资源简介

4月上旬之四边形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．如图， ABCD中，DE∥BG，AF∥CH，E，G分别在AF，CH上，连结FH，∠AFB=120°，若△AFB≌△HEF，△AED与△HEF的面积相等，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A'处， A'D交BC于点E.将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C'处，下列结论一定正确的是(　　)
A． B．∠1=α C． D．∠2=2α
4．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点 O，BM⊥CD，垂足为点M，BM交AC于点N，若OC=4，ON=1，则DC的长为(　　)
A． B．5 C． D．
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，点E为OC上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△FDE， EF交CD于点G，连结BE， CF．当四边形 BCFE为平行四边形时，若sin∠DAC=k，则 的值为(　　)
A．k B． C． D．
6．如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的动点，且BE=BF=CG=AH.若菱形的面积等于24，BD=8，记EF=x，GH=y，则下列代数式的值不变的是（　　）
A．x-y B．x+y C．xy D．
7．如图，正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作 EF⊥DE交DC的延长线于 F，交BC于M，若DE=MF，且. 则线段 CF 的长为(　　)
A．2 B． C．1 D．2
8．如图，已知正六边形 ABCDEF的边长为1，连接AE， BD，则四边形ABDE的面积为(　　)

A．2 B． C． D．
9．如图，矩形和正方形面积相等，点B在边上，点G在上，交于M点，，，若，则（　　）
A． B． C． D．
10．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，M是AD的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则当A'C取得最小值时，则∠DCA'的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，AC与BD交于点M，则∠ABM的度数为（　　）
A．120° B．110° C．112.5° D．135°
12．如图，在四边形ABCD中， 点 H，F分别在边 AD，BC上移动(不与端点重合)，连接FH，则下列为定值的是(　　)
A．∠EFG的大小 B．四边形EFGH的周长
C．线段FH的长 D．四边形EFGH的面积
13．如图，在 ABCD中，点E， F， G， H分别在边AB， BC， CD， DA上， FH∥AB， EG∥BC，交点O在△ABD的内部，记 AEOH， EBFO， OFCG， OGDH的面积分别为a， b， c，d.若△OBD的面积为k，则下列选项中，可用含k的代数式表示的是(　　)
A．a+c B．a-c C．b+d D．b-d
二、填空题
14．如图，在矩形ABCD中， AB=6， AD=8， AE平分∠BAD交BC于点 E，点F、G分别是AD、AE 的中点，则 FG 的长为　 　.
15．某中学数学社团开展折纸活动，如图，在一张宽为 4 cm，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片 先将纸片折出折痕 BD，再 在边 AD上取点 P，将 △ABP沿BP 折叠得 △A'BP.记AP与BD的交点为Q，在折纸过程中，当点Q平分线段A'P时，A'B恰好平分 ∠DBC，则AD长度应取　 　cm.
16．如图，已知矩形ABCD中点E，F分别是BC，AD上的点，其中AB=2BE=2，将△ABE沿AE折叠，△CDF沿CF折叠，点B和点D恰好落在同一点P上，求DF=　 　.
17．如图，平行四边形中，点E是的中点，连接，将沿折叠使点B落在点F处，连接和，延长交于点G，和相交于点H，若，，，则的长为　 　．
18．如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG．若∠CFB＝57°，则∠AGD＝　 　 ．
19．如图，两条直线l1， l2分别经过正六边形ABCDEF 的顶点B 、C，且l1//l2．当∠2=95°时，则∠1=　 　°.
三、解答题
20．尺规作图问题：已知△ABC，∠ABC是钝角，AB>BC，请用尺规作AC的中点P.
小聪：如图1，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点Q，连接BQ交AC于点P，则点P为AC的中点.
小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点M，作BC的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点P，则点P为AC的中点.
小聪：小明，你的作法有问题.
小明：哦…我明白了.
（1）证明：小聪的作法是正确的.
（2）指出小明作法中存在的问题.
21．已知平行四边形，在平行四边形内作菱形ABCD．
小亮的作法：如图1，连接BD，分别以D、B为圆心大于 的长为半径画弧，连接两弧交点与平行四边形两边交于点A，C，连接AB，CD，则四边形ABCD 即为菱形．
（1）判断小亮的作法是否正确，并说明理由．
（2）小丽说，作平行四边形AECF一组对角的角平分线可以得到菱形，你认为小丽的作法正确吗 请你在图2中作出图形(保留作图痕迹)．
22．如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD小丽：如图2，以点B为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小明：如图3，以点A为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小慧：根据所学知识，我能判断出小丽的做法是正确的，但是对小明的作法我存在疑惑。
（1）请给出小丽作法中四边形ABED是矩形的证明。
（2）请判断小明作法是否正确，并说明理由。
23．学校数学兴趣小组探究如下数学问题：边长为2的正方形ABCD内如何放置一个边长尽可能大的正六边形EFGHIJ（可与正方形边接触）.
小组成员提出以下两种方案：
方案一：如图1，正六边形一边落在边BC上，顶点J，G分别在两边AB，CD上.
方案二：如图2，正六边形四个顶点E，G，H，J分别在四条边上.
请分别求出以上两种方案中正六边形的边长，并比较哪种方案的正六边形边长更大.
24．如图，在菱形ABCD中，对角线BD=6，AC=8，以点A为旋转中心，逆时针旋转记点B，C旋转得到的对应点分别为点E，F.
（1）求菱形的边长.
（2）当EF∥AC时，求FC的长.
（3）若在EF第一次平行于AC时停止旋转，设旋转停止前，直线EF交射线AC于点P，连结BP，求BP-CP的取值范围.
25．已知菱形ABCD的面积为
（1）如图1，求菱形ABCD的边长.
（2）若点E是射线AD上的一点（不与端点A，D重合），连结EB，EC.
①如图2，点A关于BE的对称点为点.A'，当点A'落在线段EC上时，求AE的长.
②如图3，求的最大值.
26． 如图1，在中，．
（1）求的长，
（2）把绕点A逆时针旋转，点B、C的对应点分别为E、F．
①当点B的对应点E落在对角线上时，与的交点为G，求四边形的面积；
②如图2，点E在对角线下方时，线段的反向延长线交与点P，连接，求的最小值．
27．在边长为4的正方形中，是边的中点，点是边上的一个动点，连接并延长交射线于点．
（1）如图1，连接，当时，求证：；
（2）过点作的垂线交射线于点，连接，．
（ⅰ）如图2，求证：；
（ⅱ）如图3，当时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设，则，，
，
，，
如图，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，
，
，
，
在中，，
，
．
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
，
，
整理得：，
解得：，
由，则．
故答案为：D.
【分析】设，根据全等三角形的对应边相等可得，，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，在中，根据正弦的定义求出HK长，再根据三角形的面积公式求出△HEF的面积，利用平行四边形的判定和性质，利用AAS得到，即可得到，在中，利用正弦的额定义求出DG长，即可求出△ADE的面积．再根据列方程，求出k的值解答即阿珂．
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质得，得到是等边三角形，即可得到∠ABO=60°，然后根据三角形的内角和定理解答即可．
3．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，即，
∴，故A不正确；
∵，
∴，故B不正确；
∵折叠，
∴ ，
∵，故C不正确，D选项正确；
故选：D．
【分析】根据矩形的性质得到，，根据平行线的性质得到，进而根据折叠的性质得出，，然后逐一判断解答即可．
4．【答案】C
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴在中，．
故答案为：C .
【分析】根据菱形的性质，利用两角对应相等得到，根据相似三角形的对应边成比例求出的长，再在中根据勾股定理求出的长解答即可．
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，且，
∵，
∴，
设，则，
由折叠得，
在中，；
∴，
又四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】设，根据菱形的性质和争先的定义求出，再根据折叠可得，利用勾股定理求出，，然后推理得到是平行四边形，即可得到，，再根据平行线得到，利用对应边成比例解答即可．
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
∵菱形的面积为24，BD=8，
∴
∴AC=6
∵BE=BF
∴
∵BA=BC
∴，
∴∠BEF=∠BAC
∴EF//AC，
∴△BEF∽△BAC
∴
∵BA=DA
∴
同理可证△DHG∽△DAC
∴
∴
即
∴EF+GH=AC=6
∴x+y=6，
故答案为：B.
【分析】由菱形的性质求出AC=6，证明∠BEF=∠BAC，得EF//AC，证出△BEF∽△BAC，得出，同理可得，从而可证明EF+GH=AC=6，得x+y=6是定值.
7．【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，于点，于点，
∵四边形是正方形，E为对角线上一点，
∴，，
∵，，，
∴，，，即，
∴四边形是矩形，四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴．
故答案为：A .
【分析】过点作于点，于点，于点，即可得到四边形是正方形，然后根据正弦的定义得到，根据AAS得到，即可得到，，再根据三角形的中位线性质解答即可．
8．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；正多边形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵多边形ABCDEF是正六边形，
在 与 中，
∵AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴四边形ABDE是矩形.
∴四边形ABDE的面积
故选： C.
【分析】根据正六边形的性质得到 根据等腰三角形的性质得到 然后根据SAS得到△AEF≌△BCD，得到AE=BD，进而得到四边形ABDE是矩形，根据矩形的性质解答即可.
9．【答案】A
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，．
∵矩形和正方形面积相等，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
同理可证，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴．
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质，利用AAS得到，即可得到，，．再根据矩形和正方形面积相等，即可得到，求出，然后推理得到，即可得到，求出，再得到，根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
10．【答案】B
【解析】【解答】因为菱形ABCD边长为4，∠A=60°，M是AD中点，
故MA=MD=2。
由翻折知MA'=MA=2，
所以点A在以M为圆心，2为半径的圆弧上。
根据几何性质，当C、A'、M三点共线时，AC取得最小值。
如图，过点M作MG⊥CD，交CD的延长线于点G。
因为AD‖BC，∠A=60°，所以∠MDG=60°。
在Rt△MDG中，MD=2，∠MDG=60°，得DG=MD·cos60°=1，
MG=MD×sin60°=.
菱形边长为4，则CD=4，故CG=CD+DG=4+1=5.
在Rt△MCG中，由勾股定理得：CM=。
此时A'在CM上，且MA'=2，故CA'=CM-MA'=.
在Rt△MCG中，，
故答案为：B.
【分析】利用翻折的性质确定A的轨迹为以M为圆心、MA为半径的圆弧，根据"点到圆的最短距离”原理，当C、A'、M三点共线时，A'C取得最小值。随后通过解△MCD，构造直角三角形求∠DCA的正弦值。
11．【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
12．【答案】D
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；几何图形的面积计算-割补法；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，
∵，
∴，
∴四边形的面积．
∴四边形的面积为定值.
故答案为：D .
【分析】设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，即可得到，然后利用四边形的面积解答.
13．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，
由题意得，，，
，
，
，
，
∴，
整理得，即，
∴．
可用含的代数式表示的是．
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质结合，根据割补法列式计算即可求解．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点F、G分别为、的中点，
∴，
故答案为：．
【分析】连接．由矩形的性质和角平分线的定义求出，即可得到，然后根据勾股定理求出DE长，根据三角形中位线定理解答即可．
15．【答案】7
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示，延长交BC于点E，过点P作于点F，
，
四边形为矩形，
，，
四边形为矩形，
，
根据折叠可得，，，
平分，
，
又，
，
，
点Q平分线段，
，
，
，
，
，
设，
则，，
由勾股定理得，
，
由勾股定理得，
即，
解得（负值已舍），
．
故答案为：7 .
【分析】延长交于点，过点作于点，根据翻折的性质和角平分线的定义，利用ASA得到，即可得到，然后根据平行线线得到，根据对应边成比例设，然后根据勾股定理解答即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点P作PG⊥AB，PM⊥BC，则PN⊥AD，
∴∠BQA=∠BGP=∠PME=90°，
∴四边形BGPM是矩形，
由折叠性质得∠APE=90°，CP=CD=2，∠CPF=90°，AP=AB=2，EP=EB=1，
在△ABE中，AB=2，BE=1，则AE=
设∠BAE=，则sin=，cos=
∴BP=2BQ=2×=，BQ=ABsin=
∵∠BPG=∠BAE=α，
∴PM=GB=BPsin=×=
GP=BPcos=×=
设AD=BC=a，由CP=2得
()2+(a-)2=22
解得a=
设FP=FD=x，
∵PN=2-=，FP=FD=x
∴()2+[(a-x)-]2=x2
代入a=得
解得
∴
故答案为：
【分析】首先构造矩形BGPM，由折叠的性质得到相关线段的长度、相关角的度数，在Rt△ABE中，利用勾股定理以及解直角三角形等知识可分别求出BP，BQ的长度，再等角代换得到PM，GP的长，在Rt△PMG中，利用勾股定理求出AD，BC的长，在Rt△PMG中，再次利用勾股定理即可求出 DF 。
17．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：将沿折叠使点落在点处，
点与点关于直线对称，，
垂直平分，
，，
点是的中点，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，，
，，
，
，即，
解得，
，
故答案为：．
【分析】由翻折可得垂直平分，而点是的中点，则，然后得到，即可得到，进而得到，推理得到，根据勾股定理即可求出，再证明，根据对应边成比例求出长，根据线段的和差解答即可．
18．【答案】129°
【知识点】平行线的性质；正多边形的性质；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】正五边形的每个内角为(5-2)x180°÷5=108°，即∠C=∠D=108°，
在△BCF中，∠C=108°，∠CFB=57°，
由三角形内角和定理得：∠CBF=180°-108°-57°=15°。
所以∠ABF=108°-15°=93°，
因为BF‖AG，所以∠ABF+∠BAG=180°（同旁内角互补）。
所以∠BAG=180°-93°=87°，
所以∠EAG=108°-87°=21°，
因此∠AGD=∠E+∠EAG=108°+21°=129°。
故答案为：129°.
【分析】先求出正五边形的每个内角，再在△BCF中利用三角形内角和求出∠CBF，结合BF‖AG的平行线性质，通过角度转化求出∠AGD。
19．【答案】35
【知识点】平行线的性质；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，
正六边形内角和为：，
，
，，
，
，
故答案为：35.
【分析】先求出正六边形的每个内角的度数，然后根据平行线的性质解答即可．
20．【答案】（1）解：由尺规作图可知：AQ=BC，AB=CQ，
∴四边形ABCQ是平行四边形，
即点P为AC的中点
（2）解：以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，如图所示，
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)由作图可得，AQ=BC，AB=CQ，则可得四边形ABCD为平行四边形，进而可得点P为AC的中点；
(2)以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，即可得出答案.
21．【答案】（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
设与交于点．
由作图方法可知，垂直平分，
∴，
四边形是平行四边形，
∴，即．
，
∴，
∴，
∴
四边形是菱形；
（2）解：作图如下：
∵四边形AECF是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
根据现有条件无法证明，
∴无法证明是菱形，
∴小丽的作法不正确．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）设与交于点，由作图可知垂直平分，即可得到，然后根据平行四边形的性质，利用AAS得到，得到AD=BC，然后根据四条边相等的四边形是菱形证明即可；
（2）根据角平分线的尺规作图方法作图，根据平行四边形的性质得到∠BAF=∠FCE，然后根据平行线的性质和角平分线的定义得到，得到，同理可得，即可得到，进而得到是平行四边形，无法证明是菱形，据此解答即可．
22．【答案】（1）解：∵，∴，∴
∵，∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴，∴四边形 ABED 是矩形。
（2）解：小明的作法正确
证明：连结AE，BD
∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴四边形 ABED 是矩形
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）本题考查矩形的判定定理，已知 ∠A=∠B=90° ，可得AD//BC，小丽的作法先证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据已知条件∠A=90°证得平行四边形ABED是矩形。
（2）小明利用判定直角三角形全等的方法，证明，从而得到四边形ABED为平行四边形，再根据已知条件∠A=90°证得平行四边形ABED是矩形。
23．【答案】解：方案一：当正六边形一边落在边BC上，顶点J，G分别在两边AB，CD上时，连结JG，如图，则JG的长度即为正方形的边长，也是正六边形边长的两倍，所以此方案中正六边形的边长为1.

方案二：正六边形四个顶点E，G，H，J分别落在四条边上.
由题意得HG∥JE，且HG=JE，
AB∥CD，BC∥AD，∠B=∠D=90°.
连结JG，EG，如图.

所以
所以∠BJG-∠EJG=∠DGJ-∠HGJ，
即∠BJE=∠DGH，所以△BEJ≌△DHG，所以BJ=DG.
因为，
∴，
∵，
∴，
所以
所以
因为BE+EC=CG+DG，即
所以
所以BJ=BE，
所以
所以
所以
所以
因为
而
所以
所以
所以方案二中的正六边形边长比方案一中的边长大
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；圆内接正多边形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】方案一：连结JG，得到正方形的边长等于正六边形的边长的二倍解答即可；
方案二：连结JG，EG，即可得到△BEJ≌△DHG，再根据对应边相等得到BJ=DG，然后根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例得到求出BJ=BE，进而求出BE和JE长，进而求出边长，比较解答即可．
24．【答案】（1）∵四边形ABCD是菱形，
（2）由（1）得，
如图1，∵EF∥AC，∴∠CAF+∠EFA=180°，
∵∠EFA=∠BCA=∠BAC；∠CAF+∠BAC=180°，∴B，A，F三点共线，过点F作直线AC的垂线于点H，连结FC.
在Rt△CFH中，
如图2，∵EF∥AC，∴∠EFA=∠FAC，
∵∠EFA=∠BCA=∠BAC；∠BAC=∠FAC，
∴A，B，F三点共线，作FH⊥AC，连结FC，
在Rt△CFH中，
综上可得，或
（3）由题意得，点P是射线AC上的动点.
当P，C重合时，BP-CP=BC=5
当P，C不重合时，C，B，P构成三角形，BP-CP<5，可分两种情况考虑：点P在线段AC上和点P在AC的延长线上.
①当点P在线段AC上，如图3，设OP=x，则，
的值随着x的增大而增大，
∴当AP最小时，OP最小，BP-CP取到最小值.
∵在△AFP中，
∴当AP⊥EF时，AP最小，如图4，此时
②当点P在AC的延长线上，如图5，BP>CP，即BP-CP>0.综上可得，
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
25．【答案】（1）解：如图1，过点A作AH⊥BC于点H，
∴设BH=a，则BC=AB=5a，AH=2a.
∵菱形ABCD的面积为40
解得a=2或a=-2(舍去)，
∴菱形ABCD的边长为10
（2）①∵点A关于BE的对称点A'落在线段EC上，
∴∠AEB=∠CEB.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，BC=CD，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠EBC=∠CEB，
∴EC=BC=CD.
如图2，过点C作CK⊥AD于点K，则DK=EK.
由(1)知，=10，
∴DK=EK=2，
∴AE=10-2-2=6.
②如图3，过点B作BM⊥AD于点M，过点B作BE的垂线与BC的垂直平分线PN(点N为垂足)相交于点P，连结PE，PC，
∵AD∥BC，
∴MB⊥BC，
∴∠PBN=∠EBM=90°-∠EBC.
∵∠BNP=∠M=90°，
∴△BNP∽△BME，
由(1)得，BM=4，BN=5，
∵PN是BC的垂直平分线，
∵EC+PC≥PE，
∴当E，C，P三点共线时，EBEC的最大值为
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据余弦的定义可设BH=a，则BC=AB=5a，根据勾股定理求出AH长，再根据菱形的面积公式求出a的值解答即可；
（2）①根据对称性和菱形的性质得到∠AEB=∠CEB=∠EBC，然后根据等角对等边得到EC=BC=CD，过点C作CK⊥AD于点K，则DK=EK，根据余弦的定义求出DK=EK=2，再根据线段的和差解答即可；
②过点B作BM⊥AD于点M，过点B作BE的垂线与BC的垂直平分线PN(点N为垂足)相交于点P，连结PE，PC，先根据两角对应相等得到△BNP∽△BME，根据对应边成比例求出然后根据勾股定理求出，再根据三角形三边关系求出比值的最大值即可.
26．【答案】（1）解：如图，作，交的延长线H，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
，
∴，即，
在中，可得，
∴，解得（负值舍去），
，则，
；
（2）解：①如图，作，交于点M，
由旋转可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，，
，
∴，
令，
，
解得，
；
，
；
②如图，过点A作于点Q，过D作于M，
由（1）得，设，则，
∵，
∴
解得，
∴，．
∴，
在中，，
∵，
又∵，且，
∴
解得，
在中，，
∵P在上，
∴，
∴，
在中，，
∴，
，
∴，
∴，
要最小化，需最大化，即最小化．
由旋转性质得，，
∴，
由（2）得，，
当时，最小，也最小，
此时是中边上的高，
由旋转性质得，，
∴，即，
∴，解得，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）作延长线于H，根据平行四边形的对边相等得到，然后根据正切的定义和勾股定理求出BH的长，进而求出AC的长解答即可；
（2）①根据旋转得，作，交于点M，根据正切的定义设，即可得到方程，解方程求出m的值，再根据求出面积即可；
②过点A作于点Q，过D作于M，根据勾股定理求出AD和BD的长，然后根据三角形的额面积求出AQ长，进而求出DQ的值，然后根据勾股定理将转化为，当时AP最小，代入求得最小值，再根据旋转的性质和勾股定理求出QP的长解答即可．
27．【答案】（1）证明：是的中点，
．
四边形为正方形，
，
，
，
，，
为的中点
如图1，连接，则，．
在中，，
，
，
（2）解：（ⅰ）证明：如图2，过点作，交的延长线于点．
四边形为正方形，
∴，，
，
四边形是矩形，
．
，
在中，，
．
，
，
，
即
（ⅱ），
，．
，，
由（1）知，
，
，
．
在中，．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】
（1）根据正方形的定义，利用ASA得到，然后根据对应边相等得到，，连接，根据勾股定理求出CE长，即可得到，再根据三线合一证明即可；
（2）（ⅰ）过点作，交的延长线于点．即可得到是矩形，再根据两角对应相等得到，利用对应边成比例得到结论即可；
（ⅱ）根据即可得到，由（1）可得，进而求出BG长，根据正切的定义解答即可．
1 / 14月上旬之四边形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．如图， ABCD中，DE∥BG，AF∥CH，E，G分别在AF，CH上，连结FH，∠AFB=120°，若△AFB≌△HEF，△AED与△HEF的面积相等，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设，则，，
，
，，
如图，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，
，
，
，
在中，，
，
．
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
，
，
整理得：，
解得：，
由，则．
故答案为：D.
【分析】设，根据全等三角形的对应边相等可得，，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，在中，根据正弦的定义求出HK长，再根据三角形的面积公式求出△HEF的面积，利用平行四边形的判定和性质，利用AAS得到，即可得到，在中，利用正弦的额定义求出DG长，即可求出△ADE的面积．再根据列方程，求出k的值解答即阿珂．
2．如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质得，得到是等边三角形，即可得到∠ABO=60°，然后根据三角形的内角和定理解答即可．
3．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A'处， A'D交BC于点E.将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C'处，下列结论一定正确的是(　　)
A． B．∠1=α C． D．∠2=2α
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，即，
∴，故A不正确；
∵，
∴，故B不正确；
∵折叠，
∴ ，
∵，故C不正确，D选项正确；
故选：D．
【分析】根据矩形的性质得到，，根据平行线的性质得到，进而根据折叠的性质得出，，然后逐一判断解答即可．
4．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点 O，BM⊥CD，垂足为点M，BM交AC于点N，若OC=4，ON=1，则DC的长为(　　)
A． B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴在中，．
故答案为：C .
【分析】根据菱形的性质，利用两角对应相等得到，根据相似三角形的对应边成比例求出的长，再在中根据勾股定理求出的长解答即可．
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，点E为OC上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△FDE， EF交CD于点G，连结BE， CF．当四边形 BCFE为平行四边形时，若sin∠DAC=k，则 的值为(　　)
A．k B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，且，
∵，
∴，
设，则，
由折叠得，
在中，；
∴，
又四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】设，根据菱形的性质和争先的定义求出，再根据折叠可得，利用勾股定理求出，，然后推理得到是平行四边形，即可得到，，再根据平行线得到，利用对应边成比例解答即可．
6．如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的动点，且BE=BF=CG=AH.若菱形的面积等于24，BD=8，记EF=x，GH=y，则下列代数式的值不变的是（　　）
A．x-y B．x+y C．xy D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；菱形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
∵菱形的面积为24，BD=8，
∴
∴AC=6
∵BE=BF
∴
∵BA=BC
∴，
∴∠BEF=∠BAC
∴EF//AC，
∴△BEF∽△BAC
∴
∵BA=DA
∴
同理可证△DHG∽△DAC
∴
∴
即
∴EF+GH=AC=6
∴x+y=6，
故答案为：B.
【分析】由菱形的性质求出AC=6，证明∠BEF=∠BAC，得EF//AC，证出△BEF∽△BAC，得出，同理可得，从而可证明EF+GH=AC=6，得x+y=6是定值.
7．如图，正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作 EF⊥DE交DC的延长线于 F，交BC于M，若DE=MF，且. 则线段 CF 的长为(　　)
A．2 B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，于点，于点，
∵四边形是正方形，E为对角线上一点，
∴，，
∵，，，
∴，，，即，
∴四边形是矩形，四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴．
故答案为：A .
【分析】过点作于点，于点，于点，即可得到四边形是正方形，然后根据正弦的定义得到，根据AAS得到，即可得到，，再根据三角形的中位线性质解答即可．
8．如图，已知正六边形 ABCDEF的边长为1，连接AE， BD，则四边形ABDE的面积为(　　)

A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；正多边形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵多边形ABCDEF是正六边形，
在 与 中，
∵AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴四边形ABDE是矩形.
∴四边形ABDE的面积
故选： C.
【分析】根据正六边形的性质得到 根据等腰三角形的性质得到 然后根据SAS得到△AEF≌△BCD，得到AE=BD，进而得到四边形ABDE是矩形，根据矩形的性质解答即可.
9．如图，矩形和正方形面积相等，点B在边上，点G在上，交于M点，，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，．
∵矩形和正方形面积相等，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
同理可证，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴．
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质，利用AAS得到，即可得到，，．再根据矩形和正方形面积相等，即可得到，求出，然后推理得到，即可得到，求出，再得到，根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
10．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，M是AD的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则当A'C取得最小值时，则∠DCA'的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】因为菱形ABCD边长为4，∠A=60°，M是AD中点，
故MA=MD=2。
由翻折知MA'=MA=2，
所以点A在以M为圆心，2为半径的圆弧上。
根据几何性质，当C、A'、M三点共线时，AC取得最小值。
如图，过点M作MG⊥CD，交CD的延长线于点G。
因为AD‖BC，∠A=60°，所以∠MDG=60°。
在Rt△MDG中，MD=2，∠MDG=60°，得DG=MD·cos60°=1，
MG=MD×sin60°=.
菱形边长为4，则CD=4，故CG=CD+DG=4+1=5.
在Rt△MCG中，由勾股定理得：CM=。
此时A'在CM上，且MA'=2，故CA'=CM-MA'=.
在Rt△MCG中，，
故答案为：B.
【分析】利用翻折的性质确定A的轨迹为以M为圆心、MA为半径的圆弧，根据"点到圆的最短距离”原理，当C、A'、M三点共线时，A'C取得最小值。随后通过解△MCD，构造直角三角形求∠DCA的正弦值。
11．如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，AC与BD交于点M，则∠ABM的度数为（　　）
A．120° B．110° C．112.5° D．135°
【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
12．如图，在四边形ABCD中， 点 H，F分别在边 AD，BC上移动(不与端点重合)，连接FH，则下列为定值的是(　　)
A．∠EFG的大小 B．四边形EFGH的周长
C．线段FH的长 D．四边形EFGH的面积
【答案】D
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；几何图形的面积计算-割补法；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，
∵，
∴，
∴四边形的面积．
∴四边形的面积为定值.
故答案为：D .
【分析】设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，即可得到，然后利用四边形的面积解答.
13．如图，在 ABCD中，点E， F， G， H分别在边AB， BC， CD， DA上， FH∥AB， EG∥BC，交点O在△ABD的内部，记 AEOH， EBFO， OFCG， OGDH的面积分别为a， b， c，d.若△OBD的面积为k，则下列选项中，可用含k的代数式表示的是(　　)
A．a+c B．a-c C．b+d D．b-d
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，
由题意得，，，
，
，
，
，
∴，
整理得，即，
∴．
可用含的代数式表示的是．
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质结合，根据割补法列式计算即可求解．
二、填空题
14．如图，在矩形ABCD中， AB=6， AD=8， AE平分∠BAD交BC于点 E，点F、G分别是AD、AE 的中点，则 FG 的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点F、G分别为、的中点，
∴，
故答案为：．
【分析】连接．由矩形的性质和角平分线的定义求出，即可得到，然后根据勾股定理求出DE长，根据三角形中位线定理解答即可．
15．某中学数学社团开展折纸活动，如图，在一张宽为 4 cm，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片 先将纸片折出折痕 BD，再 在边 AD上取点 P，将 △ABP沿BP 折叠得 △A'BP.记AP与BD的交点为Q，在折纸过程中，当点Q平分线段A'P时，A'B恰好平分 ∠DBC，则AD长度应取　 　cm.
【答案】7
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示，延长交BC于点E，过点P作于点F，
，
四边形为矩形，
，，
四边形为矩形，
，
根据折叠可得，，，
平分，
，
又，
，
，
点Q平分线段，
，
，
，
，
，
设，
则，，
由勾股定理得，
，
由勾股定理得，
即，
解得（负值已舍），
．
故答案为：7 .
【分析】延长交于点，过点作于点，根据翻折的性质和角平分线的定义，利用ASA得到，即可得到，然后根据平行线线得到，根据对应边成比例设，然后根据勾股定理解答即可．
16．如图，已知矩形ABCD中点E，F分别是BC，AD上的点，其中AB=2BE=2，将△ABE沿AE折叠，△CDF沿CF折叠，点B和点D恰好落在同一点P上，求DF=　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点P作PG⊥AB，PM⊥BC，则PN⊥AD，
∴∠BQA=∠BGP=∠PME=90°，
∴四边形BGPM是矩形，
由折叠性质得∠APE=90°，CP=CD=2，∠CPF=90°，AP=AB=2，EP=EB=1，
在△ABE中，AB=2，BE=1，则AE=
设∠BAE=，则sin=，cos=
∴BP=2BQ=2×=，BQ=ABsin=
∵∠BPG=∠BAE=α，
∴PM=GB=BPsin=×=
GP=BPcos=×=
设AD=BC=a，由CP=2得
()2+(a-)2=22
解得a=
设FP=FD=x，
∵PN=2-=，FP=FD=x
∴()2+[(a-x)-]2=x2
代入a=得
解得
∴
故答案为：
【分析】首先构造矩形BGPM，由折叠的性质得到相关线段的长度、相关角的度数，在Rt△ABE中，利用勾股定理以及解直角三角形等知识可分别求出BP，BQ的长度，再等角代换得到PM，GP的长，在Rt△PMG中，利用勾股定理求出AD，BC的长，在Rt△PMG中，再次利用勾股定理即可求出 DF 。
17．如图，平行四边形中，点E是的中点，连接，将沿折叠使点B落在点F处，连接和，延长交于点G，和相交于点H，若，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：将沿折叠使点落在点处，
点与点关于直线对称，，
垂直平分，
，，
点是的中点，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，，
，，
，
，即，
解得，
，
故答案为：．
【分析】由翻折可得垂直平分，而点是的中点，则，然后得到，即可得到，进而得到，推理得到，根据勾股定理即可求出，再证明，根据对应边成比例求出长，根据线段的和差解答即可．
18．如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG．若∠CFB＝57°，则∠AGD＝　 　 ．
【答案】129°
【知识点】平行线的性质；正多边形的性质；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】正五边形的每个内角为(5-2)x180°÷5=108°，即∠C=∠D=108°，
在△BCF中，∠C=108°，∠CFB=57°，
由三角形内角和定理得：∠CBF=180°-108°-57°=15°。
所以∠ABF=108°-15°=93°，
因为BF‖AG，所以∠ABF+∠BAG=180°（同旁内角互补）。
所以∠BAG=180°-93°=87°，
所以∠EAG=108°-87°=21°，
因此∠AGD=∠E+∠EAG=108°+21°=129°。
故答案为：129°.
【分析】先求出正五边形的每个内角，再在△BCF中利用三角形内角和求出∠CBF，结合BF‖AG的平行线性质，通过角度转化求出∠AGD。
19．如图，两条直线l1， l2分别经过正六边形ABCDEF 的顶点B 、C，且l1//l2．当∠2=95°时，则∠1=　 　°.
【答案】35
【知识点】平行线的性质；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，
正六边形内角和为：，
，
，，
，
，
故答案为：35.
【分析】先求出正六边形的每个内角的度数，然后根据平行线的性质解答即可．
三、解答题
20．尺规作图问题：已知△ABC，∠ABC是钝角，AB>BC，请用尺规作AC的中点P.
小聪：如图1，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点Q，连接BQ交AC于点P，则点P为AC的中点.
小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点M，作BC的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点P，则点P为AC的中点.
小聪：小明，你的作法有问题.
小明：哦…我明白了.
（1）证明：小聪的作法是正确的.
（2）指出小明作法中存在的问题.
【答案】（1）解：由尺规作图可知：AQ=BC，AB=CQ，
∴四边形ABCQ是平行四边形，
即点P为AC的中点
（2）解：以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，如图所示，
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)由作图可得，AQ=BC，AB=CQ，则可得四边形ABCD为平行四边形，进而可得点P为AC的中点；
(2)以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，即可得出答案.
21．已知平行四边形，在平行四边形内作菱形ABCD．
小亮的作法：如图1，连接BD，分别以D、B为圆心大于 的长为半径画弧，连接两弧交点与平行四边形两边交于点A，C，连接AB，CD，则四边形ABCD 即为菱形．
（1）判断小亮的作法是否正确，并说明理由．
（2）小丽说，作平行四边形AECF一组对角的角平分线可以得到菱形，你认为小丽的作法正确吗 请你在图2中作出图形(保留作图痕迹)．
【答案】（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
设与交于点．
由作图方法可知，垂直平分，
∴，
四边形是平行四边形，
∴，即．
，
∴，
∴，
∴
四边形是菱形；
（2）解：作图如下：
∵四边形AECF是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
根据现有条件无法证明，
∴无法证明是菱形，
∴小丽的作法不正确．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）设与交于点，由作图可知垂直平分，即可得到，然后根据平行四边形的性质，利用AAS得到，得到AD=BC，然后根据四条边相等的四边形是菱形证明即可；
（2）根据角平分线的尺规作图方法作图，根据平行四边形的性质得到∠BAF=∠FCE，然后根据平行线的性质和角平分线的定义得到，得到，同理可得，即可得到，进而得到是平行四边形，无法证明是菱形，据此解答即可．
22．如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD小丽：如图2，以点B为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小明：如图3，以点A为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE。
小慧：根据所学知识，我能判断出小丽的做法是正确的，但是对小明的作法我存在疑惑。
（1）请给出小丽作法中四边形ABED是矩形的证明。
（2）请判断小明作法是否正确，并说明理由。
【答案】（1）解：∵，∴，∴
∵，∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴，∴四边形 ABED 是矩形。
（2）解：小明的作法正确
证明：连结AE，BD
∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴四边形 ABED 是矩形
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）本题考查矩形的判定定理，已知 ∠A=∠B=90° ，可得AD//BC，小丽的作法先证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据已知条件∠A=90°证得平行四边形ABED是矩形。
（2）小明利用判定直角三角形全等的方法，证明，从而得到四边形ABED为平行四边形，再根据已知条件∠A=90°证得平行四边形ABED是矩形。
23．学校数学兴趣小组探究如下数学问题：边长为2的正方形ABCD内如何放置一个边长尽可能大的正六边形EFGHIJ（可与正方形边接触）.
小组成员提出以下两种方案：
方案一：如图1，正六边形一边落在边BC上，顶点J，G分别在两边AB，CD上.
方案二：如图2，正六边形四个顶点E，G，H，J分别在四条边上.
请分别求出以上两种方案中正六边形的边长，并比较哪种方案的正六边形边长更大.
【答案】解：方案一：当正六边形一边落在边BC上，顶点J，G分别在两边AB，CD上时，连结JG，如图，则JG的长度即为正方形的边长，也是正六边形边长的两倍，所以此方案中正六边形的边长为1.

方案二：正六边形四个顶点E，G，H，J分别落在四条边上.
由题意得HG∥JE，且HG=JE，
AB∥CD，BC∥AD，∠B=∠D=90°.
连结JG，EG，如图.

所以
所以∠BJG-∠EJG=∠DGJ-∠HGJ，
即∠BJE=∠DGH，所以△BEJ≌△DHG，所以BJ=DG.
因为，
∴，
∵，
∴，
所以
所以
因为BE+EC=CG+DG，即
所以
所以BJ=BE，
所以
所以
所以
所以
因为
而
所以
所以
所以方案二中的正六边形边长比方案一中的边长大
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；圆内接正多边形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】方案一：连结JG，得到正方形的边长等于正六边形的边长的二倍解答即可；
方案二：连结JG，EG，即可得到△BEJ≌△DHG，再根据对应边相等得到BJ=DG，然后根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例得到求出BJ=BE，进而求出BE和JE长，进而求出边长，比较解答即可．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线BD=6，AC=8，以点A为旋转中心，逆时针旋转记点B，C旋转得到的对应点分别为点E，F.
（1）求菱形的边长.
（2）当EF∥AC时，求FC的长.
（3）若在EF第一次平行于AC时停止旋转，设旋转停止前，直线EF交射线AC于点P，连结BP，求BP-CP的取值范围.
【答案】（1）∵四边形ABCD是菱形，
（2）由（1）得，
如图1，∵EF∥AC，∴∠CAF+∠EFA=180°，
∵∠EFA=∠BCA=∠BAC；∠CAF+∠BAC=180°，∴B，A，F三点共线，过点F作直线AC的垂线于点H，连结FC.
在Rt△CFH中，
如图2，∵EF∥AC，∴∠EFA=∠FAC，
∵∠EFA=∠BCA=∠BAC；∠BAC=∠FAC，
∴A，B，F三点共线，作FH⊥AC，连结FC，
在Rt△CFH中，
综上可得，或
（3）由题意得，点P是射线AC上的动点.
当P，C重合时，BP-CP=BC=5
当P，C不重合时，C，B，P构成三角形，BP-CP<5，可分两种情况考虑：点P在线段AC上和点P在AC的延长线上.
①当点P在线段AC上，如图3，设OP=x，则，
的值随着x的增大而增大，
∴当AP最小时，OP最小，BP-CP取到最小值.
∵在△AFP中，
∴当AP⊥EF时，AP最小，如图4，此时
②当点P在AC的延长线上，如图5，BP>CP，即BP-CP>0.综上可得，
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
25．已知菱形ABCD的面积为
（1）如图1，求菱形ABCD的边长.
（2）若点E是射线AD上的一点（不与端点A，D重合），连结EB，EC.
①如图2，点A关于BE的对称点为点.A'，当点A'落在线段EC上时，求AE的长.
②如图3，求的最大值.
【答案】（1）解：如图1，过点A作AH⊥BC于点H，
∴设BH=a，则BC=AB=5a，AH=2a.
∵菱形ABCD的面积为40
解得a=2或a=-2(舍去)，
∴菱形ABCD的边长为10
（2）①∵点A关于BE的对称点A'落在线段EC上，
∴∠AEB=∠CEB.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，BC=CD，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠EBC=∠CEB，
∴EC=BC=CD.
如图2，过点C作CK⊥AD于点K，则DK=EK.
由(1)知，=10，
∴DK=EK=2，
∴AE=10-2-2=6.
②如图3，过点B作BM⊥AD于点M，过点B作BE的垂线与BC的垂直平分线PN(点N为垂足)相交于点P，连结PE，PC，
∵AD∥BC，
∴MB⊥BC，
∴∠PBN=∠EBM=90°-∠EBC.
∵∠BNP=∠M=90°，
∴△BNP∽△BME，
由(1)得，BM=4，BN=5，
∵PN是BC的垂直平分线，
∵EC+PC≥PE，
∴当E，C，P三点共线时，EBEC的最大值为
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据余弦的定义可设BH=a，则BC=AB=5a，根据勾股定理求出AH长，再根据菱形的面积公式求出a的值解答即可；
（2）①根据对称性和菱形的性质得到∠AEB=∠CEB=∠EBC，然后根据等角对等边得到EC=BC=CD，过点C作CK⊥AD于点K，则DK=EK，根据余弦的定义求出DK=EK=2，再根据线段的和差解答即可；
②过点B作BM⊥AD于点M，过点B作BE的垂线与BC的垂直平分线PN(点N为垂足)相交于点P，连结PE，PC，先根据两角对应相等得到△BNP∽△BME，根据对应边成比例求出然后根据勾股定理求出，再根据三角形三边关系求出比值的最大值即可.
26． 如图1，在中，．
（1）求的长，
（2）把绕点A逆时针旋转，点B、C的对应点分别为E、F．
①当点B的对应点E落在对角线上时，与的交点为G，求四边形的面积；
②如图2，点E在对角线下方时，线段的反向延长线交与点P，连接，求的最小值．
【答案】（1）解：如图，作，交的延长线H，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
，
∴，即，
在中，可得，
∴，解得（负值舍去），
，则，
；
（2）解：①如图，作，交于点M，
由旋转可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，，
，
∴，
令，
，
解得，
；
，
；
②如图，过点A作于点Q，过D作于M，
由（1）得，设，则，
∵，
∴
解得，
∴，．
∴，
在中，，
∵，
又∵，且，
∴
解得，
在中，，
∵P在上，
∴，
∴，
在中，，
∴，
，
∴，
∴，
要最小化，需最大化，即最小化．
由旋转性质得，，
∴，
由（2）得，，
当时，最小，也最小，
此时是中边上的高，
由旋转性质得，，
∴，即，
∴，解得，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）作延长线于H，根据平行四边形的对边相等得到，然后根据正切的定义和勾股定理求出BH的长，进而求出AC的长解答即可；
（2）①根据旋转得，作，交于点M，根据正切的定义设，即可得到方程，解方程求出m的值，再根据求出面积即可；
②过点A作于点Q，过D作于M，根据勾股定理求出AD和BD的长，然后根据三角形的额面积求出AQ长，进而求出DQ的值，然后根据勾股定理将转化为，当时AP最小，代入求得最小值，再根据旋转的性质和勾股定理求出QP的长解答即可．
27．在边长为4的正方形中，是边的中点，点是边上的一个动点，连接并延长交射线于点．
（1）如图1，连接，当时，求证：；
（2）过点作的垂线交射线于点，连接，．
（ⅰ）如图2，求证：；
（ⅱ）如图3，当时，求的值．
【答案】（1）证明：是的中点，
．
四边形为正方形，
，
，
，
，，
为的中点
如图1，连接，则，．
在中，，
，
，
（2）解：（ⅰ）证明：如图2，过点作，交的延长线于点．
四边形为正方形，
∴，，
，
四边形是矩形，
．
，
在中，，
．
，
，
，
即
（ⅱ），
，．
，，
由（1）知，
，
，
．
在中，．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】
（1）根据正方形的定义，利用ASA得到，然后根据对应边相等得到，，连接，根据勾股定理求出CE长，即可得到，再根据三线合一证明即可；
（2）（ⅰ）过点作，交的延长线于点．即可得到是矩形，再根据两角对应相等得到，利用对应边成比例得到结论即可；
（ⅱ）根据即可得到，由（1）可得，进而求出BG长，根据正切的定义解答即可．
1 / 1

展开更多......

收起↑