▲ ，
∴当B、P、P1、C1四点在同一直线上时， PA+PB+PC的值
最小，即点P 是△ABC的“费马点”.
此时： ∠APB=∠APC=∠BPC= ▲ .
（2）【迁移应用】如图3， 已知锐角△ABC， 分别以AB， AC为边向外作正△ABE和正△ACD，连接CE、BD相交于P点， CE交AB于点M ， BD交AC于点N. 求∠CPD的度数.
（经过一定的证明我们可知：所得点P 也是△ABC的“费马点”)
（3）【拓展提升】如图4， △ABC中， ∠ABC=60°， 点P是△ABC内一点， AB=4， BC=6，求 PA+PB+PC的最小值.
20．【旋转构造】
（1）【问题背景】如图1，P是等边 外一点， 则
小明为了证明这个结论，将 绕点A逆时针旋转（ 请根据此思路完成这个证明；
（2）【迁移应用】如图2，P是等边 内一点，且 则 　 　.
（3）【拓展提升】如图3，在等腰直角 中， 点P在 外部，且 若PC=6，求 的面积.
（4）如图4，在四边形ABCD中， 点 E在四边形ABCD内部，且 求AB的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
B是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
D既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，故正确，不合题意；
B、∵，
∴，故正确，不合题意；
C、∵，
∴，故正确，不合题意；
D、∵，
∴，
∴，故错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A：不是因式分解，不符合题意；
B：是因式分解，符合题意；
C：不是因式分解，不符合题意；
D：不是因式分解，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：将点A（m，3)代入y=2x可得，2m=3，解得：
∴
∴当时，ax+4>2x
故答案为：A
【分析】将点A坐标代入函数y=2x可得，当函数y= ax+4的图象在函数y=2x的图象图象上方时，有ax+4>2x，结合函数图象即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC沿BC所在直线向右平移，所得的对应图形为△DEF
∴AD=BE=CF，BC=EF=12
∵AD=2CE
∴
故答案为：C
【分析】根据平移性质，结合边之间的关系即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可得，∠BAC=∠DAE=55°，AB=AD，
∵α=42°
∴∠DAF=13°，∠B=∠ADB=∠ADE=69°
∴∠AFE=∠DAF+∠ADE=82°
故答案为：B
【分析】根据旋转性质可得∠BAC=∠DAE=55°，AB=AD，再根据角之间的关系可得∠DAF=13°，∠B=∠ADB=∠ADE=69°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①可得：
解不等式②可得：
∵不等式组的解集只有3个整数解
∴
解得：10故答案为：A
【分析】分别解两个不等式，再根据不等式组有3个整数解建立关于a的不等式，再解不等式即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：在△BO'A和△BOC中
∴△BO'A≌△BOC(SAS)
∴O'A=OC=4
连接OO'
由旋转性质可得△BOO'是等边三角形
∴OO'=OB=2
在△AOO'中，AO=2，OO'=2，AO'=4
∴AO2+OO'2=AO'2
∴△AOO'是直角三角形，∠AOO'=90°
∴，
∴
∵△BO'A≌△BOC
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据全等三角形判定定理可得△BO'A≌△BOC(SAS)，则O'A=OC=4，连接OO'，根据旋转性质可得△BOO'是等边三角形，则OO'=OB=2，根据勾股定理逆定理可得△AOO'是直角三角形，∠AOO'=90°，再根据三角形面积即可求出答案.
9．【答案】a（a+2）（a-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=a（a+2）（a-2）.
故答案为a（a+2）（a-2）.
【分析】根据因式分解的提公因式法和公式法中的平方差公式即可得出答案.
10．【答案】
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵x-a=1-2x，
∴x+2x=a+1，
∴3x=a+1，
∴x=.
∵不等式的解是一个非负数，
∴≥0，
∴a≥-1.
故答案为：a≥-1.
【分析】根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤可得x，由不等式的解是一个非负数可得x≥0，据此可得关于a的不等式，求解即可.
11．【答案】4
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠C=90°
∴∠CAB+∠B=90°
∴∠B+∠CAD+∠BAD=90°
由题意可得，AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD
∵∠B=∠CAD
∴∠B=∠CAD=∠BAD=30°
∴AD=BD
在Rt△ACD中，∠CAD=30°
∴AD=2CD
∴BD=2CD
∵BC=6
∴
∴BD=4
故答案为：4
【分析】根据三角形内角和定理可得∠CAB+∠B=90°，根据角之间的关系可得∠B+∠CAD+∠BAD=90°，由题意可得，AD平分∠BAC，根据角平分线定义可得∠CAD=∠BAD，再根据角之间的关系可得∠B=∠CAD=∠BAD=30°，根据等角对等边可得AD=BD，再根据含30°角的直角三角形性质可得AD=2CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N
∵∠CAB=45°，∠AMC=90°
∴∠CAB=∠ACM=45°
∵
∴AM=CM=1
由题意可得，BC=BD，∠CBD=90°
∴∠CBM+∠DBN=90°
∵∠CBM+∠BCM=90°
∴∠BCM=∠DBN，∠CBM=∠BDN
在△BCM和△DBN中
∴△BCM≌△DBN(ASA)
∴BN=AM=1，DN=BM=2，AN=AB+BN=4
∴
故答案为：
【分析】作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，根据等腰直角三角形性质可得AM=CM=1，根据角之间的关系可得∠BCM=∠DBN，∠CBM=∠BDN，再根据全等三角形判定定理可得△BCM≌△DBN(ASA)，则BN=AM=1，DN=BM=2，AN=AB+BN=4，再根据勾股定理即可求出答案.
13．【答案】5；60°
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：以BD为边向外作等边三角形BDE，连接CE
∵△BDE，△ABC为等边三角形
∴BE=BD，AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°
∴∠ABD=∠CBE
在△ABD和△∠CBE中
∴△ABD≌△∠CBE(SAS)
∴CE=AD
∵BE=BD=DE=8，CD=3
∴当C，D，E三点共线时，CE有最小值
∴CE=DE-CD=5
∴AD的最小值为5，此时∠BDC=60°
故答案为：5；60°
【分析】以BD为边向外作等边三角形BDE，连接CE，根据等边三角形性质可得BE=BD，AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°，则∠ABD=∠CBE，再根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△∠CBE(SAS)，则CE=AD，当C，D，E三点共线时，CE有最小值，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】（1）解：解不等式3x-2<2x+2得x<4；
解不等式6-x≥1-3（x-1)得x≥-1，
故不等式组的解集为：-1≤x<4
（2）解：解不等式（1）得
解不等式（2）得x≥0.
故不等式组的解集为：x≥0.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可.
（2）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可.
15．【答案】（1）解：如图所示， △A1B1C1即为所求，由题可得A1（-3，4)；
（2）解：如图所示， △A2B2C2即为所求；
（3）（2，-4)；90
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移性质作图即可.
（2）根据旋转性质作图即可.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
16．【答案】（1）解：设每千克红提的进价x元，则每千克青提的进价是y元，
由题意得： 解得：
答：每千克红提的进价是9元，则每千克青提的进价是12元；
（2）解：设购买红提a千克，
由题意得： 9a+12（40-a)≤450，解得： a≥10，
设利润为w元，
由题意得： w=（13-9)a+（18-12)（40-a)=-2a+240，
由-2<0可知w随a的增大而减小，
∴当a=10时， w有最大值=220，此时， 40-a=30，
答：购买红提10千克，青提30千克，售完后获得利润最大，最大利润是220元
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每千克红提的进价x元，则每千克青提的进价是y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买红提a千克，根据题意建立不等式，解不等式可得a的范围，设利润为w元，根据总利润=单件利润×总销售量建立函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
17．【答案】（1）解：证明： ∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°， ∠DCG+∠DGC=90°，
∵EB=EC，
∴∠B=∠DCG，
∴∠BAD=∠DGC，
∵∠AGE=∠DGC，
∴∠BAD=∠AGE，
∴EA=EG，
∴△AEG是等腰三角形
（2）解：过点E作EF⊥AG，垂足为F，
∴∠EFG=90°，
∵EA=EG， EF⊥AG，
∴AG=2FG，
∵G为CE中点，
∵EB=EC=10，
∵∠EFG=∠CDG=90°， ∠EGF=∠CGD，
∴△EFG≌△CDG（AAS)，
∴FG=DG，
在Rt△CDG中， CD=3，
∴FG=DG=4，
∴AG=2FG=8，
∴AG的长为8.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据垂直可得∠ADB=∠ADC=90°，根据三角形内角和定理可得∠B+∠BAD=90°， ∠DCG+∠DGC=90°，根据等边对等角可得∠B=∠DCG，则∠BAD=∠DGC，根据角之间的关系可得∠BAD=∠AGE，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）过点E作EF⊥AG，垂足为F，根据等腰三角形三线合一性质可得AG=2FG，根据线段中点可得，根据边之间的关系可得GC，再根据全等三角形判定定理可得△EFG≌△CDG（AAS)，则FG=DG，根据勾股定理即可求出答案.
18．【答案】（1）13
（2）证明：设n是大于1的正整数，
则
=4n，
∵n是大于1的正整数，
∴n+1和n-1都是正整数，
∴4n是“智慧数”，
又∵4n能被4整除，
∴除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；
（3）4k+2
（4）解：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，
∵（2025-1)÷3=674……2，
∴第2025个智慧数在674+1=675 （组)，并且是第2个数，即675×4+3=2703.
将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是2703.
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律；数的整除性；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1）解：
∴12和13都是“智慧数”，
∴小明列举的第8个“智慧数”是13，
（3）解：由（2）可知除1外的所有奇数是“智慧数”，除4外的所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，
∴除1，2，4外的非“智慧数”一定是偶数且不能被4整除，
∴除1，2，4外的非“智慧数”除以4的余数一定为2，
∴除1，2，4外的非“智慧数”可以表示为4k+2
【分析】（1）根据智慧数的定义，结合等式的变换，总结规律即可求出答案.
（2）设n是大于1的正整数，根据智慧数的定义列式，结合完全平方公式化简，再根据整除的意义即可求出答案.
（3）根据（2）中结论即可求出答案.
（4）把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，结合有理数的减法，除法可得第2025个智慧数在674+1=675 （组)，并且是第2个数，即675×4+3=2703，即将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是2703.
19．【答案】（1）证明：由旋转可知△APC≌△AP1C1，
则
∵∠PAP1=60°，
∴△APP1为等边三角形，
∴当B， P， P1， C1四点在同一直线上时， PA+PB+PC的值最小，即点P是△ABC的“费马点”.
此时： ∠APB=∠APC=∠BPC=120°.
（2）解：∵△AEB和△ADC均为等边三角形，
∴EA=EB=AB， AD=AC=DC， ∠EAB=∠DAC=60°，
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠BAD=∠EAC，
在△EAC和△BAD中，
∴△EAC≌△BAD（SAS)，
∴∠ACE=∠ADB，
设∠ACE=∠ADB=α，则∠PCD=60°+α，∠PDC=60°-α，
由三角形内角和定理可得，
（3）解：将△BPA绕点B顺时针旋转60°得到△BFE，作EH⊥CB交CB于H，如图：
∵∠ABC=60°， ∠ABE=60°，
∴∠EBC=120°，
∵PB=BF， ∠PBF=60°，
∴△PBF 是等边三角形，
∴PB=PF，
∵PA=EF，
∴PA+PB+PC=EF+PF+PC，
根据两点之间线段最短可知，当E，F，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值即为EC的长，
在Rt△EBH中， ∠EBH=180°-∠EBC=60°， EB=AB=4，
∴CH=BH+CB=2+6=8，

【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形；费马点模型
【解析】【分析】（1）根据旋转性质可得△APC≌△AP1C1，则，再根据等边三角形判定定理可得△APP1为等边三角形，则，再根据边之间的关系可得，则当B， P， P1， C1四点在同一直线上时， PA+PB+PC的值最小，即点P是△ABC的“费马点”，结合角之间的关系即可求出答案.
（2）根据等边三角形性质可得EA=EB=AB， AD=AC=DC， ∠EAB=∠DAC=60°，再根据角之间的关系可得∠BAD=∠EAC，再根据全等三角形判定定理可得△EAC≌△BAD（SAS)，则∠ACE=∠ADB，设∠ACE=∠ADB=α，则∠PCD=60°+α，∠PDC=60°-α，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（3）将△BPA绕点B顺时针旋转60°得到△BFE，作EH⊥CB交CB于H，根据补角可得∠EBC=120°，再根据等边三角形判定定理可得△PBF 是等边三角形，则PB=PF，根据边之间的关系可得PA+PB+PC=EF+PF+PC，当E，F，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值即为EC的长，解直角三角形可得BH，EH，根据边之间的关系可得CH，再根据勾股定理即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：将△PAB绕点A逆时针旋转60°，
可得△APB≌△AP'C，
∴PB=P'C， ∠APB=∠AP'C=30°，
则△APP'为等边三角形，
在 Rt△PP'C中，由勾股定理可得：
（2）150°
（3）解：如图3，作BD⊥PB交PC的延长线于点D，连接AD，
∵∠BPC=45°，
∴∠BDP=45°，
故BP=BD.
∵∠PBD=∠CBA=90°，
∴∠PBC=∠DBA，
在△PBC和△DBA中，
∴△PBC≌△DBA（SAS)，
∴PC=AD=6， ∠ADB=∠BPC=45°，
∴∠PDA=∠BDP+∠ADB=45°+45°=90°，
故△APC的面积
（4）解：如图4，把EA绕点E顺时针旋转90°至EF，连接CF，连接BF，即 EA=EF.
由旋转可知∠AED=∠FEC，
在△AED和△FEC中，
∴△AED≌△FEC（SAS)，
∴AD=CF， ∠ADE=∠FCE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠EDC+∠DCE+∠ECB=180°，
∵∠EDC+∠DCE=90°，
∴∠ADE+∠ECB=90°，即∠FCE+∠ECB=90°，即∠FCB=90°，
由勾股定理可得
∵∠AEB=135°，
∴∠BEF=360°-∠AEB-∠AEF=360°-135°-90°=135°，
∴∠AEB=∠BEF，
在 和 中，
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；旋转全等模型
【解析】【解答】解：（2）如图2所示，将△ABP绕点A逆时针旋转60°至△ACP'，连接PP'，则△ABP≌△ACP'，
∴∠APB=∠AP'C， △APP'为等边三角形，
故
则∠APB+∠P'PC=∠AP'C+∠P'PC
=360°-∠P'AP-∠APP'-∠PCP'
=150°，
故
故答案为：150°
【分析】（1）将△PAB绕点A逆时针旋转60°，可得△APB≌△AP'C，根据全等三角形性质可得PB=P'C， ∠APB=∠AP'C=30°，再根据等边三角形判定定理可得△APP'为等边三角形，根据角之间的关系可得∠PP'C，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）将△ABP绕点A逆时针旋转60°至△ACP'，连接PP'，则△ABP≌△ACP'，即∠APB=∠AP'C， △APP'为等边三角形，根据勾股定理逆定理可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）作BD⊥PB交PC的延长线于点D，连接AD，根据等角对等边可得BP=BD，再根据全等三角形判定定理可得△PBC≌△DBA（SAS)，则PC=AD=6， ∠ADB=∠BPC=45°，根据角之间的关系可得∠PDA，再根据三角形面积即可求出答案.
（4）把EA绕点E顺时针旋转90°至EF，连接CF，连接BF，即 EA=EF，根据旋转性质可得∠AED=∠FEC，再根据全等三角形判定定理可得△AED≌△FEC（SAS)，则AD=CF， ∠ADE=∠FCE，根据直线平行性质可得∠ADE+∠EDC+∠DCE+∠ECB=180°，根据角之间的关系可得∠FCB=90°，根据勾股定理可得BF，根据角之间的关系可得∠AEB=∠BEF，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
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