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4月上旬之二次函数—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数y=（b+c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知抛物线y=ax2-2ax+a-3（a为常数，a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，下列结论正确的是（　　）
A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．函数的最小值小于-3 D．当x=2时，y＜0
3．二次函数 的图象的顶点为A (m，k).且另有一点B (k，m)也在该函数图象上，则下列结论一定正确的是(　　)
A．m>k B．m0
4．在平面直角坐标系中，两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)在抛物线 上，则下列结论中正确的是(　　)
A．若 且 则
B．若 则
C．若 且 则 b<0
D．若 则
5．已知点，在函数（，为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当时，若，则 B．当时，若，则
C．当时，若，则 D．当时，若，则
6．已知二次函数 是实数，a>0)，A(1-m，n)，B(1+m，n)是函数图象上两个不同的点，下列说法中正确的是(　　)
A．若m<1，则(-1-m)n>0 B．若 m>1，则(1+m)n<0
C．若m>1，则(1+m)n>0 D．若 m<1，则(-1-m)n<0
7．已知抛物线，将该抛物线平移，若平移后的图像与轴交于，两点（），下列说法正确的是（　　）
A．若向左平移，则 B．若向右平移，则
C．若向上平移，则 D．若向下平移，则
8．已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有a的取值范围是（　　）
A． B．a≥3 C．1≤a≤2 D．a≤1或a≥2
9．如图1，直线l⊥直线m，垂足为点O，点A和点 B分别是直线l和直线m上两定点，点P从点A 出发，以每秒1个单位长度，沿直线l水平向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度，沿直线m竖直向上运动，设运动时间为x(s)，△PQO面积为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，图象与x轴只有一个交点D，且经过G(1，9)和E(n，q)，点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是(　　)
A．点D坐标为(3， 0) B．当y=9时， x=1或7
C．q=32 D．点(10， 34)在该函数图象上
10．冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）.一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点B所在水平直线为x轴、起跳点A所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：AB的长为25米，∠ABO=37°，tan37°≈0.75.】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点B处，设抛物线的函数表达式为平行于y轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点C，D，则下列所作技术分析正确的是（　　）
A．着陆坡的水平宽度OB=18.75米
B．点A的坐标为（0，12）
C．
D．当CD的最大值为10米时，
二、填空题
11．已知实数x、y满足 则y+x的最大值为　 　.
12．同一平面直角坐标系中，抛物线 与 关于原点成中心对称，则代数式 的值为　 　.
三、解答题
13．已知抛物线 点 A(1，0)在此抛物线上．
（1）求b的值；
（2）若点在该抛物线上，且 求m的取值范围；
（3）将此抛物线向左平移n(n>0)个单位，设平移中抛物线与y轴的交点为D(0，d)，令d的最大值和最小值分别为若 求n的值．
14．在平面直角坐标系中，已知二次函数 (b，c为常数)的对称轴为直线x=2，且过点(0， 1)．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值；
（3）当自变量x满足t≤x≤5时， y的最大值为m，最小值为n，且m+n=4，求t的值．
15．已知二次函数 且a为常数).
（1）当a=1时，求该二次函数图象的顶点坐标.
（2）是否存在实数a，使得对于任意实数t，当x取2+t和2-t时，对应的函数值始终相等 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
（3）当1x始终成立，直接写出a的取值范围.
16．已知抛物线（t为常数）.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）若抛物线与y轴交于点（0，-16）.
①求t的值.
②设t-5≤m≤t≤n，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间.若直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，求d的值.
17． 已知抛物线（b、c为常数）经过点．
（1）若抛物线经过点．
①求抛物线的函数表达式；
②若抛物线上的点在直线的上方，当时，求m的取值范围．
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为C，与y轴的交点为D，求证：．
18．二次函数 的图象经过点A(2m+1，y1)，点 B(m-1，y2).
（1）若m=4，求抛物线的顶点坐标；
（2）若存在实数k，使得 且1（3）当m-1≤x≤2m+1时，随着x增大，y先减小再增大，y的最大值与y的最小值的和为 ，求m的值.
19．已知关于x的二次函数
（1）当函数图象经过点(2，5)时.
①求该二次函数的表达式.
②若将平面内一点A (p，q)向右平移3个单位或向左平移2个单位，都恰好落在函数 的图象上，求p的值.
（2）设点M(x1，y1)， N(x2，y2)是该函数图象上的两点，且. 求证：
20．已知二次函数 的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，且 AB=10，图象顶点的横坐标为4．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）求方程 的解．
（3）若a=1，将此二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折得到新的函数图象，若直线y=k与新图象有4个交点，从左至右依次为M、N、P、Q，当 时，求k的值．
21．已知二次函数 (其中a为常数)，
（1）将二次函数 化为顶点式，并写出它的最小值．
（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A、B(点A 在点B左侧)，与y轴交于点C，当△ABC 的面积为3时，求a的值．
（3）当a=2时，是否存在实数t，使得t≤x≤t+2时二次函数 最大值与最小值的差为8 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
22．已知抛物线b为常数）经过点（-1，-4），当x=-2时，函数值为p，当x=1时，函数值为q，p+q=-7.
（1）求函数表达式。
（2）若过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B恰为线段AC的中点，求t的值。
（3）有一条直线向下平移9个单位长度得到直线l2。设m<2夹在两条直线直线l1，l2之间，求n-m的最大值。
23．定义：在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.
请根据以上信息，解答以下问题：
（1）如图，矩形OABC是某一次函数的关联矩形，其中自变量x的取值范围为0≤x≤3，试求出该一次函数的表达式.
（2）若二次函数.的图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，求a与m的值.
24．如图1，若二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图3，将抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y'，在y'的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标．
25．
《观景拱桥的设计》
项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示：
任务1 建立模型 ⑴在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点，（长度单位：）．求出抛物线的解析式．
任务2 利用模型 ⑵在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（、分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离．
任务3 分析计算 ⑶在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上可知a>0；
∵
∴b<0；
∵图象与y轴交于负半轴，
∴c<0，
即b+c<0，ab<0
∴反比例函数 图象在二、四象限，正比例函数y = (b + c)x图象在二、四象限。
故答案为：D
【分析】首先根据二次函数的图象判断参数a，b，c的符号，进而判断b+c，ab的符号，作为正比例函数和反比例函数的比例系数，它们的符号直接决定图象的特征，从而求解。
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2-2ax+a-3(a为常数，a≠0)的图象与x轴有两个交点，
∴Δ=(-2a)2-4a(a-3)>0，
解得a>0
∴抛物线开口向上，所以A选项不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线
∴当x>1时，y随x的增大而增大，所以B选项不符合题意；
∵当x=1时，y=ax2-2ax+a-3=a-2a+a-3=-3
∴二次函数的最小值为-3，所以C选项不符合题意；
∵抛物线开口向上，抛物线与x轴的两个交点分别位于轴两侧，
∴抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴a-3<0，
∴x=2时，y=ax2-2ax+a-3=4a-4a+a-3=a-3<0，所以D选项符合题意.
故选：D.
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ=(-2a)2-4a(a-3)>0，解得a>0，则可对A选项进行判断；由于抛物线的对称轴为直线x=1，根据二次函数的性质，当x>1时，y随x的增大而增大，从而可对B选项进行判断；由于当x=1时，y=-3，即二次函数的最小值为-3，从而可对C选项进行判断；由于抛物线开口向上，抛物线与x轴的两个交点分别位于y轴两侧，则可判断抛物线与y轴的交点在x轴下方，所以a-3<0，由于x=2时，y=a-3，所以y<0，从而可对D选项进行判断.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点为A（m，k），
∴y=a（x-m）2+k，
整理得：y=ax2-2amx+m2+k，
∴b=-2am，
∵A（m，k）和B（k，m）都在抛物线上，可得：
am2+bm+c=k①，ak2+bk+c=m②，
②-①得：m-k=ak2+bk-am2-bm
=-a（m2-k2）-b（m-k）
=-a（m+k）（m-k）-b（m-k），
∴a（m+k）（m-k）+b（m-k）+（m-k）=0，
（m-k）[a（m+k）+b+1]=0，
（m-k）[a（m+k）-2am+1]=0，
（m-k）（ak-am+1）=0，
∴m-k=0或ak-am+1=0，
∴m-k=0或a（m-k）=1，
∴a（m-k）＞0，
故答案为： D.
【分析】根据顶点式得到抛物线的解析式为y=ax2-2amx+m2+k，进而得到b=-2am，然后把点B的坐标代入，因式分解为（m-k）（ak-am+1）=0解答即可．
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；点距离对称轴越远，值越大；
A：∵，，
∴，即，
∴点离对称轴更远，
∴，故该选项不合题意；
B：∵，两点都在对称轴左侧，随增大而减小，
∴，故该选项不合题意；
C：∵，，说明顶点纵坐标小于0，
将代入解析式得，可得，但不能推出，故该选项不合题意；
D：∵，两点都在对称轴右侧，开口向上时随增大而增大，
∴，故该选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】先求出抛物线对称轴，根据得到抛物线开口向上，利用离对称轴远的点的函数值大逐项判断解答即可．
5．【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点，在函数，为常数）的图象上，
，．
当时，
A、若，
．
．
．
．
，故A错误，故本选项不符合题意；
B、若，
．
．
或．
的符号不确定．
故B错误，故本选项不符合题意；
当时，
C、若，
．
．
或．
的符号不确定．
故C错误，故本选项不符合题意；
D、若，
．
．
．
．
，故D正确，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】把，代入，为常数）可得，，然后根据和分别计算即可解题．
6．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；分类讨论
【解析】【解答】解：∵和纵坐标相等，
∴ 两点关于二次函数对称轴对称，二次函数对称轴为直线，
∵ 二次函数的对称轴为，
∴，得，
∴ 二次函数解析式为，将代入得：，
∵，
当时，∵，，，∴，故B错误，C正确；
当时，若，则，若，则，故A，D错误．
故选：A.
【分析】根据二次函数的对称性求出二次函数的对称轴为x=1，即可得到b=-2a，即可得到二次函数为，将B点坐标代入求出n的值，然后分为或两种情况计算判断解答即可．
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：当时，可得：，
解得：，，
抛物线与轴的交点坐标分别为，，
A选项：当抛物线向左平移时，则有，，
，
故A选项错误；
B选项：当抛物线向右平移个单位长度时，，，
，
故B选项错误；
C选项：如下图所示，当抛物线向上平移时，
根据抛物线的对称性可知：，
整理可得：，
故C选项错误；
D选项：如下图所示，当抛物线向下平移时，
根据抛物线的对称性可知：，
整理可得：，
故D选项正确．
故选：D ．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系，结合函数图象的平移即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：对于二次函数=，
∴该抛物线的顶点坐标为(，-5)
∵(，-5)在一次函数y2=ax+ab-5的图象上
∴-5=+ab-5，
化简得ab=
∵当 时，都有
即x2-ax+a2-5
将ab=代入上式得x2-ax+a2-5
∴x2-2ax+a2<0
即(x-a)(x-a)<0
f(x)=(x-a)(x-a)的开口向上
要使它在某区间内小于0，
f(1)≤0，
1-2a+a2≤0.
f()≤0.
()2≤2a()+a2≤0
即-3a+a2≤0
同时满足和1≤a≤2
∴1≤a≤2.
故答案为：C
【分析】先对二次函数配方得到顶点坐标，将顶点代入一次函数得到a与b的关系，再根据y19．【答案】B
【知识点】三角形的面积；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：设OA长a，OB=b，
∵图象与x轴只有一个交点D，
∵函数经过G(1， 9)，
解得：a=4(取正值)，
当y=0时，x=4，
∴点D的坐标为(4， 0)，故A选项错误，不符合题意；
当y=9时，
解得：
∴当y=9时，x=1或7，故B选项正确，符合题意；
当x=0时，y=16，
∵点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，
故C选项错误，不符合题意；
当x=10时，y=36，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】设OA长a，OB=b，则 得到y关于x的函数关系式，根据抛物线与x轴只有一个交点得到a和b的关系，进而把(1，9)代入抛物线解析式可得抛物线解析式，进而判断所给选项是否正确即可.
10．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-抛球问题；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：，
，
故，
解得，，
在中，，
，
，
米，故A错误；
在中，，
，
米，故，故B错误；
抛物线的函数表达式为，
将代入，
故，
化简得，
，故C正确；
设
设着陆坡所在直线的表达式为，
将代入，
，
解得，
，
，
，
则，
，
对于二次函数，其对称轴为，
当时，有最大值，将代入，
即，
∵的最大值为10米，
即，
解得，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据解直角三角形的计算求出判断选项A和选项B；根据待定系数法可得，整理判断选项C；利用待定系数法求出一次函数解析式，求出，求出对称轴为直线，根据最值得到，求出a的值判断选项D解答即可．
11．【答案】4
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：，
，
，
当时，有最大值4，
故答案为：4．
【分析】根据已知等式利用含的式子表示．然后配方得到顶点式求出最值解答即可．
12．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，
那么在抛物线上，
代入可得，
整理得，
∴或，
∴．
故答案为：.
【分析】设为上任一点，根据关于原点成中心对称的点在抛物线上，得，从而求出m和n的值，然后代入计算即可．
13．【答案】（1）解：将A (1，0)代入 中，得
-1+b-5=0
解得b=6
（2）解：由(1)知，抛物线表达式为
∴对称轴为直线
∴B (5， y1)关于直线x=3对称点B'坐标为(1，y1)
，
∴1（3）解：抛物线 ，
∴ 顶点坐标为(3，4)，与y轴交于点(0，-5)
∴向左平移过程中，与y轴交点最大值
抛物线向左平移n个单位的表达式为
将(0，-8)代入y2中，得
化简得
解得 (舍)
故n的值为.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点A坐标代入二次函数解析式求出b的值即可；
(2)根据(1)中的计算得出抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性解答即可；
(3)求出抛物线的顶点坐标和抛物线与y轴交点坐标，根据平移可得与y轴交点纵坐标的最大值为4，即可得到纵坐标的最小值为-8，设抛物线向左平移n个单位的表达式为 ，代入(0，-8)求出n的值即可，.
14．【答案】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点，
∴，，则，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：将该函数图象向上平移m个单位后，所得函数表达为，
∵所得图象与x轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得；
（3）解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，，
∴抛物线上，横坐标为5的点的对称的点的横坐标为，
∴当时，最大值，最小值，
由得，
解得，（舍去）；
当时，最大值，最小值，
∴不满足，不符合题意；
当时，最大值为，最小值为，
由得，
解得，（舍去），
综上，t的值为3或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）利用函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数表达式，再根据题意得到，求出m的值解答即可；
（3）分，，三种情况，利用二次函数的性质求出最大值和最小值，然后根据 m+n=4列方程求出t的值解答即可 ．
15．【答案】（1）解：把a=1代入，得
∴顶点坐标为
（2）解：存在.
∵当x=2+t及x=2-t时，对应的函数值相等
∴对称轴为直线
即
解得
（3）解：a>0或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意得，，
，
当时，恒成立，
故，
当时，随的增大而增大，
∴，
∴，
∵当时，若始终成立，
∴a>0或 ．
故答案为：a>0或 ．
【分析】
（1）当a=1时，得到二次函数的一般式，化为顶点式得到顶点坐标即可；
（2）根据二次函数的对称轴公式列方程解答即可；
（3）根据题意列不等式，得出，然后利用二次函数的增减性解答即可．
16．【答案】（1）因为（t为常数）
所以对称轴为：直线x=2.
（2）①把（0，-16）代入得，
解得：t=2或8.
②由①得：t=2或8，
顶点为（2，-18），
当t=2时，-3≤m≤2≤n，
因为抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间，且m≤2≤n，
所以下方的平行线不能在顶点（2，-18）上方，
因为直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，
所以下方的直线l1经过顶点（2，-18），此时l2与抛物线两交点的横坐标分别为m和n，所以m=-1，n=5，两交点为（-1，-13.5），（5，-13.5），此时，l2与直线y=-13.5，所以d=-13.5-（-18）=4.5；
当t=8时，3≤m≤8≤n，
因为抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间，且3≤m≤n，
所以下方的平行线在顶点（2，-18）上方，
因为直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，
所以直线l1，l2与对称轴右侧的抛物线交点横坐标分别为m，n且要尽可能靠近对称轴，
所以m=3，n=9，即：直线l1，l2与对称轴右侧的抛物线交点分别为（3，-17.5），（9，6.5），所以d=6.5-（-17.5）=24.
综上所述，d=4.5或24.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；分类讨论
【解析】【分析】（1）先把抛物线解析式化为顶点式，即可得到抛物线的对称轴解答；
（2）①直接将代入抛物线解析式，得到关于t的方程解答即可；
②分和8两种情况，根据二次函数的性质得到最大值和最小值，然后根据n-m的 的最大值为6列方程求出d的值解答即可．
17．【答案】（1）解：①，
得，
；
②，
当时，；时，；
当时，m的取值范围是：；
（2）证明：当，，
当，即，
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）①运用待定系数法求二次函数的解析式即可；
②把二次函数化为顶点式，然后根据对称性得到时，；再根据二次函数的性质解答即可；
（2）把代入解析式求出，则函数关系式为，求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再根据两点间距离解答即可．
18．【答案】（1）解：m=4时， 顶点(4，-16)
（2）解：把 x=2m+1代入
把x=m-1代入
（3）解：的对称轴直线 x=m，
当m-1≤x≤2m+1时，随着x的增大，y先减小再增大，∴点B(m-1，y2)在对称轴直线x=m左侧，点A(2m+1，y1)在对称轴直线 x=m右侧
∴当x=m时，y的最小值是
若2m+1-m>m-(m-1)，即 m>0， y的最大值是2m+1
或 (舍去)若2m+1-m(舍去)或
或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）把代入，然后把抛物线的解析式化成顶点式，得到顶点坐标即可；
（2）把点A和B的坐标代入求出y1和y2，再代入，化简得到k=，结合求出m的取值范围即可；
（3）根据函数解析式的到对称轴为直线时，根据函数的增减性得到的最小值是，再分和得到函数的最大值，格努题意列方程求出m的值解答即可．
19．【答案】（1）解：①∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为．
②∵，
∴点向右平移个单位的坐标为，向左平移个单位的坐标为，
∵点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上，
∴，
解得：．
（2）证明：∵，
∴，
∵点，是该函数图象上的两点，
∴，
，
∴
，
∵，
∴．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）①把代入，求出的值即可；
②根据平移得到平移后的两点坐标，代入①中关系式，解关于p的一元一次方程求出p的值即可；
（2）把点M，N的坐标分别代入，利用得出，然后根据二次函数的顶点坐标得到最值证明即可．
20．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，图象顶点的横坐标为4．
∴二次函数对称轴为直线，且两点关于对称，
∵，在的左侧，
∴两点到的距离为，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴方程化简为：，
∴，
解得：；
（3）解：
，
翻折后，
如图，直线与新图象有4个交点，从左至右依次为，
，对称轴为直线，
设，则，
分别代入对应解析式，得：，
，
即，
解得：，
．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的对称变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）得到二次函数对称轴为直线，利用，求出A，B两点的坐标即可；
（2）利用待定系数法求出，然后代入方程，根据分解因式法解方程即可；
（3）先求出抛物线解析式，然后根据翻折得到，画出图形，设，即可得到，然后代入函数解析式，根据，求出m2的值解答即可．
21．【答案】（1）解：
即二次函数化为顶点式，
∵抛物线开口向上，
∴当时，它的最小值为．
（2）解：当时，，
∴，
解得
∵点A在点B左侧，
∴
∴，
当时，，
∴，
∵的面积为3，
∴，
则或（不合题意，舍去）
解得或；
（3）解：当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
当即时，在上，随着的增大而减小，
∴当时，有最大值，当时，有最小值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴，
解得，
当时，在上，随着的增大而增大，
∴当时，有最小值，当时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴，
解得，
当即时，当时有最小值，
比较与值求最大值，
当时，即时，时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴
解得，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，即时，时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴
解得，
∵，
∴不合题意，舍去，
∴存在的值，或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-面积问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式，根据顶点坐标得到最值解答即可；
（2）令y=0，解方程求出点A，B的横坐标的值，求出的长；令x=0求出y的值得到点的坐标，然后利用三角形面积公式求出a的值解答即可；
（3）当a=2时求出抛物线的对称轴为直线x=2，然后分为，，三种情况，根据二次函数的增减性求出最大值和最小值，列方程求出t的值解答即可．
22．【答案】（1）解：
解得
（2）解：设B（m，t），
∵点B恰为线段AC中点，∴C（2m，t）
解得
当时，
（3）解：当直线l1与抛物线相切，即只有一个交点时，
解得：t=2
∵直线l1：y=2x+2向下平移9个单位长度得到直线l2，
∴l2：y=2x-7
解得：
∵m<2∴当m=-2，n=4时，
∴（m-n）max=4-（-2）=6
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的平移变换；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】(1)将已知点代入抛物线方程，结合p+q=-7列方程组，求解a、b得到函数表达式；
(2)根据直线与抛物线交点及中点坐标关系，利用对称轴性质求交点横坐标，代入抛物线求t；
(3)先求直线l1与抛物线相切时的t值，确定l2方程，联立l2与抛物线求交点，结合m<223．【答案】（1）设y=kx+b（k≠0），由题意可知当一次函数图象经过点C（0，4），A（3，0）时，有解得∴y=x+4
当一次函数图象经过点O（0，0），B（3，4）时，有
解得
∴y=x
综上，该一次函数的表达式为或
（2）∴其对称轴为直线x=2.
∵二次函数.的图象的关联矩形是矩形OABC，
∴当a>0时，图象经过点（0，4），（2，0），则解得
当a<0时，图象经过点（0，0），（2，4），
则解得
∴a=1，m=0或a=-1，m=4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
24．【答案】（1）解：二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）解：设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），点C（0，﹣3）分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
点P为直线BC下方抛物线上的点，如图2，
设P（a，a2﹣2a﹣3），
∴M（a，a﹣3），
∴，
当时，，
∴，
∴△PBC面积的最大值为，
∴；
（3）解：由题意可得：y'＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
y'的对称轴为x＝2．
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°，
当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，如图3，过D作DF⊥y轴于点F，
∵D在y'的对称轴上，
∴FD＝2，
∵∠BCD＝90°，∠BCO＝45°，
∴∠DCF＝45°，
∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即点D（2，﹣5），
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点E（5，﹣2）；
当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y'的对称轴为x＝2与x轴交于点F，如图4，
∵D在y'的对称轴上，
∴FO＝2，
∴BF＝3﹣2＝1，
∵∠CBO＝45°，即∠DBO＝45°，
FD＝1，即点D（2，1），
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E（﹣1，﹣2）；
当BC为矩形对角线时，如图5，设D（2，d），E（m，n），BC的中点F的坐标为，
依意得：，
解得：，
又∵DE＝BC，
∴（2﹣1）2+（d﹣n）2＝32+32，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点E的坐标为或．
综上所述，点E的坐标为（5，﹣2）或（﹣1，﹣2）或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
25．【答案】解：⑴设抛物线的解析式为，
将点，代入得，
，解得，
抛物线的解析式为；
⑵由（1）知，，
根据对称性可得，
设点的坐标为，
根据题意得，，
，
，
解得，（不合题意，舍去），
，，
，
；
⑶作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，如图所示，
，光线所在的直线解析式为，
设直线的解析式为，
联立，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，，
，
即光线与抛物线之间的距离为米．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）设点的坐标为，进而表示出，的长，根据列方程求出t的值，再根据线段的和差解答即可；
（3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，设直线的解析式为，联立两解析式，根据求出m的值，可得点的坐标，根据射灯射出的光线与地面成角，利用正弦的定义解答即可．
1 / 14月上旬之二次函数—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数y=（b+c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上可知a>0；
∵
∴b<0；
∵图象与y轴交于负半轴，
∴c<0，
即b+c<0，ab<0
∴反比例函数 图象在二、四象限，正比例函数y = (b + c)x图象在二、四象限。
故答案为：D
【分析】首先根据二次函数的图象判断参数a，b，c的符号，进而判断b+c，ab的符号，作为正比例函数和反比例函数的比例系数，它们的符号直接决定图象的特征，从而求解。
2．已知抛物线y=ax2-2ax+a-3（a为常数，a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，下列结论正确的是（　　）
A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．函数的最小值小于-3 D．当x=2时，y＜0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2-2ax+a-3(a为常数，a≠0)的图象与x轴有两个交点，
∴Δ=(-2a)2-4a(a-3)>0，
解得a>0
∴抛物线开口向上，所以A选项不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线
∴当x>1时，y随x的增大而增大，所以B选项不符合题意；
∵当x=1时，y=ax2-2ax+a-3=a-2a+a-3=-3
∴二次函数的最小值为-3，所以C选项不符合题意；
∵抛物线开口向上，抛物线与x轴的两个交点分别位于轴两侧，
∴抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴a-3<0，
∴x=2时，y=ax2-2ax+a-3=4a-4a+a-3=a-3<0，所以D选项符合题意.
故选：D.
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ=(-2a)2-4a(a-3)>0，解得a>0，则可对A选项进行判断；由于抛物线的对称轴为直线x=1，根据二次函数的性质，当x>1时，y随x的增大而增大，从而可对B选项进行判断；由于当x=1时，y=-3，即二次函数的最小值为-3，从而可对C选项进行判断；由于抛物线开口向上，抛物线与x轴的两个交点分别位于y轴两侧，则可判断抛物线与y轴的交点在x轴下方，所以a-3<0，由于x=2时，y=a-3，所以y<0，从而可对D选项进行判断.
3．二次函数 的图象的顶点为A (m，k).且另有一点B (k，m)也在该函数图象上，则下列结论一定正确的是(　　)
A．m>k B．m0
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点为A（m，k），
∴y=a（x-m）2+k，
整理得：y=ax2-2amx+m2+k，
∴b=-2am，
∵A（m，k）和B（k，m）都在抛物线上，可得：
am2+bm+c=k①，ak2+bk+c=m②，
②-①得：m-k=ak2+bk-am2-bm
=-a（m2-k2）-b（m-k）
=-a（m+k）（m-k）-b（m-k），
∴a（m+k）（m-k）+b（m-k）+（m-k）=0，
（m-k）[a（m+k）+b+1]=0，
（m-k）[a（m+k）-2am+1]=0，
（m-k）（ak-am+1）=0，
∴m-k=0或ak-am+1=0，
∴m-k=0或a（m-k）=1，
∴a（m-k）＞0，
故答案为： D.
【分析】根据顶点式得到抛物线的解析式为y=ax2-2amx+m2+k，进而得到b=-2am，然后把点B的坐标代入，因式分解为（m-k）（ak-am+1）=0解答即可．
4．在平面直角坐标系中，两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)在抛物线 上，则下列结论中正确的是(　　)
A．若 且 则
B．若 则
C．若 且 则 b<0
D．若 则
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；点距离对称轴越远，值越大；
A：∵，，
∴，即，
∴点离对称轴更远，
∴，故该选项不合题意；
B：∵，两点都在对称轴左侧，随增大而减小，
∴，故该选项不合题意；
C：∵，，说明顶点纵坐标小于0，
将代入解析式得，可得，但不能推出，故该选项不合题意；
D：∵，两点都在对称轴右侧，开口向上时随增大而增大，
∴，故该选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】先求出抛物线对称轴，根据得到抛物线开口向上，利用离对称轴远的点的函数值大逐项判断解答即可．
5．已知点，在函数（，为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当时，若，则 B．当时，若，则
C．当时，若，则 D．当时，若，则
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点，在函数，为常数）的图象上，
，．
当时，
A、若，
．
．
．
．
，故A错误，故本选项不符合题意；
B、若，
．
．
或．
的符号不确定．
故B错误，故本选项不符合题意；
当时，
C、若，
．
．
或．
的符号不确定．
故C错误，故本选项不符合题意；
D、若，
．
．
．
．
，故D正确，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】把，代入，为常数）可得，，然后根据和分别计算即可解题．
6．已知二次函数 是实数，a>0)，A(1-m，n)，B(1+m，n)是函数图象上两个不同的点，下列说法中正确的是(　　)
A．若m<1，则(-1-m)n>0 B．若 m>1，则(1+m)n<0
C．若m>1，则(1+m)n>0 D．若 m<1，则(-1-m)n<0
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；分类讨论
【解析】【解答】解：∵和纵坐标相等，
∴ 两点关于二次函数对称轴对称，二次函数对称轴为直线，
∵ 二次函数的对称轴为，
∴，得，
∴ 二次函数解析式为，将代入得：，
∵，
当时，∵，，，∴，故B错误，C正确；
当时，若，则，若，则，故A，D错误．
故选：A.
【分析】根据二次函数的对称性求出二次函数的对称轴为x=1，即可得到b=-2a，即可得到二次函数为，将B点坐标代入求出n的值，然后分为或两种情况计算判断解答即可．
7．已知抛物线，将该抛物线平移，若平移后的图像与轴交于，两点（），下列说法正确的是（　　）
A．若向左平移，则 B．若向右平移，则
C．若向上平移，则 D．若向下平移，则
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：当时，可得：，
解得：，，
抛物线与轴的交点坐标分别为，，
A选项：当抛物线向左平移时，则有，，
，
故A选项错误；
B选项：当抛物线向右平移个单位长度时，，，
，
故B选项错误；
C选项：如下图所示，当抛物线向上平移时，
根据抛物线的对称性可知：，
整理可得：，
故C选项错误；
D选项：如下图所示，当抛物线向下平移时，
根据抛物线的对称性可知：，
整理可得：，
故D选项正确．
故选：D ．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系，结合函数图象的平移即可求出答案.
8．已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有a的取值范围是（　　）
A． B．a≥3 C．1≤a≤2 D．a≤1或a≥2
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：对于二次函数=，
∴该抛物线的顶点坐标为(，-5)
∵(，-5)在一次函数y2=ax+ab-5的图象上
∴-5=+ab-5，
化简得ab=
∵当 时，都有
即x2-ax+a2-5
将ab=代入上式得x2-ax+a2-5
∴x2-2ax+a2<0
即(x-a)(x-a)<0
f(x)=(x-a)(x-a)的开口向上
要使它在某区间内小于0，
f(1)≤0，
1-2a+a2≤0.
f()≤0.
()2≤2a()+a2≤0
即-3a+a2≤0
同时满足和1≤a≤2
∴1≤a≤2.
故答案为：C
【分析】先对二次函数配方得到顶点坐标，将顶点代入一次函数得到a与b的关系，再根据y19．如图1，直线l⊥直线m，垂足为点O，点A和点 B分别是直线l和直线m上两定点，点P从点A 出发，以每秒1个单位长度，沿直线l水平向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度，沿直线m竖直向上运动，设运动时间为x(s)，△PQO面积为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，图象与x轴只有一个交点D，且经过G(1，9)和E(n，q)，点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是(　　)
A．点D坐标为(3， 0) B．当y=9时， x=1或7
C．q=32 D．点(10， 34)在该函数图象上
【答案】B
【知识点】三角形的面积；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：设OA长a，OB=b，
∵图象与x轴只有一个交点D，
∵函数经过G(1， 9)，
解得：a=4(取正值)，
当y=0时，x=4，
∴点D的坐标为(4， 0)，故A选项错误，不符合题意；
当y=9时，
解得：
∴当y=9时，x=1或7，故B选项正确，符合题意；
当x=0时，y=16，
∵点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，
故C选项错误，不符合题意；
当x=10时，y=36，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】设OA长a，OB=b，则 得到y关于x的函数关系式，根据抛物线与x轴只有一个交点得到a和b的关系，进而把(1，9)代入抛物线解析式可得抛物线解析式，进而判断所给选项是否正确即可.
10．冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）.一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点B所在水平直线为x轴、起跳点A所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：AB的长为25米，∠ABO=37°，tan37°≈0.75.】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点B处，设抛物线的函数表达式为平行于y轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点C，D，则下列所作技术分析正确的是（　　）
A．着陆坡的水平宽度OB=18.75米
B．点A的坐标为（0，12）
C．
D．当CD的最大值为10米时，
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-抛球问题；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：，
，
故，
解得，，
在中，，
，
，
米，故A错误；
在中，，
，
米，故，故B错误；
抛物线的函数表达式为，
将代入，
故，
化简得，
，故C正确；
设
设着陆坡所在直线的表达式为，
将代入，
，
解得，
，
，
，
则，
，
对于二次函数，其对称轴为，
当时，有最大值，将代入，
即，
∵的最大值为10米，
即，
解得，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据解直角三角形的计算求出判断选项A和选项B；根据待定系数法可得，整理判断选项C；利用待定系数法求出一次函数解析式，求出，求出对称轴为直线，根据最值得到，求出a的值判断选项D解答即可．
二、填空题
11．已知实数x、y满足 则y+x的最大值为　 　.
【答案】4
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：，
，
，
当时，有最大值4，
故答案为：4．
【分析】根据已知等式利用含的式子表示．然后配方得到顶点式求出最值解答即可．
12．同一平面直角坐标系中，抛物线 与 关于原点成中心对称，则代数式 的值为　 　.
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，
那么在抛物线上，
代入可得，
整理得，
∴或，
∴．
故答案为：.
【分析】设为上任一点，根据关于原点成中心对称的点在抛物线上，得，从而求出m和n的值，然后代入计算即可．
三、解答题
13．已知抛物线 点 A(1，0)在此抛物线上．
（1）求b的值；
（2）若点在该抛物线上，且 求m的取值范围；
（3）将此抛物线向左平移n(n>0)个单位，设平移中抛物线与y轴的交点为D(0，d)，令d的最大值和最小值分别为若 求n的值．
【答案】（1）解：将A (1，0)代入 中，得
-1+b-5=0
解得b=6
（2）解：由(1)知，抛物线表达式为
∴对称轴为直线
∴B (5， y1)关于直线x=3对称点B'坐标为(1，y1)
，
∴1（3）解：抛物线 ，
∴ 顶点坐标为(3，4)，与y轴交于点(0，-5)
∴向左平移过程中，与y轴交点最大值
抛物线向左平移n个单位的表达式为
将(0，-8)代入y2中，得
化简得
解得 (舍)
故n的值为.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点A坐标代入二次函数解析式求出b的值即可；
(2)根据(1)中的计算得出抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性解答即可；
(3)求出抛物线的顶点坐标和抛物线与y轴交点坐标，根据平移可得与y轴交点纵坐标的最大值为4，即可得到纵坐标的最小值为-8，设抛物线向左平移n个单位的表达式为 ，代入(0，-8)求出n的值即可，.
14．在平面直角坐标系中，已知二次函数 (b，c为常数)的对称轴为直线x=2，且过点(0， 1)．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值；
（3）当自变量x满足t≤x≤5时， y的最大值为m，最小值为n，且m+n=4，求t的值．
【答案】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点，
∴，，则，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：将该函数图象向上平移m个单位后，所得函数表达为，
∵所得图象与x轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得；
（3）解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，，
∴抛物线上，横坐标为5的点的对称的点的横坐标为，
∴当时，最大值，最小值，
由得，
解得，（舍去）；
当时，最大值，最小值，
∴不满足，不符合题意；
当时，最大值为，最小值为，
由得，
解得，（舍去），
综上，t的值为3或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）利用函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数表达式，再根据题意得到，求出m的值解答即可；
（3）分，，三种情况，利用二次函数的性质求出最大值和最小值，然后根据 m+n=4列方程求出t的值解答即可 ．
15．已知二次函数 且a为常数).
（1）当a=1时，求该二次函数图象的顶点坐标.
（2）是否存在实数a，使得对于任意实数t，当x取2+t和2-t时，对应的函数值始终相等 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
（3）当1x始终成立，直接写出a的取值范围.
【答案】（1）解：把a=1代入，得
∴顶点坐标为
（2）解：存在.
∵当x=2+t及x=2-t时，对应的函数值相等
∴对称轴为直线
即
解得
（3）解：a>0或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意得，，
，
当时，恒成立，
故，
当时，随的增大而增大，
∴，
∴，
∵当时，若始终成立，
∴a>0或 ．
故答案为：a>0或 ．
【分析】
（1）当a=1时，得到二次函数的一般式，化为顶点式得到顶点坐标即可；
（2）根据二次函数的对称轴公式列方程解答即可；
（3）根据题意列不等式，得出，然后利用二次函数的增减性解答即可．
16．已知抛物线（t为常数）.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）若抛物线与y轴交于点（0，-16）.
①求t的值.
②设t-5≤m≤t≤n，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间.若直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，求d的值.
【答案】（1）因为（t为常数）
所以对称轴为：直线x=2.
（2）①把（0，-16）代入得，
解得：t=2或8.
②由①得：t=2或8，
顶点为（2，-18），
当t=2时，-3≤m≤2≤n，
因为抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间，且m≤2≤n，
所以下方的平行线不能在顶点（2，-18）上方，
因为直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，
所以下方的直线l1经过顶点（2，-18），此时l2与抛物线两交点的横坐标分别为m和n，所以m=-1，n=5，两交点为（-1，-13.5），（5，-13.5），此时，l2与直线y=-13.5，所以d=-13.5-（-18）=4.5；
当t=8时，3≤m≤8≤n，
因为抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间，且3≤m≤n，
所以下方的平行线在顶点（2，-18）上方，
因为直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，
所以直线l1，l2与对称轴右侧的抛物线交点横坐标分别为m，n且要尽可能靠近对称轴，
所以m=3，n=9，即：直线l1，l2与对称轴右侧的抛物线交点分别为（3，-17.5），（9，6.5），所以d=6.5-（-17.5）=24.
综上所述，d=4.5或24.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；分类讨论
【解析】【分析】（1）先把抛物线解析式化为顶点式，即可得到抛物线的对称轴解答；
（2）①直接将代入抛物线解析式，得到关于t的方程解答即可；
②分和8两种情况，根据二次函数的性质得到最大值和最小值，然后根据n-m的 的最大值为6列方程求出d的值解答即可．
17． 已知抛物线（b、c为常数）经过点．
（1）若抛物线经过点．
①求抛物线的函数表达式；
②若抛物线上的点在直线的上方，当时，求m的取值范围．
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为C，与y轴的交点为D，求证：．
【答案】（1）解：①，
得，
；
②，
当时，；时，；
当时，m的取值范围是：；
（2）证明：当，，
当，即，
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）①运用待定系数法求二次函数的解析式即可；
②把二次函数化为顶点式，然后根据对称性得到时，；再根据二次函数的性质解答即可；
（2）把代入解析式求出，则函数关系式为，求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再根据两点间距离解答即可．
18．二次函数 的图象经过点A(2m+1，y1)，点 B(m-1，y2).
（1）若m=4，求抛物线的顶点坐标；
（2）若存在实数k，使得 且1（3）当m-1≤x≤2m+1时，随着x增大，y先减小再增大，y的最大值与y的最小值的和为 ，求m的值.
【答案】（1）解：m=4时， 顶点(4，-16)
（2）解：把 x=2m+1代入
把x=m-1代入
（3）解：的对称轴直线 x=m，
当m-1≤x≤2m+1时，随着x的增大，y先减小再增大，∴点B(m-1，y2)在对称轴直线x=m左侧，点A(2m+1，y1)在对称轴直线 x=m右侧
∴当x=m时，y的最小值是
若2m+1-m>m-(m-1)，即 m>0， y的最大值是2m+1
或 (舍去)若2m+1-m(舍去)或
或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）把代入，然后把抛物线的解析式化成顶点式，得到顶点坐标即可；
（2）把点A和B的坐标代入求出y1和y2，再代入，化简得到k=，结合求出m的取值范围即可；
（3）根据函数解析式的到对称轴为直线时，根据函数的增减性得到的最小值是，再分和得到函数的最大值，格努题意列方程求出m的值解答即可．
19．已知关于x的二次函数
（1）当函数图象经过点(2，5)时.
①求该二次函数的表达式.
②若将平面内一点A (p，q)向右平移3个单位或向左平移2个单位，都恰好落在函数 的图象上，求p的值.
（2）设点M(x1，y1)， N(x2，y2)是该函数图象上的两点，且. 求证：
【答案】（1）解：①∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为．
②∵，
∴点向右平移个单位的坐标为，向左平移个单位的坐标为，
∵点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上，
∴，
解得：．
（2）证明：∵，
∴，
∵点，是该函数图象上的两点，
∴，
，
∴
，
∵，
∴．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）①把代入，求出的值即可；
②根据平移得到平移后的两点坐标，代入①中关系式，解关于p的一元一次方程求出p的值即可；
（2）把点M，N的坐标分别代入，利用得出，然后根据二次函数的顶点坐标得到最值证明即可．
20．已知二次函数 的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，且 AB=10，图象顶点的横坐标为4．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）求方程 的解．
（3）若a=1，将此二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折得到新的函数图象，若直线y=k与新图象有4个交点，从左至右依次为M、N、P、Q，当 时，求k的值．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，图象顶点的横坐标为4．
∴二次函数对称轴为直线，且两点关于对称，
∵，在的左侧，
∴两点到的距离为，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴方程化简为：，
∴，
解得：；
（3）解：
，
翻折后，
如图，直线与新图象有4个交点，从左至右依次为，
，对称轴为直线，
设，则，
分别代入对应解析式，得：，
，
即，
解得：，
．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的对称变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）得到二次函数对称轴为直线，利用，求出A，B两点的坐标即可；
（2）利用待定系数法求出，然后代入方程，根据分解因式法解方程即可；
（3）先求出抛物线解析式，然后根据翻折得到，画出图形，设，即可得到，然后代入函数解析式，根据，求出m2的值解答即可．
21．已知二次函数 (其中a为常数)，
（1）将二次函数 化为顶点式，并写出它的最小值．
（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A、B(点A 在点B左侧)，与y轴交于点C，当△ABC 的面积为3时，求a的值．
（3）当a=2时，是否存在实数t，使得t≤x≤t+2时二次函数 最大值与最小值的差为8 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：
即二次函数化为顶点式，
∵抛物线开口向上，
∴当时，它的最小值为．
（2）解：当时，，
∴，
解得
∵点A在点B左侧，
∴
∴，
当时，，
∴，
∵的面积为3，
∴，
则或（不合题意，舍去）
解得或；
（3）解：当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
当即时，在上，随着的增大而减小，
∴当时，有最大值，当时，有最小值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴，
解得，
当时，在上，随着的增大而增大，
∴当时，有最小值，当时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴，
解得，
当即时，当时有最小值，
比较与值求最大值，
当时，即时，时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴
解得，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，即时，时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴
解得，
∵，
∴不合题意，舍去，
∴存在的值，或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-面积问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式，根据顶点坐标得到最值解答即可；
（2）令y=0，解方程求出点A，B的横坐标的值，求出的长；令x=0求出y的值得到点的坐标，然后利用三角形面积公式求出a的值解答即可；
（3）当a=2时求出抛物线的对称轴为直线x=2，然后分为，，三种情况，根据二次函数的增减性求出最大值和最小值，列方程求出t的值解答即可．
22．已知抛物线b为常数）经过点（-1，-4），当x=-2时，函数值为p，当x=1时，函数值为q，p+q=-7.
（1）求函数表达式。
（2）若过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B恰为线段AC的中点，求t的值。
（3）有一条直线向下平移9个单位长度得到直线l2。设m<2夹在两条直线直线l1，l2之间，求n-m的最大值。
【答案】（1）解：
解得
（2）解：设B（m，t），
∵点B恰为线段AC中点，∴C（2m，t）
解得
当时，
（3）解：当直线l1与抛物线相切，即只有一个交点时，
解得：t=2
∵直线l1：y=2x+2向下平移9个单位长度得到直线l2，
∴l2：y=2x-7
解得：
∵m<2∴当m=-2，n=4时，
∴（m-n）max=4-（-2）=6
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的平移变换；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】(1)将已知点代入抛物线方程，结合p+q=-7列方程组，求解a、b得到函数表达式；
(2)根据直线与抛物线交点及中点坐标关系，利用对称轴性质求交点横坐标，代入抛物线求t；
(3)先求直线l1与抛物线相切时的t值，确定l2方程，联立l2与抛物线求交点，结合m<223．定义：在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.
请根据以上信息，解答以下问题：
（1）如图，矩形OABC是某一次函数的关联矩形，其中自变量x的取值范围为0≤x≤3，试求出该一次函数的表达式.
（2）若二次函数.的图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，求a与m的值.
【答案】（1）设y=kx+b（k≠0），由题意可知当一次函数图象经过点C（0，4），A（3，0）时，有解得∴y=x+4
当一次函数图象经过点O（0，0），B（3，4）时，有
解得
∴y=x
综上，该一次函数的表达式为或
（2）∴其对称轴为直线x=2.
∵二次函数.的图象的关联矩形是矩形OABC，
∴当a>0时，图象经过点（0，4），（2，0），则解得
当a<0时，图象经过点（0，0），（2，4），
则解得
∴a=1，m=0或a=-1，m=4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
24．如图1，若二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图3，将抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y'，在y'的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标．
【答案】（1）解：二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）解：设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），点C（0，﹣3）分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
点P为直线BC下方抛物线上的点，如图2，
设P（a，a2﹣2a﹣3），
∴M（a，a﹣3），
∴，
当时，，
∴，
∴△PBC面积的最大值为，
∴；
（3）解：由题意可得：y'＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
y'的对称轴为x＝2．
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°，
当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，如图3，过D作DF⊥y轴于点F，
∵D在y'的对称轴上，
∴FD＝2，
∵∠BCD＝90°，∠BCO＝45°，
∴∠DCF＝45°，
∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即点D（2，﹣5），
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点E（5，﹣2）；
当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y'的对称轴为x＝2与x轴交于点F，如图4，
∵D在y'的对称轴上，
∴FO＝2，
∴BF＝3﹣2＝1，
∵∠CBO＝45°，即∠DBO＝45°，
FD＝1，即点D（2，1），
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E（﹣1，﹣2）；
当BC为矩形对角线时，如图5，设D（2，d），E（m，n），BC的中点F的坐标为，
依意得：，
解得：，
又∵DE＝BC，
∴（2﹣1）2+（d﹣n）2＝32+32，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点E的坐标为或．
综上所述，点E的坐标为（5，﹣2）或（﹣1，﹣2）或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
25．
《观景拱桥的设计》
项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示：
任务1 建立模型 ⑴在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点，（长度单位：）．求出抛物线的解析式．
任务2 利用模型 ⑵在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（、分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离．
任务3 分析计算 ⑶在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度）
【答案】解：⑴设抛物线的解析式为，
将点，代入得，
，解得，
抛物线的解析式为；
⑵由（1）知，，
根据对称性可得，
设点的坐标为，
根据题意得，，
，
，
解得，（不合题意，舍去），
，，
，
；
⑶作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，如图所示，
，光线所在的直线解析式为，
设直线的解析式为，
联立，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，，
，
即光线与抛物线之间的距离为米．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）设点的坐标为，进而表示出，的长，根据列方程求出t的值，再根据线段的和差解答即可；
（3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，设直线的解析式为，联立两解析式，根据求出m的值，可得点的坐标，根据射灯射出的光线与地面成角，利用正弦的定义解答即可．
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