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4月上旬之三角形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．根据如图所示的尺规作图痕迹，下列结论不一定成立的是（　　）
A．AE=DE B．AF∥DE C．DE⊥AB D．AE=AF
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：如图，
根据尺规作图痕迹可得：是的角平分线，是的垂直平分线，
∴，故A正确；，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故D正确；
根据条件无法判断C；
故答案为：C．
【分析】根据尺规作图可得是的角平分线，是的垂直平分线，从而可以得到AE=DE，利用等边对等角可得判断A选项；，即可得到 AF∥DE 判断B选项；根据ASA得到，即可得到AE=AF判断D，无法得到DE⊥AB判断C选项解答即可．
2．一副三角板如图所示摆放，若∠1=80°，则∠2的度数是（　　）
A．70° B．80° C．95° D．100°
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据三角形外角的性质和对顶角相等解答即可．
3． 如图所示，和都是等边三角形，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵
∴
，
∴
．
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质，利用SAS得到，即可得到．进而得到，然后根据三角形的内角和定理解答即可．
4．如图，在△ABC中，BE⊥AC，∠EBC=45°，在BC上取一点D，使得AB=AD，求CD和AE的数量关系是（　　）
A． B．CD=2AE C． D．CD=1.5AE
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵BE⊥AC，∠EBC=45°
∴∠C=90°-45°=45°
过点D作DG⊥AC于点G
∴∠DGC=90°
在Rt△DGC中，
∵∠C=45°
∴△DGC是等腰直角三角形
∴CD=DG
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG（AAS）
∴AE=DG
∴CD=AE
故答案为：C
【分析】通过作辅助线（垂线）构造等腰直角三角形△DGC，得到线段CD，DG的关系，再利用AAS判定证明△ABE≌△ADG，由全等三角形的性质可证明AE=DG，从而得到CD与AE的长度关系。
5．如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B， C的对应点分别为点D， E， DE的延长线与边BC相交于点F，连接CE.若AC=4， CF=2，则线段CE的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接交于G，如图所示：
根据旋转可得：，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D .
【分析】连接，根据旋转可得，，再在中根据勾股定理求出AF长，利用HL得到，即可得到，然后得到垂直平分，进而可得，根据三角形面积公式求出求出CG长，根据三线合一解答即可．
6．如图， ∠AOB=150°， OC平分∠AOB， P为OC上一点， PD∥OA交OB于点 D， PE⊥OA 于点 E.若 PD=4，则 PE的长为(　　)
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵PD∥OA，∠AOB=150°，
∴∠PDO+∠AOB=180°，
∴∠PDO=30°，
过P作PF⊥OB于F，
∵PD=4，
∴PF=×PD=2，
∵PE⊥OA，OC平分∠AOB，
∴FO=PE=2，
故选：A．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠PDO的度数，过P作PF⊥OB于F，30°的直角三角形的性质求出PF的长，然后根据角平分线的性质解答即可.
7．在△ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，则∠B的度数不可能为（　　）
A．10° B．40° C．80° D．100°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
8．如图，在中，，G是的重心，点D在边上，，如果，则值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，连接并延长交于点F，延长交于点E，连接，
∵G是的重心，
∴都是的中线，
∴为的中位线，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴可设，则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故选：D．
【分析】连接并延长交于点F，延长交于点E，连接，根据重心的定义可得是的中线，根据由三角形中位线定理可得，即可得到，进而根据对应边成成比例设，，即可得到，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例解答即可．
9．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位所著，名著里有一道关于“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几 ”其大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板离地5尺，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长.设绳索长为x尺，则x满足的方程为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次方程；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由题意得，
故选： B.
【分析】根据各边之间的关系，利用勾股定理，可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
二、填空题
10．如图， ∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心， OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点 C，连接OC，则∠OAC的大小为　 　．
【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接AC， BC，
由作图可得，OA=OB，AC=BC=AB，
∴OC垂直平分线段AB， 为等边三角形，
故答案为：
【分析】连接AC， BC，根据作图可得OC垂直平分线段AB， 为等边三角形，求出∠AOC=50°，∠ACB=60°，即可求出∠ACO=30°，再根据三角形的内角和定理解答即可.
11．如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB=8，BC=6，则EF的长是　 　.
【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解 ∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是 的中位线.
∵BF平分
故答案为：1.
【分析】利用中位线定理，得到 根据平行线的性质，可得 再利用角平分线的定义得到 由此得到DF=DB，进而求出DF的长，即可求得 EF的长度.
12．如图，在 △ABC中， ∠ABC的平分线BD交AC边于点D，BC边上的高AE与BD交于点 F，已知∠ABC =60°，∠C =45°. CE =3 则BF的长为　 　.
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—面积关系
【解析】【解答】解：∵是高，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴在中，．
故答案为： .
【分析】先得到是等腰直角三角形，根据勾股定理求出的长，再在中，根据正切的定义求出的长，利用角平分线定义求出，最后根据余弦的定义求出的长解答即可．
三、解答题
13．已知，如图，于点于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
在和中，
，
，
（2）证明：由（1）可知：，
，
，，
，
在和中，
，
，
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）连接，根据SSS得到，再根据全等三角形的对应角相等得到结论即可；
（2）由（1）可得，再根据角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用HL得到，根据全等三角形的对应边相等得到结论即可．
14．如图1，△ABC中，AB=AC，P为BC中点，点D在AB上（不与A，B重合），过点D作DM⊥BC，垂足为M，连结CD，过CD的中点E作EN⊥BC，垂足为N.
（1）若BC=8，当D为AB中点时，求PM的长.
（2）求的值.
（3）如图2，连结AE，过点E作EQ⊥AE交DM于点Q，连结BQ，求证：QB=QD.
【答案】（1）解：连结AP，如图.
因为AB=AC，P为BC中点，所以AP⊥BC.
因为DM⊥BC，D为AB中点，
所以DM∥AP，
所以BM=MP=2
（2）连结AP，由(1)知BP=PC，同理得MN=CN.
设PN=a，MP=b，
则NC=MN=a+b，BP=PC=PN+NC=2a+b，
所以BM=BP-MP=2a，
所以
（3）证明：连结AQ，延长QE至点F，使FE=QE，连结AF，CF，分别过点F，Q作FH⊥AC于点H，QI⊥AB于点I，在AH上取点G，使FG=FC.

因为AE⊥QE，
所以AQ=AF.
因为E为CD中点，
所以DE=EC，
∠DEQ=∠CEF，
所以△DEQ≌△CEF，
所以DQ=CF=FG，∠DQE=∠CFE，所以DQ∥CF.
由DM⊥BC，AB=AC，FG=FC，
所以∠ABC=∠ACB，
所以∠QDI=∠FCH=∠FGH，
所以△QDI≌△FGH，
所以QI=FH，
则Rt△QAI≌Rt△FAH，
所以∠QAI=∠FAH，
所以△QAB≌△FAC，
所以QB=FC，
所以QB=QD
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解答即可；
（2）设，表示BP长，然后根据线段的和差表示BM长，求出比值解答即可；
（3）连结AQ，延长QE至点F，使FE=QE，连结AF，CF，分别过点F，Q作FH⊥AC于点H，QI⊥AB于点I，在AH上取点G，使FG=FC.根据SAS得到△DEQ≌△CEF，即可得到DQ=CF=FG，∠DQE=∠CFE，再依次证明△QDI≌△FGH，Rt△QAI≌Rt△FAH，△QAB≌△FAC，证明结论即可．
15．小新和昌昌两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”展开了探究。
【情境再现】
已知：如图1，在△ABC和△A'B'C'中，C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
求证：△ABC≌△A'B'C'.
下面是用“构造法”证明两个三角形全等的部分过程.
证明：如图1，延长BC至点D，使CD=B'C'，连结AD.
因为AC=A'C'（已知），∠ACD=90°=∠C'，
所以△ADC≌△A'B'C'（SAS）.
所以AD=A'B'（全等三角形的对应边相等）.
……
所以△ABC≌△ADC（SSS）.
所以△ABC≌△A'B'C'.
（1）【实践解决】
请结合“情境再现”的证明过程，把“……”的部分补充完整.
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，点D是直角边AC上一动点（不与点C重合），连结BD，以BD为边向左侧作等边△BDE，连结EA，在点D运动的过程中，始终有EA=ED，试证之.
【答案】（1）∵A'B'=AB，∴AD=AB，∵∠ACB=90°，∴BC=CD
（2）如图2，延长BC至B'，使CB'=CB，连结B'A，B'D，
则△ABC≌△AB'C△DBC≌△DB'C，∴AB=AB'，DB=DB'.
∵∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，∴△ABB'是正三角形，
∴BA=BB'，∠ABB'=60°.
∵△EBD是正三角形，∴BE=BD=DE，∠EBD=60°，
∴∠EBA=∠DBB'，
∴△EBA≌△DBB'（SAS）；
∴EA=DB'，∴EA=ED
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
16．问题提出
（1）如图①，为上一点，连接、，当时，　 　．
（2）问题探究
如图②，在边长为6的等边中，为的中点，为边上任意一点，连接，并作，使得的一边与交于点，试求出的最大值．
（3）问题解决
如图③，四边形为某美食商业区的平面示意图，其中，，，．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演．
方案：在上选取一点M，上选取一点，连接、、，构造．已知点为美食商业区的出入口，，设．
（i）求与之间的函数关系式．
（ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点与点的距离足够远，请你根据需求计算出当最大时的面积．
【答案】（1）90
（2）解：是等边三角形，，
，．
，
，
，
．
设，则，
为的中点，
，
，整理得，
当时，有最大值，最大值为3，即的最大值为3
（3）解：（i）如图，延长至点，使得，连接，过点作，
根据题意可知，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
设．
，
，
整理得．
（ii）如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．
由（i）可知，，
当时，取得最大值为，
即当时，有最大值为，
，
设，，
，
，
，
．
，
，
，，，，
，
∴当最大时，的面积为
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：90；
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余解答；
（2）根据等边三角形的性质，利用两角对应相等得到，设，利用相似三角形的性质可得，即可得到，根据二次函数的顶点式求出最值解答；
（3）（i）延长至点，使得，连接，过点作，根据勾股定理求出CF长，然后根据正切的定义得到，即可得到，设，根据相似三角形的性质列式解答．
（ii）过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．根据（i）所得关系式可知时，有最大值为，设，，根据勾股定理可得的长，从而得出和的长，进而根据解答即可．
1 / 14月上旬之三角形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．根据如图所示的尺规作图痕迹，下列结论不一定成立的是（　　）
A．AE=DE B．AF∥DE C．DE⊥AB D．AE=AF
2．一副三角板如图所示摆放，若∠1=80°，则∠2的度数是（　　）
A．70° B．80° C．95° D．100°
3． 如图所示，和都是等边三角形，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，BE⊥AC，∠EBC=45°，在BC上取一点D，使得AB=AD，求CD和AE的数量关系是（　　）
A． B．CD=2AE C． D．CD=1.5AE
5．如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B， C的对应点分别为点D， E， DE的延长线与边BC相交于点F，连接CE.若AC=4， CF=2，则线段CE的长为(　　)
A． B． C． D．
6．如图， ∠AOB=150°， OC平分∠AOB， P为OC上一点， PD∥OA交OB于点 D， PE⊥OA 于点 E.若 PD=4，则 PE的长为(　　)
A．2 B．2.5 C．3 D．4
7．在△ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，则∠B的度数不可能为（　　）
A．10° B．40° C．80° D．100°
8．如图，在中，，G是的重心，点D在边上，，如果，则值是（　　）
A． B． C． D．
9．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位所著，名著里有一道关于“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几 ”其大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板离地5尺，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长.设绳索长为x尺，则x满足的方程为(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
10．如图， ∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心， OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点 C，连接OC，则∠OAC的大小为　 　．
11．如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB=8，BC=6，则EF的长是　 　.
12．如图，在 △ABC中， ∠ABC的平分线BD交AC边于点D，BC边上的高AE与BD交于点 F，已知∠ABC =60°，∠C =45°. CE =3 则BF的长为　 　.
三、解答题
13．已知，如图，于点于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
14．如图1，△ABC中，AB=AC，P为BC中点，点D在AB上（不与A，B重合），过点D作DM⊥BC，垂足为M，连结CD，过CD的中点E作EN⊥BC，垂足为N.
（1）若BC=8，当D为AB中点时，求PM的长.
（2）求的值.
（3）如图2，连结AE，过点E作EQ⊥AE交DM于点Q，连结BQ，求证：QB=QD.
15．小新和昌昌两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”展开了探究。
【情境再现】
已知：如图1，在△ABC和△A'B'C'中，C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
求证：△ABC≌△A'B'C'.
下面是用“构造法”证明两个三角形全等的部分过程.
证明：如图1，延长BC至点D，使CD=B'C'，连结AD.
因为AC=A'C'（已知），∠ACD=90°=∠C'，
所以△ADC≌△A'B'C'（SAS）.
所以AD=A'B'（全等三角形的对应边相等）.
……
所以△ABC≌△ADC（SSS）.
所以△ABC≌△A'B'C'.
（1）【实践解决】
请结合“情境再现”的证明过程，把“……”的部分补充完整.
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，点D是直角边AC上一动点（不与点C重合），连结BD，以BD为边向左侧作等边△BDE，连结EA，在点D运动的过程中，始终有EA=ED，试证之.
16．问题提出
（1）如图①，为上一点，连接、，当时，　 　．
（2）问题探究
如图②，在边长为6的等边中，为的中点，为边上任意一点，连接，并作，使得的一边与交于点，试求出的最大值．
（3）问题解决
如图③，四边形为某美食商业区的平面示意图，其中，，，．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演．
方案：在上选取一点M，上选取一点，连接、、，构造．已知点为美食商业区的出入口，，设．
（i）求与之间的函数关系式．
（ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点与点的距离足够远，请你根据需求计算出当最大时的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：如图，
根据尺规作图痕迹可得：是的角平分线，是的垂直平分线，
∴，故A正确；，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故D正确；
根据条件无法判断C；
故答案为：C．
【分析】根据尺规作图可得是的角平分线，是的垂直平分线，从而可以得到AE=DE，利用等边对等角可得判断A选项；，即可得到 AF∥DE 判断B选项；根据ASA得到，即可得到AE=AF判断D，无法得到DE⊥AB判断C选项解答即可．
2．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据三角形外角的性质和对顶角相等解答即可．
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵
∴
，
∴
．
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质，利用SAS得到，即可得到．进而得到，然后根据三角形的内角和定理解答即可．
4．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵BE⊥AC，∠EBC=45°
∴∠C=90°-45°=45°
过点D作DG⊥AC于点G
∴∠DGC=90°
在Rt△DGC中，
∵∠C=45°
∴△DGC是等腰直角三角形
∴CD=DG
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG（AAS）
∴AE=DG
∴CD=AE
故答案为：C
【分析】通过作辅助线（垂线）构造等腰直角三角形△DGC，得到线段CD，DG的关系，再利用AAS判定证明△ABE≌△ADG，由全等三角形的性质可证明AE=DG，从而得到CD与AE的长度关系。
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接交于G，如图所示：
根据旋转可得：，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D .
【分析】连接，根据旋转可得，，再在中根据勾股定理求出AF长，利用HL得到，即可得到，然后得到垂直平分，进而可得，根据三角形面积公式求出求出CG长，根据三线合一解答即可．
6．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵PD∥OA，∠AOB=150°，
∴∠PDO+∠AOB=180°，
∴∠PDO=30°，
过P作PF⊥OB于F，
∵PD=4，
∴PF=×PD=2，
∵PE⊥OA，OC平分∠AOB，
∴FO=PE=2，
故选：A．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠PDO的度数，过P作PF⊥OB于F，30°的直角三角形的性质求出PF的长，然后根据角平分线的性质解答即可.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，连接并延长交于点F，延长交于点E，连接，
∵G是的重心，
∴都是的中线，
∴为的中位线，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴可设，则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故选：D．
【分析】连接并延长交于点F，延长交于点E，连接，根据重心的定义可得是的中线，根据由三角形中位线定理可得，即可得到，进而根据对应边成成比例设，，即可得到，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例解答即可．
9．【答案】B
【知识点】列一元一次方程；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由题意得，
故选： B.
【分析】根据各边之间的关系，利用勾股定理，可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
10．【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接AC， BC，
由作图可得，OA=OB，AC=BC=AB，
∴OC垂直平分线段AB， 为等边三角形，
故答案为：
【分析】连接AC， BC，根据作图可得OC垂直平分线段AB， 为等边三角形，求出∠AOC=50°，∠ACB=60°，即可求出∠ACO=30°，再根据三角形的内角和定理解答即可.
11．【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解 ∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是 的中位线.
∵BF平分
故答案为：1.
【分析】利用中位线定理，得到 根据平行线的性质，可得 再利用角平分线的定义得到 由此得到DF=DB，进而求出DF的长，即可求得 EF的长度.
12．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—面积关系
【解析】【解答】解：∵是高，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴在中，．
故答案为： .
【分析】先得到是等腰直角三角形，根据勾股定理求出的长，再在中，根据正切的定义求出的长，利用角平分线定义求出，最后根据余弦的定义求出的长解答即可．
13．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
在和中，
，
，
（2）证明：由（1）可知：，
，
，，
，
在和中，
，
，
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）连接，根据SSS得到，再根据全等三角形的对应角相等得到结论即可；
（2）由（1）可得，再根据角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用HL得到，根据全等三角形的对应边相等得到结论即可．
14．【答案】（1）解：连结AP，如图.
因为AB=AC，P为BC中点，所以AP⊥BC.
因为DM⊥BC，D为AB中点，
所以DM∥AP，
所以BM=MP=2
（2）连结AP，由(1)知BP=PC，同理得MN=CN.
设PN=a，MP=b，
则NC=MN=a+b，BP=PC=PN+NC=2a+b，
所以BM=BP-MP=2a，
所以
（3）证明：连结AQ，延长QE至点F，使FE=QE，连结AF，CF，分别过点F，Q作FH⊥AC于点H，QI⊥AB于点I，在AH上取点G，使FG=FC.

因为AE⊥QE，
所以AQ=AF.
因为E为CD中点，
所以DE=EC，
∠DEQ=∠CEF，
所以△DEQ≌△CEF，
所以DQ=CF=FG，∠DQE=∠CFE，所以DQ∥CF.
由DM⊥BC，AB=AC，FG=FC，
所以∠ABC=∠ACB，
所以∠QDI=∠FCH=∠FGH，
所以△QDI≌△FGH，
所以QI=FH，
则Rt△QAI≌Rt△FAH，
所以∠QAI=∠FAH，
所以△QAB≌△FAC，
所以QB=FC，
所以QB=QD
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解答即可；
（2）设，表示BP长，然后根据线段的和差表示BM长，求出比值解答即可；
（3）连结AQ，延长QE至点F，使FE=QE，连结AF，CF，分别过点F，Q作FH⊥AC于点H，QI⊥AB于点I，在AH上取点G，使FG=FC.根据SAS得到△DEQ≌△CEF，即可得到DQ=CF=FG，∠DQE=∠CFE，再依次证明△QDI≌△FGH，Rt△QAI≌Rt△FAH，△QAB≌△FAC，证明结论即可．
15．【答案】（1）∵A'B'=AB，∴AD=AB，∵∠ACB=90°，∴BC=CD
（2）如图2，延长BC至B'，使CB'=CB，连结B'A，B'D，
则△ABC≌△AB'C△DBC≌△DB'C，∴AB=AB'，DB=DB'.
∵∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，∴△ABB'是正三角形，
∴BA=BB'，∠ABB'=60°.
∵△EBD是正三角形，∴BE=BD=DE，∠EBD=60°，
∴∠EBA=∠DBB'，
∴△EBA≌△DBB'（SAS）；
∴EA=DB'，∴EA=ED
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
16．【答案】（1）90
（2）解：是等边三角形，，
，．
，
，
，
．
设，则，
为的中点，
，
，整理得，
当时，有最大值，最大值为3，即的最大值为3
（3）解：（i）如图，延长至点，使得，连接，过点作，
根据题意可知，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
设．
，
，
整理得．
（ii）如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．
由（i）可知，，
当时，取得最大值为，
即当时，有最大值为，
，
设，，
，
，
，
．
，
，
，，，，
，
∴当最大时，的面积为
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：90；
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余解答；
（2）根据等边三角形的性质，利用两角对应相等得到，设，利用相似三角形的性质可得，即可得到，根据二次函数的顶点式求出最值解答；
（3）（i）延长至点，使得，连接，过点作，根据勾股定理求出CF长，然后根据正切的定义得到，即可得到，设，根据相似三角形的性质列式解答．
（ii）过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．根据（i）所得关系式可知时，有最大值为，设，，根据勾股定理可得的长，从而得出和的长，进而根据解答即可．
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