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广西柳州市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高一下·柳州月考）已知复数是虚数单位则（　　）
A．复平面内z对应的点在第二象限 B．
C．z的虚部是2 D．
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：对应的点为，在第四象限，故A错误；
，故B正确；
z的虚部是，故CD错误.
故答案为：B.
【分析】判断关于复数 的各个选项是否正确，依据复数的以下知识来分析：1. 复数与复平面内点的对应关系：复数 （ 为实部， 为虚部 ）在复平面内对应的点为 ，根据横、纵坐标的正负可确定点所在象限.共轭复数的定义：对于复数 ，其共轭复数 ，用此定义可求给定复数的共轭复数.复数虚部的概念：复数 的虚部是 （注意不是 ），据此确定虚部的值.复数模长的计算公式：复数 的模长 ，代入实部和虚部的值可计算模长，依次对每个选项进行判断.
2．（2025高一下·柳州月考）已知角的终边经过点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：角的终边经过点，
则.
故答案为：D.
【分析】根据任意角的三角函数定义求解即可.
3．（2025高一下·柳州月考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解： 易知，
所以
.
故答案为：B.
【分析】通过角度变形，将所求角转化为已知角的二倍角形式，再利用二倍角余弦公式计算.
4．（2025高一下·柳州月考）某人在A处向正东方向走后到达B处，他沿南偏西方向走到达C处，结果他离出发点恰好，那么的值为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．
【答案】B
【知识点】解三角形；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：
，，，，
在中，由余弦定理，可得，
即，即，解得或.
故答案为：B.
【分析】在中，利用余弦定理求解即可.
5．（2025高一下·柳州月考）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】余弦定理得 代入原式得
解得
则形状为等腰或直角三角形，
故答案为：D.
【分析】根据余弦定理的变形，得到 ，即可确定三角形的形状.
6．（2025高一下·柳州月考）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：指数函数单调递增，，，即，
对数函数为减函数，，则.
故答案为：C.
【分析】根据指数函数，对数函数的单调性，结合中间值比较大小即可.
7．（2025高一下·柳州月考）已知函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图可知：，，即，
再根据五点法作图，可得，即，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】由图易知，根据图象过点求周期，利用周期公式求值，最后根据五点法作图求出即可．
8．（2025高一下·柳州月考）如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由点为中点得：，因为，所以，
因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】由点为中点，可得，再由，得，利用平面向量的线性运算化简求解即可.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高一下·柳州月考）得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（　　）
A．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
【答案】A,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：先平移后伸缩：函数的图象向左平移个单位长度，得，
再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，故A正确；
先伸缩后平移：函数图象将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，
再向左平移个单位长度，得，即，故D正确.
故答案为：AD．
【分析】根据三角函数图象的伸缩、平移变换求解即可．
10．（2025高一下·柳州月考）下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．两个非零向量和，若，则与垂直
C．若，则与垂直的单位向量的坐标为或
D．已知，若在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则
【答案】B,C
【知识点】平面向量的共线定理；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，取，则，则不一定共线，故A错；
对于B，两个非零向量和，若，
则，整理可得，故与垂直，故B对；
对于C，设与垂直的单位向量为，
由题意可得，
解得或，
所以，与垂直的单位向量的坐标或，故C对；
对于D，因为向量，
则在上的投影向量为，
所以，，解得，故D错．
故答案为：BC.
【分析】取结合向量共线定理，则可判断选项A；利用平面向量数量积的运算性质，则可判断选项B；将两向量垂直转化为两向量的数量积为零，再结合单位向量的定义得出向量的坐标，则判断选项C；利用数量积求投影向量的公式，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2025高一下·柳州月考）的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，若，则（　　）
A． B．
C．角A的最大值为 D．面积的最大值为
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；平面向量的数量积运算；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、由余弦定理，可得，故B正确；
C、由A知，，，则，故C正确；
D、，，当时，面积的最大值为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据向量数量积求解即可判断A；根据余弦定理，结合A选项求解即可判断B；由A选项得结论，结合基本不等式求解即可判断C；由A选项得结论，结合三角形的面积公式求解即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分．
12．（2025高一下·柳州月考）若扇形的弧长为，半径为2，则该扇形的面积是　 　.
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：该扇形的面积为.
故答案为：.
【分析】直接根据扇形面积公式求解即可.
13．（2025高一下·柳州月考）记的内角的对边分别为，若，则的面积为　 　.
【答案】
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由余弦定理得，解得，
所以.
故答案为：.
【分析】先利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式即可求解.
14．（2025高一下·柳州月考）若函数上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数在的值域为，
函数在上有两个不同的零点，即函数与直线有两个交点，则，即实数a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用辅助角公式化简函数，并求函数在的值域，问题转化为函数与直线有两个交点，据此求实数a的取值范围即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高一下·柳州月考）已知，，是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求坐标；
（2）若为单位向量，且，求与的夹角.
【答案】（1）解：设，由题意可得，解得或，
则或者；
（2）解：易知，
由，得，
即，即，所以，
则，因为，所以.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）设，根据向量的模以及向量平行列关于的方程组，求解即可；
（2）根据向量模的坐标表示先计算，再由，结合向量的数量积运算求出，最后利用向量的夹角公式求解与的夹角即可.
（1）设，由已知可得，
解得或，
所以或者.
（2）由已知，.
由得，
即，即，所以，
所以.
因为，，故.
16．（2025高一下·柳州月考）已知函数.
（1）求的最小正周期和的单调递减区间；
（2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.
【答案】解：（1），
则函数的最小正周期为；
，解得；
则函数的单调递减区间为；
（2）当时，，
当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）利用余弦的二倍角公式、结合辅助角公式化简可得函数，再利用最小正周期公式求函数的最小正周期；令，求函数的单调递减区间；
（2）由，可得的取值范围，再利用正弦函数的性质求函数的最小值以及对应的的值.
17．（2025高一下·柳州月考）记的内角所对的边分别为已知向量，，且.
（1）求角；
（2）若为的中点，，，求的面积.
【答案】（1）解：由题意知，则，
由正弦定理可知，即，
因为，所以，所以，即，又因为，所以；
（2）解：因为为的中点，所以，
所以，所以，所以，①
由余弦定理可知，所以，②
由①②得，
则.
【知识点】平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示求得，再利用正弦公式，结合两角差的余弦公式化简求角B即可；
（2）由为的中点，可得，平方后可得，再由余弦定理可得，联立求得，代入三角形的面积公式求解即可.
（1）由题意知，
所以，
由正弦定理可知，
即，
因为，所以，
所以，即得，
因为，所以.
（2）因为为的中点，
所以，
所以，所以，
所以，①
由余弦定理可知，
所以，②
由①②得，
所以.
【点睛】
18．（2025高一下·柳州月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）证明：；
（2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
【答案】（1）证明：，由正弦定理可得，整理可得，
又，所以，
所以，所以，
因，所以，即；
（2）解：由正弦定理，可得，
因为，所以，
因为，所以，
为锐角三角形，则，即，即，
因为，由余弦定理，两式联立得，
又因为，代入上式，得到，则，且，
所以，即，
故周长的取值范围为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和、差的正弦公式化简证明即可；
（2）利用正弦定理求得，根据为锐角三角形求得，再利用余弦定理求得，即可求得的周长得取值范围.
（1）由正弦定理，，所以．
又，所以，
所以，所以，
因，所以，即.
（2）因为，所以，
因为，所以．
因为，所以，
∵为锐角三角形，∴，∴，∴
因为，由余弦定理，两式联立得，
又因为，代入上式，得到，则，且，
所以，即．
所以周长的取值范围为．
19．（2025高一下·柳州月考）设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数
（1）若，求的“准不动点”：
（2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围：
（3）设函数若使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，由，可得，令，则，解得或，
即或，解得或，
则的“准不动点”为0或1；
（2）解：由，可得，
即在上有解，
令，由，可得，则在上有解，
则，当时，在上单调递增，，
则，解得，
故的取值范围；
（3）解：由得，，
即，则，
又由指数函数的性质可知在上单调递增，，
则，即，
令，则，从而，则，
又在上均为增函数，则，，
则，即，故实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）当时，函数，由题意可得，令，利用换元法求解即可；
（2）由题意可得在上有解，分离参数问题转化为在上有解，结合对勾函数的单调性，求的取值范围，即可得实数a的取值范围；
（3）由题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，令，换元可得，分离参数，结合函数的单调性求解即可.
（1）当时，由可得，，
令，则，解得或，
即或，解得或，
的“准不动点”为0或1；
（2）由得，，
即在上有解，
令，由可得，则在上有解，
故，当时，在上单调递增，，则，解得，
的取值范围；
（3）由得，，
即，则，
又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则，
即，
令，则，从而，则，
又在上均为增函数，则，，
，即，所以实数的取值范围为.
1 / 1广西柳州市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高一下·柳州月考）已知复数是虚数单位则（　　）
A．复平面内z对应的点在第二象限 B．
C．z的虚部是2 D．
2．（2025高一下·柳州月考）已知角的终边经过点，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·柳州月考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·柳州月考）某人在A处向正东方向走后到达B处，他沿南偏西方向走到达C处，结果他离出发点恰好，那么的值为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．
5．（2025高一下·柳州月考）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
6．（2025高一下·柳州月考）若，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·柳州月考）已知函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·柳州月考）如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高一下·柳州月考）得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（　　）
A．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
10．（2025高一下·柳州月考）下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．两个非零向量和，若，则与垂直
C．若，则与垂直的单位向量的坐标为或
D．已知，若在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则
11．（2025高一下·柳州月考）的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，若，则（　　）
A． B．
C．角A的最大值为 D．面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分．
12．（2025高一下·柳州月考）若扇形的弧长为，半径为2，则该扇形的面积是　 　.
13．（2025高一下·柳州月考）记的内角的对边分别为，若，则的面积为　 　.
14．（2025高一下·柳州月考）若函数上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高一下·柳州月考）已知，，是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求坐标；
（2）若为单位向量，且，求与的夹角.
16．（2025高一下·柳州月考）已知函数.
（1）求的最小正周期和的单调递减区间；
（2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.
17．（2025高一下·柳州月考）记的内角所对的边分别为已知向量，，且.
（1）求角；
（2）若为的中点，，，求的面积.
18．（2025高一下·柳州月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）证明：；
（2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
19．（2025高一下·柳州月考）设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数
（1）若，求的“准不动点”：
（2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围：
（3）设函数若使得成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：对应的点为，在第四象限，故A错误；
，故B正确；
z的虚部是，故CD错误.
故答案为：B.
【分析】判断关于复数 的各个选项是否正确，依据复数的以下知识来分析：1. 复数与复平面内点的对应关系：复数 （ 为实部， 为虚部 ）在复平面内对应的点为 ，根据横、纵坐标的正负可确定点所在象限.共轭复数的定义：对于复数 ，其共轭复数 ，用此定义可求给定复数的共轭复数.复数虚部的概念：复数 的虚部是 （注意不是 ），据此确定虚部的值.复数模长的计算公式：复数 的模长 ，代入实部和虚部的值可计算模长，依次对每个选项进行判断.
2．【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：角的终边经过点，
则.
故答案为：D.
【分析】根据任意角的三角函数定义求解即可.
3．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解： 易知，
所以
.
故答案为：B.
【分析】通过角度变形，将所求角转化为已知角的二倍角形式，再利用二倍角余弦公式计算.
4．【答案】B
【知识点】解三角形；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：
，，，，
在中，由余弦定理，可得，
即，即，解得或.
故答案为：B.
【分析】在中，利用余弦定理求解即可.
5．【答案】D
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】余弦定理得 代入原式得
解得
则形状为等腰或直角三角形，
故答案为：D.
【分析】根据余弦定理的变形，得到 ，即可确定三角形的形状.
6．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：指数函数单调递增，，，即，
对数函数为减函数，，则.
故答案为：C.
【分析】根据指数函数，对数函数的单调性，结合中间值比较大小即可.
7．【答案】C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图可知：，，即，
再根据五点法作图，可得，即，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】由图易知，根据图象过点求周期，利用周期公式求值，最后根据五点法作图求出即可．
8．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由点为中点得：，因为，所以，
因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】由点为中点，可得，再由，得，利用平面向量的线性运算化简求解即可.
9．【答案】A,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：先平移后伸缩：函数的图象向左平移个单位长度，得，
再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，故A正确；
先伸缩后平移：函数图象将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，
再向左平移个单位长度，得，即，故D正确.
故答案为：AD．
【分析】根据三角函数图象的伸缩、平移变换求解即可．
10．【答案】B,C
【知识点】平面向量的共线定理；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，取，则，则不一定共线，故A错；
对于B，两个非零向量和，若，
则，整理可得，故与垂直，故B对；
对于C，设与垂直的单位向量为，
由题意可得，
解得或，
所以，与垂直的单位向量的坐标或，故C对；
对于D，因为向量，
则在上的投影向量为，
所以，，解得，故D错．
故答案为：BC.
【分析】取结合向量共线定理，则可判断选项A；利用平面向量数量积的运算性质，则可判断选项B；将两向量垂直转化为两向量的数量积为零，再结合单位向量的定义得出向量的坐标，则判断选项C；利用数量积求投影向量的公式，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式；平面向量的数量积运算；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、由余弦定理，可得，故B正确；
C、由A知，，，则，故C正确；
D、，，当时，面积的最大值为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据向量数量积求解即可判断A；根据余弦定理，结合A选项求解即可判断B；由A选项得结论，结合基本不等式求解即可判断C；由A选项得结论，结合三角形的面积公式求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：该扇形的面积为.
故答案为：.
【分析】直接根据扇形面积公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由余弦定理得，解得，
所以.
故答案为：.
【分析】先利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式即可求解.
14．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数在的值域为，
函数在上有两个不同的零点，即函数与直线有两个交点，则，即实数a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用辅助角公式化简函数，并求函数在的值域，问题转化为函数与直线有两个交点，据此求实数a的取值范围即可.
15．【答案】（1）解：设，由题意可得，解得或，
则或者；
（2）解：易知，
由，得，
即，即，所以，
则，因为，所以.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）设，根据向量的模以及向量平行列关于的方程组，求解即可；
（2）根据向量模的坐标表示先计算，再由，结合向量的数量积运算求出，最后利用向量的夹角公式求解与的夹角即可.
（1）设，由已知可得，
解得或，
所以或者.
（2）由已知，.
由得，
即，即，所以，
所以.
因为，，故.
16．【答案】解：（1），
则函数的最小正周期为；
，解得；
则函数的单调递减区间为；
（2）当时，，
当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）利用余弦的二倍角公式、结合辅助角公式化简可得函数，再利用最小正周期公式求函数的最小正周期；令，求函数的单调递减区间；
（2）由，可得的取值范围，再利用正弦函数的性质求函数的最小值以及对应的的值.
17．【答案】（1）解：由题意知，则，
由正弦定理可知，即，
因为，所以，所以，即，又因为，所以；
（2）解：因为为的中点，所以，
所以，所以，所以，①
由余弦定理可知，所以，②
由①②得，
则.
【知识点】平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示求得，再利用正弦公式，结合两角差的余弦公式化简求角B即可；
（2）由为的中点，可得，平方后可得，再由余弦定理可得，联立求得，代入三角形的面积公式求解即可.
（1）由题意知，
所以，
由正弦定理可知，
即，
因为，所以，
所以，即得，
因为，所以.
（2）因为为的中点，
所以，
所以，所以，
所以，①
由余弦定理可知，
所以，②
由①②得，
所以.
【点睛】
18．【答案】（1）证明：，由正弦定理可得，整理可得，
又，所以，
所以，所以，
因，所以，即；
（2）解：由正弦定理，可得，
因为，所以，
因为，所以，
为锐角三角形，则，即，即，
因为，由余弦定理，两式联立得，
又因为，代入上式，得到，则，且，
所以，即，
故周长的取值范围为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和、差的正弦公式化简证明即可；
（2）利用正弦定理求得，根据为锐角三角形求得，再利用余弦定理求得，即可求得的周长得取值范围.
（1）由正弦定理，，所以．
又，所以，
所以，所以，
因，所以，即.
（2）因为，所以，
因为，所以．
因为，所以，
∵为锐角三角形，∴，∴，∴
因为，由余弦定理，两式联立得，
又因为，代入上式，得到，则，且，
所以，即．
所以周长的取值范围为．
19．【答案】（1）解：当时，由，可得，令，则，解得或，
即或，解得或，
则的“准不动点”为0或1；
（2）解：由，可得，
即在上有解，
令，由，可得，则在上有解，
则，当时，在上单调递增，，
则，解得，
故的取值范围；
（3）解：由得，，
即，则，
又由指数函数的性质可知在上单调递增，，
则，即，
令，则，从而，则，
又在上均为增函数，则，，
则，即，故实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）当时，函数，由题意可得，令，利用换元法求解即可；
（2）由题意可得在上有解，分离参数问题转化为在上有解，结合对勾函数的单调性，求的取值范围，即可得实数a的取值范围；
（3）由题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，令，换元可得，分离参数，结合函数的单调性求解即可.
（1）当时，由可得，，
令，则，解得或，
即或，解得或，
的“准不动点”为0或1；
（2）由得，，
即在上有解，
令，由可得，则在上有解，
故，当时，在上单调递增，，则，解得，
的取值范围；
（3）由得，，
即，则，
又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则，
即，
令，则，从而，则，
又在上均为增函数，则，，
，即，所以实数的取值范围为.
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