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(共60张PPT)
6.2 平行四边形的判定
第1课时 利用边判定平行四边形
1. 探究平行四边形的判定方法；（重点）
2. 理解平行四边形的判定方法并会灵活应用.（难点）
平行四边形的对边平行;
平行四边形的对边相等,
平行四边形的对角相等;
平行四边形的邻角互补.
平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形的性质
边
角
对角线
对称性
平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.
除了定义法判定平行四边形，还有没有其他方法呢？下面我们一起来探究！
问题：如何判定一个四边形是平行四边形呢？
B C
A D
根据定义就可以判定一个四边形是否为平行四边形：
如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形.
探究一：平行四边形的判定定理1
议一议：要画出一个以线段AB，AD为邻边，以∠BAD为一个内角的 ABCD，你有哪些画法？与同伴进行交流。
猜想：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形
你能证明你的猜想吗？
不是平行四边形
已知：四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
连接BD.
在△ABD和△CDB中,
∵AB=CD，AD=CB，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB(SSS).
∴ ∠1=∠2 , ∠ 3=∠4.
∴AB∥CD ,AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义）.
证明：
1
4
2
3
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
平行四边形的判定定理1
B
D
C
A
例1 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的两点，且AF＝CE.
求证：四边形AECF为平行四边形.
B
A
C
D
F
E
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC,∠B=∠D.
∵AF＝CE，
∴AD-AF=BC-CE,即DF=BE.
∴△ABE≌△CDF(SAS).
∴AE=CF.
又∵AF=CE,
∴四边形AECF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
1.如图所示，在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD.若∠B=110°,则∠A的度数为(　　)
A.110° B.80°
C.70° D.90°
C
2.如图所示，在四边形ABCD中，AB=5，BC=8，当CD=　　,AD=　　时,四边形ABCD是平行四边形.
5
8
探究二：平行四边形的判定定理2
我们还发现：一组对边分别相等的四边形是平行四边形。请你尝试证明这一结论。
D
A
B
C
已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
∵AB//CD,
∴∠BAC=∠DCA.
又∵AB=CD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA（SAS）.
∴BC=DA.
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
证明：连接AC.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
平行四边形的判定定理2
B
D
C
A
例2 已知：如图，在 ABCD中，E,F分别为AD和CB的中点.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
D
A
B
C
E
F
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB（平行四边形的对边相等），
AD∥CB（平行四边形的定义）.
∵E,F分别为AD和CB的中点，
∴ED＝AD，FB= CB.
∴ED=FB，ED∥FB.
∴四边形BFDE是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
D
A
B
C
E
F
例3 如图，AC=BD，AB=CD=EF，CE=DF.图中有哪些互相平行的线段？为什么？
解：∵AC=BD, AB=CD,
∴四边形ABDC是平行四边形,
∴AB∥CD，AC∥BD,
∵CD=EF,CE=DF,
∴四边形CDFE是平行四边形,
∴CD∥EF,CE∥DF,
∵CD∥EF,AB∥CD,
∴EF∥AB.
5.如图所示,在四边形ABCD中,对角线BD⊥AD，BD⊥BC，AD=11-x,BC=x-5,则当x=　　　　时,四边形ABCD是平行四边形.
4.如图所示,D是直线l外一点,在l上取两点A,B,连接AD,分别以点B,D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连接CD,CB,则四边形ABCD是　　　　　　,理由是_______________________________________.
平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
8
3.下列条件中,不能使四边形ABCD是平行四边形的是( 　)
A.AB∥CD,AB=CD B.AB∥CD,BC∥AD
C.AB∥CD,BC=AD D.AB=CD,BC=AD
C
1．能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD
B
2．下列叙述正确的的有（ ）
①对角线互相垂直的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
C
3.在四边形ABCD中:①AB∥CD;②AD∥BC;③AB=CD;④AD=BC.从以上条件中选择两个条件,使四边形ABCD为平行四边形的选法共有(　　)
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
B
6.已知直角坐标系内有四个点O(0,0)，A(3,0)，B(1,1)，C(x,1).若以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则x=　　　　　.
4.在四边形ABCD中，AD＝8cm，AB＝4cm．当BC＝___cm，CD＝_____cm 时，四边形ABCD为平行四边形．
5.在四边形ABCD中，AD＝BC，BD为对角线，∠ADB＝∠CBD，则AB和CD的关系为_________．
8
4
相等
4或-2
7.如图所示，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F，猜想BE与CF之间的数量关系，并加以证明.
证明:BE=CF.
∵DE∥BC,
∴∠DBC=∠BDE.
∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠DBC=∠ABD.
∴∠ABD=∠BDE.
∴DE=BE.
∵DE∥BC,EF∥AC,
∴四边形DEFC是平行四边形.
∴DE=CF.
∴BE=CF.
平行四边形的判定（1）
判定定理1
判定定理2
定义法
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
6.2 平行四边形的判定
第2课时 利用对角线判定平行四边形
1. 利用对角线互相平分判定平行四边形；（重点）
2. 平行四边形对角线互相平分的相关运用.（难点）
判定
判定定理1
判定定理2
定义判定
文字语言
图形语言
符号语言
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
思考：我们已经学习过的平行四边形判定方法有哪些？
A
B
C
D
∵ AB=CD, AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形
A
B
C
D
∵ AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行
四边形
平行四边形的判定方法
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形
我们还发现：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
通过上一课“思考·交流”的讨论，你还发现了什么？
请你尝试证明这一结论
探究：平行四边形判定定理3
做一做：画两条相互平分的线段，并将他们的端点顺次连接起来，看看它是不是平行四边形，小组讨论，验证所画的四边形是平行四边形.
C
A
B
D
O
提示：可以用刻度尺量一量它们的两组对边是否相等，也可以用量角器来检查它们的两组对边是否平行.
已知:如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,并且OA=OC,OB=OD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
C
A
B
D
O
证明: ∵OA＝OC，OB＝OD，且∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB（SAS）.
∴AD＝CB，∠ADO＝∠CBO．
∴AD∥CB．
∴四边形ABCD是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
平行四边形的判定定理3
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言：
A
C
D
B
O
∵OA=OC,OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形.
例1 有下列说法:
①一组对角相等; ②两条对角线互相相垂直;
③两条对角线互相平分; ④一组邻角补；
⑤两组对边都相等； ⑥两组对边分别平行.
能判定四边形是平行四边形的说法有（ ）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
C
例2 如图，E，F是□ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
F
D
C
B
A
E
分析：要证明一个四边形是平行四边形，如果从对角线的角度考虑，需要满足什么条件？如果从对边的角度考虑呢？
证明：如图所示，连接BD，交AC于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD(平行四边形对角线互相平分).
∴AE＝CF.
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF．
∴四边形BFDE是平行四边形
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
F
D
C
B
A
E
O
还有其他证法吗？
【思考·交流】
比较平行四边形的性质定理和判定定理，它们有怎样的关系？与同伴进行交流。
【回顾·反思】
回顾平行四边形性质定理和判定定理的证明过程，你积累了哪些分析证明思路的经验？
1.已知△ABC(如图①),按图②、图③所示的尺规作图痕迹,不需借助三角形全等就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是(　　)
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B
3.如图所示,AB,CD是两条相交的线段,O分别是它们的中点,当线段DC绕点O旋转时(DC,AB不重合),连接AC,CB,BD,DA所得到的四边形ACBD始终是　　 　　　.理由是　　　　　　　　 　　　　　　　.
2.如图所示,AO=CO,BD=16 cm,则当OB=　　　　 cm时，四边形ABCD是平行四边形.
8
平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
C
D
B
拓展：我们知道平行四边形的两组对角分别相等，那么它的逆命题是什么？是真命题吗？
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题.如何证明呢？
证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,
又∵∠A=∠C，∠B=∠D,
∴2∠A+2∠B=360°,
即∠A+∠B=180°.
∴AD∥BC.
同理可得AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
4.如图所示,在△ABC中,D是BC边的中点,F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE.
求证:四边形BFCE是平行四边形.
证明:∵在△ABC中,D是BC边的中点,
∴BD=CD.
∵CF∥BE,
∴∠CFD=∠BED.
在△CFD和△BED中,
∵∠CFD=∠BED,∠FDC=∠EDB,CD=BD,
∴△CFD≌△BED.
∴DF=DE.
又∵BD=CD,
∴四边形BFCE是平行四边形.
1.如图，在□ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为（　　）．
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
A
B
D
C
O
A
2.下列判断正确的是(　　)．
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B
3.如图，在四边形ABCD中，若AC=8cm，BD=10cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形．
4.如图所示,四边形ABCD的对角线相交于点O,从下列条件:①AD∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中选出两个使四边形ABCD是平行四边形,则你选择的两个条件是　　　　.(填序号)
①③
(答案不唯一)
4
5
5.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.
求证：四边形AECF是平行四边形．
O
F
C
A
E
D
B
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC.
∵AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO.
∴△FDO≌△EBO.
∴OF＝OE.
又OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
6.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,EF过点O交AD于点E,交BC于点F,且OE=OF.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵AD∥BC,
∴∠AEO=∠CFO.
在△AEO和△CFO中,
∵∠AEO=∠CFO,OE=OF,∠EOA=∠FOC,
∴△AEO≌△CFO(ASA).
∴AO=CO.
同理可证BO=DO.
∴四边形ABCD是平行四边形.
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(判定定理2)
从角考虑
从对角线考虑
两组对角分别相等的四边形是平行四边形(拓展)
对角线互相平分的四边形是平行四边形(判定定理3)
平行四边形的判定（2）
6.2 平行四边形的判定
第3课时 平行四边形的性质与判定
的综合应用
1. 掌握平行线间的距离的概念及性质,会运用平行四边形的性质计算和证明；（重点）
2. 能够综合运用平行四边形的判定定理和性质.（难点）
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(判定定理2)
从角考虑
从对角线考虑
两组对角分别相等的四边形是平行四边形(拓展)
对角线互相平分的四边形是平行四边形(判定定理3)
平行四边形的判定
这是小明家的楼梯，扶手是用实木制作的，这些竖直的实木
长度相等吗？
在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长 你能说明理由吗？与同伴交流．
探究一：平行线之间的距离
尝试·交流：如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度．
经过度量,我们可以发现这些垂线段的长度都相等．
猜想：平行线间距离处处相等.
你能证明猜想的正确性吗？试一试.
a
b
A
B
C
D
1
2
例1 已知：如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为 C，D．
求证：AC = BD．
证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD,
∴∠1=∠2=90°.
∴AC∥BD.
∵AB∥CD,
∴四边形ACDB是平行四边形（平行四边形的定义）.
∴AC=BD（平行四边形的对边相等）.
如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等.
(如图：AC=BD),这个距离称为平行线之间的距离.
(简记为：两条平行线间的距离处处相等）.
“平行线之间的距离”＝“平行线之间的垂线段的长”，
即：平行线之间的距离处处相等．
例2 平行线之间的距离是指两条平行线中(　　)
A.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段
B.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段的长度
C.从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度
D.从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
B
2.在四边形ABCD中,AB∥CD,再添加下列其中一个条件后,四边形ABCD不一定是平行四边形的是(　　)
A.AB=CD B.AD=BC
C.AD∥BC D.∠A=∠C
1.如图所示，a∥b,AB∥CD,CE⊥b,FG⊥b,垂足分别为E,G,则下列说法中错误的是(　　)
A.AB=CD
B.CE=FG
C.A,B两点间的距离就是线段AB的长
D.直线a,b间的距离就是线段CD的长
D
B
3.如图，设点P是 ABCD的边AB上任意一点，设△APD的面积为S1，△BPC的面积为S2，△CDP的面积为S3，则(　　)
A．S3＝S1＋S2
B．S3＞S1＋S2
C．S3＜S1＋S2
D．S3＝(S1＋S2)
A
若垂线段改为夹在两条线段间的平行线段呢？它们是否相等呢？
由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”易知其围成的封闭图形为平行四边形，再由平行四边形性质易知夹在两条平行线间的平行线段相等.
解：
尝试·交流：如图，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形,并与同伴讨论各自画图的正确性.
C
B
F
E
A
D
由平行四边形的性质得AB=CD=EF.
四边形ABDC，DCEF均为平行四边形.
结论：夹在两条平行线间的平行线段一定相等.
道理: 一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形.
画法：在方格纸分别取AC=BD，CE=DF，
再连接另一组对边即可.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC（平行四边形的定义）．
∴ ∠MDF=∠NBE．
∵ DM=BN，DF=BE，
∴ △MDF≌△NBE(SAS).
∴ MF=NE，∠MFD=∠NEB．
∴ ∠MFE=∠NEF．
∴ MF∥NE．
∴ 四边形MENF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
例3 已知：如图，在□ABCD中，点M，N分别在AD和BC上，点E，F在BD上，且DM=BN，DF=BE．
求证：四边形MENF是平行四边形．
M
C
B
N
D
F
E
A
探究二：平行四边形判定方法的综合运用
还有其他证法吗？
4.如图所示,在 ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AC与EF相交于点O,且AO=CO.
(1)求证:△AOF≌△COE;
证明: (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠OAF=∠OCE.
在△AOF和△COE中,
∵∠OAF=∠OCE,AO=CO,∠AOF=∠COE,
∴△AOF≌△COE(ASA).
(2)连接AE,CF,则四边形AECF　　　　(填“是”或“不是”)平行四边形,请说明理由,并指出最后一步推理的依据.
(2)理由如下:
由(1)得△AOF≌△COE,
∴FO=EO.
又∵AO=CO,
∴四边形AECF是平行四边形.
最后一步推理的依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形.
(证明方法不同,最后一步推理的依据也可能不同)
是
2.如图所示,直线a∥b,点A,B分别在直线a,b上，∠1=45°，直线a和b之间的距离为3,则线段AB 的长度为 (　　)
A. B.
C.3 D.6
1.如图所示,AD∥BC,AB⊥BC,DC⊥BC,AB=1,AD=2,
那么AD,BC 间的距离为 ( 　 )
A.1 B.2 C.3 D.4
A
A
4.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带来了两块碎玻璃,其编号应该是　　　　.
3.已知直线m∥n,点A在直线m上,点B,C,D在直线n上,且AB=4 cm,AC=5 cm,AD=6 cm,则直线m与n之间的距离 (　　)
A.等于5 cm B.等于6 cm
C.等于4 cm D.小于或等于4 cm
D
②③
5.如图所示,点B,F,C,E在同一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE，AD交BE于点O.
求证:AD与BE互相平分.
证明: 连接BD,AE.
∵AB∥DE,
∴∠ABC=∠DEF.
∵AC∥DF,
∴∠ACB=∠DFE.
∵BF=CE,
∴BC=EF.
在△ACB和△DFE中,
∵∠ABC=∠DEF,BC=EF, ∠ACB=∠DFE,
∴△ACB≌△DFE,
∴AB=DE.
又∵AB∥DE,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AD与BE互相平分.
(2)若A,B,C为三个定点,点D在直线a上移动,那么无论点D移动到何处,总有　　　　与△ABC的面积相等.这两个三角形底边AB上的高相等的理由是　　　　　　　　　　　　　　　　.
6.如图,直线a∥b,A,B为直线b上两点,C,D为直线a上两点,AD与BC交于点E.
(1)请写出图中所有面积相等的三角形:　　　 ;
△ABD
平行线之间的距离处处相等
S△ABC=S△ABD,S△ACE=S△BDE,S△ACD=S△BCD
平行四边形的判定（3）
判定的综合应用
平行线之间的距离
五种判定方法.
如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等,这个距离称为平行线之间的距离(简记为：两条平行线间的距离处处相等).
补充:夹在两条平行线间的平行线段相等.

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