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专题01 实数及其运算—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（　　）
A．+3.6 B．+2.5 C．+0.9 D．-0.8
2．如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数字1，2，3，，A，B，相对面上的两个数互为相反数，则（　　）
A． B． C．1 D．2
3． 实数-a， a，在数轴上对应点的位置如图所示.下列四个点中，表示1的点可能是（　　）
A．P B．Q C．R D．S
4．如图，实数、在数轴上的位置，化简：（　　）
A．0 B． C． D．
5． 若 ，则整数 的值为(　　)
A．44 B．45 C．46 D．47
6．某天14：00，我国五个城市的气温如表，其中与北京气温最接近的城市是 (　　)
城市 哈尔滨 北京 广州 武汉 杭州
气温/℃ -20 -8 10 5 0
A．哈尔滨 B．广州 C．武汉 D．杭州
7．如下是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（　　）
新对话
有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上1，其运算结果和这个数的两倍相同.
A．1 B．-1 C．1或-1 D．
8．刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为（　　）
A． B． C． D．
9．古代数学名著《九章算术》里记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（　　）
A． B． C． D．
10．下列各数中，不一定有平方根的是(　　)
A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1
11．在实数，，，中，有理数是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，若，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
13．给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
14．截止到2025年2月15日，电影《哪吒之魔童闹海》的累计票房达到112.2亿，112.2亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
15．湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资亿元．其中数据亿元精确到哪位？（　　）
A．万位 B．十万位 C．百万位 D．亿位
二、填空题
16．从-1，0，π，3， 五个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概率为　 　.
17．我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：　 　（填“>”或“<”）．
18．一个质点从数轴的原点出发，每次等可能地向左或向右移动个单位长度。移动次后，该质点恰好回到原点的概率是　 　。
19．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数＝3×72＋2×71＋6＝147＋14＋6＝167（天）．请根据图2，计算孩子自出生后的天数是　 　天．
20．小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是　 　．（写出一个符合题意的数即可）
21．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代．细胞在n次分裂后的数量可用数学模型来表示，即：，，，，，…．请你推算的个位数字是　 　．
三、解答题
22．计算：
23．计算：.
24．计算：
25．计算.
26．计算：
（1）
（2）
27．计算：.
28．
（1）一道习题及其错误的解答过程如下：
计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步
请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
（2）计算：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴3.6>2.5>0.9>0.8，
故答案为：D.
【分析】比较四个选项的绝对值，绝对值最小的即为最接近标准质量的足球，注意： 正负数表示超过或不足标准质量，但轻重仅与绝对值有关 .
2．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质；含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴A与2是相对面，
∴．
故选：B．
【分析】根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，结合相反数的定义解答即可．
3．【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；实数的大小比较；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴上的对应点可知-a故选：C.
【分析】由数轴可知-a4．【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；整式的加减运算；二次根式的性质与化简；求算术平方根；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，
∴，
∴
，
故答案为：B．
【分析】
观察数轴得到，，根据二次根式的性质转化为绝对值形式，再化简绝对值得到最后利用整式的加减计算法则求解即可解答．
5．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵，，，
又∵，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】根据无理数的估算解答即可.
6．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：∵-20<-8<0<5<10，且-8-(-20)=12，0-(-8)=8，
∴与北京气温最接近的城市为杭州，
故答案为：D.
【分析】先根据有理数比较大小，然后求出相邻两个城市的温度差，比较解答即可.
7．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：设这个数为x，则x2+1=2x
x2-2x+1=0
(x-1)2=0，
∴x=1
故选：A.
【分析】根据题意建立方程，再利用因式分解法对所得方程进行求解即可.
8．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：“正”和“负”相对，所以，“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为．
故选：A．
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：由图1可知白色表示正数，黑色表示负数，
所以图2表示的过程应是在计算．
故选B．
【分析】根据题意，结合有理数的加法即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】A、∵x2＋1>0，∴该数有平方根；
B、∵|x|＋2>0，∴该数有平方根；
C、>0，∴该数有平方根；
D、∵，∴|a|－1不一定大于0，故该数不一定有平方根；
故选：D.
【分析】本题主要考查平方根的性质特点：正数存在两个平方根，零的平方根是其本身（0），而负数在实数范围内没有平方根。解题时需要准确判断给定实数的正负性，这是正确求解的基础。根据平方根的基本性质进行解答。
11．【答案】C
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：在实数，，，中，有理数为，，，都是开方开不尽的数，都是无理数.
故答案为：C.
【分析】实数分为有理数与无理数，有限小数与无限循环小数就是有理数，有理数分为整数和分数，而整数又分为正整数、0、负整数，分数又分为正分数、负分数；无限不循环的小数就是无理数，常见无理数有：①根号型的数：开方开不尽的数，② 与有关的数，③构造型：像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④三角函数型：如sin60°等，根据定义即可一一判断得出答案.据此判断即可得出答案.
12．【答案】D
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：数轴上点分别表示数，，，
，，
，
A.，
，
，故本选项错误；
B.，
，，故本选项错误；
C.，
，故本选项错误；
D.∵，AB>BC，
，故本选项正确.
故答案为：D．
【分析】根据数轴上的点的位置及两点间距离可得，利用有理数的运算法则及绝对值的意义逐一判断即可．
13．【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则；真命题与假命题；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：①若，则，是假命题，如，就不成立，不符合题意；
②若，则同时为0，是假命题，如，就不成立，不符合题意；
③两个负数的差一定是负数，是假命题，如就不成立，不符合题意；
④如果，那么，是假命题，如，就不成立，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据绝对值的性质，有理数的乘法逐项进行判断即可求出答案.
14．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
15．【答案】B
【知识点】近似数与准确数
【解析】【解答】解：数据亿精确到的位数是十万位．
故答案为：B．
【分析】对于带单位的数要把它恢复到原数，再看近似数的最后一个数字所在的数位即为其精确度。
16．【答案】
【知识点】概率公式；无理数的概念
【解析】【解答】解：无理数有：、，
∴ 无理数的概率为，
故答案为： .
【分析】根据无理数的定义得到无理数的个数，然后根据概率公式解答即可．
17．【答案】>
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，，
∵＞，
∴＞.
故答案为：＞.
【分析】分别求出与的平方数，比较平方数的大小，继而得解.
18．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有4种等可能性，其中该质点恰好回到原点的可能性有2种，
∴该质点恰好回到原点的概率为．
故答案为：．
【分析】画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
19．【答案】109
【知识点】有理数的乘方法则；十进制及其他进制问题
【解析】【解答】解：由题意，孩子自出生后的天数=2×72＋1×71＋4＝98＋7＋4＝109（天），
故答案为：109．
【分析】满七进一的数为：百位上的数×72+十位上的数×71+个位上的数，据此解答即可．
20．【答案】0
【知识点】有理数的加法实际应用；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：根据题意，
①假设中间位置为0，此时横纵两组三数之和为：=0，即平均一组三数之和为0，
只需将-1和1放一组，-2和2放一组，符合题意；
②假设中间位置为-2，此时横纵两组三数之和为：=-2，即平均一组三数之和为-1，
只需将0和1放一组，-1和2放一组，符合题意；
③假设中间位置为-1，此时横纵两组三数之和为：=-1，即平均一组三数之和为-，
由任意三数之和为整数，故此时不符合题意；
④假设中间位置为1，此时横纵两组三数之和为：=1，即平均一组三数之和为，
由任意三数之和为整数，故此时不符合题意；
⑤假设中间位置为2，此时横纵两组三数之和为：=2，即平均一组三数之和为1，
只需将-2和1放一组，0和-1放一组，符合题意；
综上所述，符合的答案为0，-2或2.
故答案为：0(-2或2也可以).
【分析】根据题意将所有可能一一尝试列出等量关系检验组合情况即可.
21．【答案】0
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，…，
∴尾数每4个一循环，
∵，
又∵，
∴每一组的4个数相加以后个位数字为0，
∴51组相加后个位数字为0，
∴的个位数字为0．
故答案为：0．
【分析】根据前5个等式的变换，总结规律，结合有理数的乘方即可求出答案.
22．【答案】解：原式
=3.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值，0指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
23．【答案】解：原式=3+1+4-3
=5
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；绝对值的概念与意义；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】根据零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、算术平方根的概念进行计算.
24．【答案】解：原式=-1-2+5-1-5
=-4
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据有理数的乘方，绝对值，0指数幂，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
25．【答案】解：
解：原式
=-4.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
26．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式=
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【分析】
（1）先计算负指数幂，再算开平方，再计算，再根据绝对值的意义化简得到，最后计算加减，解答即可；
（2）先开平方运算得到，再算乘方，，最后计算加减，解答即可.
27．【答案】解：原式=
=13-．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据负整数指数幂，有理数的乘方，0指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
28．【答案】（1）解：原计算第一步开始出错；
；
（2）解：
【知识点】有理数的乘法运算律；去括号法则及应用；有理数的乘方法则；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据去括号法则可判断原计算第一步开始出错，根据实数的混合运算即可求出答案.
（2）根据绝对值的性质，有理数的乘方化简，再计算加减即可求出答案.
1 / 1专题01 实数及其运算—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（　　）
A．+3.6 B．+2.5 C．+0.9 D．-0.8
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴3.6>2.5>0.9>0.8，
故答案为：D.
【分析】比较四个选项的绝对值，绝对值最小的即为最接近标准质量的足球，注意： 正负数表示超过或不足标准质量，但轻重仅与绝对值有关 .
2．如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数字1，2，3，，A，B，相对面上的两个数互为相反数，则（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质；含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴A与2是相对面，
∴．
故选：B．
【分析】根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，结合相反数的定义解答即可．
3． 实数-a， a，在数轴上对应点的位置如图所示.下列四个点中，表示1的点可能是（　　）
A．P B．Q C．R D．S
【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；实数的大小比较；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴上的对应点可知-a故选：C.
【分析】由数轴可知-a4．如图，实数、在数轴上的位置，化简：（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；整式的加减运算；二次根式的性质与化简；求算术平方根；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，
∴，
∴
，
故答案为：B．
【分析】
观察数轴得到，，根据二次根式的性质转化为绝对值形式，再化简绝对值得到最后利用整式的加减计算法则求解即可解答．
5． 若 ，则整数 的值为(　　)
A．44 B．45 C．46 D．47
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵，，，
又∵，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】根据无理数的估算解答即可.
6．某天14：00，我国五个城市的气温如表，其中与北京气温最接近的城市是 (　　)
城市 哈尔滨 北京 广州 武汉 杭州
气温/℃ -20 -8 10 5 0
A．哈尔滨 B．广州 C．武汉 D．杭州
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：∵-20<-8<0<5<10，且-8-(-20)=12，0-(-8)=8，
∴与北京气温最接近的城市为杭州，
故答案为：D.
【分析】先根据有理数比较大小，然后求出相邻两个城市的温度差，比较解答即可.
7．如下是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（　　）
新对话
有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上1，其运算结果和这个数的两倍相同.
A．1 B．-1 C．1或-1 D．
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：设这个数为x，则x2+1=2x
x2-2x+1=0
(x-1)2=0，
∴x=1
故选：A.
【分析】根据题意建立方程，再利用因式分解法对所得方程进行求解即可.
8．刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：“正”和“负”相对，所以，“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为．
故选：A．
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
9．古代数学名著《九章算术》里记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：由图1可知白色表示正数，黑色表示负数，
所以图2表示的过程应是在计算．
故选B．
【分析】根据题意，结合有理数的加法即可求出答案.
10．下列各数中，不一定有平方根的是(　　)
A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1
【答案】D
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】A、∵x2＋1>0，∴该数有平方根；
B、∵|x|＋2>0，∴该数有平方根；
C、>0，∴该数有平方根；
D、∵，∴|a|－1不一定大于0，故该数不一定有平方根；
故选：D.
【分析】本题主要考查平方根的性质特点：正数存在两个平方根，零的平方根是其本身（0），而负数在实数范围内没有平方根。解题时需要准确判断给定实数的正负性，这是正确求解的基础。根据平方根的基本性质进行解答。
11．在实数，，，中，有理数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：在实数，，，中，有理数为，，，都是开方开不尽的数，都是无理数.
故答案为：C.
【分析】实数分为有理数与无理数，有限小数与无限循环小数就是有理数，有理数分为整数和分数，而整数又分为正整数、0、负整数，分数又分为正分数、负分数；无限不循环的小数就是无理数，常见无理数有：①根号型的数：开方开不尽的数，② 与有关的数，③构造型：像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④三角函数型：如sin60°等，根据定义即可一一判断得出答案.据此判断即可得出答案.
12．如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，若，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：数轴上点分别表示数，，，
，，
，
A.，
，
，故本选项错误；
B.，
，，故本选项错误；
C.，
，故本选项错误；
D.∵，AB>BC，
，故本选项正确.
故答案为：D．
【分析】根据数轴上的点的位置及两点间距离可得，利用有理数的运算法则及绝对值的意义逐一判断即可．
13．给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则；真命题与假命题；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：①若，则，是假命题，如，就不成立，不符合题意；
②若，则同时为0，是假命题，如，就不成立，不符合题意；
③两个负数的差一定是负数，是假命题，如就不成立，不符合题意；
④如果，那么，是假命题，如，就不成立，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据绝对值的性质，有理数的乘法逐项进行判断即可求出答案.
14．截止到2025年2月15日，电影《哪吒之魔童闹海》的累计票房达到112.2亿，112.2亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
15．湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资亿元．其中数据亿元精确到哪位？（　　）
A．万位 B．十万位 C．百万位 D．亿位
【答案】B
【知识点】近似数与准确数
【解析】【解答】解：数据亿精确到的位数是十万位．
故答案为：B．
【分析】对于带单位的数要把它恢复到原数，再看近似数的最后一个数字所在的数位即为其精确度。
二、填空题
16．从-1，0，π，3， 五个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式；无理数的概念
【解析】【解答】解：无理数有：、，
∴ 无理数的概率为，
故答案为： .
【分析】根据无理数的定义得到无理数的个数，然后根据概率公式解答即可．
17．我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：　 　（填“>”或“<”）．
【答案】>
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，，
∵＞，
∴＞.
故答案为：＞.
【分析】分别求出与的平方数，比较平方数的大小，继而得解.
18．一个质点从数轴的原点出发，每次等可能地向左或向右移动个单位长度。移动次后，该质点恰好回到原点的概率是　 　。
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有4种等可能性，其中该质点恰好回到原点的可能性有2种，
∴该质点恰好回到原点的概率为．
故答案为：．
【分析】画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
19．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数＝3×72＋2×71＋6＝147＋14＋6＝167（天）．请根据图2，计算孩子自出生后的天数是　 　天．
【答案】109
【知识点】有理数的乘方法则；十进制及其他进制问题
【解析】【解答】解：由题意，孩子自出生后的天数=2×72＋1×71＋4＝98＋7＋4＝109（天），
故答案为：109．
【分析】满七进一的数为：百位上的数×72+十位上的数×71+个位上的数，据此解答即可．
20．小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是　 　．（写出一个符合题意的数即可）
【答案】0
【知识点】有理数的加法实际应用；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：根据题意，
①假设中间位置为0，此时横纵两组三数之和为：=0，即平均一组三数之和为0，
只需将-1和1放一组，-2和2放一组，符合题意；
②假设中间位置为-2，此时横纵两组三数之和为：=-2，即平均一组三数之和为-1，
只需将0和1放一组，-1和2放一组，符合题意；
③假设中间位置为-1，此时横纵两组三数之和为：=-1，即平均一组三数之和为-，
由任意三数之和为整数，故此时不符合题意；
④假设中间位置为1，此时横纵两组三数之和为：=1，即平均一组三数之和为，
由任意三数之和为整数，故此时不符合题意；
⑤假设中间位置为2，此时横纵两组三数之和为：=2，即平均一组三数之和为1，
只需将-2和1放一组，0和-1放一组，符合题意；
综上所述，符合的答案为0，-2或2.
故答案为：0(-2或2也可以).
【分析】根据题意将所有可能一一尝试列出等量关系检验组合情况即可.
21．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代．细胞在n次分裂后的数量可用数学模型来表示，即：，，，，，…．请你推算的个位数字是　 　．
【答案】0
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，…，
∴尾数每4个一循环，
∵，
又∵，
∴每一组的4个数相加以后个位数字为0，
∴51组相加后个位数字为0，
∴的个位数字为0．
故答案为：0．
【分析】根据前5个等式的变换，总结规律，结合有理数的乘方即可求出答案.
三、解答题
22．计算：
【答案】解：原式
=3.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值，0指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
23．计算：.
【答案】解：原式=3+1+4-3
=5
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；绝对值的概念与意义；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】根据零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、算术平方根的概念进行计算.
24．计算：
【答案】解：原式=-1-2+5-1-5
=-4
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据有理数的乘方，绝对值，0指数幂，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
25．计算.
【答案】解：
解：原式
=-4.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
26．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式=
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【分析】
（1）先计算负指数幂，再算开平方，再计算，再根据绝对值的意义化简得到，最后计算加减，解答即可；
（2）先开平方运算得到，再算乘方，，最后计算加减，解答即可.
27．计算：.
【答案】解：原式=
=13-．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据负整数指数幂，有理数的乘方，0指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
28．
（1）一道习题及其错误的解答过程如下：
计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步
请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
（2）计算：．
【答案】（1）解：原计算第一步开始出错；
；
（2）解：
【知识点】有理数的乘法运算律；去括号法则及应用；有理数的乘方法则；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据去括号法则可判断原计算第一步开始出错，根据实数的混合运算即可求出答案.
（2）根据绝对值的性质，有理数的乘方化简，再计算加减即可求出答案.
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