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四川省成都市成都外国语学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 符合题目要求.
1．（2025高一下·成都月考）（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则；相反向量
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】利用向量加法的三角形法则和相反向量的定义，从而化简求出向量.
2．（2025高一下·成都月考）已知角的终边经过点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由角的终边经过点，
利用三角函数的定义求出，
所以.
故答案为：A.
【分析】先根据角的终边和余弦函数的定义，从而求出的值，再利用诱导公式得出的值.
3．（2025高一下·成都月考）下列函数是周期为的偶函数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：对于函数，
根据诱导公式，可知是奇函数，不满足偶函数的条件，
同时，的周期，不满足周期为的条件，所以错误.；
对于函数，
因为，
所以是偶函数.
又因为，
所以的周期是，满足题目要求，所以正确；
对于函数，根据诱导公式，
可知是奇函数，不满足偶函数的条件，
同时，的周期，但由于不满足偶函数条件，所以错误；
对于函数，根据诱导公式，可知是偶函数，
但的周期，不满足周期为的条件，所以错误.
故答案为：B.
【分析】根据函数的奇偶性和周期性的定义，从而逐项判断找出周期为的偶函数.
4．（2025高一下·成都月考）在中，，，则（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：在中，
由，得，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和同角三角函数基本关系式、诱导公式和两角和的正切公式，从而得出角C的正切值.
5．（2025高一下·成都月考）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可得，再根据完全平方差公式得出，进而得出的值.
6．（2025高一下·成都月考）已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的图象；正切函数的图象与性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，可得，
在同一坐标系内，作函数，图象，如图所示：
，
，
，
由零点存在定理及图象可知，函数在上无零点，在上有零点.
故答案为：D.
【分析】令，可得，在同一坐标系中作函数，图象， 根据函数图象及零点存在定理判断即可.
7．（2025高一下·成都月考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由，
得
.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件结合诱导公式和二倍角的余弦公式，从而得出的值.
8．（2025高一下·成都月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【解答】解：依题意，设关于的函数解析式为，
由转盘半径为，得，
由最低点距离地面高度为，得，解得，
由转一周大约需要，得，解得，
当时，，即，
又因为，解得，
因此或，故A正确；B、C、D错误.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件设出函数解析式，再由转盘半径、最低点距离地面高度、转一周大约需要和五点对应法以及，从而得出关于的函数解析式.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·成都月考）给出下列命题，其中叙述正确的命题为（　　）
A．向量的长度与向量的长度相等
B．向量与平行，则与的方向相同
C．
D．若向量与不共线，则与都是非零向量
【答案】A,C,D
【知识点】命题的真假判断与应用；向量的模；零向量；共线（平行）向量
【解析】【解答】解：因为向量与向量是大小相等，方向相反的向量，向量的长度即向量的模，
根据向量模的定义，与都表示这两个向量的长度，所以，故正确；
当向量与平行时，存在两种情况：与的方向相同；与的方向相反，
所以不能仅仅说与平行时，它们的方向就一定相同，故错误；
根据向量模长的三角不等式：对于任意两个向量和，都有.
当，反向时，等号成立；当，不反向时，，
所以成立，故C正确；
假设与中有一个是零向量，不妨设，
因为零向量与任意向量都共线，那么与就共线了，这与已知条件“向量与不共线”矛盾，
所以若向量与不共线，则与都是非零向量，故正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据向量的基本性质、向量的长度、向量平行、模长关系以及向量共线的相关知识，从而逐项判断找出真命题的选项.
10．（2025高一下·成都月考）得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（　　）
A．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
【答案】A,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：先平移后伸缩：函数的图象向左平移个单位长度，得，
再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，故A正确；
先伸缩后平移：函数图象将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，
再向左平移个单位长度，得，即，故D正确.
故答案为：AD．
【分析】根据三角函数图象的伸缩、平移变换求解即可．
11．（2025高一下·成都月考）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．函数的最小正周期为2
B．
C．函数的图象关于直线对称
D．若方程在上有两个不等实数根，则．
【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由函数图象可知，表示振幅，所以，
函数的图象过点和，这两点间的距离是个周期，
即，那么，故A错误；
根据正弦型函数的周期公式（），可得，
所以，
把点代入中，得到，即，
因为，所以，，解得，故B正确；
由选项A和选项B可得：，
令，解得，
当时，，所以函数的图象关于直线对称，故C正确；
因为函数的图象在上，其对称轴为，即，
若方程在上有两个不等实数根，
根据正弦函数图象的对称性可知，
所以，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】先通过正弦型函数的图象的最高点的纵坐标确定的值，再根据正弦型函数的图象上两点的横坐标求出正弦型函数的最小正周期，从而得到的值，再将特殊点代入函数求出的值，最后根据正弦型函数的对称轴和方程根的对称性，从而逐项判断找出说法正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·成都月考）　 　
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和两角和的正弦公式，从而化简求值.
13．（2025高一下·成都月考）已知向量满足，，则的取值范围是　 　
【答案】[6，10]
【知识点】向量的模；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：根据向量模长不等式，
已知，，则，
当且仅当与同向时，等号成立；
根据向量模长不等式，可得，
当且仅当与反向时，等号成立，
综上所述，的取值范围是
故答案为：
【分析】根据向量的模长不等式和向量共线的情况，从而得出的取值范围.
14．（2025高一下·成都月考）已知函数，在区间上无零点，则的取值范围为　 　
【答案】
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，
根据正弦函数的性质可知，，
解关于的方程可得，，
因为函数在区间上无零点，
所以不存在整数使得成立，
即存在整数使得，
对于，
解第一个不等式可得，
因为，所以，即；
解第二个不等式可得，
因为，所以，即.
所以，
因为，所以，
由不等式的传递性得，
所以或，
当时，，
又因为，所以；
当时，，
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
【分析】先求出函数的零点表达式，再结合函数在区间上无零点这一条件，从而列出关于的不等式组，进而求出的取值范围.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·成都月考）已知函数．
（1）求的值；
（2）求的最大值、最小值．
【答案】（1）解：依题意，得.
（2）解：因为函数，
当，即时，；
当，即时，，
所以函数的最大值、最小值分别为.
【知识点】函数的值；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用函数的解析式和代入法，从而求出函数值.
（2）利用辅助角公式化简函数，再利用正弦型函数求最值的方法，从而得出函数的最大值、最小值．
（1）依题意，.
（2）函数，
当，即时，，
当，即时，.
所以函数的最大值、最小值分别为.
16．（2025高一下·成都月考）（1）已知都是锐角，且，，求的值.
（2）已知， ，求的值.
【答案】解：（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，且，
所以，且，
所以.
（2）由，，
可得，解得，
所以，即.
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和锐角的取值范围、两角和的正切公式以及二倍角的正切公式，从而得出的值.
（2）利用两角和与差的正弦公式和同角三角函数的基本关系式，从而得出的值.
17．（2025高一下·成都月考）某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
　 　 　
（1）请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；
（2）若在上有两根，求的取值范围.
（3）若在上有两根，求
【答案】（1）解：补充表格：
由函数的最大值为最小值为可知
又因为，故，
再根据五点作图法，可得，得
故
（2）解：令，则，
所以=有两个根，转化为在上有两个根，
即在上有两个根，
由在的图象和性质可得：，
所以，
故实数的取值范围为.
（3）解：函数的对称轴为，
即，
因为在上有两根，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以关于对称，
则，即，
所以，
因为，
则，其中，
则，
根据诱导公式，
又因为，
再根据两角差的正弦公式，可得：
，
所以
，
因为，且，所以，
则.
代入，
可得： ，
则.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；五点法画三角函数的图象；含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）根据表格数据可得A的值和正弦型函数的最小正周期，从而可得的值，再代入可得的值.
（2）令，将问题转化为在上有两个根，再根据正弦函数的图象和性质得出实数m的取值范围.
（3）要根据正弦型函数的对称性和单调性求出的值，从而得到与的关系式，再结合三角恒等变换和诱导公式，从而求出的值.
（1）补充表格：
由最大值为最小值为可知
又，故
再根据五点作图法，可得，得
故
（2）令，则
所以=有两个根，转化为在上有两个根.
即在上有两个根.
由在的图像和性质可得：，
所以
故实数的取值范围为
（3）函数的对称轴为，即.
因为在上有两根，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以关于对称，则，即，所以.
已知，则，其中，
则
根据诱导公式.
又因为，再根据两角差的正弦公式，可得：
所以
因为，且，所以，
则.
代入可得：
，
则.
18．（2025高一下·成都月考）已知函数.
（1）求函数的对称中心；
（2）求函数的单调减区间；
（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：
令，解得，
故的对称中心为.
（2）解：令，
得，
所以函数的单调递减区间为.
（3）解：因为，
所以，
所以，
即当时，，，
因为对恒成立，
所以，
则.
【知识点】函数恒成立问题；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换可将化简为，再整体代换结合正弦函数的对称性，从而得出函数的对称中心.
（2）利用换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数单调递减区间.
（3）由题意可得，再利用三角型函数的图象和性质可得函数在区间上的值域，再根据不等式恒成立问题求解方法得出实数m的取值范围.
（1），
令，解得，故的对称中心为 .
（2）令，
得.
所以函数的严格减区间为.
（3）因为，所以，
所以，
即当时，，.
因为对恒成立，
所以，
即.
19．（2025高一下·成都月考）已知函数（，）的图象两邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移单位，再向上平移1个单位，所得函数为奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数的图象在区间（且）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.
【答案】（1）解：由，得，
则，
则为奇函数，
所以，
又因为，则，
故.
（2）解：由于，则，，
故，
因为恒成立，
即，
整理可得，
令，
设，且，
则，
因为，则，
即在上单调递增，
故，
故，
则m取值范围是.
（3）解：由题意知，
由得，
故或，
求得或，
故函数的零点为或，
∴相邻两个零点之间的距离为或，
若最小，则a和b都是零点，此时在区间
分别恰有个零点，
所以在区间是恰有29个零点，
则在区间上至少有一个零点，
∴，
另一方面，在区间上恰有30个零点，
因此的最小值为.
【知识点】函数恒成立问题；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数零点存在定理；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据题意得出的值，再根据三角型函数的图象平移和正弦型函数的奇偶性，从而得出的值，进而得出函数的解析式.
（2）根据结合正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出正弦型函数的取值范围，再将不等式恒成立问题转化为函数最值问题求解，从而得出实数m的取值范围.
（3）令得出函数零点的表达式，根据题意判断相邻两个零点之间的距离为或，再根据区间内零点个数得出的最小值.
（1）由，得，则，
则为奇函数，所以，又，则，
故.
（2）由于，则，，
故，
而恒成立，即，
整理可得，令，
设，设且，
则，
由于，则，
即在上递增，故，
故，即m取值范围是.
（3）由题意知，
由得，
故或，
求得或，
故函数的零点为或，
∴相邻两个零点之间的距离为或，
若最小，则a和b都是零点，此时在区间分别恰有个零点，
所以在区间是恰有29个零点，从而在区间上至少有一个零点，
∴，
另一方面，在区间上恰有30个零点，
因此的最小值为.
1 / 1四川省成都市成都外国语学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 符合题目要求.
1．（2025高一下·成都月考）（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·成都月考）已知角的终边经过点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·成都月考）下列函数是周期为的偶函数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·成都月考）在中，，，则（　　）
A． B． C．2 D．
5．（2025高一下·成都月考）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一下·成都月考）已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·成都月考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·成都月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·成都月考）给出下列命题，其中叙述正确的命题为（　　）
A．向量的长度与向量的长度相等
B．向量与平行，则与的方向相同
C．
D．若向量与不共线，则与都是非零向量
10．（2025高一下·成都月考）得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（　　）
A．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
11．（2025高一下·成都月考）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．函数的最小正周期为2
B．
C．函数的图象关于直线对称
D．若方程在上有两个不等实数根，则．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·成都月考）　 　
13．（2025高一下·成都月考）已知向量满足，，则的取值范围是　 　
14．（2025高一下·成都月考）已知函数，在区间上无零点，则的取值范围为　 　
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·成都月考）已知函数．
（1）求的值；
（2）求的最大值、最小值．
16．（2025高一下·成都月考）（1）已知都是锐角，且，，求的值.
（2）已知， ，求的值.
17．（2025高一下·成都月考）某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
　 　 　
（1）请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；
（2）若在上有两根，求的取值范围.
（3）若在上有两根，求
18．（2025高一下·成都月考）已知函数.
（1）求函数的对称中心；
（2）求函数的单调减区间；
（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
19．（2025高一下·成都月考）已知函数（，）的图象两邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移单位，再向上平移1个单位，所得函数为奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数的图象在区间（且）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则；相反向量
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】利用向量加法的三角形法则和相反向量的定义，从而化简求出向量.
2．【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由角的终边经过点，
利用三角函数的定义求出，
所以.
故答案为：A.
【分析】先根据角的终边和余弦函数的定义，从而求出的值，再利用诱导公式得出的值.
3．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：对于函数，
根据诱导公式，可知是奇函数，不满足偶函数的条件，
同时，的周期，不满足周期为的条件，所以错误.；
对于函数，
因为，
所以是偶函数.
又因为，
所以的周期是，满足题目要求，所以正确；
对于函数，根据诱导公式，
可知是奇函数，不满足偶函数的条件，
同时，的周期，但由于不满足偶函数条件，所以错误；
对于函数，根据诱导公式，可知是偶函数，
但的周期，不满足周期为的条件，所以错误.
故答案为：B.
【分析】根据函数的奇偶性和周期性的定义，从而逐项判断找出周期为的偶函数.
4．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：在中，
由，得，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和同角三角函数基本关系式、诱导公式和两角和的正切公式，从而得出角C的正切值.
5．【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可得，再根据完全平方差公式得出，进而得出的值.
6．【答案】D
【知识点】正弦函数的图象；正切函数的图象与性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，可得，
在同一坐标系内，作函数，图象，如图所示：
，
，
，
由零点存在定理及图象可知，函数在上无零点，在上有零点.
故答案为：D.
【分析】令，可得，在同一坐标系中作函数，图象， 根据函数图象及零点存在定理判断即可.
7．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由，
得
.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件结合诱导公式和二倍角的余弦公式，从而得出的值.
8．【答案】A
【知识点】三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【解答】解：依题意，设关于的函数解析式为，
由转盘半径为，得，
由最低点距离地面高度为，得，解得，
由转一周大约需要，得，解得，
当时，，即，
又因为，解得，
因此或，故A正确；B、C、D错误.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件设出函数解析式，再由转盘半径、最低点距离地面高度、转一周大约需要和五点对应法以及，从而得出关于的函数解析式.
9．【答案】A,C,D
【知识点】命题的真假判断与应用；向量的模；零向量；共线（平行）向量
【解析】【解答】解：因为向量与向量是大小相等，方向相反的向量，向量的长度即向量的模，
根据向量模的定义，与都表示这两个向量的长度，所以，故正确；
当向量与平行时，存在两种情况：与的方向相同；与的方向相反，
所以不能仅仅说与平行时，它们的方向就一定相同，故错误；
根据向量模长的三角不等式：对于任意两个向量和，都有.
当，反向时，等号成立；当，不反向时，，
所以成立，故C正确；
假设与中有一个是零向量，不妨设，
因为零向量与任意向量都共线，那么与就共线了，这与已知条件“向量与不共线”矛盾，
所以若向量与不共线，则与都是非零向量，故正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据向量的基本性质、向量的长度、向量平行、模长关系以及向量共线的相关知识，从而逐项判断找出真命题的选项.
10．【答案】A,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：先平移后伸缩：函数的图象向左平移个单位长度，得，
再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，故A正确；
先伸缩后平移：函数图象将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，
再向左平移个单位长度，得，即，故D正确.
故答案为：AD．
【分析】根据三角函数图象的伸缩、平移变换求解即可．
11．【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由函数图象可知，表示振幅，所以，
函数的图象过点和，这两点间的距离是个周期，
即，那么，故A错误；
根据正弦型函数的周期公式（），可得，
所以，
把点代入中，得到，即，
因为，所以，，解得，故B正确；
由选项A和选项B可得：，
令，解得，
当时，，所以函数的图象关于直线对称，故C正确；
因为函数的图象在上，其对称轴为，即，
若方程在上有两个不等实数根，
根据正弦函数图象的对称性可知，
所以，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】先通过正弦型函数的图象的最高点的纵坐标确定的值，再根据正弦型函数的图象上两点的横坐标求出正弦型函数的最小正周期，从而得到的值，再将特殊点代入函数求出的值，最后根据正弦型函数的对称轴和方程根的对称性，从而逐项判断找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和两角和的正弦公式，从而化简求值.
13．【答案】[6，10]
【知识点】向量的模；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：根据向量模长不等式，
已知，，则，
当且仅当与同向时，等号成立；
根据向量模长不等式，可得，
当且仅当与反向时，等号成立，
综上所述，的取值范围是
故答案为：
【分析】根据向量的模长不等式和向量共线的情况，从而得出的取值范围.
14．【答案】
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，
根据正弦函数的性质可知，，
解关于的方程可得，，
因为函数在区间上无零点，
所以不存在整数使得成立，
即存在整数使得，
对于，
解第一个不等式可得，
因为，所以，即；
解第二个不等式可得，
因为，所以，即.
所以，
因为，所以，
由不等式的传递性得，
所以或，
当时，，
又因为，所以；
当时，，
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
【分析】先求出函数的零点表达式，再结合函数在区间上无零点这一条件，从而列出关于的不等式组，进而求出的取值范围.
15．【答案】（1）解：依题意，得.
（2）解：因为函数，
当，即时，；
当，即时，，
所以函数的最大值、最小值分别为.
【知识点】函数的值；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用函数的解析式和代入法，从而求出函数值.
（2）利用辅助角公式化简函数，再利用正弦型函数求最值的方法，从而得出函数的最大值、最小值．
（1）依题意，.
（2）函数，
当，即时，，
当，即时，.
所以函数的最大值、最小值分别为.
16．【答案】解：（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，且，
所以，且，
所以.
（2）由，，
可得，解得，
所以，即.
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和锐角的取值范围、两角和的正切公式以及二倍角的正切公式，从而得出的值.
（2）利用两角和与差的正弦公式和同角三角函数的基本关系式，从而得出的值.
17．【答案】（1）解：补充表格：
由函数的最大值为最小值为可知
又因为，故，
再根据五点作图法，可得，得
故
（2）解：令，则，
所以=有两个根，转化为在上有两个根，
即在上有两个根，
由在的图象和性质可得：，
所以，
故实数的取值范围为.
（3）解：函数的对称轴为，
即，
因为在上有两根，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以关于对称，
则，即，
所以，
因为，
则，其中，
则，
根据诱导公式，
又因为，
再根据两角差的正弦公式，可得：
，
所以
，
因为，且，所以，
则.
代入，
可得： ，
则.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；五点法画三角函数的图象；含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）根据表格数据可得A的值和正弦型函数的最小正周期，从而可得的值，再代入可得的值.
（2）令，将问题转化为在上有两个根，再根据正弦函数的图象和性质得出实数m的取值范围.
（3）要根据正弦型函数的对称性和单调性求出的值，从而得到与的关系式，再结合三角恒等变换和诱导公式，从而求出的值.
（1）补充表格：
由最大值为最小值为可知
又，故
再根据五点作图法，可得，得
故
（2）令，则
所以=有两个根，转化为在上有两个根.
即在上有两个根.
由在的图像和性质可得：，
所以
故实数的取值范围为
（3）函数的对称轴为，即.
因为在上有两根，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以关于对称，则，即，所以.
已知，则，其中，
则
根据诱导公式.
又因为，再根据两角差的正弦公式，可得：
所以
因为，且，所以，
则.
代入可得：
，
则.
18．【答案】（1）解：
令，解得，
故的对称中心为.
（2）解：令，
得，
所以函数的单调递减区间为.
（3）解：因为，
所以，
所以，
即当时，，，
因为对恒成立，
所以，
则.
【知识点】函数恒成立问题；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换可将化简为，再整体代换结合正弦函数的对称性，从而得出函数的对称中心.
（2）利用换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数单调递减区间.
（3）由题意可得，再利用三角型函数的图象和性质可得函数在区间上的值域，再根据不等式恒成立问题求解方法得出实数m的取值范围.
（1），
令，解得，故的对称中心为 .
（2）令，
得.
所以函数的严格减区间为.
（3）因为，所以，
所以，
即当时，，.
因为对恒成立，
所以，
即.
19．【答案】（1）解：由，得，
则，
则为奇函数，
所以，
又因为，则，
故.
（2）解：由于，则，，
故，
因为恒成立，
即，
整理可得，
令，
设，且，
则，
因为，则，
即在上单调递增，
故，
故，
则m取值范围是.
（3）解：由题意知，
由得，
故或，
求得或，
故函数的零点为或，
∴相邻两个零点之间的距离为或，
若最小，则a和b都是零点，此时在区间
分别恰有个零点，
所以在区间是恰有29个零点，
则在区间上至少有一个零点，
∴，
另一方面，在区间上恰有30个零点，
因此的最小值为.
【知识点】函数恒成立问题；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数零点存在定理；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据题意得出的值，再根据三角型函数的图象平移和正弦型函数的奇偶性，从而得出的值，进而得出函数的解析式.
（2）根据结合正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出正弦型函数的取值范围，再将不等式恒成立问题转化为函数最值问题求解，从而得出实数m的取值范围.
（3）令得出函数零点的表达式，根据题意判断相邻两个零点之间的距离为或，再根据区间内零点个数得出的最小值.
（1）由，得，则，
则为奇函数，所以，又，则，
故.
（2）由于，则，，
故，
而恒成立，即，
整理可得，令，
设，设且，
则，
由于，则，
即在上递增，故，
故，即m取值范围是.
（3）由题意知，
由得，
故或，
求得或，
故函数的零点为或，
∴相邻两个零点之间的距离为或，
若最小，则a和b都是零点，此时在区间分别恰有个零点，
所以在区间是恰有29个零点，从而在区间上至少有一个零点，
∴，
另一方面，在区间上恰有30个零点，
因此的最小值为.
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