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4月上旬之解直角三角形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1． 如图，有一格点，现要找一点P，使得平分，甲、乙两位同学给出了他们的作法，请判断两人的作法是否正确（　　）
A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲错、乙对 D．甲对、乙错
2．如图，在△ABC中，BE⊥AC，∠EBC=45°，在BC上取一点D，使得AB=AD，求CD和AE的数量关系是（　　）
A． B．CD=2AE C． D．CD=1.5AE
3．如图，小明沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B.若AB=200米，则这名滑雪运动员下降的高度为（　　）
A．200sinα米 B．200cosα米 C．200tanα米 D．米
4．一辆卡车沿倾斜角为6.32°的斜坡向上行驶，已知sin6.32°≈0.11，当行驶1000m时，高度约上升了(　　)
A．11m B．89m C．100m D．110m
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，点E为OC上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△FDE， EF交CD于点G，连结BE， CF．当四边形 BCFE为平行四边形时，若sin∠DAC=k，则 的值为(　　)
A．k B． C． D．
二、填空题
6．如图，在 △ABC中， ∠ABC的平分线BD交AC边于点D，BC边上的高AE与BD交于点 F，已知∠ABC =60°，∠C =45°. CE =3 则BF的长为　 　.
7．如图，小明沿着一条东西朝向的河流散步，他在点A的时候，看到了河对面岸边M处有块巨石，在他北偏东45°方向，他沿着河岸继续走了60步，到达点B时，发现M在他北偏东30°方向，假设河的两岸互相平行，且小明的步距是0.6米，估计河流的宽度（即点M到AB所在直线距离）约为　 　米（精确到1米，参考数据
三、解答题
8．在菱形ABCD中，AD=5，点E在边AB上，连结DE，△FDE与△ADE关于直线DE对称.若点F在边AB的延长线上，且BF=3，
（1）求AE的长.
（2）求sin∠CDF的值.
9．如图是衢州石门山顶气象雷达站，某校数学兴趣小组开展综合实践活动，测量气象雷达站的高度.兴趣小组在海拔1080m的A 处，测得气象雷达站顶端 B的仰角为45°，气象雷达站底端C的仰角为36.9°，已知气象雷达站顶端B 点的海拔约为1200m，求气象雷达站 BC的高度.(参考数据： tan36.9°≈0.75).
10．如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC=15km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，
（1）求岛A与港口B之间的距离．
（2）求 tan C．
11． 如图，一款杯子的轴截面可以抽象成等腰梯形（，，），某同学想知道该杯子最大盛水高度（即C到的距离）与杯子内底面的直径，通过测量，得到了如下数据：，．请帮该同学计算：
（1）杯子最大盛水高度：
（2）内底面的直径（的长度）
12．发展共享单车服务有力地推动了绿色出行．图1是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为．
（1）求坐垫E到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的0.8时，骑行比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至骑行舒适高度位置，求的长．（结果精确到，参考数据：，，）
13．跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”.如图，拉皮筋的两人位置为D、C，跳皮筋孩子脚踩位置为E点，点D、E、C在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度AD=CB=1米.（AD，BC垂直地面）若∠AED=45°，最后结果保留到0.1）
（1）求拉皮筋的两个孩子之间AB的距离；
（2）当脚把橡皮筋踩在地面上的E点时，橡皮筋比原来拉长了多少米.
14．如图是秋千摆动的示意图，踏板摆动路线是以O为圆心，OA为半径的圆弧的一部分，且OB=3米.B是弧上距离地面的最低点，且到地面的距离BD=0.6米（踏板厚度忽略不计）.
（1）如图1，当摆绳OA与OB成58°时，点A到地面的高度h恰为成人的“安全高度”，求h的值.（计算结果精确到0.1米）
（2）如图2，儿童在玩秋千时，踏板离地高度超过1.5米就会发生危险，摆绳OE与OB的夹角为41°时，问此儿童是否在“安全高度”范围内.
（参考数据：）
15．寒假期间，小明和小红在A处游玩，结束后相约去学校自习室，学校在点C处，小明家在点D处，小红家在点B处，点D在点A的正东方向，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东60°方向，点C在点D的东北方向，且AB＝200米，BC＝800米．
（1）求小明家到学校的距离CD的长度（结果保留根号）；
（2）小明和小红同时从A处出发，两人先各自回家取书包．再去学校自习室，小明步行的速度为40米/分，小红步行的速度为45米/分，请通过计算说明谁先到达学校自习室（两人取书包的时间忽略不计）．（参考数据：，结果精确到十分位）
16．已知：在△ABC中，
（1）如图1，求△ABC的面积.
（2）如图2，点D在边AC上，将△ABC沿射线BD方向平移至△A1DC1，使得点B与点D重合.
①连结AA1，CA1.求△AA1C的面积.
②如图3，将△A1DC1绕点D旋转至△A2DC2，边A2C2与线段BD的延长线交于点E，连结CE.当CD=2AD时，求的最小值.
17．如图，在矩形 ABCD 中， AE 平分∠BAD 交射线 BC 于点 E，过点 C 作 CF⊥AE 交射线 AE于点 F，连结 BD 交 AE 于点 G，连结 DF 交射线 BC 于点 H.
（1）当AB①求证： BE=CD
②猜想∠BDF 的度数，并说明理由.
（2）若 求tan∠CDF的值(用含k的代数式表示).
18． 如图， 在矩形ABCD中， 点E在AD边上(不与点A， D重合)， 连接BE， CE．
（1）若点E是AD边的中点.求证：BE=CE．
（2）设 ．
①求证： ．
②若 求k的值．
19． 如图1，在中，．
（1）求的长，
（2）把绕点A逆时针旋转，点B、C的对应点分别为E、F．
①当点B的对应点E落在对角线上时，与的交点为G，求四边形的面积；
②如图2，点E在对角线下方时，线段的反向延长线交与点P，连接，求的最小值．
20．在边长为4的正方形中，是边的中点，点是边上的一个动点，连接并延长交射线于点．
（1）如图1，连接，当时，求证：；
（2）过点作的垂线交射线于点，连接，．
（ⅰ）如图2，求证：；
（ⅱ）如图3，当时，求的值．
21．【文化欣赏】π(圆周率)的估算方法贯穿了数学发展史.其中阿基米德使用正九十六边形，利用(其中C为周长，d为直径)，估算出π的值.
【应用体验】
（1）如图1，正六边形内接于半径为1的圆内，求这个正六边形的周长并用此值估算π的值.
（2）如图2，半径为1的圆内切于正八边形，请求这个正八边形的周长并用此值估算π的值.
（3）实际圆的周长介于内接正六边形周长与外切正八边形周长之间，请用这两个近似值的平均数来估算π的值．[（取1.41）]
22．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对角线AC为直径，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F.
（1）若∠CBD=33°，求∠CDF的度数；
（2）连接BD，若CF：BF=1：2，求DF：DB的值；
（3）在（2）的条件下，若BD，AC交于点P，试用含m的式子表示cos∠BDF.
23．如图1，点E是⊙O的弦BD上一动点，过点E作AC⊥BD交⊙O于点A， C，连结AB，BC， CD， AD，过点B作BF⊥AD于点 F，交AC于点G.
（1）如图2，若BF经过点O.
①求证： BG=BC.
②若 求⊙O的半径.
（2）若 求y关于x的函数表达式.
24．如图所示，点C在以O为圆心、线段AB为直径的半圆上，联结BC，取线段BC中点D，在线段OA上取一点E（点E不与点A重合），使DE＝BD，作E点作直线EF⊥DE，EF与AC交于点F．
（1）如图（1），当点O、点E重合时，求证：四边形CDEF是正方形．
（2）如图（2），联结OF，点M是线段OF与线段DE的公共点．
①设x，tanB＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域．
②如图（3），联结BF、OC，点N是线段BF与线段OC的公共点，点G是线段OC与线段DE的公共点，当时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；运用勾股定理解决网格问题；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：设每个单元格的边长为，
根据甲同学的作法，．
在中，．
．
．
，
．
，故甲同学的作法是对的；
对于乙同学的作法，如图，
，
，
，
，
．
．
连接，对于和，
，
．
．
乙同学的作法也是对的．
故答案为：A.
【分析】对于甲同学的作法，根据勾股定理得到AB=5=AP，进而根据平行线的性质和等边对等角得到，判断结论；对于乙同学根据作图可得，再根据HL得到，根据全等三角形的对应角相等判断即可．
2．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵BE⊥AC，∠EBC=45°
∴∠C=90°-45°=45°
过点D作DG⊥AC于点G
∴∠DGC=90°
在Rt△DGC中，
∵∠C=45°
∴△DGC是等腰直角三角形
∴CD=DG
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG（AAS）
∴AE=DG
∴CD=AE
故答案为：C
【分析】通过作辅助线（垂线）构造等腰直角三角形△DGC，得到线段CD，DG的关系，再利用AAS判定证明△ABE≌△ADG，由全等三角形的性质可证明AE=DG，从而得到CD与AE的长度关系。
3．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=AB·sinα= 200sinα（米） 。
故答案为：A
【分析】先确定滑雪运动员高度下降的距离为直角三角形的直角边，再利用正弦函数的定义计算该直角边的长度。
4．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作于点C，
在中，，
∴，
即高度约上升了．
故答案为：D.
【分析】过点B作于点C，根据正弦的定义解答即可.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，且，
∵，
∴，
设，则，
由折叠得，
在中，；
∴，
又四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】设，根据菱形的性质和争先的定义求出，再根据折叠可得，利用勾股定理求出，，然后推理得到是平行四边形，即可得到，，再根据平行线得到，利用对应边成比例解答即可．
6．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—面积关系
【解析】【解答】解：∵是高，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴在中，．
故答案为： .
【分析】先得到是等腰直角三角形，根据勾股定理求出的长，再在中，根据正切的定义求出的长，利用角平分线定义求出，最后根据余弦的定义求出的长解答即可．
7．【答案】85
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
8．【答案】（1）解：∵与关于直线对称，
∴，
∴，
∵在菱形中，，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：∵在中，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∠CDF=∠A，
∴．
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质可得，即可得到，再根据菱形的性质可得，即可求出AF长，再根据三线合一解答即可；
（2）根据勾股定理可得，然后根据平行线的性质、等边对等角得到∠CDF=∠A，再利用正弦的定义解答即可．
9．【答案】解：BD=1200-1080=120m，
∵∠BAD=45°，
∴AD=BD=120m ，
∵∠CAD=36.9°，
，
∴CD=120×0.75=90m，
∴BC=30m，
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先求出，再根据对等边得到，再在中根据正切的定义求出CD长，再根据线段的和差解答即可．
10．【答案】（1）解：过点作
∵，
∴，
∴．
，
．
在中，，
；

（2）解：在中，，
∴．
∵，
，
．
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）过点作，根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例求出长，再根据正弦的定义解答即可；
（2）先根据余弦的定义求出AM长，再求出AD长，进而计算∠C的正切值即可．
11．【答案】（1）解：过C作，过A作，
∵，，，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
，
，
，
杯子最大盛水高度为，内底面的直径为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）过C作，过A作，根据三线合一得到长，再根据勾股定理求出长，最后根据正弦的定义解答即可；
（2）根据余弦的定义得到，求出DM长，根据线段的和差解答即可.
12．【答案】（1）解：如图2，过E点作于F点，
∵，，
∴在中，，，，
∴，
∵车轮半径为，
∴坐垫E到地面的距离为
（2）解：∵小明的腿长约为，
∴坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，
如图3，过作于G点，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作于点，在中根据正弦的定义求出EF长解答即可；
（2）作于点，在根据正弦的定义求出的长度，再根据线段的和差解答即可.
13．【答案】（1）解：∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴AD∥BC
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
在Rt△ADE中，
在Rt△BCE中，

（2）解：在Rt△ADE中，
在Rt△BCE中，
∴橡皮筋比原来拉长了0.7米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)根据正切的定义，分别求得DE，EC的长，进而根据AB=CD=DE+EC，即可求解；
(2)解Rt△ADE，Rt△EBC，求得AE，BE的长，结合题意，即可求解.
14．【答案】（1）解：过点A作，垂足为E．
由题意可知，四边形为矩形．
∴．
∵米，米，
∴米．
在中，
∵，
∴（米）．
∴（米）．
答：点A到地面的高度h的值约为2.0米
（2）解：过点A作，垂足为E．
由题意可知，四边形为矩形．
∴．
∵米，米，
∴米．
在中，
∵，
∴（米）．
∴（米）．
∵，
∴踏板A在“安全高度”范围内
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型
【解析】【分析】（1）过点A作，即可得到四边形是矩形，在中利用余弦的定义求出，再根据线段的和差解答即可；
（2）过点A作，即可得到四边形是矩形，在中利用余弦的定义求出，利用线段的和差求出长，再判断是否安全解答即可．
15．【答案】（1）解：如图：
由题意得：AE＝CF，∠BEC＝∠AFC＝90°，∠CDF＝45°，
在Rt△BEC中，BC＝800米，∠EBC＝60°，
∴EB＝BC cos60°＝800400（米），
∵AB＝200米，
∴CF＝AE＝AB+BE＝200+400＝600（米），
在Rt△CDF中，CD600（米），
∴小明家到学校的距离CD的长度为600米；
（2）解：小红先到达学校自习室，
理由：由题意得：CE＝AF，
在Rt△BEC中，BC＝800米，∠EBC＝60°，
∴CE＝BC sin60°＝800400（米），
∴AF＝CE＝400（米），
在Rt△CDF中，∠CDF＝45°，CF＝600米，
∴DF600（米），
∴AD＝AF﹣DF＝（400600）米，
∵小明步行的速度为40米/分，小红步行的速度为45米/分，
∴小明需要的时间23.5（分）；
小红需要的时间22.2（分），
∵22.2分＜23.5分，
∴小红先到达学校自习室．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
16．【答案】（1）解：过点作于点，则：
，，
设，则，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴的面积为：．
（2）解：①如图2，连接，
∵沿射线方向平移至，
∴，，，
∴，
∵且，
∴四边形是平行四边形，
∴的面积的面积的面积，
∵，
∴的面积的面积，
∴的面积．
②如图3，过点作于点，
由（1）得：，
当时，，
∴，
∴，
过点作于点，则的面积为：，
∵的面积为：，
∴，解得，
∴，
∵，
∴只需最小，则最小，
∵绕点旋转至，
∴，
∴的最小值，
∴的最小值为：．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点作于点，根据正切的定义设，则，根据勾股定理求出CF长，然后利用三角形的面积公式计算即可．
（2）①如图2，连结，根据平移得到四边形是平行四边形，再根据的面积的面积解答即可．
②如图3，过点作于点，即可得到，过点作于点，根据△BCD的面积求出CG长，根据勾股定理，根据二次函数的最值解答即可．
17．【答案】（1）解：①解： ∵矩形ABCD，∴∠ABC=∠BAD=90°，∴AB=CD
∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE=45°
∴△ABE是等腰直角三角形
∴AB=BE，∴BE=CD
②解：猜∠BDF=45°，
连接 BF，
∵CF⊥AE，∴∠AFC=90°，∵∠CEF=∠AEB=45°， ∴△CEF 是等腰直角三角形，
∴∠ECF=45°，∴EF=CF，∴∠BEF=∠FCD=135°，由①得BE=CD
∴△BEF≌△DCF(SAS)
∴DF=BF，∴∠BFE=∠DFC，∴∠BFD=∠CFE=90°
∴△BFD 是等腰直角三角形，∴∠BDF=45°
（2）解：当时，如图，延长交的延长线于 过作于
则 而
同理：
即
当时，如图，记交交于点 过作于
同理：
即

【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；求正切值
【解析】【分析】（1）①利用矩形ABCD的性质，证明△ABE是等腰直角三角形，从而可得结论；
②连结BF，根据SAS得到证明 即可得到 然后得到△BFD 是等腰直角三角形，从而证明结论；
（2）分两种情况讨论，当时，延长交的延长线于 过作于 即可得到 进而得到 求出 人居正切的定义解答即可，当时，同理可得答案.
18．【答案】（1）证明： ∵矩形ABCD，
∵点E是AD边的中点，
在 和 中，
（2）①证明：∵矩形ABCD中， 点E在AD边上， α， ∠CED=β，
②过C作 于H，如图：
设AE=m，则AB=2m，
中，
中，
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质，利用SAS证明 即可证；
(2)①根据三角函数定义， 把tanα、tanβ用线段比表示，化简即可得证；
②过C作于H，AE=m，则AB=2m，用m的代数式表示BE、BC、DE的长度，即可得到 的值，即k的值.
19．【答案】（1）解：如图，作，交的延长线H，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
，
∴，即，
在中，可得，
∴，解得（负值舍去），
，则，
；
（2）解：①如图，作，交于点M，
由旋转可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，，
，
∴，
令，
，
解得，
；
，
；
②如图，过点A作于点Q，过D作于M，
由（1）得，设，则，
∵，
∴
解得，
∴，．
∴，
在中，，
∵，
又∵，且，
∴
解得，
在中，，
∵P在上，
∴，
∴，
在中，，
∴，
，
∴，
∴，
要最小化，需最大化，即最小化．
由旋转性质得，，
∴，
由（2）得，，
当时，最小，也最小，
此时是中边上的高，
由旋转性质得，，
∴，即，
∴，解得，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）作延长线于H，根据平行四边形的对边相等得到，然后根据正切的定义和勾股定理求出BH的长，进而求出AC的长解答即可；
（2）①根据旋转得，作，交于点M，根据正切的定义设，即可得到方程，解方程求出m的值，再根据求出面积即可；
②过点A作于点Q，过D作于M，根据勾股定理求出AD和BD的长，然后根据三角形的额面积求出AQ长，进而求出DQ的值，然后根据勾股定理将转化为，当时AP最小，代入求得最小值，再根据旋转的性质和勾股定理求出QP的长解答即可．
20．【答案】（1）证明：是的中点，
．
四边形为正方形，
，
，
，
，，
为的中点
如图1，连接，则，．
在中，，
，
，
（2）解：（ⅰ）证明：如图2，过点作，交的延长线于点．
四边形为正方形，
∴，，
，
四边形是矩形，
．
，
在中，，
．
，
，
，
即
（ⅱ），
，．
，，
由（1）知，
，
，
．
在中，．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】
（1）根据正方形的定义，利用ASA得到，然后根据对应边相等得到，，连接，根据勾股定理求出CE长，即可得到，再根据三线合一证明即可；
（2）（ⅰ）过点作，交的延长线于点．即可得到是矩形，再根据两角对应相等得到，利用对应边成比例得到结论即可；
（ⅱ）根据即可得到，由（1）可得，进而求出BG长，根据正切的定义解答即可．
21．【答案】（1）解：如图，连接、，
∵正六边形，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∴圆的直径为，
∴正六边形的周长为，
根据题意可得到，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵正八边形，
∴，
∵圆内切于正八边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴正八边形的周长为：，
圆的直径为，
根据题意可得到，
∴；
（3）解：∵这两个近似值为和，
故这两个近似值的平均数为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆内接正多边形；平均数及其计算；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）连接、，即可得到是等边三角形，进而得到，求出正六边形的周长，即可估算出的值；
（2）如图，连接，根据HL得到，根据对应角相等得到，然后根据正切的定义求出长，求出正八边形的周长，估算出的值；
（3）把（1）（2）估算出的π值求平均值解答即可.
22．【答案】（1）解：∵弧CD=弧CD，∴∠CBD=∠CAD，
∵AC是直径，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°-∠CAD
∵DE⊥AC，∴∠CDF=90°-∠ACD=∠CAD=33°
（2）解：∵CF：BF=1：2，∴设CF=a，则BF=2a，
∵∠DCF=∠BCD，∠CDF=∠CBD，∴△CDF∽△CBD
（3）解：过点P作PQ∥DF交BC于点Q，
即
即
即
在中，
由（2）得：
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)先证明∠CAD=∠CDE，然后根据圆周角定理即可求解；
(2)证明△CDF~△CBD，得出，根据根据CF：BF=1：2可设CF=a，BF=2a，则BC=3a，，最后代入计算即可；
(3)过点P作PQ∥DF交BC于点Q，则， △CEF~△CPQ，△BPQ~△BDF，根据相似三角形的性质可求出，，，由平行线分线段成比例得出，在Rt△PDE中，，结合(2)，即可求解.
23．【答案】（1）解：①∵AC⊥BD， BF⊥AD，
∴∠BEG=∠AFG=90°.
∵∠BGE=∠AGF，
∴∠GBE=∠GAF.
∵∠CBD=∠GAF，
∴∠GBE=∠CBD.
∵∠BEG=∠BEC=90°，BE=BE，
∴△BEG≌△BEC.
∴BG=BC.
②连结OD，
∵BF⊥AD， BF经过点O，
∴AF=DF.
∴BF 垂直平分AD，
∴∠ABF=∠DBF.
∴∠ABF=∠CBD，
∵AB=BD，BG=BC，
∴△ABG≌△BCD.
∴GF=1，AF=2.
∵∠ABF=∠DBF=∠GAF，
∴在 Rt△ABF中：
∴BF=4.
令OB=r，则OF=4-r.
DF=AF=2.
∴在 Rt△OFD 中，
解得r=2.5.
（2）解：①当点E靠近点 D时，
∵AC=BD，
.
∴∠BAE=∠DBA=∠EDC=∠ECD.
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=∠CED=90°.
∴△ABE 和△CDE 均为等腰直角三角形.
∴AE=BE，DE=CE.
由①得 BG=BC.
∵BE⊥GC，
∴GE=CE.
∴GE=CE=DE，
设GE=CE=DE=a，则AG= ax，
∴AE=AG+GE= ax+a.
∴BE=AE= ax+a.
∴BD=BE+DE= ax+2a.
②当点 E 靠近点 B时，
同理可证△BEC 和△AED 均为等腰直角三角形，令 BE=CE=EG=a，
∴AG= ax，AE=DE= ax+a，
∴BD=BE+DE= ax+2a，
∴综合上得： 或
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）①根据等角的余角相等可得，根据得到，即可得到结论；
②连结，根据垂径定理和等边对等角得到，再根据SAS得到，即可得到，根据正切的定义和勾股定理得到GF和AF的长，即可求出．然后在 Rt△OFD 中根据勾股定理求出半径即可 ．
（2）分当点E靠近点D和当点E靠近点B两种情况，先得到和为等腰直角三角形．分别求出和长，求出关于x的函数解析式即可．
24．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CDO＝180°﹣∠C＝90°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∵CD＝BD＝DE，
∴四边形CDEF是正方形；
（2）解：①解：如图1，
连接OD，DF，
∵CD＝BD＝DE，∠C＝∠DEF＝90°，DF＝DF，
∴Rt△DCF≌△DEF（HL），
∴CF＝EF，
∵DE＝BD，
∴∠B＝∠DEB，
∵∠C＝∠DEF＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，∠AEF+∠DEB＝90°，
∴∠A＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴CF＝AF，
∴DF∥AB，DFAB＝OB，
∴四边形BOFD是平行四边形，
∴∠DFO＝∠B，
∴tan∠DFO＝tanB＝y，
∵OA＝OB，
∴ODAC，
∴OD＝CF＝AF＝EF，
∴四边形EODF是等腰梯形，
∴∠OEF＝∠DOE，∠BED＝∠EOF，∠OFD＝∠FDE，
∴∠DOF＝∠DEF＝90°，FM＝DM，
∴，
设OD＝ay，OF＝a，FM＝DM＝m，则OM＝OF﹣FM＝a﹣m，
∵∵DM2﹣OM2＝OD2，
∴m2﹣（a﹣m）2＝（ay）2，
∴m，
∴x，
∴y或y，
由题意得：0＜tanB＜1，
∴0＜y＜1，
∴y2+1＞2y，
∴0＜x＜1；
②如图2，
连接OD，
由①知：AF＝CF＝OD，EM＝OM，∠DOM＝90°，
∴OD2+OM2＝DM2（Ⅰ），
∵OA＝OB，
∴OF∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴OD2＝OM DM（Ⅱ），
由（Ⅰ）和（Ⅱ）得，
OM2+OM DM﹣DM2＝0，
∴或（舍去），
∵F是AC的中点，O是AB的中点，
∴N是△ABC的重心，
∴CNOC，
∵OF∥BC，
∴△OGM∽△CGD，
∴，
∴，
∵OF＝CD，
∴，
∵FM＝DM，
∴，
∴OG，
∴．
【知识点】正方形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
1 / 14月上旬之解直角三角形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1． 如图，有一格点，现要找一点P，使得平分，甲、乙两位同学给出了他们的作法，请判断两人的作法是否正确（　　）
A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲错、乙对 D．甲对、乙错
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；运用勾股定理解决网格问题；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：设每个单元格的边长为，
根据甲同学的作法，．
在中，．
．
．
，
．
，故甲同学的作法是对的；
对于乙同学的作法，如图，
，
，
，
，
．
．
连接，对于和，
，
．
．
乙同学的作法也是对的．
故答案为：A.
【分析】对于甲同学的作法，根据勾股定理得到AB=5=AP，进而根据平行线的性质和等边对等角得到，判断结论；对于乙同学根据作图可得，再根据HL得到，根据全等三角形的对应角相等判断即可．
2．如图，在△ABC中，BE⊥AC，∠EBC=45°，在BC上取一点D，使得AB=AD，求CD和AE的数量关系是（　　）
A． B．CD=2AE C． D．CD=1.5AE
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵BE⊥AC，∠EBC=45°
∴∠C=90°-45°=45°
过点D作DG⊥AC于点G
∴∠DGC=90°
在Rt△DGC中，
∵∠C=45°
∴△DGC是等腰直角三角形
∴CD=DG
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG（AAS）
∴AE=DG
∴CD=AE
故答案为：C
【分析】通过作辅助线（垂线）构造等腰直角三角形△DGC，得到线段CD，DG的关系，再利用AAS判定证明△ABE≌△ADG，由全等三角形的性质可证明AE=DG，从而得到CD与AE的长度关系。
3．如图，小明沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B.若AB=200米，则这名滑雪运动员下降的高度为（　　）
A．200sinα米 B．200cosα米 C．200tanα米 D．米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=AB·sinα= 200sinα（米） 。
故答案为：A
【分析】先确定滑雪运动员高度下降的距离为直角三角形的直角边，再利用正弦函数的定义计算该直角边的长度。
4．一辆卡车沿倾斜角为6.32°的斜坡向上行驶，已知sin6.32°≈0.11，当行驶1000m时，高度约上升了(　　)
A．11m B．89m C．100m D．110m
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作于点C，
在中，，
∴，
即高度约上升了．
故答案为：D.
【分析】过点B作于点C，根据正弦的定义解答即可.
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，点E为OC上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△FDE， EF交CD于点G，连结BE， CF．当四边形 BCFE为平行四边形时，若sin∠DAC=k，则 的值为(　　)
A．k B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，且，
∵，
∴，
设，则，
由折叠得，
在中，；
∴，
又四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】设，根据菱形的性质和争先的定义求出，再根据折叠可得，利用勾股定理求出，，然后推理得到是平行四边形，即可得到，，再根据平行线得到，利用对应边成比例解答即可．
二、填空题
6．如图，在 △ABC中， ∠ABC的平分线BD交AC边于点D，BC边上的高AE与BD交于点 F，已知∠ABC =60°，∠C =45°. CE =3 则BF的长为　 　.
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—面积关系
【解析】【解答】解：∵是高，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴在中，．
故答案为： .
【分析】先得到是等腰直角三角形，根据勾股定理求出的长，再在中，根据正切的定义求出的长，利用角平分线定义求出，最后根据余弦的定义求出的长解答即可．
7．如图，小明沿着一条东西朝向的河流散步，他在点A的时候，看到了河对面岸边M处有块巨石，在他北偏东45°方向，他沿着河岸继续走了60步，到达点B时，发现M在他北偏东30°方向，假设河的两岸互相平行，且小明的步距是0.6米，估计河流的宽度（即点M到AB所在直线距离）约为　 　米（精确到1米，参考数据
【答案】85
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
三、解答题
8．在菱形ABCD中，AD=5，点E在边AB上，连结DE，△FDE与△ADE关于直线DE对称.若点F在边AB的延长线上，且BF=3，
（1）求AE的长.
（2）求sin∠CDF的值.
【答案】（1）解：∵与关于直线对称，
∴，
∴，
∵在菱形中，，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：∵在中，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∠CDF=∠A，
∴．
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质可得，即可得到，再根据菱形的性质可得，即可求出AF长，再根据三线合一解答即可；
（2）根据勾股定理可得，然后根据平行线的性质、等边对等角得到∠CDF=∠A，再利用正弦的定义解答即可．
9．如图是衢州石门山顶气象雷达站，某校数学兴趣小组开展综合实践活动，测量气象雷达站的高度.兴趣小组在海拔1080m的A 处，测得气象雷达站顶端 B的仰角为45°，气象雷达站底端C的仰角为36.9°，已知气象雷达站顶端B 点的海拔约为1200m，求气象雷达站 BC的高度.(参考数据： tan36.9°≈0.75).
【答案】解：BD=1200-1080=120m，
∵∠BAD=45°，
∴AD=BD=120m ，
∵∠CAD=36.9°，
，
∴CD=120×0.75=90m，
∴BC=30m，
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先求出，再根据对等边得到，再在中根据正切的定义求出CD长，再根据线段的和差解答即可．
10．如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC=15km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，
（1）求岛A与港口B之间的距离．
（2）求 tan C．
【答案】（1）解：过点作
∵，
∴，
∴．
，
．
在中，，
；

（2）解：在中，，
∴．
∵，
，
．
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）过点作，根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例求出长，再根据正弦的定义解答即可；
（2）先根据余弦的定义求出AM长，再求出AD长，进而计算∠C的正切值即可．
11． 如图，一款杯子的轴截面可以抽象成等腰梯形（，，），某同学想知道该杯子最大盛水高度（即C到的距离）与杯子内底面的直径，通过测量，得到了如下数据：，．请帮该同学计算：
（1）杯子最大盛水高度：
（2）内底面的直径（的长度）
【答案】（1）解：过C作，过A作，
∵，，，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
，
，
，
杯子最大盛水高度为，内底面的直径为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）过C作，过A作，根据三线合一得到长，再根据勾股定理求出长，最后根据正弦的定义解答即可；
（2）根据余弦的定义得到，求出DM长，根据线段的和差解答即可.
12．发展共享单车服务有力地推动了绿色出行．图1是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为．
（1）求坐垫E到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的0.8时，骑行比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至骑行舒适高度位置，求的长．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】（1）解：如图2，过E点作于F点，
∵，，
∴在中，，，，
∴，
∵车轮半径为，
∴坐垫E到地面的距离为
（2）解：∵小明的腿长约为，
∴坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，
如图3，过作于G点，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作于点，在中根据正弦的定义求出EF长解答即可；
（2）作于点，在根据正弦的定义求出的长度，再根据线段的和差解答即可.
13．跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”.如图，拉皮筋的两人位置为D、C，跳皮筋孩子脚踩位置为E点，点D、E、C在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度AD=CB=1米.（AD，BC垂直地面）若∠AED=45°，最后结果保留到0.1）
（1）求拉皮筋的两个孩子之间AB的距离；
（2）当脚把橡皮筋踩在地面上的E点时，橡皮筋比原来拉长了多少米.
【答案】（1）解：∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴AD∥BC
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
在Rt△ADE中，
在Rt△BCE中，

（2）解：在Rt△ADE中，
在Rt△BCE中，
∴橡皮筋比原来拉长了0.7米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)根据正切的定义，分别求得DE，EC的长，进而根据AB=CD=DE+EC，即可求解；
(2)解Rt△ADE，Rt△EBC，求得AE，BE的长，结合题意，即可求解.
14．如图是秋千摆动的示意图，踏板摆动路线是以O为圆心，OA为半径的圆弧的一部分，且OB=3米.B是弧上距离地面的最低点，且到地面的距离BD=0.6米（踏板厚度忽略不计）.
（1）如图1，当摆绳OA与OB成58°时，点A到地面的高度h恰为成人的“安全高度”，求h的值.（计算结果精确到0.1米）
（2）如图2，儿童在玩秋千时，踏板离地高度超过1.5米就会发生危险，摆绳OE与OB的夹角为41°时，问此儿童是否在“安全高度”范围内.
（参考数据：）
【答案】（1）解：过点A作，垂足为E．
由题意可知，四边形为矩形．
∴．
∵米，米，
∴米．
在中，
∵，
∴（米）．
∴（米）．
答：点A到地面的高度h的值约为2.0米
（2）解：过点A作，垂足为E．
由题意可知，四边形为矩形．
∴．
∵米，米，
∴米．
在中，
∵，
∴（米）．
∴（米）．
∵，
∴踏板A在“安全高度”范围内
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型
【解析】【分析】（1）过点A作，即可得到四边形是矩形，在中利用余弦的定义求出，再根据线段的和差解答即可；
（2）过点A作，即可得到四边形是矩形，在中利用余弦的定义求出，利用线段的和差求出长，再判断是否安全解答即可．
15．寒假期间，小明和小红在A处游玩，结束后相约去学校自习室，学校在点C处，小明家在点D处，小红家在点B处，点D在点A的正东方向，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东60°方向，点C在点D的东北方向，且AB＝200米，BC＝800米．
（1）求小明家到学校的距离CD的长度（结果保留根号）；
（2）小明和小红同时从A处出发，两人先各自回家取书包．再去学校自习室，小明步行的速度为40米/分，小红步行的速度为45米/分，请通过计算说明谁先到达学校自习室（两人取书包的时间忽略不计）．（参考数据：，结果精确到十分位）
【答案】（1）解：如图：
由题意得：AE＝CF，∠BEC＝∠AFC＝90°，∠CDF＝45°，
在Rt△BEC中，BC＝800米，∠EBC＝60°，
∴EB＝BC cos60°＝800400（米），
∵AB＝200米，
∴CF＝AE＝AB+BE＝200+400＝600（米），
在Rt△CDF中，CD600（米），
∴小明家到学校的距离CD的长度为600米；
（2）解：小红先到达学校自习室，
理由：由题意得：CE＝AF，
在Rt△BEC中，BC＝800米，∠EBC＝60°，
∴CE＝BC sin60°＝800400（米），
∴AF＝CE＝400（米），
在Rt△CDF中，∠CDF＝45°，CF＝600米，
∴DF600（米），
∴AD＝AF﹣DF＝（400600）米，
∵小明步行的速度为40米/分，小红步行的速度为45米/分，
∴小明需要的时间23.5（分）；
小红需要的时间22.2（分），
∵22.2分＜23.5分，
∴小红先到达学校自习室．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
16．已知：在△ABC中，
（1）如图1，求△ABC的面积.
（2）如图2，点D在边AC上，将△ABC沿射线BD方向平移至△A1DC1，使得点B与点D重合.
①连结AA1，CA1.求△AA1C的面积.
②如图3，将△A1DC1绕点D旋转至△A2DC2，边A2C2与线段BD的延长线交于点E，连结CE.当CD=2AD时，求的最小值.
【答案】（1）解：过点作于点，则：
，，
设，则，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴的面积为：．
（2）解：①如图2，连接，
∵沿射线方向平移至，
∴，，，
∴，
∵且，
∴四边形是平行四边形，
∴的面积的面积的面积，
∵，
∴的面积的面积，
∴的面积．
②如图3，过点作于点，
由（1）得：，
当时，，
∴，
∴，
过点作于点，则的面积为：，
∵的面积为：，
∴，解得，
∴，
∵，
∴只需最小，则最小，
∵绕点旋转至，
∴，
∴的最小值，
∴的最小值为：．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点作于点，根据正切的定义设，则，根据勾股定理求出CF长，然后利用三角形的面积公式计算即可．
（2）①如图2，连结，根据平移得到四边形是平行四边形，再根据的面积的面积解答即可．
②如图3，过点作于点，即可得到，过点作于点，根据△BCD的面积求出CG长，根据勾股定理，根据二次函数的最值解答即可．
17．如图，在矩形 ABCD 中， AE 平分∠BAD 交射线 BC 于点 E，过点 C 作 CF⊥AE 交射线 AE于点 F，连结 BD 交 AE 于点 G，连结 DF 交射线 BC 于点 H.
（1）当AB①求证： BE=CD
②猜想∠BDF 的度数，并说明理由.
（2）若 求tan∠CDF的值(用含k的代数式表示).
【答案】（1）解：①解： ∵矩形ABCD，∴∠ABC=∠BAD=90°，∴AB=CD
∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE=45°
∴△ABE是等腰直角三角形
∴AB=BE，∴BE=CD
②解：猜∠BDF=45°，
连接 BF，
∵CF⊥AE，∴∠AFC=90°，∵∠CEF=∠AEB=45°， ∴△CEF 是等腰直角三角形，
∴∠ECF=45°，∴EF=CF，∴∠BEF=∠FCD=135°，由①得BE=CD
∴△BEF≌△DCF(SAS)
∴DF=BF，∴∠BFE=∠DFC，∴∠BFD=∠CFE=90°
∴△BFD 是等腰直角三角形，∴∠BDF=45°
（2）解：当时，如图，延长交的延长线于 过作于
则 而
同理：
即
当时，如图，记交交于点 过作于
同理：
即

【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；求正切值
【解析】【分析】（1）①利用矩形ABCD的性质，证明△ABE是等腰直角三角形，从而可得结论；
②连结BF，根据SAS得到证明 即可得到 然后得到△BFD 是等腰直角三角形，从而证明结论；
（2）分两种情况讨论，当时，延长交的延长线于 过作于 即可得到 进而得到 求出 人居正切的定义解答即可，当时，同理可得答案.
18． 如图， 在矩形ABCD中， 点E在AD边上(不与点A， D重合)， 连接BE， CE．
（1）若点E是AD边的中点.求证：BE=CE．
（2）设 ．
①求证： ．
②若 求k的值．
【答案】（1）证明： ∵矩形ABCD，
∵点E是AD边的中点，
在 和 中，
（2）①证明：∵矩形ABCD中， 点E在AD边上， α， ∠CED=β，
②过C作 于H，如图：
设AE=m，则AB=2m，
中，
中，
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质，利用SAS证明 即可证；
(2)①根据三角函数定义， 把tanα、tanβ用线段比表示，化简即可得证；
②过C作于H，AE=m，则AB=2m，用m的代数式表示BE、BC、DE的长度，即可得到 的值，即k的值.
19． 如图1，在中，．
（1）求的长，
（2）把绕点A逆时针旋转，点B、C的对应点分别为E、F．
①当点B的对应点E落在对角线上时，与的交点为G，求四边形的面积；
②如图2，点E在对角线下方时，线段的反向延长线交与点P，连接，求的最小值．
【答案】（1）解：如图，作，交的延长线H，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
，
∴，即，
在中，可得，
∴，解得（负值舍去），
，则，
；
（2）解：①如图，作，交于点M，
由旋转可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，，
，
∴，
令，
，
解得，
；
，
；
②如图，过点A作于点Q，过D作于M，
由（1）得，设，则，
∵，
∴
解得，
∴，．
∴，
在中，，
∵，
又∵，且，
∴
解得，
在中，，
∵P在上，
∴，
∴，
在中，，
∴，
，
∴，
∴，
要最小化，需最大化，即最小化．
由旋转性质得，，
∴，
由（2）得，，
当时，最小，也最小，
此时是中边上的高，
由旋转性质得，，
∴，即，
∴，解得，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）作延长线于H，根据平行四边形的对边相等得到，然后根据正切的定义和勾股定理求出BH的长，进而求出AC的长解答即可；
（2）①根据旋转得，作，交于点M，根据正切的定义设，即可得到方程，解方程求出m的值，再根据求出面积即可；
②过点A作于点Q，过D作于M，根据勾股定理求出AD和BD的长，然后根据三角形的额面积求出AQ长，进而求出DQ的值，然后根据勾股定理将转化为，当时AP最小，代入求得最小值，再根据旋转的性质和勾股定理求出QP的长解答即可．
20．在边长为4的正方形中，是边的中点，点是边上的一个动点，连接并延长交射线于点．
（1）如图1，连接，当时，求证：；
（2）过点作的垂线交射线于点，连接，．
（ⅰ）如图2，求证：；
（ⅱ）如图3，当时，求的值．
【答案】（1）证明：是的中点，
．
四边形为正方形，
，
，
，
，，
为的中点
如图1，连接，则，．
在中，，
，
，
（2）解：（ⅰ）证明：如图2，过点作，交的延长线于点．
四边形为正方形，
∴，，
，
四边形是矩形，
．
，
在中，，
．
，
，
，
即
（ⅱ），
，．
，，
由（1）知，
，
，
．
在中，．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】
（1）根据正方形的定义，利用ASA得到，然后根据对应边相等得到，，连接，根据勾股定理求出CE长，即可得到，再根据三线合一证明即可；
（2）（ⅰ）过点作，交的延长线于点．即可得到是矩形，再根据两角对应相等得到，利用对应边成比例得到结论即可；
（ⅱ）根据即可得到，由（1）可得，进而求出BG长，根据正切的定义解答即可．
21．【文化欣赏】π(圆周率)的估算方法贯穿了数学发展史.其中阿基米德使用正九十六边形，利用(其中C为周长，d为直径)，估算出π的值.
【应用体验】
（1）如图1，正六边形内接于半径为1的圆内，求这个正六边形的周长并用此值估算π的值.
（2）如图2，半径为1的圆内切于正八边形，请求这个正八边形的周长并用此值估算π的值.
（3）实际圆的周长介于内接正六边形周长与外切正八边形周长之间，请用这两个近似值的平均数来估算π的值．[（取1.41）]
【答案】（1）解：如图，连接、，
∵正六边形，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∴圆的直径为，
∴正六边形的周长为，
根据题意可得到，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵正八边形，
∴，
∵圆内切于正八边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴正八边形的周长为：，
圆的直径为，
根据题意可得到，
∴；
（3）解：∵这两个近似值为和，
故这两个近似值的平均数为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆内接正多边形；平均数及其计算；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）连接、，即可得到是等边三角形，进而得到，求出正六边形的周长，即可估算出的值；
（2）如图，连接，根据HL得到，根据对应角相等得到，然后根据正切的定义求出长，求出正八边形的周长，估算出的值；
（3）把（1）（2）估算出的π值求平均值解答即可.
22．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对角线AC为直径，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F.
（1）若∠CBD=33°，求∠CDF的度数；
（2）连接BD，若CF：BF=1：2，求DF：DB的值；
（3）在（2）的条件下，若BD，AC交于点P，试用含m的式子表示cos∠BDF.
【答案】（1）解：∵弧CD=弧CD，∴∠CBD=∠CAD，
∵AC是直径，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°-∠CAD
∵DE⊥AC，∴∠CDF=90°-∠ACD=∠CAD=33°
（2）解：∵CF：BF=1：2，∴设CF=a，则BF=2a，
∵∠DCF=∠BCD，∠CDF=∠CBD，∴△CDF∽△CBD
（3）解：过点P作PQ∥DF交BC于点Q，
即
即
即
在中，
由（2）得：
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)先证明∠CAD=∠CDE，然后根据圆周角定理即可求解；
(2)证明△CDF~△CBD，得出，根据根据CF：BF=1：2可设CF=a，BF=2a，则BC=3a，，最后代入计算即可；
(3)过点P作PQ∥DF交BC于点Q，则， △CEF~△CPQ，△BPQ~△BDF，根据相似三角形的性质可求出，，，由平行线分线段成比例得出，在Rt△PDE中，，结合(2)，即可求解.
23．如图1，点E是⊙O的弦BD上一动点，过点E作AC⊥BD交⊙O于点A， C，连结AB，BC， CD， AD，过点B作BF⊥AD于点 F，交AC于点G.
（1）如图2，若BF经过点O.
①求证： BG=BC.
②若 求⊙O的半径.
（2）若 求y关于x的函数表达式.
【答案】（1）解：①∵AC⊥BD， BF⊥AD，
∴∠BEG=∠AFG=90°.
∵∠BGE=∠AGF，
∴∠GBE=∠GAF.
∵∠CBD=∠GAF，
∴∠GBE=∠CBD.
∵∠BEG=∠BEC=90°，BE=BE，
∴△BEG≌△BEC.
∴BG=BC.
②连结OD，
∵BF⊥AD， BF经过点O，
∴AF=DF.
∴BF 垂直平分AD，
∴∠ABF=∠DBF.
∴∠ABF=∠CBD，
∵AB=BD，BG=BC，
∴△ABG≌△BCD.
∴GF=1，AF=2.
∵∠ABF=∠DBF=∠GAF，
∴在 Rt△ABF中：
∴BF=4.
令OB=r，则OF=4-r.
DF=AF=2.
∴在 Rt△OFD 中，
解得r=2.5.
（2）解：①当点E靠近点 D时，
∵AC=BD，
.
∴∠BAE=∠DBA=∠EDC=∠ECD.
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=∠CED=90°.
∴△ABE 和△CDE 均为等腰直角三角形.
∴AE=BE，DE=CE.
由①得 BG=BC.
∵BE⊥GC，
∴GE=CE.
∴GE=CE=DE，
设GE=CE=DE=a，则AG= ax，
∴AE=AG+GE= ax+a.
∴BE=AE= ax+a.
∴BD=BE+DE= ax+2a.
②当点 E 靠近点 B时，
同理可证△BEC 和△AED 均为等腰直角三角形，令 BE=CE=EG=a，
∴AG= ax，AE=DE= ax+a，
∴BD=BE+DE= ax+2a，
∴综合上得： 或
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）①根据等角的余角相等可得，根据得到，即可得到结论；
②连结，根据垂径定理和等边对等角得到，再根据SAS得到，即可得到，根据正切的定义和勾股定理得到GF和AF的长，即可求出．然后在 Rt△OFD 中根据勾股定理求出半径即可 ．
（2）分当点E靠近点D和当点E靠近点B两种情况，先得到和为等腰直角三角形．分别求出和长，求出关于x的函数解析式即可．
24．如图所示，点C在以O为圆心、线段AB为直径的半圆上，联结BC，取线段BC中点D，在线段OA上取一点E（点E不与点A重合），使DE＝BD，作E点作直线EF⊥DE，EF与AC交于点F．
（1）如图（1），当点O、点E重合时，求证：四边形CDEF是正方形．
（2）如图（2），联结OF，点M是线段OF与线段DE的公共点．
①设x，tanB＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域．
②如图（3），联结BF、OC，点N是线段BF与线段OC的公共点，点G是线段OC与线段DE的公共点，当时，求的值．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CDO＝180°﹣∠C＝90°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∵CD＝BD＝DE，
∴四边形CDEF是正方形；
（2）解：①解：如图1，
连接OD，DF，
∵CD＝BD＝DE，∠C＝∠DEF＝90°，DF＝DF，
∴Rt△DCF≌△DEF（HL），
∴CF＝EF，
∵DE＝BD，
∴∠B＝∠DEB，
∵∠C＝∠DEF＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，∠AEF+∠DEB＝90°，
∴∠A＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴CF＝AF，
∴DF∥AB，DFAB＝OB，
∴四边形BOFD是平行四边形，
∴∠DFO＝∠B，
∴tan∠DFO＝tanB＝y，
∵OA＝OB，
∴ODAC，
∴OD＝CF＝AF＝EF，
∴四边形EODF是等腰梯形，
∴∠OEF＝∠DOE，∠BED＝∠EOF，∠OFD＝∠FDE，
∴∠DOF＝∠DEF＝90°，FM＝DM，
∴，
设OD＝ay，OF＝a，FM＝DM＝m，则OM＝OF﹣FM＝a﹣m，
∵∵DM2﹣OM2＝OD2，
∴m2﹣（a﹣m）2＝（ay）2，
∴m，
∴x，
∴y或y，
由题意得：0＜tanB＜1，
∴0＜y＜1，
∴y2+1＞2y，
∴0＜x＜1；
②如图2，
连接OD，
由①知：AF＝CF＝OD，EM＝OM，∠DOM＝90°，
∴OD2+OM2＝DM2（Ⅰ），
∵OA＝OB，
∴OF∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴OD2＝OM DM（Ⅱ），
由（Ⅰ）和（Ⅱ）得，
OM2+OM DM﹣DM2＝0，
∴或（舍去），
∵F是AC的中点，O是AB的中点，
∴N是△ABC的重心，
∴CNOC，
∵OF∥BC，
∴△OGM∽△CGD，
∴，
∴，
∵OF＝CD，
∴，
∵FM＝DM，
∴，
∴OG，
∴．
【知识点】正方形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
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