资源简介

4月上旬之圆—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，分别以点A、B为圆心，AC、BC的长为半径作弧，与AB交于点D、E.若AB=4，则图中阴影部分的面积为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵在
阴影部分的面积
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的性质求出∠B的度数和BC长，然后根据解答即可.
2．如图，在中，已知，，．把以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至边延长线上的处，那么边转过的图形（图中阴影部分）的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：，，，
，，
，
由旋转得，，，
阴影面积
．
故答案为：D.
【分析】先求出，再利用阴影面积计算即可．
3．如图1，将半径为2，圆心角为90°的扇形 BAC绕A 点逆时针旋转60°，点 B，C的对应点分别为点 D，E，则阴影部分的面积为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接BD，
由题意得，AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴阴影部分的面积=
=π+，
故选A．
【分析】连接BD，根据旋转的性质得到△ABD为等边三角形，即可得到∠ABD=60°，根据扇形面积公式解答即可．
4．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，以CD为直径的圆与AD交于点E，则的长是（　　）
A．3π B． C．4π D．5π
【答案】C
【知识点】菱形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，取CD的中点O，连接OE，
∵菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°， CD=AB=6，
∴∠COE=2∠D=120°，OC=3
∴的长是.
故选：C.
【分析】取CD的中点O，连接OE，根据菱形的性质得∠D=∠B=60°，CD=AB=6，根据圆周角定理得∠COE=2∠D=120°，OC=3，再根据弧长公式计算即可.
二、填空题
5．如图，正五边形的边长为2，经过点，则阴影部分扇形的的长为　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形是正五边形，边长为2，
∴，，
∴阴影部分扇形的的长为．
故答案为：.
【分析】利用正五边形的性质求出∠DOA的度数，根据弧长公式计算即可．
6．如图，内接于，是上一点，，连接交于，平分，，，则　 　．
【答案】10
【知识点】相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：延长交于点，连接，，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
故答案为：10.
【分析】延长交于点，连接，，根据等边对等角得到，再根据角平分线的定义和平行线的性质得到，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例求出，进而可得，然后根据勾股定理求出AC长解答即可．
7．如图，菱形OABC的顶点A，C在圆O上，连结并延长OB交圆于点D，连结AD，CD，若OB=BD=2，则四边形OADC的面积为　 　.
【答案】
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接交于点，如图．
由，得，
∴圆的半径．
因此．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】连接交于点，求出圆的半径，根据菱形的性质可得，再利用对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半解答即可．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=BC=CD，∠ADC=100°，则∠AOD=　 　 .
【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵∠ADC=100°
∴∠ABC=180°-100°=80°，
由圆周角定理得：∠AOC=2∠ABC=160°，
∴∠AOB+∠BOC=360° -160°=200°，
∵AB=BC=CD，
∴
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=100°
∴∠AOD=∠AOC-∠COD=60°，
故答案为：60°.
【分析】连接OB、OC，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=100°，进而求出∠AOD.
9．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为边AD的中点，点G在边AB上，连接EG，若△AEG的外接圆⊙O恰好与 BC相切于 F 点，则⊙O 的半径为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连接，延长交于点，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是的切线，点F是切点，
∴，即，
∴四边形是矩形，
∴，，即，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：．
故答案为： .
【分析】连接，延长交于点，根据切线的性质和正方形的额性质得到四边形是矩形，根据垂径定理得到，设， 在中利用勾股定理求出圆的半径长即可解答．
10．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， OE=BE.点P是劣弧AD上任意一点(不与点A，D重合)，CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点 F，设∠PCD=α.①则∠A=　 　， (用含α的代数式表示)； ②当∠F=3∠PCD时，则 　 　.
【答案】30+ α；
【知识点】等腰三角形的判定；垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：①如图，连接、，
是的直径，弦于点E，，，
、，
在中，，
∴，
，
，
，
；
②，
由①知、，
，
即，
解得，
，
，
设的半径为，则、，
，
在中，由勾股定理得：，
，
．
故答案为：30+ α， .
【分析】连接、，根据垂径定理可得、，然后根据圆周角定理及推论可得、，利然后根据角的和差求出∠BAF的度数；利用求出 α 的度数，即可得到，根据等角对等边可得，设的半径为，根据勾股定理求出的值，即可求出比值解答即可．
11．如图，以△ABC的顶点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点 D，经过A，B，D三点的⊙O交 AC 于点 E， 连接OD，BE交于点 F.若 则 的值是　 　.
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接并延长交于点M，
，
，，
，
，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】连接，延长交于点M，根据垂径定理可得，然后根据平行线分线段成比例得到，即可得到，设，则，利用勾股定理求出，即可得到，求出比例解答即可．
12．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是 半径为2，函数 的图象被⊙P 截得的弦AB的长为，则a=　 　．
【答案】4，0
【知识点】点的坐标；垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：作轴于，交于，作于，连接，如图，
∵的圆心坐标是，
∴，
把代入得，
∴点坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
在中，，
，
，
∴，
∴，
故
【分析】作轴于，交于，作于，连接，即可得到，然后求出点D的坐标，进而求出PD长，进而求出∠PDE的正切，再根据垂径定理求出，在中，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，列方程解答即可课．
13．类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成n个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当n无限大时，这些“小扇形”可以近似地看成底边长分别为l1，l2，l3，…，ln，高为r的“小三角形”，它们的面积和为即扇形面积请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为a和b，DE=h，用含z，o，n的八数式衣示图中阴影部分面积　 　.
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
三、解答题
14．周末，小明，小亮和小红去游乐园玩，他们分别排队去坐摩天轮，如图，地面PQ切摩天轮于点A，小明在摩天轮上M处时发现，小亮在A处正准备登上摩天轮，而小红在小明正下方的地面B处排队，若为摩天轮的直径，请解决以下问题．
（1）求证：平分；
（2）若摩天轮的直径为，且小明到地面的高度为，求小亮与小明之间的距离是多少？
【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵切于，
∴．
由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴平分
（2）解：∵直径，
∴．
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴
【知识点】切线的性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质和平行线的判定得到，即可得到，再根据等边对等角可得，即可得到，证明结论；
（2）根据两角对应相等可得，再根据对应边成比例解答即可．
15．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=30°，以AB，BC为边作 ABCD.
（1）如图1，当AB经过圆心O时，求∠D的度数.
（2）如图2，当CD与⊙O相切时，若⊙O的半径为1，求□ABCD与⊙O的重叠部分（阴影部分）的面积.
【答案】（1）因为AB为⊙O的直径，
所以∠ACB=90°，
因为∠BAC=60°，
所以∠B=90-30=60°，
在平行四边形ABCD中，∠D=∠B=60°.
（2）连结OC交AB于点B，连结OA，
因为CD与⊙O相切，
所以OC⊥CD，
所以BE=AE，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
所以OC⊥AB，
因为∠BAC=30°，
所以∠OCA=60°，
因为OA=OC，
所以△OAC为等边三角形，
因为OA=AC，AB⊥OC，
所以OE=CE，
所以△AOE≌△BCE（SAS），
所以
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，然后根据直角三角形的两锐角互余求出∠B的度数，然后根据平行四边形的对角互补解答即可；
（2）连接交于点，连接，根据相切的性质可得，然后根据平行四边形的性质得到为等边三角形，然后根据SAS得到△AOE≌△BCE，再利用解答即可．
16．如图，在四边形ABCD中， 且 ，过点A、C、D作⊙O交BC于点E，连结AE， AC， ED，设AC， ED交于点F，且满足
（1）求证：
（2）若EC=2，EF=1，求圆的半径r；
（3）若 求 的值(用含n的代数式表示)．
【答案】（1）证明：
又∵
（2）解：由(1)知
∴△ACD是等腰三角形，
如图1，过A作AH⊥CD，交⊙O于点G，
∵∠B=90°，AB∥CD，
∴∠BCD=90°，
∴ED是直径，
∴ED和AG交点即圆心O，
∵∠BCD=∠AHD=90°，
∴AH∥BC，
∴△ECF∽△OAF，
∵FO=r-EF=r-1，
解得r=2；
（3）解：设AB=1， BE=a，
∴AD=n.
∵∠B=∠BCH=∠AHC=90°，
∴四边形ABCH是矩形，
∴AB=CH=1.
∵AG是直径， AG⊥CD，
∴CH=DH=1，
∵ED是直径，
∴∠EAD=90°，
∵∠BAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠B=∠ADH=90°，
∴△ABE∽△ADG，
即
∴DG= an，
∵AO=OG， EO=DO， ∠AOE=∠DOG，
∴△AOE≌△GOD(SAS)，
∴AE=DG= an，
即
∵∠BAE=∠DAG=∠CAG=∠CDG，
∴sin∠BAE=sin∠CDG，
由(2)知，
即
【知识点】矩形的判定与性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据圆内接四边形的对角互补和邻补角的定义得到 然后等量代换得到结论即可；
(2)过A作 交⊙O于点G，根据平行线的性质和判定得到AH∥BC，即可得到AF，然后根据对应边成比例解答即可；
(3)先得到四边形ABCH是矩形，然后根据两角对应相等得到 进而得到DG=an，然后根据SAS得到△AOE≌△GOD，即可得到AE=DG= an，进而得到求出AH长，根据（2）终结论 根据对应边成比例解答即可.
17．如图， △ABC内接于⊙O， AB=AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D.连结AO， AD， CD.
（1）求证： ∠ABC=∠ADB.
（2）若∠ACB=55°，求∠OAC的度数.
（3）若 求AE的长.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
由圆周角定理得：，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
由圆周角定理得：，
∵，
∴．
（3）解：如图，延长，交于点，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（负值已舍），
设，则，
∴，
∴，，
由圆周角定理得：，
∴，即，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
解得（负值已舍），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，即，
解得或（舍去），
∴．
【知识点】线段垂直平分线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到，根据圆周角定理的推论得到，等量代换得到结论即可；
（2）连接，根据等边对等角得到∠ABC的度数，再根据圆周角定理求出，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理解答即可；
（3）延长，交于点，连接，根据圆周角定理的推论和垂直的定义，利用两角对应相等得到，根据对应边成比例设，然后推理得到，根据对应边成比例求出的长，然后在中根据勾股定理解答即可．
18．如图1，在⊙O中，直径AB垂直弦CD，连结AC、AD，弦CG平分分别交AB、AD于点 E， F， AG与CD的延长线交于点 H.
（1）求证：
（2）如图1，当HG=HD时，求
（3）如图2，当EF=FG时，求
【答案】（1）证明：∵直径AB⊥弦CD，
∴∠AGC=∠ACD.
∵∠CAG=∠HAC，
∴△ACG∽△AHC；
（2）解：连接，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
，
，
∴，
，
，
，
为的黄金分割点，
；
（3）解：连结，如图，
∵直径垂直弦，
∴垂直平分，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴
∴四边形为菱形，
∴，
∴垂直平分，
∴，为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到，再根据∠CAG=∠HAC即可得到两三角形相似即可；
（2）连接，利用圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到，再根据即可得到，进而得到，再根据相似三角形的对应边成比例求出，，即可得到结论；
（3）连结，先根据AAS得到△AFG≌△DFE，即可得到AF=DF，进而得到四边形为菱形，得到垂直平分，即可得到，根据正切的定义得到，然后证明，根据面积比等于相似比的平方解答即可．
19．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接AC.
（1）如图1，求证：∠BAC=∠DAC；
（2）如图2，连接BC，延长DC交AB的延长线于点E，∠AEC的平分线分别交AC，BC于点F，G，求证：CF=CG；
（3）如图2，在（2）的条件下，若G是EF的中点，且，CD=4，求线段CF的长.
【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵DC切O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=∠ADC=90°，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠BAC，
∴∠BAC=∠DAC
（2）证明：如图，连接OC，
由（1）知：∠OCE=∠OCD=90°，∠CAO=∠ACO，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
∵AB是O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OCE，
∴∠BCE=∠ACO，
∴∠CAO=∠BCE，
∵EF是∠AEC的平分线，
∴∠CEF=∠AEF，
∴∠CFG=∠CAO+∠AEF，∠CGF=∠BCE+∠CEF，
∴∠CFG=∠CGF，
∴CF=CG
（3）解：如图，取CE的中点Q，连接QG，
∵G是EF的中点，
∴GQ//CF，
∴∠CGQ=∠ACB=90°
由(2)知：CF=CG，
∴，
由(2)知：∠DAC=∠BAC=∠BCE，
∴
∴
∴
∴AD=8
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，AD=8，
∴
∴
∵∠CAE=∠GCE，∠FEA=∠CEG
∴△AFE∽△CGE，
∴
∴AF=2CG
∵CF=CG
∴AF=2CF，
∵
∴
【知识点】圆周角定理；切线的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)连接OC，易证∠ACO=∠DAC=∠BAC，即可得证；
(2)先证∠CAO=∠BCE，再根据∠CFG=∠CAO+∠AEF，∠CGF=∠BCE+∠CEF，据此得证；
(3)取CE的中点Q，连接QG，根据，可得AD=8，进而可求AC、AB、BC，再证△AFE∽△CGE，即可得解.
20． 如图1，已知△ABC的高 点E是边AB上的动点，以DE为直径作圆O，交边AB于F，交线段BD于N，交线段AD于M．
（1）求证： ∠DAB=∠FDB．
（2）如图2，连结CF，若CF恰好经过点M．
①求 的值．
②求DN的长．
【答案】（1）证明：是直径，
，则，
为三角形的高，
，
；
（2）解：①，，
，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
四边形内接于圆，
，
，
，且，
，
则；
②，
∴设
作于点，则，
，，
，则，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
．
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由圆周角定理的推论得到，再根据同角的余角相等证明即可；
（2）①先根据正切的定义求出，根据勾股定理求出AB长，再根据正弦的定义求出，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可；
②作于点，则，设即可得到，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例得到，再推理得到，求出，即可得到NP长，解答即可．
21．如图1，点E是⊙O的弦BD上一动点，过点E作AC⊥BD交⊙O于点A， C，连结AB，BC， CD， AD，过点B作BF⊥AD于点 F，交AC于点G.
（1）如图2，若BF经过点O.
①求证： BG=BC.
②若 求⊙O的半径.
（2）若 求y关于x的函数表达式.
【答案】（1）解：①∵AC⊥BD， BF⊥AD，
∴∠BEG=∠AFG=90°.
∵∠BGE=∠AGF，
∴∠GBE=∠GAF.
∵∠CBD=∠GAF，
∴∠GBE=∠CBD.
∵∠BEG=∠BEC=90°，BE=BE，
∴△BEG≌△BEC.
∴BG=BC.
②连结OD，
∵BF⊥AD， BF经过点O，
∴AF=DF.
∴BF 垂直平分AD，
∴∠ABF=∠DBF.
∴∠ABF=∠CBD，
∵AB=BD，BG=BC，
∴△ABG≌△BCD.
∴GF=1，AF=2.
∵∠ABF=∠DBF=∠GAF，
∴在 Rt△ABF中：
∴BF=4.
令OB=r，则OF=4-r.
DF=AF=2.
∴在 Rt△OFD 中，
解得r=2.5.
（2）解：①当点E靠近点 D时，
∵AC=BD，
.
∴∠BAE=∠DBA=∠EDC=∠ECD.
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=∠CED=90°.
∴△ABE 和△CDE 均为等腰直角三角形.
∴AE=BE，DE=CE.
由①得 BG=BC.
∵BE⊥GC，
∴GE=CE.
∴GE=CE=DE，
设GE=CE=DE=a，则AG= ax，
∴AE=AG+GE= ax+a.
∴BE=AE= ax+a.
∴BD=BE+DE= ax+2a.
②当点 E 靠近点 B时，
同理可证△BEC 和△AED 均为等腰直角三角形，令 BE=CE=EG=a，
∴AG= ax，AE=DE= ax+a，
∴BD=BE+DE= ax+2a，
∴综合上得： 或
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）①根据等角的余角相等可得，根据得到，即可得到结论；
②连结，根据垂径定理和等边对等角得到，再根据SAS得到，即可得到，根据正切的定义和勾股定理得到GF和AF的长，即可求出．然后在 Rt△OFD 中根据勾股定理求出半径即可 ．
（2）分当点E靠近点D和当点E靠近点B两种情况，先得到和为等腰直角三角形．分别求出和长，求出关于x的函数解析式即可．
22．综合与实践
【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦AB与CD交于点 P，则有AP·BP=CP·DP．
（1）【猜想验证】请证明上述结论．
（2）【实践应用】如图2，若A(-1，0)、B(3，0)、C(0，-1.5)，则D的坐标为　 　．
（3）【综合拓展】如图3，已知二次函数 的图象与x轴交于A、B两点(A在y轴左侧，B在y轴右侧)，与y轴负半轴交于点C．经过A、B、C三点的圆与y轴正半轴交于点 D，求点D的坐标．
【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵，，
∴∽，
∴，
即；

（2）(0，2)
（3）解：设A(x1，0) 、 B(x2，0)
∵OA· OB=OD· OC，即：
当y=0时，由韦达定理可得，
∴OD=3，则 D(0，3).
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；相交弦定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（2）解：由（1）知，，
∵，
∴，，，
∴，
解得，
∴；
故答案为：(0，2)；
【分析】（1）根据圆周角定理，即可得到∽，根据对应边成比例即可得到结论；
（2）根据点A，B，C的坐标，利用（1）的结论解答即可；
（3）设A(x1，0) 、 B(x2，0)，根据，利用根与系数的关系得到 ，求出OC长解答即可.
1 / 14月上旬之圆—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，分别以点A、B为圆心，AC、BC的长为半径作弧，与AB交于点D、E.若AB=4，则图中阴影部分的面积为 （　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中，已知，，．把以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至边延长线上的处，那么边转过的图形（图中阴影部分）的面积是（　　）
A． B． C． D．
3．如图1，将半径为2，圆心角为90°的扇形 BAC绕A 点逆时针旋转60°，点 B，C的对应点分别为点 D，E，则阴影部分的面积为(　　)
A． B． C． D．
4．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，以CD为直径的圆与AD交于点E，则的长是（　　）
A．3π B． C．4π D．5π
二、填空题
5．如图，正五边形的边长为2，经过点，则阴影部分扇形的的长为　 　．
6．如图，内接于，是上一点，，连接交于，平分，，，则　 　．
7．如图，菱形OABC的顶点A，C在圆O上，连结并延长OB交圆于点D，连结AD，CD，若OB=BD=2，则四边形OADC的面积为　 　.
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=BC=CD，∠ADC=100°，则∠AOD=　 　 .
9．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为边AD的中点，点G在边AB上，连接EG，若△AEG的外接圆⊙O恰好与 BC相切于 F 点，则⊙O 的半径为　 　.
10．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， OE=BE.点P是劣弧AD上任意一点(不与点A，D重合)，CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点 F，设∠PCD=α.①则∠A=　 　， (用含α的代数式表示)； ②当∠F=3∠PCD时，则 　 　.
11．如图，以△ABC的顶点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点 D，经过A，B，D三点的⊙O交 AC 于点 E， 连接OD，BE交于点 F.若 则 的值是　 　.
12．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是 半径为2，函数 的图象被⊙P 截得的弦AB的长为，则a=　 　．
13．类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成n个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当n无限大时，这些“小扇形”可以近似地看成底边长分别为l1，l2，l3，…，ln，高为r的“小三角形”，它们的面积和为即扇形面积请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为a和b，DE=h，用含z，o，n的八数式衣示图中阴影部分面积　 　.
三、解答题
14．周末，小明，小亮和小红去游乐园玩，他们分别排队去坐摩天轮，如图，地面PQ切摩天轮于点A，小明在摩天轮上M处时发现，小亮在A处正准备登上摩天轮，而小红在小明正下方的地面B处排队，若为摩天轮的直径，请解决以下问题．
（1）求证：平分；
（2）若摩天轮的直径为，且小明到地面的高度为，求小亮与小明之间的距离是多少？
15．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=30°，以AB，BC为边作 ABCD.
（1）如图1，当AB经过圆心O时，求∠D的度数.
（2）如图2，当CD与⊙O相切时，若⊙O的半径为1，求□ABCD与⊙O的重叠部分（阴影部分）的面积.
16．如图，在四边形ABCD中， 且 ，过点A、C、D作⊙O交BC于点E，连结AE， AC， ED，设AC， ED交于点F，且满足
（1）求证：
（2）若EC=2，EF=1，求圆的半径r；
（3）若 求 的值(用含n的代数式表示)．
17．如图， △ABC内接于⊙O， AB=AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D.连结AO， AD， CD.
（1）求证： ∠ABC=∠ADB.
（2）若∠ACB=55°，求∠OAC的度数.
（3）若 求AE的长.
18．如图1，在⊙O中，直径AB垂直弦CD，连结AC、AD，弦CG平分分别交AB、AD于点 E， F， AG与CD的延长线交于点 H.
（1）求证：
（2）如图1，当HG=HD时，求
（3）如图2，当EF=FG时，求
19．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接AC.
（1）如图1，求证：∠BAC=∠DAC；
（2）如图2，连接BC，延长DC交AB的延长线于点E，∠AEC的平分线分别交AC，BC于点F，G，求证：CF=CG；
（3）如图2，在（2）的条件下，若G是EF的中点，且，CD=4，求线段CF的长.
20． 如图1，已知△ABC的高 点E是边AB上的动点，以DE为直径作圆O，交边AB于F，交线段BD于N，交线段AD于M．
（1）求证： ∠DAB=∠FDB．
（2）如图2，连结CF，若CF恰好经过点M．
①求 的值．
②求DN的长．
21．如图1，点E是⊙O的弦BD上一动点，过点E作AC⊥BD交⊙O于点A， C，连结AB，BC， CD， AD，过点B作BF⊥AD于点 F，交AC于点G.
（1）如图2，若BF经过点O.
①求证： BG=BC.
②若 求⊙O的半径.
（2）若 求y关于x的函数表达式.
22．综合与实践
【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦AB与CD交于点 P，则有AP·BP=CP·DP．
（1）【猜想验证】请证明上述结论．
（2）【实践应用】如图2，若A(-1，0)、B(3，0)、C(0，-1.5)，则D的坐标为　 　．
（3）【综合拓展】如图3，已知二次函数 的图象与x轴交于A、B两点(A在y轴左侧，B在y轴右侧)，与y轴负半轴交于点C．经过A、B、C三点的圆与y轴正半轴交于点 D，求点D的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵在
阴影部分的面积
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的性质求出∠B的度数和BC长，然后根据解答即可.
2．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：，，，
，，
，
由旋转得，，，
阴影面积
．
故答案为：D.
【分析】先求出，再利用阴影面积计算即可．
3．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接BD，
由题意得，AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴阴影部分的面积=
=π+，
故选A．
【分析】连接BD，根据旋转的性质得到△ABD为等边三角形，即可得到∠ABD=60°，根据扇形面积公式解答即可．
4．【答案】C
【知识点】菱形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，取CD的中点O，连接OE，
∵菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°， CD=AB=6，
∴∠COE=2∠D=120°，OC=3
∴的长是.
故选：C.
【分析】取CD的中点O，连接OE，根据菱形的性质得∠D=∠B=60°，CD=AB=6，根据圆周角定理得∠COE=2∠D=120°，OC=3，再根据弧长公式计算即可.
5．【答案】
【知识点】弧长的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形是正五边形，边长为2，
∴，，
∴阴影部分扇形的的长为．
故答案为：.
【分析】利用正五边形的性质求出∠DOA的度数，根据弧长公式计算即可．
6．【答案】10
【知识点】相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：延长交于点，连接，，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
故答案为：10.
【分析】延长交于点，连接，，根据等边对等角得到，再根据角平分线的定义和平行线的性质得到，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例求出，进而可得，然后根据勾股定理求出AC长解答即可．
7．【答案】
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接交于点，如图．
由，得，
∴圆的半径．
因此．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】连接交于点，求出圆的半径，根据菱形的性质可得，再利用对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半解答即可．
8．【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵∠ADC=100°
∴∠ABC=180°-100°=80°，
由圆周角定理得：∠AOC=2∠ABC=160°，
∴∠AOB+∠BOC=360° -160°=200°，
∵AB=BC=CD，
∴
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=100°
∴∠AOD=∠AOC-∠COD=60°，
故答案为：60°.
【分析】连接OB、OC，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=100°，进而求出∠AOD.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连接，延长交于点，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是的切线，点F是切点，
∴，即，
∴四边形是矩形，
∴，，即，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：．
故答案为： .
【分析】连接，延长交于点，根据切线的性质和正方形的额性质得到四边形是矩形，根据垂径定理得到，设， 在中利用勾股定理求出圆的半径长即可解答．
10．【答案】30+ α；
【知识点】等腰三角形的判定；垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：①如图，连接、，
是的直径，弦于点E，，，
、，
在中，，
∴，
，
，
，
；
②，
由①知、，
，
即，
解得，
，
，
设的半径为，则、，
，
在中，由勾股定理得：，
，
．
故答案为：30+ α， .
【分析】连接、，根据垂径定理可得、，然后根据圆周角定理及推论可得、，利然后根据角的和差求出∠BAF的度数；利用求出 α 的度数，即可得到，根据等角对等边可得，设的半径为，根据勾股定理求出的值，即可求出比值解答即可．
11．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接并延长交于点M，
，
，，
，
，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】连接，延长交于点M，根据垂径定理可得，然后根据平行线分线段成比例得到，即可得到，设，则，利用勾股定理求出，即可得到，求出比例解答即可．
12．【答案】4，0
【知识点】点的坐标；垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：作轴于，交于，作于，连接，如图，
∵的圆心坐标是，
∴，
把代入得，
∴点坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
在中，，
，
，
∴，
∴，
故
【分析】作轴于，交于，作于，连接，即可得到，然后求出点D的坐标，进而求出PD长，进而求出∠PDE的正切，再根据垂径定理求出，在中，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，列方程解答即可课．
13．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
14．【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵切于，
∴．
由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴平分
（2）解：∵直径，
∴．
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴
【知识点】切线的性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质和平行线的判定得到，即可得到，再根据等边对等角可得，即可得到，证明结论；
（2）根据两角对应相等可得，再根据对应边成比例解答即可．
15．【答案】（1）因为AB为⊙O的直径，
所以∠ACB=90°，
因为∠BAC=60°，
所以∠B=90-30=60°，
在平行四边形ABCD中，∠D=∠B=60°.
（2）连结OC交AB于点B，连结OA，
因为CD与⊙O相切，
所以OC⊥CD，
所以BE=AE，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
所以OC⊥AB，
因为∠BAC=30°，
所以∠OCA=60°，
因为OA=OC，
所以△OAC为等边三角形，
因为OA=AC，AB⊥OC，
所以OE=CE，
所以△AOE≌△BCE（SAS），
所以
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，然后根据直角三角形的两锐角互余求出∠B的度数，然后根据平行四边形的对角互补解答即可；
（2）连接交于点，连接，根据相切的性质可得，然后根据平行四边形的性质得到为等边三角形，然后根据SAS得到△AOE≌△BCE，再利用解答即可．
16．【答案】（1）证明：
又∵
（2）解：由(1)知
∴△ACD是等腰三角形，
如图1，过A作AH⊥CD，交⊙O于点G，
∵∠B=90°，AB∥CD，
∴∠BCD=90°，
∴ED是直径，
∴ED和AG交点即圆心O，
∵∠BCD=∠AHD=90°，
∴AH∥BC，
∴△ECF∽△OAF，
∵FO=r-EF=r-1，
解得r=2；
（3）解：设AB=1， BE=a，
∴AD=n.
∵∠B=∠BCH=∠AHC=90°，
∴四边形ABCH是矩形，
∴AB=CH=1.
∵AG是直径， AG⊥CD，
∴CH=DH=1，
∵ED是直径，
∴∠EAD=90°，
∵∠BAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠B=∠ADH=90°，
∴△ABE∽△ADG，
即
∴DG= an，
∵AO=OG， EO=DO， ∠AOE=∠DOG，
∴△AOE≌△GOD(SAS)，
∴AE=DG= an，
即
∵∠BAE=∠DAG=∠CAG=∠CDG，
∴sin∠BAE=sin∠CDG，
由(2)知，
即
【知识点】矩形的判定与性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据圆内接四边形的对角互补和邻补角的定义得到 然后等量代换得到结论即可；
(2)过A作 交⊙O于点G，根据平行线的性质和判定得到AH∥BC，即可得到AF，然后根据对应边成比例解答即可；
(3)先得到四边形ABCH是矩形，然后根据两角对应相等得到 进而得到DG=an，然后根据SAS得到△AOE≌△GOD，即可得到AE=DG= an，进而得到求出AH长，根据（2）终结论 根据对应边成比例解答即可.
17．【答案】（1）证明：∵，
∴，
由圆周角定理得：，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
由圆周角定理得：，
∵，
∴．
（3）解：如图，延长，交于点，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（负值已舍），
设，则，
∴，
∴，，
由圆周角定理得：，
∴，即，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
解得（负值已舍），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，即，
解得或（舍去），
∴．
【知识点】线段垂直平分线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到，根据圆周角定理的推论得到，等量代换得到结论即可；
（2）连接，根据等边对等角得到∠ABC的度数，再根据圆周角定理求出，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理解答即可；
（3）延长，交于点，连接，根据圆周角定理的推论和垂直的定义，利用两角对应相等得到，根据对应边成比例设，然后推理得到，根据对应边成比例求出的长，然后在中根据勾股定理解答即可．
18．【答案】（1）证明：∵直径AB⊥弦CD，
∴∠AGC=∠ACD.
∵∠CAG=∠HAC，
∴△ACG∽△AHC；
（2）解：连接，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
，
，
∴，
，
，
，
为的黄金分割点，
；
（3）解：连结，如图，
∵直径垂直弦，
∴垂直平分，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴
∴四边形为菱形，
∴，
∴垂直平分，
∴，为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到，再根据∠CAG=∠HAC即可得到两三角形相似即可；
（2）连接，利用圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到，再根据即可得到，进而得到，再根据相似三角形的对应边成比例求出，，即可得到结论；
（3）连结，先根据AAS得到△AFG≌△DFE，即可得到AF=DF，进而得到四边形为菱形，得到垂直平分，即可得到，根据正切的定义得到，然后证明，根据面积比等于相似比的平方解答即可．
19．【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵DC切O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=∠ADC=90°，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠BAC，
∴∠BAC=∠DAC
（2）证明：如图，连接OC，
由（1）知：∠OCE=∠OCD=90°，∠CAO=∠ACO，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
∵AB是O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OCE，
∴∠BCE=∠ACO，
∴∠CAO=∠BCE，
∵EF是∠AEC的平分线，
∴∠CEF=∠AEF，
∴∠CFG=∠CAO+∠AEF，∠CGF=∠BCE+∠CEF，
∴∠CFG=∠CGF，
∴CF=CG
（3）解：如图，取CE的中点Q，连接QG，
∵G是EF的中点，
∴GQ//CF，
∴∠CGQ=∠ACB=90°
由(2)知：CF=CG，
∴，
由(2)知：∠DAC=∠BAC=∠BCE，
∴
∴
∴
∴AD=8
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，AD=8，
∴
∴
∵∠CAE=∠GCE，∠FEA=∠CEG
∴△AFE∽△CGE，
∴
∴AF=2CG
∵CF=CG
∴AF=2CF，
∵
∴
【知识点】圆周角定理；切线的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)连接OC，易证∠ACO=∠DAC=∠BAC，即可得证；
(2)先证∠CAO=∠BCE，再根据∠CFG=∠CAO+∠AEF，∠CGF=∠BCE+∠CEF，据此得证；
(3)取CE的中点Q，连接QG，根据，可得AD=8，进而可求AC、AB、BC，再证△AFE∽△CGE，即可得解.
20．【答案】（1）证明：是直径，
，则，
为三角形的高，
，
；
（2）解：①，，
，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
四边形内接于圆，
，
，
，且，
，
则；
②，
∴设
作于点，则，
，，
，则，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
．
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由圆周角定理的推论得到，再根据同角的余角相等证明即可；
（2）①先根据正切的定义求出，根据勾股定理求出AB长，再根据正弦的定义求出，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可；
②作于点，则，设即可得到，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例得到，再推理得到，求出，即可得到NP长，解答即可．
21．【答案】（1）解：①∵AC⊥BD， BF⊥AD，
∴∠BEG=∠AFG=90°.
∵∠BGE=∠AGF，
∴∠GBE=∠GAF.
∵∠CBD=∠GAF，
∴∠GBE=∠CBD.
∵∠BEG=∠BEC=90°，BE=BE，
∴△BEG≌△BEC.
∴BG=BC.
②连结OD，
∵BF⊥AD， BF经过点O，
∴AF=DF.
∴BF 垂直平分AD，
∴∠ABF=∠DBF.
∴∠ABF=∠CBD，
∵AB=BD，BG=BC，
∴△ABG≌△BCD.
∴GF=1，AF=2.
∵∠ABF=∠DBF=∠GAF，
∴在 Rt△ABF中：
∴BF=4.
令OB=r，则OF=4-r.
DF=AF=2.
∴在 Rt△OFD 中，
解得r=2.5.
（2）解：①当点E靠近点 D时，
∵AC=BD，
.
∴∠BAE=∠DBA=∠EDC=∠ECD.
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=∠CED=90°.
∴△ABE 和△CDE 均为等腰直角三角形.
∴AE=BE，DE=CE.
由①得 BG=BC.
∵BE⊥GC，
∴GE=CE.
∴GE=CE=DE，
设GE=CE=DE=a，则AG= ax，
∴AE=AG+GE= ax+a.
∴BE=AE= ax+a.
∴BD=BE+DE= ax+2a.
②当点 E 靠近点 B时，
同理可证△BEC 和△AED 均为等腰直角三角形，令 BE=CE=EG=a，
∴AG= ax，AE=DE= ax+a，
∴BD=BE+DE= ax+2a，
∴综合上得： 或
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）①根据等角的余角相等可得，根据得到，即可得到结论；
②连结，根据垂径定理和等边对等角得到，再根据SAS得到，即可得到，根据正切的定义和勾股定理得到GF和AF的长，即可求出．然后在 Rt△OFD 中根据勾股定理求出半径即可 ．
（2）分当点E靠近点D和当点E靠近点B两种情况，先得到和为等腰直角三角形．分别求出和长，求出关于x的函数解析式即可．
22．【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵，，
∴∽，
∴，
即；

（2）(0，2)
（3）解：设A(x1，0) 、 B(x2，0)
∵OA· OB=OD· OC，即：
当y=0时，由韦达定理可得，
∴OD=3，则 D(0，3).
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；相交弦定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（2）解：由（1）知，，
∵，
∴，，，
∴，
解得，
∴；
故答案为：(0，2)；
【分析】（1）根据圆周角定理，即可得到∽，根据对应边成比例即可得到结论；
（2）根据点A，B，C的坐标，利用（1）的结论解答即可；
（3）设A(x1，0) 、 B(x2，0)，根据，利用根与系数的关系得到 ，求出OC长解答即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑