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4月上旬之图形的变化与投影—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图是科学实验中常用的U型磁铁，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．底面是正六边形的直棱柱如图所示，其左视图是(　　)
A． B． C． D．
4．如图1，某博物院收藏着一件西周乐器云纹青铜大铙，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹、图2为其结构示意图，则它的主视图是(　　)
A． B． C． D．
5．榫卯是中国古建筑的主要结构方式，是极为精巧的发明之一，其凸出的部分叫榫，凹进去的部分叫卯.如图是某个部件“榫”的实物图，那么它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．米斗是古代粮仓必备的粮食量器.如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度），如图2所示，则其俯视图的是（　　）
A． B．
C． D．
7．2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成—东风5C液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象.如图为东风-5C洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
8．如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B， C的对应点分别为点D， E， DE的延长线与边BC相交于点F，连接CE.若AC=4， CF=2，则线段CE的长为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在 ABCD中，BC=3，CD=4，点E是CD边上的中点，将△ADE沿AE翻折得△AFE，连结BF，点B，F，E恰好在同一直线上，延长AF交BC于点G.则△BFG与四边形AGCD的面积比为　 　.
10．如图，一张矩形纸片中，（为常数）．将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，与交于点．当点落在的中点时，且，则　 　．
三、解答题
11．如图，在直角坐标系中，已知M（3，2），点N（-1，6）.
（1）若点M'与M关于x轴对称，在直角坐标系中作出点M'，并写出点M'的坐标.
（2）点P为x轴上一动点，求NP-MP的最大值，并直接写出点P的坐标.
12．如图，在正方形ABCD中，对角线AC上有一点 P，连结PB， PD.
（1）求证： PB=PD.
（2）将线段 DP 绕点 P 逆时针旋转，使点 D 落在 BA 的延长线上点 Q 处，求∠DPQ 的度数.
13．某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接．
（1）求的长度（结果保留整数）：
（2）如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取）
14．已知：在△ABC中，
（1）如图1，求△ABC的面积.
（2）如图2，点D在边AC上，将△ABC沿射线BD方向平移至△A1DC1，使得点B与点D重合.
①连结AA1，CA1.求△AA1C的面积.
②如图3，将△A1DC1绕点D旋转至△A2DC2，边A2C2与线段BD的延长线交于点E，连结CE.当CD=2AD时，求的最小值.
15． 如图1，在中，．
（1）求的长，
（2）把绕点A逆时针旋转，点B、C的对应点分别为E、F．
①当点B的对应点E落在对角线上时，与的交点为G，求四边形的面积；
②如图2，点E在对角线下方时，线段的反向延长线交与点P，连接，求的最小值．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线BD=6，AC=8，以点A为旋转中心，逆时针旋转记点B，C旋转得到的对应点分别为点E，F.
（1）求菱形的边长.
（2）当EF∥AC时，求FC的长.
（3）若在EF第一次平行于AC时停止旋转，设旋转停止前，直线EF交射线AC于点P，连结BP，求BP-CP的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形和轴对称定义逐项分析判断如下：
A、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，A符合题意；
B、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，B不符合题意；
C、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，C不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】先根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析各选项图形是否同时满足两个条件，进而确定正确选项。
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据三视图的概念，可知型磁铁的主视图如图所示：
故答案为：A.
【分析】根据从正面看到的图形是主视图，逐项判断解答即可．
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知，左视图为：
故答案为：C .
【分析】根据从左面看到的几何图形是左视图解答即可.
4．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的主视图为
；
故答案为：D.
【分析】根据从正面看到的平面图形为主视图解答即可.
5．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的俯视图为：
故答案为：B.
【分析】根据俯视图是指从几何体的上面观察得出的图形作答.
6．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，可得图形如下
故答案为：A
【分析】明确俯视图的定义（从物体正上方观察所得的投影），并结合几何体“无盖”、“上大下小”的结构特征，判断可见轮廓线（实线）与不可见轮廓线（虚线）。
7．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：东风-5C洲际导弹的三视图为：
所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同.
故选： B.
【分析】根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接交于G，如图所示：
根据旋转可得：，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D .
【分析】连接，根据旋转可得，，再在中根据勾股定理求出AF长，利用HL得到，即可得到，然后得到垂直平分，进而可得，根据三角形面积公式求出求出CG长，根据三线合一解答即可．
9．【答案】1：8
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长AD，与BE的延长线交于点H，
∵在 ABCD中，BC=3 CD=4
∴AB=CD=4，AD=BC=3，AB//CD，AD//BC
∴∠1=∠2，∠DAG=∠5，∠3+∠C=180°，∠C=∠HDE
∵将△ADE沿AE翻折得△AFE，点B，F，E恰好在同一直线上，
∴AD=AF=3，∠3=∠4，DE=EF
∴AF=BC，
∵∠4+∠AFB=180°，
∴∠AFB=∠C.
在△ABF和△BEC中，
∴△ABF≌△BEC(AAS)
∴BF=EC， AB=BE=4
∵点E是CD边上的中点
∴BF=EC=DE=EF=2
在△DEH和△CEB中，
∴△DEH≌△CEB(ASA)
∴DH=CB=3， EH=EB=4，
∴AH=FH=6，
∴∠DAG=∠4
∵∠4=∠BFG
∴∠5=∠BFG
∴BF=BG=2
∴CG=1，
∵∠DAG=∠5
∴△BFG∽△HFA
∴
设△BFG边的BG上的高为h，则△AFH的边AH上的高为3h， ABCD的底边AD上的高为4h，则△BFG与四边形AGCD的面积比为
故答案为：1：8.
【分析】延长AD，与BE的延长线交于点H，证明△ABF≌△BEC(AAS)，可推出BF=EC，AB=BE=4，证明△DEH≌△CEB(ASA)，可得DH=CB=3，EH=EB=4，进而可得BF=BG=2，CG=1，因为∠DAG=∠5，证明△BFG∽△HFA，得，设△BFG的边BG上的高为h，则△AFH的边AH上的高为3h， ABCD的底边AD上的高为4h，则△BFG与四边形AGCD的面积比可求.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长、交于，
四边形是矩形，
，，，
，，
落在的中点，
，
，，
，
设，，
则，，，，
由翻折可得：，，
，
∽，
，
，
解得：，
，，
，
，
．
故答案：．
【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理。设，则，因为是中点，所以；由矩形性质得，结合折叠性质，可推出，进而证明，得到，即。又因为，在中用勾股定理，联立两式求解得出和的长度，进而求出。
11．【答案】（1）M'（3，-2），画图如下：
（2）解：由三角形三边关系可知
∴ NP-MP的最大值 为MN=
P（5，0）
【知识点】三角形三边关系；关于坐标轴对称的点的坐标特征；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：(2)此时点P在直线NM上。
连接NM并延长，交x轴与点P。
设直线NM的解析式为，则
解得k=-1，b=5
∴直线NM的解析式为
令y=0得-x+5=0
解得x=5
∴P（5，0）
【分析】(1)关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而可知点 M' 的坐标并描点；
(2)利用三角形三边关系以及勾股定理可求 NP-MP的最大值，求出直线NM的解析式，结合此时N，M，P三点共线及可求出点P坐标。
12．【答案】（1）证明：正方形ABCD，
∴∠DAC=∠BAC=45°，AB=AD，
∵AP=AP，
∴△DAP≌△BAP(SAS)，
∴PB=PD；
（2）解：∵PB=PD， PD=PQ，
∴PB=PQ，
∴∠PBQ=∠PQB，
∵△DAP≌△BAP(SAS)，
∴∠PDA=∠PBQ=∠PQB，
∵， ∠QMA+∠MQA=90°，
∴∠DMP+∠ADP=90°，
∴∠DPQ=90°.
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；余角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据正方形的性质，利用SAS得到，根据全等三角形的对应边相等得到结论即可；
（2）根据SAS得到△DAP≌△BAP，即可得到，进而求出，得到结论即可．
13．【答案】（1）解：由题意得，在中，，，
，
∴．
∴的长度约为；
（2）解：如图，过点作，垂足为，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴点到台面的距离约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；旋转的性质
【解析】【分析】（1）在中，根据余弦的定义求出AF长解答即可；
（2）过点作于点，交于点，在中，根据正弦的定义求出的长，然后根据线段的和差解答即可．
14．【答案】（1）解：过点作于点，则：
，，
设，则，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴的面积为：．
（2）解：①如图2，连接，
∵沿射线方向平移至，
∴，，，
∴，
∵且，
∴四边形是平行四边形，
∴的面积的面积的面积，
∵，
∴的面积的面积，
∴的面积．
②如图3，过点作于点，
由（1）得：，
当时，，
∴，
∴，
过点作于点，则的面积为：，
∵的面积为：，
∴，解得，
∴，
∵，
∴只需最小，则最小，
∵绕点旋转至，
∴，
∴的最小值，
∴的最小值为：．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点作于点，根据正切的定义设，则，根据勾股定理求出CF长，然后利用三角形的面积公式计算即可．
（2）①如图2，连结，根据平移得到四边形是平行四边形，再根据的面积的面积解答即可．
②如图3，过点作于点，即可得到，过点作于点，根据△BCD的面积求出CG长，根据勾股定理，根据二次函数的最值解答即可．
15．【答案】（1）解：如图，作，交的延长线H，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
，
∴，即，
在中，可得，
∴，解得（负值舍去），
，则，
；
（2）解：①如图，作，交于点M，
由旋转可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，，
，
∴，
令，
，
解得，
；
，
；
②如图，过点A作于点Q，过D作于M，
由（1）得，设，则，
∵，
∴
解得，
∴，．
∴，
在中，，
∵，
又∵，且，
∴
解得，
在中，，
∵P在上，
∴，
∴，
在中，，
∴，
，
∴，
∴，
要最小化，需最大化，即最小化．
由旋转性质得，，
∴，
由（2）得，，
当时，最小，也最小，
此时是中边上的高，
由旋转性质得，，
∴，即，
∴，解得，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）作延长线于H，根据平行四边形的对边相等得到，然后根据正切的定义和勾股定理求出BH的长，进而求出AC的长解答即可；
（2）①根据旋转得，作，交于点M，根据正切的定义设，即可得到方程，解方程求出m的值，再根据求出面积即可；
②过点A作于点Q，过D作于M，根据勾股定理求出AD和BD的长，然后根据三角形的额面积求出AQ长，进而求出DQ的值，然后根据勾股定理将转化为，当时AP最小，代入求得最小值，再根据旋转的性质和勾股定理求出QP的长解答即可．
16．【答案】（1）∵四边形ABCD是菱形，
（2）由（1）得，
如图1，∵EF∥AC，∴∠CAF+∠EFA=180°，
∵∠EFA=∠BCA=∠BAC；∠CAF+∠BAC=180°，∴B，A，F三点共线，过点F作直线AC的垂线于点H，连结FC.
在Rt△CFH中，
如图2，∵EF∥AC，∴∠EFA=∠FAC，
∵∠EFA=∠BCA=∠BAC；∠BAC=∠FAC，
∴A，B，F三点共线，作FH⊥AC，连结FC，
在Rt△CFH中，
综上可得，或
（3）由题意得，点P是射线AC上的动点.
当P，C重合时，BP-CP=BC=5
当P，C不重合时，C，B，P构成三角形，BP-CP<5，可分两种情况考虑：点P在线段AC上和点P在AC的延长线上.
①当点P在线段AC上，如图3，设OP=x，则，
的值随着x的增大而增大，
∴当AP最小时，OP最小，BP-CP取到最小值.
∵在△AFP中，
∴当AP⊥EF时，AP最小，如图4，此时
②当点P在AC的延长线上，如图5，BP>CP，即BP-CP>0.综上可得，
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
1 / 14月上旬之图形的变化与投影—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形和轴对称定义逐项分析判断如下：
A、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，A符合题意；
B、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，B不符合题意；
C、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，C不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】先根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析各选项图形是否同时满足两个条件，进而确定正确选项。
2．如图是科学实验中常用的U型磁铁，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据三视图的概念，可知型磁铁的主视图如图所示：
故答案为：A.
【分析】根据从正面看到的图形是主视图，逐项判断解答即可．
3．底面是正六边形的直棱柱如图所示，其左视图是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知，左视图为：
故答案为：C .
【分析】根据从左面看到的几何图形是左视图解答即可.
4．如图1，某博物院收藏着一件西周乐器云纹青铜大铙，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹、图2为其结构示意图，则它的主视图是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的主视图为
；
故答案为：D.
【分析】根据从正面看到的平面图形为主视图解答即可.
5．榫卯是中国古建筑的主要结构方式，是极为精巧的发明之一，其凸出的部分叫榫，凹进去的部分叫卯.如图是某个部件“榫”的实物图，那么它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的俯视图为：
故答案为：B.
【分析】根据俯视图是指从几何体的上面观察得出的图形作答.
6．米斗是古代粮仓必备的粮食量器.如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度），如图2所示，则其俯视图的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，可得图形如下
故答案为：A
【分析】明确俯视图的定义（从物体正上方观察所得的投影），并结合几何体“无盖”、“上大下小”的结构特征，判断可见轮廓线（实线）与不可见轮廓线（虚线）。
7．2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成—东风5C液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象.如图为东风-5C洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：东风-5C洲际导弹的三视图为：
所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同.
故选： B.
【分析】根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可.
8．如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B， C的对应点分别为点D， E， DE的延长线与边BC相交于点F，连接CE.若AC=4， CF=2，则线段CE的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接交于G，如图所示：
根据旋转可得：，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D .
【分析】连接，根据旋转可得，，再在中根据勾股定理求出AF长，利用HL得到，即可得到，然后得到垂直平分，进而可得，根据三角形面积公式求出求出CG长，根据三线合一解答即可．
二、填空题
9．如图，在 ABCD中，BC=3，CD=4，点E是CD边上的中点，将△ADE沿AE翻折得△AFE，连结BF，点B，F，E恰好在同一直线上，延长AF交BC于点G.则△BFG与四边形AGCD的面积比为　 　.
【答案】1：8
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长AD，与BE的延长线交于点H，
∵在 ABCD中，BC=3 CD=4
∴AB=CD=4，AD=BC=3，AB//CD，AD//BC
∴∠1=∠2，∠DAG=∠5，∠3+∠C=180°，∠C=∠HDE
∵将△ADE沿AE翻折得△AFE，点B，F，E恰好在同一直线上，
∴AD=AF=3，∠3=∠4，DE=EF
∴AF=BC，
∵∠4+∠AFB=180°，
∴∠AFB=∠C.
在△ABF和△BEC中，
∴△ABF≌△BEC(AAS)
∴BF=EC， AB=BE=4
∵点E是CD边上的中点
∴BF=EC=DE=EF=2
在△DEH和△CEB中，
∴△DEH≌△CEB(ASA)
∴DH=CB=3， EH=EB=4，
∴AH=FH=6，
∴∠DAG=∠4
∵∠4=∠BFG
∴∠5=∠BFG
∴BF=BG=2
∴CG=1，
∵∠DAG=∠5
∴△BFG∽△HFA
∴
设△BFG边的BG上的高为h，则△AFH的边AH上的高为3h， ABCD的底边AD上的高为4h，则△BFG与四边形AGCD的面积比为
故答案为：1：8.
【分析】延长AD，与BE的延长线交于点H，证明△ABF≌△BEC(AAS)，可推出BF=EC，AB=BE=4，证明△DEH≌△CEB(ASA)，可得DH=CB=3，EH=EB=4，进而可得BF=BG=2，CG=1，因为∠DAG=∠5，证明△BFG∽△HFA，得，设△BFG的边BG上的高为h，则△AFH的边AH上的高为3h， ABCD的底边AD上的高为4h，则△BFG与四边形AGCD的面积比可求.
10．如图，一张矩形纸片中，（为常数）．将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，与交于点．当点落在的中点时，且，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长、交于，
四边形是矩形，
，，，
，，
落在的中点，
，
，，
，
设，，
则，，，，
由翻折可得：，，
，
∽，
，
，
解得：，
，，
，
，
．
故答案：．
【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理。设，则，因为是中点，所以；由矩形性质得，结合折叠性质，可推出，进而证明，得到，即。又因为，在中用勾股定理，联立两式求解得出和的长度，进而求出。
三、解答题
11．如图，在直角坐标系中，已知M（3，2），点N（-1，6）.
（1）若点M'与M关于x轴对称，在直角坐标系中作出点M'，并写出点M'的坐标.
（2）点P为x轴上一动点，求NP-MP的最大值，并直接写出点P的坐标.
【答案】（1）M'（3，-2），画图如下：
（2）解：由三角形三边关系可知
∴ NP-MP的最大值 为MN=
P（5，0）
【知识点】三角形三边关系；关于坐标轴对称的点的坐标特征；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：(2)此时点P在直线NM上。
连接NM并延长，交x轴与点P。
设直线NM的解析式为，则
解得k=-1，b=5
∴直线NM的解析式为
令y=0得-x+5=0
解得x=5
∴P（5，0）
【分析】(1)关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而可知点 M' 的坐标并描点；
(2)利用三角形三边关系以及勾股定理可求 NP-MP的最大值，求出直线NM的解析式，结合此时N，M，P三点共线及可求出点P坐标。
12．如图，在正方形ABCD中，对角线AC上有一点 P，连结PB， PD.
（1）求证： PB=PD.
（2）将线段 DP 绕点 P 逆时针旋转，使点 D 落在 BA 的延长线上点 Q 处，求∠DPQ 的度数.
【答案】（1）证明：正方形ABCD，
∴∠DAC=∠BAC=45°，AB=AD，
∵AP=AP，
∴△DAP≌△BAP(SAS)，
∴PB=PD；
（2）解：∵PB=PD， PD=PQ，
∴PB=PQ，
∴∠PBQ=∠PQB，
∵△DAP≌△BAP(SAS)，
∴∠PDA=∠PBQ=∠PQB，
∵， ∠QMA+∠MQA=90°，
∴∠DMP+∠ADP=90°，
∴∠DPQ=90°.
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；余角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据正方形的性质，利用SAS得到，根据全等三角形的对应边相等得到结论即可；
（2）根据SAS得到△DAP≌△BAP，即可得到，进而求出，得到结论即可．
13．某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接．
（1）求的长度（结果保留整数）：
（2）如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取）
【答案】（1）解：由题意得，在中，，，
，
∴．
∴的长度约为；
（2）解：如图，过点作，垂足为，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴点到台面的距离约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；旋转的性质
【解析】【分析】（1）在中，根据余弦的定义求出AF长解答即可；
（2）过点作于点，交于点，在中，根据正弦的定义求出的长，然后根据线段的和差解答即可．
14．已知：在△ABC中，
（1）如图1，求△ABC的面积.
（2）如图2，点D在边AC上，将△ABC沿射线BD方向平移至△A1DC1，使得点B与点D重合.
①连结AA1，CA1.求△AA1C的面积.
②如图3，将△A1DC1绕点D旋转至△A2DC2，边A2C2与线段BD的延长线交于点E，连结CE.当CD=2AD时，求的最小值.
【答案】（1）解：过点作于点，则：
，，
设，则，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴的面积为：．
（2）解：①如图2，连接，
∵沿射线方向平移至，
∴，，，
∴，
∵且，
∴四边形是平行四边形，
∴的面积的面积的面积，
∵，
∴的面积的面积，
∴的面积．
②如图3，过点作于点，
由（1）得：，
当时，，
∴，
∴，
过点作于点，则的面积为：，
∵的面积为：，
∴，解得，
∴，
∵，
∴只需最小，则最小，
∵绕点旋转至，
∴，
∴的最小值，
∴的最小值为：．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点作于点，根据正切的定义设，则，根据勾股定理求出CF长，然后利用三角形的面积公式计算即可．
（2）①如图2，连结，根据平移得到四边形是平行四边形，再根据的面积的面积解答即可．
②如图3，过点作于点，即可得到，过点作于点，根据△BCD的面积求出CG长，根据勾股定理，根据二次函数的最值解答即可．
15． 如图1，在中，．
（1）求的长，
（2）把绕点A逆时针旋转，点B、C的对应点分别为E、F．
①当点B的对应点E落在对角线上时，与的交点为G，求四边形的面积；
②如图2，点E在对角线下方时，线段的反向延长线交与点P，连接，求的最小值．
【答案】（1）解：如图，作，交的延长线H，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
，
∴，即，
在中，可得，
∴，解得（负值舍去），
，则，
；
（2）解：①如图，作，交于点M，
由旋转可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，，
，
∴，
令，
，
解得，
；
，
；
②如图，过点A作于点Q，过D作于M，
由（1）得，设，则，
∵，
∴
解得，
∴，．
∴，
在中，，
∵，
又∵，且，
∴
解得，
在中，，
∵P在上，
∴，
∴，
在中，，
∴，
，
∴，
∴，
要最小化，需最大化，即最小化．
由旋转性质得，，
∴，
由（2）得，，
当时，最小，也最小，
此时是中边上的高，
由旋转性质得，，
∴，即，
∴，解得，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）作延长线于H，根据平行四边形的对边相等得到，然后根据正切的定义和勾股定理求出BH的长，进而求出AC的长解答即可；
（2）①根据旋转得，作，交于点M，根据正切的定义设，即可得到方程，解方程求出m的值，再根据求出面积即可；
②过点A作于点Q，过D作于M，根据勾股定理求出AD和BD的长，然后根据三角形的额面积求出AQ长，进而求出DQ的值，然后根据勾股定理将转化为，当时AP最小，代入求得最小值，再根据旋转的性质和勾股定理求出QP的长解答即可．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线BD=6，AC=8，以点A为旋转中心，逆时针旋转记点B，C旋转得到的对应点分别为点E，F.
（1）求菱形的边长.
（2）当EF∥AC时，求FC的长.
（3）若在EF第一次平行于AC时停止旋转，设旋转停止前，直线EF交射线AC于点P，连结BP，求BP-CP的取值范围.
【答案】（1）∵四边形ABCD是菱形，
（2）由（1）得，
如图1，∵EF∥AC，∴∠CAF+∠EFA=180°，
∵∠EFA=∠BCA=∠BAC；∠CAF+∠BAC=180°，∴B，A，F三点共线，过点F作直线AC的垂线于点H，连结FC.
在Rt△CFH中，
如图2，∵EF∥AC，∴∠EFA=∠FAC，
∵∠EFA=∠BCA=∠BAC；∠BAC=∠FAC，
∴A，B，F三点共线，作FH⊥AC，连结FC，
在Rt△CFH中，
综上可得，或
（3）由题意得，点P是射线AC上的动点.
当P，C重合时，BP-CP=BC=5
当P，C不重合时，C，B，P构成三角形，BP-CP<5，可分两种情况考虑：点P在线段AC上和点P在AC的延长线上.
①当点P在线段AC上，如图3，设OP=x，则，
的值随着x的增大而增大，
∴当AP最小时，OP最小，BP-CP取到最小值.
∵在△AFP中，
∴当AP⊥EF时，AP最小，如图4，此时
②当点P在AC的延长线上，如图5，BP>CP，即BP-CP>0.综上可得，
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
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