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4月上旬之图形的相似—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．如果，则=（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：原式
∵
∴原式
故选：C.
【分析】将拆分为，代入已知条件计算即可.
2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AC＝9，则线段AB的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，
即，
∴﹒
故答案为：D.
【分析】根据平行线等分线段定理知一组平行线再一条直线上截出若干等长线段时，这组平行线在其它任何直线上截出得对应线段长度也相等，据此建立方程，求解可得答案.
3．如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是（　　）
A．（0，0） B．（2，1） C．（4，2） D．（5，0）
【答案】C
【知识点】位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：如图，分别连接OA、DB、EC，其所在直线交于点G(4，2)，
则点G为所求的位似中心，
故选：C.
【分析】分别连接OA、DB、EC，其所在直线交丁点G(4，2)，即可得到答案.
4．如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A'的坐标分别为（-1，0），（-2，0），若△ABC的面积是6，则△A'B'C'的面积为（　　）
A．18 B．12 C．24 D．9
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：与 是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、的坐标分别为(-1，0)(-2，0).
且相似比为1：2，
△ABC的面积：△A'B'C'的面积=1：4，
的面积是6，
的面积为24，
故答案为：C.
【分析】由题意可知，△ABC与△A'B'C'是位似比为1：2的位似图形，则根据面积比等于位似比的平方即可求解.
5．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若则OA：AD=（　　）
A．2：1 B．2：3 C．4：9 D．4：5
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴△AOB~△DOE，
∴
∵S△ABC：S△DEF=4：9，
∴
∴
∴OA：AD=2：1
故答案为：A.
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB//DE，得到△AOB~△DOE，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案.
6．如图，已知△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：5，下列说法错误的是（　　）
A．BC//B'C'
B．OB'：BB'=3：5
C．△A'B'C'与△ABC的周长比是3：5
D．△A'B'C'与△ABC的面积比是9：25
【答案】B
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5，
∴△A'B'C'△ABC，AC//A'C'，BC//B'C'，
∴△A'B'C'与△ABC周长比为3：5，S△A'B'C'
S△ABC=9：25，
∴OB'：OB=3：5，
∴OB'：BB'=3：2，
故A、C、D正确，不符合题意，B错误。
故答案为：B
【分析】根据位似图形的性质和相似三角形的性质逐一分析各选项即可。
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是以原点O为位似中心的位似图形，若点A（-3，1）的对应点A'（-6，2），则点B（-2，4）的对应点B'的坐标为（　　）
A．（-4，8） B．（8，-4） C．（-8，4） D．（4，-8）
【答案】A
【知识点】位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】已知点A( 3，1)的对应点A'( 6，2)，
横坐标的倍数为2，
纵坐标的倍数为2，
因此位似比k=2，即位似图形与原图形在原点同侧，坐标放大为原来的2倍。
点B( 2，4)，根据位似坐标变换规则(kx，ky)，代入k=2：
横坐标： 2×2= 4，
纵坐标：4×2=8，
因此B'的坐标为( 4，8)。
故答案为：A.
【分析】本题主要考查了以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标满足位似比关系：若位似比为k，则原图形上点(x，y)的对应点坐标为(kx，ky)（位似图形与原图形在原点同侧时，k>0）。
8．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E为BC上中点，连结AE.点F在以AE为直径的半圆上，且EF=EB.延长AF，EF分别交CD于点G，H，连结GE，则下列结论错误的是（　　）
A．EA平分∠BEF B．GE⊥AE C．AE=3GE D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】由矩形的性质可知在Rt△ABE中，由勾股定理得：，
∵ AE 是直径，∴ ∠AFE=90°。
在 Rt△AFE 中：，
∴ AF=AB=6，
在 △ABE 与 △AFE 中：
∴ △ABE≌△AFE（SSS），
∴AEB=∠AEF，即 EA 平分∠BEF，故A正确；
已知：矩形ABCD，AB‖CD，
∴∠BAG=∠AGD，
又由△ABE≌△AFE，
∴∠BAE=∠EAG，
∴∠AGE=∠EAG
∵ AE是直径，
∴∠AEG=∠AFE=90°
即GE⊥AE，故B正确；
在△ABE和△GEA中：∠B=∠AEG=90，∠BAE=∠EGA，
∴△ABE∽△GEA，
∴，
∴，
即AE=3GE，故C正确；
由前面我们可知△CEG∽△BAE，
可得，则，
又∵△FGH∽△DGA， △CEG≌△FEG，
∴，
∴，故D错误；
故答案为：D。
【分析】本题是矩形与圆的综合题，先在Rt△ABE中用勾股定理求出AE；然后由直径所对圆周角为直角，得∠AFE=90°，再用勾股定理求出AF=6=AB；接着用SSS证明△ABE≌△AFE，得出EA平分∠BEF(判断A)：然后利用相以三角形求出GE长度，并证明GE⊥AE(判断B、C)；最后利用平行线分线段成比例求出GH、GC的长度比，判断D是否正确。
二、填空题
9．直线A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D。设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且则m+n的最大值为　 　
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，
设AE=x，CF=y，BN=x，BM=y，
∵BD=4，
∴DM=y-4，DN=4-x，
∵∠ABC=∠AEB=∠BFC=∠CMD=∠AND=90°
∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
∴△ABE∽△BFC
∴，即
∴xy=mn，
∵∠ADN=∠CDM，
∴△CMD~△AND
∴，即
∴
∵
∴
∴
∴当m最大时，
∵
∴当时，
∴
∴m+n的最大值为
故答案为：.
【分析】过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，设AE=x，CF=y，BN=x，BM=y，得到DM=y-4，DN=4-x，根据相似三角形的性质得到xy=mn，，由，得到，于是得到，然后根据二次函数的性质即可解答.
10．如图，矩形ABCD， A'B'C'D'是以点O 为位似中心的位似图形，已知OA：OA'=5：2， AD=10，则B'C'的长是　 　.
【答案】4
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：4.
【分析】根据位似的性质即可得到，进而可得，根据对应边成比例解答即可．
11．如图，四边形ABCD，A'B'C'D'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，B，A'的坐标分别为（4，0），（0，3），（-2，0），则A'B'的长为　 　.
【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∵点的坐标分别为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】根据位似图形的性质即可得到，代入求出的值，再根据勾股定理解答即可．
12．如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度AB=60cm，台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm，支撑钢梁DE⊥AC，且D为BC的中点，则钢梁DE的长为　 　.
【答案】24
【知识点】相似三角形的实际应用；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，
，
，
，
，
点D为的中点，
，
，
，
，
，
解得：，
∴钢梁的长为，
故答案为：．
【分析】根据垂直的定义可得，在中，利用勾股定理可求出的长，即可得到，然后根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可．
13．如图，在 ABCD中，点E在BC上，BD与AE交于点F，连接CF，若，则　 　 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD‖BC，且AD=BC。
由AD‖BC，可得△ADF∽△EBF。
已知，设CE=k，则BE-2k，
所以BC=BE+CE=3k，
因此AD=BC=3k。
所以△ADF与△EBF的相似比为，即。
因为△ABF和△EBF同高，所以
又因为△ADF∽△EBF，
所以。
由于平行四边形中ABCD，△ABF和△CDF的面积关系可通过AD‖BC及相似比推导：
△CDF的面积等于△ADF的面积，即S△CDF=S△ADF
设S△EBF=4a，则S△ABF=6a，S△ADF=9a，所以S△CDF=9a.
因此.
故答案为：.
【分析】利用平行四边形的性质得出ADBC且AD=BC，进而证明△ADF与△EBF相似，求出相似比，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，计算 的值。
14．如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=4，对角线BD上有一点E，且BE=BC，在射线CE上有一点F，满足∠FBD=∠ECD，FB，FC分别交AD于点M，N，则MN的长为　 　.
【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，∠C=90°，由勾股定理得对角线BD=5。
因为BE=BC=3，所以DE=BD-BE=2。
由∠FBD=∠ECD，∠BEF=∠DEC，可得△FBE∽△CDE，
因此，
因为AD‖BC，
所以△FAM∽△FBC，△FAN∽△FBC，
根据平行线分线段成比例，分别得到，，
由相似比计算得，
因此，
所以MN的长度为.
故答案为：.
【分析】先在矩形中利用已知条件得出线段长度与角相等关系，证明两组三角形相似，再根据相似得到对应线段成比例，分别求出直线 FB、FC 截 AD 所得线段 AM、AN 的长度，最后作差得到 MN。
15．如图，以△ABC的顶点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点 D，经过A，B，D三点的⊙O交 AC 于点 E， 连接OD，BE交于点 F.若 则 的值是　 　.
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接并延长交于点M，
，
，，
，
，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】连接，延长交于点M，根据垂径定理可得，然后根据平行线分线段成比例得到，即可得到，设，则，利用勾股定理求出，即可得到，求出比例解答即可．
16．如图，点D是△ABC内部一点，且∠DCB=∠DAB，延长AD交BC于点E.已知6AD=7DE，BE=5，CE=6，则AB=　 　.
【答案】3
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
故答案为：3.
【分析】过点作交于点，即可得到，根据对应边成比求出EF长，求出，设，则，然后推理得到，根据对应边成比例求出CE长，然后计算即可．
17． 如图，在正方形ABCD 的对角线AC上取一点E，使得∠EDC=15°，连接BE并延长交DC于点 F，则 　 　，　 　．
【答案】；
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵是正方形的对角线，
∴，
∵，
∴，
延长到，使，连接，作于点，
设正方形的边长为1，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∵正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：，．
【分析】根据外角性质可得，延长到，使，连接，作于点，设正方形的边长为1，得到是等腰直角三角形，然后解直角三角形求出HE，DE长，即可得到是等边三角形，求得，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例解答即可．
18．如图，在平行四边形ABCD中，E 为对角线AC上一点，AE=CE，将△BCE沿 BE折叠，点 C的对应点F刚好落在AD边上，则△ABF与平行四边形ABCD的面积之比为　 　。
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
设，则，
由折叠的性质可得，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】设，则，由折叠的性质可得，利用平行四边形的性质可得，进而证得，再通过相似三角形的性质求得，即可表示出，利用平行线的性质可得，然后求得△ABF与平行四边形ABCD的面积之比.
三、解答题
19．如图，点A， B， C， D均在⊙O上，连接AB， BC， AC， AD， CD，且AD经过圆心，延长BC交⊙O的切线AE于点E，切点是A.
（1）求证： ∠B=∠CAE；
（2）若 求 BC的长.
【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
又∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵∠B=∠CAE，∠E=∠E，
∴△EAC∽△EBA

【知识点】切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角得到，，再根据同角的余角相等，再根据同弧所对的圆周角相等和等量代换得到结论即可；
（2）根据两角相等证明，再根据全等三角形的对应边成比例解答即可．
20． 如图1，已知△ABC的高 点E是边AB上的动点，以DE为直径作圆O，交边AB于F，交线段BD于N，交线段AD于M．
（1）求证： ∠DAB=∠FDB．
（2）如图2，连结CF，若CF恰好经过点M．
①求 的值．
②求DN的长．
【答案】（1）证明：是直径，
，则，
为三角形的高，
，
；
（2）解：①，，
，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
四边形内接于圆，
，
，
，且，
，
则；
②，
∴设
作于点，则，
，，
，则，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
．
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由圆周角定理的推论得到，再根据同角的余角相等证明即可；
（2）①先根据正切的定义求出，根据勾股定理求出AB长，再根据正弦的定义求出，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可；
②作于点，则，设即可得到，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例得到，再推理得到，求出，即可得到NP长，解答即可．
21．如图1，在⊙O中，直径AB垂直弦CD，连结AC、AD，弦CG平分分别交AB、AD于点 E， F， AG与CD的延长线交于点 H.
（1）求证：
（2）如图1，当HG=HD时，求
（3）如图2，当EF=FG时，求
【答案】（1）证明：∵直径AB⊥弦CD，
∴∠AGC=∠ACD.
∵∠CAG=∠HAC，
∴△ACG∽△AHC；
（2）解：连接，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
，
，
∴，
，
，
，
为的黄金分割点，
；
（3）解：连结，如图，
∵直径垂直弦，
∴垂直平分，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴
∴四边形为菱形，
∴，
∴垂直平分，
∴，为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到，再根据∠CAG=∠HAC即可得到两三角形相似即可；
（2）连接，利用圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到，再根据即可得到，进而得到，再根据相似三角形的对应边成比例求出，，即可得到结论；
（3）连结，先根据AAS得到△AFG≌△DFE，即可得到AF=DF，进而得到四边形为菱形，得到垂直平分，即可得到，根据正切的定义得到，然后证明，根据面积比等于相似比的平方解答即可．
22．如图，P是在小区入口处安装的摄像头，∠APB 为摄像头监控视角，射线PA、PB为摄像头的两条边界光线，BH为水平地面，PH⊥BH．经测量∠APH=53°，AH=4米，BH=12米．
（1）求摄像头的安装高度 PH的长；
（2）一个身高为1.65米的居民(图中线段CD)，步行从右至左匀速进入小区，速度为1.2米/秒．求该居民进入监控区域(点C恰好在 PB上时)至离开监控区域(点C1恰好在 PA上时)的时间．
【答案】（1）解：在Rt△APH中， ∠APH =53°，
(米)
答：摄像头的安装高度PH的长为3米；
（2）解：∵CD∥PH， △BCD∽△BPH
(米)；
∴AD=AB-BD=12-4-6.6=1.4 (米)；
在Rt△AC1D1中，∵C1D1∥PH，∴∠AC1D1=53°
(米)
∴行驶的路程： AD1+AD=2.2+1.4=3.6(米) ，时间： 3.6÷1.2=3 (秒)；
答：该居民进入监控区域(点C恰好在PB上时)至离开监控区域(点( 恰好在PA上时)的时间为3秒.
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)在Rt△APH中，根据正切的定义解答即可；
(2)先根据平行得到△BCD∽△BPH，根据对应边成比例求出BD长，即可得到AD长，再在Rt△AC1D1中根据正切的定义求出AD1的值，进而求出行驶路程，计算出时间解答即可.
23． 在△OAB中， ∠AOB=90°， OA=6， OB=8， P是射线BO上一点， △APB，△APC 关于直线AP对称.
（1）如图1，若点C在AO的延长线上.
①求OC的长；
②连接BC，求点 P到BC的距离.
（2）如图2，分别以直线OB，OA为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，当△ACP是以CP为腰的等腰三角形时，求点 C的坐标.
【答案】（1）解：①
．
关于直线对称，
，
，
②作于点．
在中，．
设，则．
，
，即，
．
在中，，即，
点到的距离．
（2）解：当时，此时，
∴四边形是菱形，
∴轴，，
∴点的坐标是；
如图3，当时，则，连接，延长交于点E，
设，则，
在Rt中，，
∴，
解得：，
即，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
过点C作轴于点F，则，
∵，
，
∴，即，
，
∴，
此时点的坐标是．
综上所述点的坐标是或．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）①先根据勾股定理求出AB长，然后根据轴对称图形的性质即可得到，再根据线段的和差解答即可；
②作于点．根据勾股定理求出BC长，由求出BP长．再在中，面积等积变形求出PD长即可；
（2）当， 根据菱形的性质解答；当 两种情况，根据勾股定理求出BP长，然后根据AAS证明△AOP≌△BEP，即可求出BC长，再根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出CF和BF长解答即可．
24．如图，已知AE是⊙O的直径，D是⊙O上一点.过D作直线DB与AE的延长线交于B点.过点A作AC⊥BD于C点， 连结AD、DE， 且∠AED=∠ADC．
（1） 求证： 直线BC 是⊙O 的切线；
（2） 若求DE与BD的长度；
（3） 在 (2) 的条件下， 若F为 上的一动点，且F 在直线AB 上方，连结AF 、DF 、EF．当四边形ADEF 面积最大时，求DF 的长度．
【答案】（1）证明： 连接OD， 则OD=OE，
∵AE是⊙O的直径，
∵OD是⊙O的半径；
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）解： D，
解得BD=0(舍去)或
（3）解：当四边形ADEF面积最大时， 面积最大，点F到AE的距离最大，点F是 的中点，
过A作 于G， EH⊥DF于H，
与 是等腰直角三角形，
∴四边形ADEF的面积
【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接OD， 可得∠ODE =∠OED， ∠ODE=∠ADC， 由直径性质， 得∠ADE = 90°， 可得∠ODC = 90°， 即得证明结论；
(2)证明∠CAD=∠DAE， 得tan∠CAD=tan∠ 得 可得DE=6， 证明△BDE∽△BAD， 得 BD，由 求出BD长即可；
(3)当四边形ADEF面积最大时，△AEF面积最大，点F是AE的中点， 可得AF = EF， 得到∠AEF =∠EAF =45°，根据等腰直角三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论.
25．如图所示，点C在以O为圆心、线段AB为直径的半圆上，联结BC，取线段BC中点D，在线段OA上取一点E（点E不与点A重合），使DE＝BD，作E点作直线EF⊥DE，EF与AC交于点F．
（1）如图（1），当点O、点E重合时，求证：四边形CDEF是正方形．
（2）如图（2），联结OF，点M是线段OF与线段DE的公共点．
①设x，tanB＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域．
②如图（3），联结BF、OC，点N是线段BF与线段OC的公共点，点G是线段OC与线段DE的公共点，当时，求的值．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CDO＝180°﹣∠C＝90°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∵CD＝BD＝DE，
∴四边形CDEF是正方形；
（2）解：①解：如图1，
连接OD，DF，
∵CD＝BD＝DE，∠C＝∠DEF＝90°，DF＝DF，
∴Rt△DCF≌△DEF（HL），
∴CF＝EF，
∵DE＝BD，
∴∠B＝∠DEB，
∵∠C＝∠DEF＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，∠AEF+∠DEB＝90°，
∴∠A＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴CF＝AF，
∴DF∥AB，DFAB＝OB，
∴四边形BOFD是平行四边形，
∴∠DFO＝∠B，
∴tan∠DFO＝tanB＝y，
∵OA＝OB，
∴ODAC，
∴OD＝CF＝AF＝EF，
∴四边形EODF是等腰梯形，
∴∠OEF＝∠DOE，∠BED＝∠EOF，∠OFD＝∠FDE，
∴∠DOF＝∠DEF＝90°，FM＝DM，
∴，
设OD＝ay，OF＝a，FM＝DM＝m，则OM＝OF﹣FM＝a﹣m，
∵∵DM2﹣OM2＝OD2，
∴m2﹣（a﹣m）2＝（ay）2，
∴m，
∴x，
∴y或y，
由题意得：0＜tanB＜1，
∴0＜y＜1，
∴y2+1＞2y，
∴0＜x＜1；
②如图2，
连接OD，
由①知：AF＝CF＝OD，EM＝OM，∠DOM＝90°，
∴OD2+OM2＝DM2（Ⅰ），
∵OA＝OB，
∴OF∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴OD2＝OM DM（Ⅱ），
由（Ⅰ）和（Ⅱ）得，
OM2+OM DM﹣DM2＝0，
∴或（舍去），
∵F是AC的中点，O是AB的中点，
∴N是△ABC的重心，
∴CNOC，
∵OF∥BC，
∴△OGM∽△CGD，
∴，
∴，
∵OF＝CD，
∴，
∵FM＝DM，
∴，
∴OG，
∴．
【知识点】正方形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用直径所对圆周角为直角得∠C=90°，由中位线定理得OD‖AC，推出∠CDO=90°，结合DE⊥EF证得矩形，再由CD=BD=DD证得邻边相等，从而得正方形；
(2)① 连接OD，DF，由DE⊥EF、AC⊥BC得EF‖BC，利用相似三角形、平行线分线段成比
例，结合DE=BD的条件，用x表示AC、BC的长度，进而由 tanB＝y 得到y与x的关系，再由E不与
A重合确定定义域；
②连接OD，由，结合①中AF＝CF＝OD，EM＝OM，∠DOM＝90°，进而得到的值，然后根据△OGM∽△CGD，得到，进一步化简，最终得到比值。
26．综合与实践
【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦AB与CD交于点 P，则有AP·BP=CP·DP．
（1）【猜想验证】请证明上述结论．
（2）【实践应用】如图2，若A(-1，0)、B(3，0)、C(0，-1.5)，则D的坐标为　 　．
（3）【综合拓展】如图3，已知二次函数 的图象与x轴交于A、B两点(A在y轴左侧，B在y轴右侧)，与y轴负半轴交于点C．经过A、B、C三点的圆与y轴正半轴交于点 D，求点D的坐标．
【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵，，
∴∽，
∴，
即；

（2）(0，2)
（3）解：设A(x1，0) 、 B(x2，0)
∵OA· OB=OD· OC，即：
当y=0时，由韦达定理可得，
∴OD=3，则 D(0，3).
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；相交弦定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（2）解：由（1）知，，
∵，
∴，，，
∴，
解得，
∴；
故答案为：(0，2)；
【分析】（1）根据圆周角定理，即可得到∽，根据对应边成比例即可得到结论；
（2）根据点A，B，C的坐标，利用（1）的结论解答即可；
（3）设A(x1，0) 、 B(x2，0)，根据，利用根与系数的关系得到 ，求出OC长解答即可.
27．
（1）【探究发现】如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，求证：
（2）【拓展运用】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AD平分∠CAB，E为斜边AB上的中点，连结CE交AD于点F.利用（1）的结论，求EF的值.
（3）【综合提升】如图3，四边形ABCD为圆内接四边形，其中AB=CB，AD=12，CD=8，AC=10，对角线AC，BD交于点E，求DE的长.
【答案】（1）解：方法1：如图1-1，过点A作AE⊥BC于点E，再过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为点M，N.
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，DM=DN.
∵
∴
方法2：如图1-2，过点C作CE//AB交AD延长线于点E.
∵AB∥CE，
∴∠BAD=∠E.
又∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△ECD，
∴.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE.
∴∠E=∠CAE，
∴CE=AC.

（2）解：在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6
∴
∵CE为斜边AB上的中线，
设EF=x，则CF=5-x.
∵AD平分∠CAB，
∴
即
解得
经检验，是原方程的根.

（3）解：如图3，作EP⊥AD，CQ⊥AD，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，且AB=CB，
∴∠ADB=∠CDB，∴DB平分∠ADC，
∵AC=10，
∴AE=6，CE=4
∵CQ⊥AD，
∴△CDQ和△ACQ是直角三角形，设DQ=x，AQ=12-x，
有
解得即
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1） 本题是角平分线定理的证明，核心思路为面积法或平行线构造相似法。面积法利用角平分线上的点到角两边距离相等，结合两三角形同高，面积比等于底之比；平行线法通过作平行线，将比例线段转化为等腰三角形的边，再利用相似三角形求解；
（2）本题属于拓展运用，需先利用勾股定理求出AB，再结合 (1) 的角平分线定理求出CD的长度，接着利用直角三角形斜边中线性质和相似三角形或线段比例关系，最终求出EF的长度。
28．问题提出
（1）如图①，为上一点，连接、，当时，　 　．
（2）问题探究
如图②，在边长为6的等边中，为的中点，为边上任意一点，连接，并作，使得的一边与交于点，试求出的最大值．
（3）问题解决
如图③，四边形为某美食商业区的平面示意图，其中，，，．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演．
方案：在上选取一点M，上选取一点，连接、、，构造．已知点为美食商业区的出入口，，设．
（i）求与之间的函数关系式．
（ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点与点的距离足够远，请你根据需求计算出当最大时的面积．
【答案】（1）90
（2）解：是等边三角形，，
，．
，
，
，
．
设，则，
为的中点，
，
，整理得，
当时，有最大值，最大值为3，即的最大值为3
（3）解：（i）如图，延长至点，使得，连接，过点作，
根据题意可知，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
设．
，
，
整理得．
（ii）如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．
由（i）可知，，
当时，取得最大值为，
即当时，有最大值为，
，
设，，
，
，
，
．
，
，
，，，，
，
∴当最大时，的面积为
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：90；
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余解答；
（2）根据等边三角形的性质，利用两角对应相等得到，设，利用相似三角形的性质可得，即可得到，根据二次函数的顶点式求出最值解答；
（3）（i）延长至点，使得，连接，过点作，根据勾股定理求出CF长，然后根据正切的定义得到，即可得到，设，根据相似三角形的性质列式解答．
（ii）过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．根据（i）所得关系式可知时，有最大值为，设，，根据勾股定理可得的长，从而得出和的长，进而根据解答即可．
29．
项目式学习
问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动．
【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯的影子为，小明（）站在路灯旁边，影子为．经测量，长2米，长0.5米，小明的身高为1.5米．
【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯的影子重合，测得小明的影子的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）
【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下： 高度/米46810照明亮度的平方/勒克斯450300225180照明范围/平方米
（假设整个照明范围内的照明亮度相等） 同学们搜集了一则材料： 根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯－20勒克斯之间．
【问题探究】
（1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度：　 　．
（2）在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯的高度．
（3）在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式．
（4）在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造　 　个路灯．
【答案】（1）米
（2）∵，
∴，
∴，
由题意可得米，米，米，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴米
（3）由表格数据得，
∴，
∴路灯高度（x）与照明亮度的平方（y）的关系式为
（4）18
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴米，
故答案为：米；
（4）∵，
∴高度为米，米，米的路灯都符合《城市道路照明设计标准》规定，
∵，
∴高度为米的路灯照明范围最大，且照明范围的直径长为（米），
，则至少需要个路灯．
故答案为：．
【分析】（1）根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可；
（2）得到，得根据对应边成比例得到，然后推理得到，即可得，再根据线段的和差解答即可；
（3）根据表格数据可得乘积为定值，即可得到反比例函数解析式；
（4）先求出符合规定的路灯的高度，再根据此路灯高度下所照明范围的半径解答即可．
1 / 14月上旬之图形的相似—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．如果，则=（　　）
A． B． C． D．
2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AC＝9，则线段AB的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是（　　）
A．（0，0） B．（2，1） C．（4，2） D．（5，0）
4．如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A'的坐标分别为（-1，0），（-2，0），若△ABC的面积是6，则△A'B'C'的面积为（　　）
A．18 B．12 C．24 D．9
5．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若则OA：AD=（　　）
A．2：1 B．2：3 C．4：9 D．4：5
6．如图，已知△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：5，下列说法错误的是（　　）
A．BC//B'C'
B．OB'：BB'=3：5
C．△A'B'C'与△ABC的周长比是3：5
D．△A'B'C'与△ABC的面积比是9：25
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是以原点O为位似中心的位似图形，若点A（-3，1）的对应点A'（-6，2），则点B（-2，4）的对应点B'的坐标为（　　）
A．（-4，8） B．（8，-4） C．（-8，4） D．（4，-8）
8．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E为BC上中点，连结AE.点F在以AE为直径的半圆上，且EF=EB.延长AF，EF分别交CD于点G，H，连结GE，则下列结论错误的是（　　）
A．EA平分∠BEF B．GE⊥AE C．AE=3GE D．
二、填空题
9．直线A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D。设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且则m+n的最大值为　 　
10．如图，矩形ABCD， A'B'C'D'是以点O 为位似中心的位似图形，已知OA：OA'=5：2， AD=10，则B'C'的长是　 　.
11．如图，四边形ABCD，A'B'C'D'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，B，A'的坐标分别为（4，0），（0，3），（-2，0），则A'B'的长为　 　.
12．如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度AB=60cm，台阶部分铺红地毯，地毯长度为140cm，支撑钢梁DE⊥AC，且D为BC的中点，则钢梁DE的长为　 　.
13．如图，在 ABCD中，点E在BC上，BD与AE交于点F，连接CF，若，则　 　 ．
14．如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=4，对角线BD上有一点E，且BE=BC，在射线CE上有一点F，满足∠FBD=∠ECD，FB，FC分别交AD于点M，N，则MN的长为　 　.
15．如图，以△ABC的顶点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点 D，经过A，B，D三点的⊙O交 AC 于点 E， 连接OD，BE交于点 F.若 则 的值是　 　.
16．如图，点D是△ABC内部一点，且∠DCB=∠DAB，延长AD交BC于点E.已知6AD=7DE，BE=5，CE=6，则AB=　 　.
17． 如图，在正方形ABCD 的对角线AC上取一点E，使得∠EDC=15°，连接BE并延长交DC于点 F，则 　 　，　 　．
18．如图，在平行四边形ABCD中，E 为对角线AC上一点，AE=CE，将△BCE沿 BE折叠，点 C的对应点F刚好落在AD边上，则△ABF与平行四边形ABCD的面积之比为　 　。
三、解答题
19．如图，点A， B， C， D均在⊙O上，连接AB， BC， AC， AD， CD，且AD经过圆心，延长BC交⊙O的切线AE于点E，切点是A.
（1）求证： ∠B=∠CAE；
（2）若 求 BC的长.
20． 如图1，已知△ABC的高 点E是边AB上的动点，以DE为直径作圆O，交边AB于F，交线段BD于N，交线段AD于M．
（1）求证： ∠DAB=∠FDB．
（2）如图2，连结CF，若CF恰好经过点M．
①求 的值．
②求DN的长．
21．如图1，在⊙O中，直径AB垂直弦CD，连结AC、AD，弦CG平分分别交AB、AD于点 E， F， AG与CD的延长线交于点 H.
（1）求证：
（2）如图1，当HG=HD时，求
（3）如图2，当EF=FG时，求
22．如图，P是在小区入口处安装的摄像头，∠APB 为摄像头监控视角，射线PA、PB为摄像头的两条边界光线，BH为水平地面，PH⊥BH．经测量∠APH=53°，AH=4米，BH=12米．
（1）求摄像头的安装高度 PH的长；
（2）一个身高为1.65米的居民(图中线段CD)，步行从右至左匀速进入小区，速度为1.2米/秒．求该居民进入监控区域(点C恰好在 PB上时)至离开监控区域(点C1恰好在 PA上时)的时间．
23． 在△OAB中， ∠AOB=90°， OA=6， OB=8， P是射线BO上一点， △APB，△APC 关于直线AP对称.
（1）如图1，若点C在AO的延长线上.
①求OC的长；
②连接BC，求点 P到BC的距离.
（2）如图2，分别以直线OB，OA为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，当△ACP是以CP为腰的等腰三角形时，求点 C的坐标.
24．如图，已知AE是⊙O的直径，D是⊙O上一点.过D作直线DB与AE的延长线交于B点.过点A作AC⊥BD于C点， 连结AD、DE， 且∠AED=∠ADC．
（1） 求证： 直线BC 是⊙O 的切线；
（2） 若求DE与BD的长度；
（3） 在 (2) 的条件下， 若F为 上的一动点，且F 在直线AB 上方，连结AF 、DF 、EF．当四边形ADEF 面积最大时，求DF 的长度．
25．如图所示，点C在以O为圆心、线段AB为直径的半圆上，联结BC，取线段BC中点D，在线段OA上取一点E（点E不与点A重合），使DE＝BD，作E点作直线EF⊥DE，EF与AC交于点F．
（1）如图（1），当点O、点E重合时，求证：四边形CDEF是正方形．
（2）如图（2），联结OF，点M是线段OF与线段DE的公共点．
①设x，tanB＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域．
②如图（3），联结BF、OC，点N是线段BF与线段OC的公共点，点G是线段OC与线段DE的公共点，当时，求的值．
26．综合与实践
【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦AB与CD交于点 P，则有AP·BP=CP·DP．
（1）【猜想验证】请证明上述结论．
（2）【实践应用】如图2，若A(-1，0)、B(3，0)、C(0，-1.5)，则D的坐标为　 　．
（3）【综合拓展】如图3，已知二次函数 的图象与x轴交于A、B两点(A在y轴左侧，B在y轴右侧)，与y轴负半轴交于点C．经过A、B、C三点的圆与y轴正半轴交于点 D，求点D的坐标．
27．
（1）【探究发现】如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，求证：
（2）【拓展运用】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AD平分∠CAB，E为斜边AB上的中点，连结CE交AD于点F.利用（1）的结论，求EF的值.
（3）【综合提升】如图3，四边形ABCD为圆内接四边形，其中AB=CB，AD=12，CD=8，AC=10，对角线AC，BD交于点E，求DE的长.
28．问题提出
（1）如图①，为上一点，连接、，当时，　 　．
（2）问题探究
如图②，在边长为6的等边中，为的中点，为边上任意一点，连接，并作，使得的一边与交于点，试求出的最大值．
（3）问题解决
如图③，四边形为某美食商业区的平面示意图，其中，，，．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演．
方案：在上选取一点M，上选取一点，连接、、，构造．已知点为美食商业区的出入口，，设．
（i）求与之间的函数关系式．
（ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点与点的距离足够远，请你根据需求计算出当最大时的面积．
29．
项目式学习
问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动．
【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯的影子为，小明（）站在路灯旁边，影子为．经测量，长2米，长0.5米，小明的身高为1.5米．
【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯的影子重合，测得小明的影子的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）
【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下： 高度/米46810照明亮度的平方/勒克斯450300225180照明范围/平方米
（假设整个照明范围内的照明亮度相等） 同学们搜集了一则材料： 根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯－20勒克斯之间．
【问题探究】
（1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度：　 　．
（2）在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯的高度．
（3）在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式．
（4）在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造　 　个路灯．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：原式
∵
∴原式
故选：C.
【分析】将拆分为，代入已知条件计算即可.
2．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，
即，
∴﹒
故答案为：D.
【分析】根据平行线等分线段定理知一组平行线再一条直线上截出若干等长线段时，这组平行线在其它任何直线上截出得对应线段长度也相等，据此建立方程，求解可得答案.
3．【答案】C
【知识点】位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：如图，分别连接OA、DB、EC，其所在直线交于点G(4，2)，
则点G为所求的位似中心，
故选：C.
【分析】分别连接OA、DB、EC，其所在直线交丁点G(4，2)，即可得到答案.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：与 是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、的坐标分别为(-1，0)(-2，0).
且相似比为1：2，
△ABC的面积：△A'B'C'的面积=1：4，
的面积是6，
的面积为24，
故答案为：C.
【分析】由题意可知，△ABC与△A'B'C'是位似比为1：2的位似图形，则根据面积比等于位似比的平方即可求解.
5．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴△AOB~△DOE，
∴
∵S△ABC：S△DEF=4：9，
∴
∴
∴OA：AD=2：1
故答案为：A.
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB//DE，得到△AOB~△DOE，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案.
6．【答案】B
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5，
∴△A'B'C'△ABC，AC//A'C'，BC//B'C'，
∴△A'B'C'与△ABC周长比为3：5，S△A'B'C'
S△ABC=9：25，
∴OB'：OB=3：5，
∴OB'：BB'=3：2，
故A、C、D正确，不符合题意，B错误。
故答案为：B
【分析】根据位似图形的性质和相似三角形的性质逐一分析各选项即可。
7．【答案】A
【知识点】位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】已知点A( 3，1)的对应点A'( 6，2)，
横坐标的倍数为2，
纵坐标的倍数为2，
因此位似比k=2，即位似图形与原图形在原点同侧，坐标放大为原来的2倍。
点B( 2，4)，根据位似坐标变换规则(kx，ky)，代入k=2：
横坐标： 2×2= 4，
纵坐标：4×2=8，
因此B'的坐标为( 4，8)。
故答案为：A.
【分析】本题主要考查了以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标满足位似比关系：若位似比为k，则原图形上点(x，y)的对应点坐标为(kx，ky)（位似图形与原图形在原点同侧时，k>0）。
8．【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】由矩形的性质可知在Rt△ABE中，由勾股定理得：，
∵ AE 是直径，∴ ∠AFE=90°。
在 Rt△AFE 中：，
∴ AF=AB=6，
在 △ABE 与 △AFE 中：
∴ △ABE≌△AFE（SSS），
∴AEB=∠AEF，即 EA 平分∠BEF，故A正确；
已知：矩形ABCD，AB‖CD，
∴∠BAG=∠AGD，
又由△ABE≌△AFE，
∴∠BAE=∠EAG，
∴∠AGE=∠EAG
∵ AE是直径，
∴∠AEG=∠AFE=90°
即GE⊥AE，故B正确；
在△ABE和△GEA中：∠B=∠AEG=90，∠BAE=∠EGA，
∴△ABE∽△GEA，
∴，
∴，
即AE=3GE，故C正确；
由前面我们可知△CEG∽△BAE，
可得，则，
又∵△FGH∽△DGA， △CEG≌△FEG，
∴，
∴，故D错误；
故答案为：D。
【分析】本题是矩形与圆的综合题，先在Rt△ABE中用勾股定理求出AE；然后由直径所对圆周角为直角，得∠AFE=90°，再用勾股定理求出AF=6=AB；接着用SSS证明△ABE≌△AFE，得出EA平分∠BEF(判断A)：然后利用相以三角形求出GE长度，并证明GE⊥AE(判断B、C)；最后利用平行线分线段成比例求出GH、GC的长度比，判断D是否正确。
9．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，
设AE=x，CF=y，BN=x，BM=y，
∵BD=4，
∴DM=y-4，DN=4-x，
∵∠ABC=∠AEB=∠BFC=∠CMD=∠AND=90°
∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
∴△ABE∽△BFC
∴，即
∴xy=mn，
∵∠ADN=∠CDM，
∴△CMD~△AND
∴，即
∴
∵
∴
∴
∴当m最大时，
∵
∴当时，
∴
∴m+n的最大值为
故答案为：.
【分析】过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，设AE=x，CF=y，BN=x，BM=y，得到DM=y-4，DN=4-x，根据相似三角形的性质得到xy=mn，，由，得到，于是得到，然后根据二次函数的性质即可解答.
10．【答案】4
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：4.
【分析】根据位似的性质即可得到，进而可得，根据对应边成比例解答即可．
11．【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∵点的坐标分别为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】根据位似图形的性质即可得到，代入求出的值，再根据勾股定理解答即可．
12．【答案】24
【知识点】相似三角形的实际应用；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，
，
，
，
，
点D为的中点，
，
，
，
，
，
解得：，
∴钢梁的长为，
故答案为：．
【分析】根据垂直的定义可得，在中，利用勾股定理可求出的长，即可得到，然后根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可．
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD‖BC，且AD=BC。
由AD‖BC，可得△ADF∽△EBF。
已知，设CE=k，则BE-2k，
所以BC=BE+CE=3k，
因此AD=BC=3k。
所以△ADF与△EBF的相似比为，即。
因为△ABF和△EBF同高，所以
又因为△ADF∽△EBF，
所以。
由于平行四边形中ABCD，△ABF和△CDF的面积关系可通过AD‖BC及相似比推导：
△CDF的面积等于△ADF的面积，即S△CDF=S△ADF
设S△EBF=4a，则S△ABF=6a，S△ADF=9a，所以S△CDF=9a.
因此.
故答案为：.
【分析】利用平行四边形的性质得出ADBC且AD=BC，进而证明△ADF与△EBF相似，求出相似比，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，计算 的值。
14．【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，∠C=90°，由勾股定理得对角线BD=5。
因为BE=BC=3，所以DE=BD-BE=2。
由∠FBD=∠ECD，∠BEF=∠DEC，可得△FBE∽△CDE，
因此，
因为AD‖BC，
所以△FAM∽△FBC，△FAN∽△FBC，
根据平行线分线段成比例，分别得到，，
由相似比计算得，
因此，
所以MN的长度为.
故答案为：.
【分析】先在矩形中利用已知条件得出线段长度与角相等关系，证明两组三角形相似，再根据相似得到对应线段成比例，分别求出直线 FB、FC 截 AD 所得线段 AM、AN 的长度，最后作差得到 MN。
15．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接并延长交于点M，
，
，，
，
，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】连接，延长交于点M，根据垂径定理可得，然后根据平行线分线段成比例得到，即可得到，设，则，利用勾股定理求出，即可得到，求出比例解答即可．
16．【答案】3
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
故答案为：3.
【分析】过点作交于点，即可得到，根据对应边成比求出EF长，求出，设，则，然后推理得到，根据对应边成比例求出CE长，然后计算即可．
17．【答案】；
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵是正方形的对角线，
∴，
∵，
∴，
延长到，使，连接，作于点，
设正方形的边长为1，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∵正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：，．
【分析】根据外角性质可得，延长到，使，连接，作于点，设正方形的边长为1，得到是等腰直角三角形，然后解直角三角形求出HE，DE长，即可得到是等边三角形，求得，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例解答即可．
18．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
设，则，
由折叠的性质可得，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】设，则，由折叠的性质可得，利用平行四边形的性质可得，进而证得，再通过相似三角形的性质求得，即可表示出，利用平行线的性质可得，然后求得△ABF与平行四边形ABCD的面积之比.
19．【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
又∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵∠B=∠CAE，∠E=∠E，
∴△EAC∽△EBA

【知识点】切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角得到，，再根据同角的余角相等，再根据同弧所对的圆周角相等和等量代换得到结论即可；
（2）根据两角相等证明，再根据全等三角形的对应边成比例解答即可．
20．【答案】（1）证明：是直径，
，则，
为三角形的高，
，
；
（2）解：①，，
，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
四边形内接于圆，
，
，
，且，
，
则；
②，
∴设
作于点，则，
，，
，则，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
．
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由圆周角定理的推论得到，再根据同角的余角相等证明即可；
（2）①先根据正切的定义求出，根据勾股定理求出AB长，再根据正弦的定义求出，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可；
②作于点，则，设即可得到，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例得到，再推理得到，求出，即可得到NP长，解答即可．
21．【答案】（1）证明：∵直径AB⊥弦CD，
∴∠AGC=∠ACD.
∵∠CAG=∠HAC，
∴△ACG∽△AHC；
（2）解：连接，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
，
，
∴，
，
，
，
为的黄金分割点，
；
（3）解：连结，如图，
∵直径垂直弦，
∴垂直平分，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴
∴四边形为菱形，
∴，
∴垂直平分，
∴，为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到，再根据∠CAG=∠HAC即可得到两三角形相似即可；
（2）连接，利用圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到，再根据即可得到，进而得到，再根据相似三角形的对应边成比例求出，，即可得到结论；
（3）连结，先根据AAS得到△AFG≌△DFE，即可得到AF=DF，进而得到四边形为菱形，得到垂直平分，即可得到，根据正切的定义得到，然后证明，根据面积比等于相似比的平方解答即可．
22．【答案】（1）解：在Rt△APH中， ∠APH =53°，
(米)
答：摄像头的安装高度PH的长为3米；
（2）解：∵CD∥PH， △BCD∽△BPH
(米)；
∴AD=AB-BD=12-4-6.6=1.4 (米)；
在Rt△AC1D1中，∵C1D1∥PH，∴∠AC1D1=53°
(米)
∴行驶的路程： AD1+AD=2.2+1.4=3.6(米) ，时间： 3.6÷1.2=3 (秒)；
答：该居民进入监控区域(点C恰好在PB上时)至离开监控区域(点( 恰好在PA上时)的时间为3秒.
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)在Rt△APH中，根据正切的定义解答即可；
(2)先根据平行得到△BCD∽△BPH，根据对应边成比例求出BD长，即可得到AD长，再在Rt△AC1D1中根据正切的定义求出AD1的值，进而求出行驶路程，计算出时间解答即可.
23．【答案】（1）解：①
．
关于直线对称，
，
，
②作于点．
在中，．
设，则．
，
，即，
．
在中，，即，
点到的距离．
（2）解：当时，此时，
∴四边形是菱形，
∴轴，，
∴点的坐标是；
如图3，当时，则，连接，延长交于点E，
设，则，
在Rt中，，
∴，
解得：，
即，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
过点C作轴于点F，则，
∵，
，
∴，即，
，
∴，
此时点的坐标是．
综上所述点的坐标是或．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）①先根据勾股定理求出AB长，然后根据轴对称图形的性质即可得到，再根据线段的和差解答即可；
②作于点．根据勾股定理求出BC长，由求出BP长．再在中，面积等积变形求出PD长即可；
（2）当， 根据菱形的性质解答；当 两种情况，根据勾股定理求出BP长，然后根据AAS证明△AOP≌△BEP，即可求出BC长，再根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出CF和BF长解答即可．
24．【答案】（1）证明： 连接OD， 则OD=OE，
∵AE是⊙O的直径，
∵OD是⊙O的半径；
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）解： D，
解得BD=0(舍去)或
（3）解：当四边形ADEF面积最大时， 面积最大，点F到AE的距离最大，点F是 的中点，
过A作 于G， EH⊥DF于H，
与 是等腰直角三角形，
∴四边形ADEF的面积
【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接OD， 可得∠ODE =∠OED， ∠ODE=∠ADC， 由直径性质， 得∠ADE = 90°， 可得∠ODC = 90°， 即得证明结论；
(2)证明∠CAD=∠DAE， 得tan∠CAD=tan∠ 得 可得DE=6， 证明△BDE∽△BAD， 得 BD，由 求出BD长即可；
(3)当四边形ADEF面积最大时，△AEF面积最大，点F是AE的中点， 可得AF = EF， 得到∠AEF =∠EAF =45°，根据等腰直角三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论.
25．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CDO＝180°﹣∠C＝90°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∵CD＝BD＝DE，
∴四边形CDEF是正方形；
（2）解：①解：如图1，
连接OD，DF，
∵CD＝BD＝DE，∠C＝∠DEF＝90°，DF＝DF，
∴Rt△DCF≌△DEF（HL），
∴CF＝EF，
∵DE＝BD，
∴∠B＝∠DEB，
∵∠C＝∠DEF＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，∠AEF+∠DEB＝90°，
∴∠A＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴CF＝AF，
∴DF∥AB，DFAB＝OB，
∴四边形BOFD是平行四边形，
∴∠DFO＝∠B，
∴tan∠DFO＝tanB＝y，
∵OA＝OB，
∴ODAC，
∴OD＝CF＝AF＝EF，
∴四边形EODF是等腰梯形，
∴∠OEF＝∠DOE，∠BED＝∠EOF，∠OFD＝∠FDE，
∴∠DOF＝∠DEF＝90°，FM＝DM，
∴，
设OD＝ay，OF＝a，FM＝DM＝m，则OM＝OF﹣FM＝a﹣m，
∵∵DM2﹣OM2＝OD2，
∴m2﹣（a﹣m）2＝（ay）2，
∴m，
∴x，
∴y或y，
由题意得：0＜tanB＜1，
∴0＜y＜1，
∴y2+1＞2y，
∴0＜x＜1；
②如图2，
连接OD，
由①知：AF＝CF＝OD，EM＝OM，∠DOM＝90°，
∴OD2+OM2＝DM2（Ⅰ），
∵OA＝OB，
∴OF∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴OD2＝OM DM（Ⅱ），
由（Ⅰ）和（Ⅱ）得，
OM2+OM DM﹣DM2＝0，
∴或（舍去），
∵F是AC的中点，O是AB的中点，
∴N是△ABC的重心，
∴CNOC，
∵OF∥BC，
∴△OGM∽△CGD，
∴，
∴，
∵OF＝CD，
∴，
∵FM＝DM，
∴，
∴OG，
∴．
【知识点】正方形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用直径所对圆周角为直角得∠C=90°，由中位线定理得OD‖AC，推出∠CDO=90°，结合DE⊥EF证得矩形，再由CD=BD=DD证得邻边相等，从而得正方形；
(2)① 连接OD，DF，由DE⊥EF、AC⊥BC得EF‖BC，利用相似三角形、平行线分线段成比
例，结合DE=BD的条件，用x表示AC、BC的长度，进而由 tanB＝y 得到y与x的关系，再由E不与
A重合确定定义域；
②连接OD，由，结合①中AF＝CF＝OD，EM＝OM，∠DOM＝90°，进而得到的值，然后根据△OGM∽△CGD，得到，进一步化简，最终得到比值。
26．【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵，，
∴∽，
∴，
即；

（2）(0，2)
（3）解：设A(x1，0) 、 B(x2，0)
∵OA· OB=OD· OC，即：
当y=0时，由韦达定理可得，
∴OD=3，则 D(0，3).
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；相交弦定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（2）解：由（1）知，，
∵，
∴，，，
∴，
解得，
∴；
故答案为：(0，2)；
【分析】（1）根据圆周角定理，即可得到∽，根据对应边成比例即可得到结论；
（2）根据点A，B，C的坐标，利用（1）的结论解答即可；
（3）设A(x1，0) 、 B(x2，0)，根据，利用根与系数的关系得到 ，求出OC长解答即可.
27．【答案】（1）解：方法1：如图1-1，过点A作AE⊥BC于点E，再过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为点M，N.
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，DM=DN.
∵
∴
方法2：如图1-2，过点C作CE//AB交AD延长线于点E.
∵AB∥CE，
∴∠BAD=∠E.
又∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△ECD，
∴.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE.
∴∠E=∠CAE，
∴CE=AC.

（2）解：在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6
∴
∵CE为斜边AB上的中线，
设EF=x，则CF=5-x.
∵AD平分∠CAB，
∴
即
解得
经检验，是原方程的根.

（3）解：如图3，作EP⊥AD，CQ⊥AD，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，且AB=CB，
∴∠ADB=∠CDB，∴DB平分∠ADC，
∵AC=10，
∴AE=6，CE=4
∵CQ⊥AD，
∴△CDQ和△ACQ是直角三角形，设DQ=x，AQ=12-x，
有
解得即
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1） 本题是角平分线定理的证明，核心思路为面积法或平行线构造相似法。面积法利用角平分线上的点到角两边距离相等，结合两三角形同高，面积比等于底之比；平行线法通过作平行线，将比例线段转化为等腰三角形的边，再利用相似三角形求解；
（2）本题属于拓展运用，需先利用勾股定理求出AB，再结合 (1) 的角平分线定理求出CD的长度，接着利用直角三角形斜边中线性质和相似三角形或线段比例关系，最终求出EF的长度。
28．【答案】（1）90
（2）解：是等边三角形，，
，．
，
，
，
．
设，则，
为的中点，
，
，整理得，
当时，有最大值，最大值为3，即的最大值为3
（3）解：（i）如图，延长至点，使得，连接，过点作，
根据题意可知，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
设．
，
，
整理得．
（ii）如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．
由（i）可知，，
当时，取得最大值为，
即当时，有最大值为，
，
设，，
，
，
，
．
，
，
，，，，
，
∴当最大时，的面积为
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：90；
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余解答；
（2）根据等边三角形的性质，利用两角对应相等得到，设，利用相似三角形的性质可得，即可得到，根据二次函数的顶点式求出最值解答；
（3）（i）延长至点，使得，连接，过点作，根据勾股定理求出CF长，然后根据正切的定义得到，即可得到，设，根据相似三角形的性质列式解答．
（ii）过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．根据（i）所得关系式可知时，有最大值为，设，，根据勾股定理可得的长，从而得出和的长，进而根据解答即可．
29．【答案】（1）米
（2）∵，
∴，
∴，
由题意可得米，米，米，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴米
（3）由表格数据得，
∴，
∴路灯高度（x）与照明亮度的平方（y）的关系式为
（4）18
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴米，
故答案为：米；
（4）∵，
∴高度为米，米，米的路灯都符合《城市道路照明设计标准》规定，
∵，
∴高度为米的路灯照明范围最大，且照明范围的直径长为（米），
，则至少需要个路灯．
故答案为：．
【分析】（1）根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可；
（2）得到，得根据对应边成比例得到，然后推理得到，即可得，再根据线段的和差解答即可；
（3）根据表格数据可得乘积为定值，即可得到反比例函数解析式；
（4）先求出符合规定的路灯的高度，再根据此路灯高度下所照明范围的半径解答即可．
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