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专题03 分式—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1． 代数式 中，属于分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解： 的分母为5，不含字母，是整式，不是分式，不符合题意；
的分母为π，不含字母，是整式，不是分式，不符合题意；
的分母为 含字母x，是分式，符合题意；
的分母为3，不含字母，是整式，不是分式，不符合题意；
的分母为x，含字母x，是分式，符合题意；
的分母为x+2，含字母x，是分式，符合题意；
综上所述，分式共有3个.
故答案为：B.
【分析】根据分式的定义，逐一判断各代数式的分母是否含有字母即可得到答案.
2．已知分式 (a，b为常数)满足下面的表格，则下列结论中错误的是 (　　)
x 的值 2 -2 3 d
分式的值 无意义 0 c -6
A．a=-2 B．b=4 C．c=10 D．d=-1
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】解：根据表格数据知：当x=2时，分式无意义，
∴2+a=0且2×2+b≠0，
∴a=-2，故A选项正确；
当x=-2时，分式的值为0，
∴2×（-2）+b=0且-2+a≠0，
∴b=4，故B选项正确；
当x=3时，，
∴c=10，故C选项正确；
当x=d时，，
∴d=1，故D选项错误.
故答案为：D.
【分析】 根据分式无意义、值为特定数的条件，依次求出 a 、 b 、 c 、 d 的值，再判断选项正误.分式无意义的条件是分母为 0 ；分式值为 0 时分子为 0 且分母不为 0 ；分式值为 c 或 6 时需通过代入对应 x 值建立方程求解.
3．下列等式一定成立的是（　　）
A． B．= C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A：根据分式的基本性质，不一定成立，所以A不符合题意；
B：根据分式的基本性质，=不一定成立，所以B不符合题意；
C：，c≠0时才成立，所以C不一定成立；
D：成立，所以D符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质，逐项进行判断即可得出答案。
4．（2025·冷水滩模拟）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的约分；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先将分式进行展开，然后约分进行计算即可.
5．（2019·梧州模拟）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（　　）
A． 约分的结果是
B．分式 与 的最简公分母是x﹣1
C． 约分的结果是1
D．化简 ﹣ 的结果是1
【答案】D
【知识点】分式的约分；分式的通分
【解析】【解答】解：A、 ＝ ，故不符合题意；
B、分式 与 的最简公分母是x2﹣1，故不符合题意；
C、 ＝ ，故不符合题意；
D、 ﹣ ＝1，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】A、将分式进行约分，然后判断即可；
B、先求出最简公分母，接着进行通分，然后判断即可；
C、将分式进行约分，然后判断即可；
D、利用同分母分式相减，然后约分后即可判断；
6．已知 A 为整式，若计算 的结果为 则A=(　　)
A．x B．y C．x+y D．x-y
【答案】A
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：先计算 ，
∵化简的结果为
∴
∴，
∵A为整式，
∴A=x，
故答案为：A.
【分析】先对原式中两个分式进行通分，然后根据计算结果建立关于A的方程，进而求解A.
7．（2025·厦门自主招生）设，，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵
∴，
，
∴
∴
∵
∴，，
∴
∴．
故答案为：A .
【分析】由条件，利用完全平方公式求出和，再计算其比值的平方，结合 确定符号，得到最终结果．
8．（2025·南充模拟）已知：，则的值为（　　）
A． B． C．2025 D．
【答案】D
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：原式
，
，
，
原式；
故答案为：D．
【分析】先将括号里的分式减法通分计算，再算分式乘法运算，然后整体代入求值即可.
9．（2024·海港模拟）如图，若为正整数，则表示的值的点落在（　　）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；完全平方公式及运用；分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵1．
又∵x为正整数，∴1，故表示的值的点落在②．
故选B．
【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再根据x为正整数化简即可求出答案.
10．照相机成像应用了一个重要原理， 用公式 表示， 其中 表示照相机镜头的焦距， 表示物体到镜头的距离， 表示胶片 （像） 到镜头的距离． 已知 ， 则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由公式(v≠f)
∴
故答案为：C.
【分析】利用分式的基本性质，把等式(v≠f)变形即可求解.
二、填空题
11．（2026九下·杭州月考）使得函数有意义的x的取值范围是　 　.
【答案】x≥0且x≠1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，x≥0且x-1≠0，
解得x≥0且x≠1
∴自变量x的取值范围是x≥0且x≠1.
故答案为：x≥0且x≠1.
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可确定自变量的取值范围。
12．（2025·九台模拟）计算：　 　．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先计算负整数指数幂和零指数幂，再计算减法即可．
13．（2024·贵州模拟）分式化成最简分式为　 　．
【答案】
【知识点】分式的约分；最简分式的概念
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据分式的基本性质进行约分即可得出答案.
14．（2025·陇南模拟）定义新运算：，若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；分式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，即，
，
故答案为：．
【分析】首先根据定义新运算，得出，然后再把要求的代数式进行变形，得出原，然后整体代入求值，即可得出答案。
15．盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别，从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是 则 的值为　 　.
【答案】1
【知识点】分式的约分；概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：根据条件可知，，
变形化简得到a=2b，
∴，
故答案为：1.
【分析】本题结合条件可知，盒中总共有a+b枚棋子，取出黑棋的概率为，此时即可列出分式方程，化简后得到a和b的关系，最后代入计算即可.
16．（2025·花都模拟）在弹簧系统中，两个弹簧的劲度系数分别为和，串联时总劲度系数满足公式，已知且，则总劲度系数　 　．
【答案】4
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵且，
∴，
∴，
故答案为：4。
【分析】对 进行通分，然后再将且代入化简后的式子中，即可求解。
三、解答题
17．（2025·江安模拟）计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简算术平方根、代入特殊三角形函数值、负整数指数幂法则，零指数幂法则以及去绝，再进行合并即可得到答案；
（2）先把能进行因式分解的分子和分母进行因式分解，再计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025·永州模拟）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式=
=
=
=.
（2）解：原式=
=
=.
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】根据分式的除法运算法则计算即可得出答案．
（1）解：
；
（2）解：
．
19．（2026·福田模拟）先化简 再从-2，0，2中选一个合适的数代入求值.
【答案】解：原式
=a-2
由于a+2≠0，a-2≠0，
∴a≠±2
∴把a=0代入
原式=0-2
=-2；
【知识点】平方差公式及应用；分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再结合分式有意义的条件择值代入即可求出答案.
20．（2021·深圳模拟）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】解：
＝
＝
＝ ．
当 时，原式＝ ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
21．（2025·福田模拟）先化简，再求值：，其中x为分式方程的根．
【答案】解：
，
，
解得：，
经检验，时，，
则是原分式方程的解，
把代入得：
【知识点】分式的加减法；解分式方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的减法，结合平方差公式化简，再将分式方程转换为整式方程，解方程可得x值，再代入代数式即可求出答案.
22．（2024九下·牟平期中）先化简，再求值：，其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数．
【答案】解：
，
∵m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，
∴3-2＜m＜3+2，即1＜m＜5，
∵m为整数，
∴m=2、3、4，
又∵m≠0、2、3
∴m=4，
∴原式=．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值；三角形三边关系；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式化简的一般步骤：先通分计算括号里的加法得到，然后变除法为乘法，约分得到再利用三角形三边的关系结合m为整数，求得m的值，再取符合分式有意义的值代入计算即可解答．
23．（2025·普陀二模）小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的AI分析。
豆包给出分析： 这个解答从第 ▲ 步开始出现错误； 虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误。 正确解答为：，其中x=1 解：原式=
【答案】解：①；
当=1时
原式=1-1=0
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【分析】根据同分母分式的加减运算法则求解即可.
24．（2025·定海模拟）阅读理解：
定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”．
例如：我们称是的“差分式”，
解答下列问题：
（1）分式是分式的“ 差分式”．
（2）分式 是分式的“差分式”．
① （含的代数式表示）；
②若 的值为正整数，为正整数，求的值．
（3）已知，分式是的“差分式”（其中为正数），求的值．
【答案】（1）
（2）①；
②由①得，
∴，
又∵ 的值为正整数，为正整数，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴的值为或；
（3）∵分式是的“差分式”
∴，
，且，
∴，
∵为正数，
∴，
∴的值为．
【知识点】分式的加减法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）①∵分式 是分式的“差分式”
∴，
整理，得，
解得，；
故答案为：.
【分析】（1）根据材料提示进行计算即可求解；
（2）根据“差分式”的计算方法可得，利用分式的混合运算即可求出C；
（3）根据“差分式”的计算方法可得，利用分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：①，
∴，
解得，；
②，为正整数，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴的值为或；
（3）解：，
，且，
∴，
∵为正数，
∴，
∴的值为．
1 / 1专题03 分式—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1． 代数式 中，属于分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．已知分式 (a，b为常数)满足下面的表格，则下列结论中错误的是 (　　)
x 的值 2 -2 3 d
分式的值 无意义 0 c -6
A．a=-2 B．b=4 C．c=10 D．d=-1
3．下列等式一定成立的是（　　）
A． B．= C． D．
4．（2025·冷水滩模拟）若，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2019·梧州模拟）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（　　）
A． 约分的结果是
B．分式 与 的最简公分母是x﹣1
C． 约分的结果是1
D．化简 ﹣ 的结果是1
6．已知 A 为整式，若计算 的结果为 则A=(　　)
A．x B．y C．x+y D．x-y
7．（2025·厦门自主招生）设，，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
8．（2025·南充模拟）已知：，则的值为（　　）
A． B． C．2025 D．
9．（2024·海港模拟）如图，若为正整数，则表示的值的点落在（　　）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
10．照相机成像应用了一个重要原理， 用公式 表示， 其中 表示照相机镜头的焦距， 表示物体到镜头的距离， 表示胶片 （像） 到镜头的距离． 已知 ， 则 （　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2026九下·杭州月考）使得函数有意义的x的取值范围是　 　.
12．（2025·九台模拟）计算：　 　．
13．（2024·贵州模拟）分式化成最简分式为　 　．
14．（2025·陇南模拟）定义新运算：，若，则的值是　 　．
15．盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别，从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是 则 的值为　 　.
16．（2025·花都模拟）在弹簧系统中，两个弹簧的劲度系数分别为和，串联时总劲度系数满足公式，已知且，则总劲度系数　 　．
三、解答题
17．（2025·江安模拟）计算：
（1）
（2）．
18．（2025·永州模拟）计算：
（1）；
（2）．
19．（2026·福田模拟）先化简 再从-2，0，2中选一个合适的数代入求值.
20．（2021·深圳模拟）先化简，再求值： ，其中 ．
21．（2025·福田模拟）先化简，再求值：，其中x为分式方程的根．
22．（2024九下·牟平期中）先化简，再求值：，其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数．
23．（2025·普陀二模）小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的AI分析。
豆包给出分析： 这个解答从第 ▲ 步开始出现错误； 虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误。 正确解答为：，其中x=1 解：原式=
24．（2025·定海模拟）阅读理解：
定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”．
例如：我们称是的“差分式”，
解答下列问题：
（1）分式是分式的“ 差分式”．
（2）分式 是分式的“差分式”．
① （含的代数式表示）；
②若 的值为正整数，为正整数，求的值．
（3）已知，分式是的“差分式”（其中为正数），求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解： 的分母为5，不含字母，是整式，不是分式，不符合题意；
的分母为π，不含字母，是整式，不是分式，不符合题意；
的分母为 含字母x，是分式，符合题意；
的分母为3，不含字母，是整式，不是分式，不符合题意；
的分母为x，含字母x，是分式，符合题意；
的分母为x+2，含字母x，是分式，符合题意；
综上所述，分式共有3个.
故答案为：B.
【分析】根据分式的定义，逐一判断各代数式的分母是否含有字母即可得到答案.
2．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】解：根据表格数据知：当x=2时，分式无意义，
∴2+a=0且2×2+b≠0，
∴a=-2，故A选项正确；
当x=-2时，分式的值为0，
∴2×（-2）+b=0且-2+a≠0，
∴b=4，故B选项正确；
当x=3时，，
∴c=10，故C选项正确；
当x=d时，，
∴d=1，故D选项错误.
故答案为：D.
【分析】 根据分式无意义、值为特定数的条件，依次求出 a 、 b 、 c 、 d 的值，再判断选项正误.分式无意义的条件是分母为 0 ；分式值为 0 时分子为 0 且分母不为 0 ；分式值为 c 或 6 时需通过代入对应 x 值建立方程求解.
3．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A：根据分式的基本性质，不一定成立，所以A不符合题意；
B：根据分式的基本性质，=不一定成立，所以B不符合题意；
C：，c≠0时才成立，所以C不一定成立；
D：成立，所以D符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质，逐项进行判断即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】分式的约分；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先将分式进行展开，然后约分进行计算即可.
5．【答案】D
【知识点】分式的约分；分式的通分
【解析】【解答】解：A、 ＝ ，故不符合题意；
B、分式 与 的最简公分母是x2﹣1，故不符合题意；
C、 ＝ ，故不符合题意；
D、 ﹣ ＝1，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】A、将分式进行约分，然后判断即可；
B、先求出最简公分母，接着进行通分，然后判断即可；
C、将分式进行约分，然后判断即可；
D、利用同分母分式相减，然后约分后即可判断；
6．【答案】A
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：先计算 ，
∵化简的结果为
∴
∴，
∵A为整式，
∴A=x，
故答案为：A.
【分析】先对原式中两个分式进行通分，然后根据计算结果建立关于A的方程，进而求解A.
7．【答案】A
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵
∴，
，
∴
∴
∵
∴，，
∴
∴．
故答案为：A .
【分析】由条件，利用完全平方公式求出和，再计算其比值的平方，结合 确定符号，得到最终结果．
8．【答案】D
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：原式
，
，
，
原式；
故答案为：D．
【分析】先将括号里的分式减法通分计算，再算分式乘法运算，然后整体代入求值即可.
9．【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；完全平方公式及运用；分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵1．
又∵x为正整数，∴1，故表示的值的点落在②．
故选B．
【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再根据x为正整数化简即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】分式的基本性质；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由公式(v≠f)
∴
故答案为：C.
【分析】利用分式的基本性质，把等式(v≠f)变形即可求解.
11．【答案】x≥0且x≠1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，x≥0且x-1≠0，
解得x≥0且x≠1
∴自变量x的取值范围是x≥0且x≠1.
故答案为：x≥0且x≠1.
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可确定自变量的取值范围。
12．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先计算负整数指数幂和零指数幂，再计算减法即可．
13．【答案】
【知识点】分式的约分；最简分式的概念
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据分式的基本性质进行约分即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；分式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，即，
，
故答案为：．
【分析】首先根据定义新运算，得出，然后再把要求的代数式进行变形，得出原，然后整体代入求值，即可得出答案。
15．【答案】1
【知识点】分式的约分；概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：根据条件可知，，
变形化简得到a=2b，
∴，
故答案为：1.
【分析】本题结合条件可知，盒中总共有a+b枚棋子，取出黑棋的概率为，此时即可列出分式方程，化简后得到a和b的关系，最后代入计算即可.
16．【答案】4
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵且，
∴，
∴，
故答案为：4。
【分析】对 进行通分，然后再将且代入化简后的式子中，即可求解。
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简算术平方根、代入特殊三角形函数值、负整数指数幂法则，零指数幂法则以及去绝，再进行合并即可得到答案；
（2）先把能进行因式分解的分子和分母进行因式分解，再计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：原式=
=
=
=.
（2）解：原式=
=
=.
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】根据分式的除法运算法则计算即可得出答案．
（1）解：
；
（2）解：
．
19．【答案】解：原式
=a-2
由于a+2≠0，a-2≠0，
∴a≠±2
∴把a=0代入
原式=0-2
=-2；
【知识点】平方差公式及应用；分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再结合分式有意义的条件择值代入即可求出答案.
20．【答案】解：
＝
＝
＝ ．
当 时，原式＝ ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
21．【答案】解：
，
，
解得：，
经检验，时，，
则是原分式方程的解，
把代入得：
【知识点】分式的加减法；解分式方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的减法，结合平方差公式化简，再将分式方程转换为整式方程，解方程可得x值，再代入代数式即可求出答案.
22．【答案】解：
，
∵m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，
∴3-2＜m＜3+2，即1＜m＜5，
∵m为整数，
∴m=2、3、4，
又∵m≠0、2、3
∴m=4，
∴原式=．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值；三角形三边关系；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式化简的一般步骤：先通分计算括号里的加法得到，然后变除法为乘法，约分得到再利用三角形三边的关系结合m为整数，求得m的值，再取符合分式有意义的值代入计算即可解答．
23．【答案】解：①；
当=1时
原式=1-1=0
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【分析】根据同分母分式的加减运算法则求解即可.
24．【答案】（1）
（2）①；
②由①得，
∴，
又∵ 的值为正整数，为正整数，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴的值为或；
（3）∵分式是的“差分式”
∴，
，且，
∴，
∵为正数，
∴，
∴的值为．
【知识点】分式的加减法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）①∵分式 是分式的“差分式”
∴，
整理，得，
解得，；
故答案为：.
【分析】（1）根据材料提示进行计算即可求解；
（2）根据“差分式”的计算方法可得，利用分式的混合运算即可求出C；
（3）根据“差分式”的计算方法可得，利用分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：①，
∴，
解得，；
②，为正整数，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴的值为或；
（3）解：，
，且，
∴，
∵为正数，
∴，
∴的值为．
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