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广西壮族自治区柳州市第三中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·柳州月考）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·柳州月考）“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025高一下·柳州月考）在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025高一下·柳州月考）若向量，则（　　）
A．30 B．31 C．32 D．33
5．（2025高一下·柳州月考）在中，内角所对各边分别为，且，则角（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一下·柳州月考）设函数是上的减函数，若，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·柳州月考）函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025高一下·柳州月考）已知是上的单调函数，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分.
9．（2025高一下·柳州月考）若向量，则（　　）
A． B．
C．在上的投影向量为 D．与的夹角为
10．（2025高一下·柳州月考）下列函数中既是奇函数，又在上为减函数的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025高一下·柳州月考）已知函数是定义在上的偶函数，当时，则（　　）
A．的最大值为1 B．在区间上单调递增
C．的解集为 D．当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·柳州月考）已知扇形的面积为，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为　 　.
13．（2025高一下·柳州月考）若，，且，则与的夹角为　 　；
14．（2025高一下·柳州月考）函数的最大值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共67分.
15．（2025高一下·柳州月考）在中，内角，，的对边为，，，满足，，.
（1）求的面积；
（2）求边的长.
16．（2025高一下·柳州月考）已知非零向量，不共线．
（1）如果，，，求证：，，三点共线；
（2）欲使和共线，试确定实数的值．
17．（2025高一下·柳州月考）某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低（）个百分点，预测收购量可增加个百分点.
（1）写出税收（万元）与的函数关系式；
（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的，试确定的取值范围
18．（2025高一下·柳州月考）已知函数
（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）求的单调递减区间
（3）求在的最值．
19．（2025高一下·柳州月考）若定义域为的函数满足对任意的和，都有，我们就称这个函数是“优美的”．
（1）若函数是优美的，求；
（2）写出一个优美的函数，使得，并说明为什么是优美的；
（3）对于任意优美的函数，证明：对任意的有理数，都有．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得或，即集合或，
集合，则.
故答案为：B.
【分析】解一元二次不等式求得结合A，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：由，可得或，
所以，反之不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，
故答案为：A．
【分析】先解出方程的根，判断必要条件；再将代入方程可判断充分条件；
3．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为是BC的中点，，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】由是BC的中点，可得，利用比例关系可得，再根据向量的线性运算法则求解即可.
4．【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，易知，
则.
故答案为：C.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量数量积的坐标运算求解即可.
5．【答案】A
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
由余弦定理得，
所以，解得，
在中，，
则.
故答案为：A．
【分析】利用余弦定理结合已知条件得到的值，再利用三角形中角的取值范围得出角A的值.
6．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：，即，因为函数在上单调递减，所以，故C正确，D错误；
取，则，故A错误；
取，则，故B错误.
故答案为：C.
【分析】利用作差法比较的大小，结合函数的单调性得到即可判断CD；利用特殊值法求解即可判断AB.
7．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
满足，即函数为偶函数，故排除A；
当时，是减函数，故排除B，C.
故答案为：D.
【分析】先求函数的定义域，利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，结合时单调性，即可得正确答案.
8．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：若函数是上的单调递增函数，则，解得；
若是上的单调递减函数，则，解得，
则的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】利用分段函数的单调性，考虑每段函数的单调性，以及分段点处的函数值大小关系求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，
A、，
则，故A错误；
B、，故B正确；
C、，所以在上的投影向量为：，故C正确；
D、，
因为，所以，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量模长公式求解即可判断A；根据向量数量积的坐标表示求解即可判断B；根据投影向量的公式计算即可判断C；根据向量的夹角公式求解即可判断D.
10．【答案】B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数是奇函数，在上为增函数，故A错误；
B、函数是奇函数，在上为减函数，故B正确；
C、函数定义域为，是非奇非偶函数，在上为增函数，故C错误；
D、函数是奇函数，在上为减函数，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】逐项判断函数的奇偶性和单调性即可得正确答案.
11．【答案】A,C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；不等式的解集
【解析】【解答】解：当时，，，
因为是定义在上的偶函数，所以，
则，故D错误；
画出函数的图象，如图所示：
由图可知，的最大值为1，故A正确；
易知在区间上单调递减，故B错误；
由图可知：的解集为，故C正确.
故答案为：AC.
【分析】由题意，根据函数奇偶性定义求函数的解析式即可判断D；画出函数图象，数形结合求解即可判断ABC.
12．【答案】4
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的弧长为，半径为，
由，可得，解得.
故答案为：4.
【分析】设扇形的弧长为，半径为，根据扇形的面积公式以及弧长公式列式求解即可.
13．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由，可得，即，
则，因为，所以.
故答案为：.
【分析】将展开，结合向量的数量积运算求得，再利用向量的夹角公式求解即可.
14．【答案】5
【知识点】函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：，其中，
因为，所以的最大值为5.
故答案为：5.
【分析】先利用辅助角公式化简，再根据余弦函数的性质求解即可.
15．【答案】（1）解：在中，，，，
则，
即的面积为；
（2）解：在中，，，，
由余弦定理得，
则，即边的长为.
【知识点】解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）直接利用三角形面积公式求解即可；
（2）在中，直接利用余弦定理求解即可.
（1）在中，由已知有，，，
∴，
∴的面积为.
（2）在中，由已知有，，，
由余弦定理得
∴，
∴边的长为.
16．【答案】（1）证明：因为，
所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线.
（2）解：因为与共线，所以存在实数，使，
所以，
又因为向量，不共线，只能有，
解得：
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算可知，用，表示，可知，且有公共点，即可证，，三点共线；
（2）根据向量的共线定理可知，整理可得，进而可知，解方程组即可求出的值.
（1）证明：因为，，
所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线.
（2）因为与共线，所以存在实数，使，
则，又由于向量，不共线，只能有，
解得：
17．【答案】接：（1）降低税率后的税率为，农产品的收购量为万担，收购总金额为万元，
由题意可得；
（2）原计划税收为万元
由题意可得，
化简得，解得，
又因为，所以，
则的取范围是.
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数模型
【解析】【分析】（1）由题意可得征税率降低个百分点后的税率为（10-x）%，农产品的收购量为a（1+2x%）万担，收购总金额 200a（1+2x%），据此求税收y（万元）与x的函数关系式；（2）利用税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，列不等式，求x的取值范围即可．
18．【答案】（1）解：因为，
所以的最小正周期为，令，
所以对称中心为；
（2）解：令，则，因为函数u为增函数，
当时函数为减函数，
即，解得，
则的单调递减区间为；
（3）解：当时，，则当，即时，，
当即时，，
故函数在的最大值为3，最小值为.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系，正、余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简，再利用正弦周期公式及对称中心求解即可；
（2）令，则，根据复合函数的单调性求解即可；
（3）利用整体法，结合正弦函数的性质求解即可.
（1）因为，
所以的最小正周期为，令，
所以对称中心为.
（2）令，则，因为函数u为增函数，
当时函数为减函数，
即，解得，
所以的单调递减区间为.
（3）当时，所以当，即时，，
当即时，，
所以在的最大值为3，最小值为.
19．【答案】（1）解：函数是“优美的”，对任意的和，都有，
令，则，即，即，所以；
（2）解：设，此时，满足，
下面证明是“优美的”：
对于任意的和，，而，
所以，故是“优美的”；
（3）证明：对任意有理数，都有，
有理数包括整数和分数，分类讨论，
当为0时，显然，
当为正整数时：设（为正整数），由可得：
，
同理，以此类推可得，
当为负整数时：设（为正整数），因为，由前面已证得，
所以，则，即，
当为分数时：设（为整数，），因为，
又由前面已证得当为整数时，所以，则，即，
综上，对任意的有理数，都有.
【知识点】函数的表示方法
【解析】【分析】（1）由题意，利用赋值法求即可；
（2）设，满足的函数，再根据“优美的”函数定义证明函数是“优美的”；
（3）需要分情况讨论有理数为正整数、负整数、分数时，证明成立.
（1）已知函数是“优美的”，即对任意的和，都有.
令，则，即.
即，所以.
（2）设，此时，满足.
下面证明是“优美的”：
对于任意的和，，而.
所以，故是“优美的”.
（3）证明对任意有理数，都有.
有理数包括整数和分数，分类讨论.
当为0时，显然.
当为正整数时：
设（为正整数），由可得：
.
同理，以此类推可得.
当为负整数时：
设（为正整数），因为，由前面已证得，所以，则，即.
当为分数时：
设（为整数，），因为，
又由前面已证得当为整数时，所以，
则，即.
综上，对任意的有理数，都有.
1 / 1广西壮族自治区柳州市第三中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·柳州月考）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得或，即集合或，
集合，则.
故答案为：B.
【分析】解一元二次不等式求得结合A，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2025高一下·柳州月考）“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：由，可得或，
所以，反之不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，
故答案为：A．
【分析】先解出方程的根，判断必要条件；再将代入方程可判断充分条件；
3．（2025高一下·柳州月考）在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为是BC的中点，，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】由是BC的中点，可得，利用比例关系可得，再根据向量的线性运算法则求解即可.
4．（2025高一下·柳州月考）若向量，则（　　）
A．30 B．31 C．32 D．33
【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，易知，
则.
故答案为：C.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量数量积的坐标运算求解即可.
5．（2025高一下·柳州月考）在中，内角所对各边分别为，且，则角（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
由余弦定理得，
所以，解得，
在中，，
则.
故答案为：A．
【分析】利用余弦定理结合已知条件得到的值，再利用三角形中角的取值范围得出角A的值.
6．（2025高一下·柳州月考）设函数是上的减函数，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：，即，因为函数在上单调递减，所以，故C正确，D错误；
取，则，故A错误；
取，则，故B错误.
故答案为：C.
【分析】利用作差法比较的大小，结合函数的单调性得到即可判断CD；利用特殊值法求解即可判断AB.
7．（2025高一下·柳州月考）函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
满足，即函数为偶函数，故排除A；
当时，是减函数，故排除B，C.
故答案为：D.
【分析】先求函数的定义域，利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，结合时单调性，即可得正确答案.
8．（2025高一下·柳州月考）已知是上的单调函数，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：若函数是上的单调递增函数，则，解得；
若是上的单调递减函数，则，解得，
则的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】利用分段函数的单调性，考虑每段函数的单调性，以及分段点处的函数值大小关系求解即可.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分.
9．（2025高一下·柳州月考）若向量，则（　　）
A． B．
C．在上的投影向量为 D．与的夹角为
【答案】B,C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，
A、，
则，故A错误；
B、，故B正确；
C、，所以在上的投影向量为：，故C正确；
D、，
因为，所以，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量模长公式求解即可判断A；根据向量数量积的坐标表示求解即可判断B；根据投影向量的公式计算即可判断C；根据向量的夹角公式求解即可判断D.
10．（2025高一下·柳州月考）下列函数中既是奇函数，又在上为减函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数是奇函数，在上为增函数，故A错误；
B、函数是奇函数，在上为减函数，故B正确；
C、函数定义域为，是非奇非偶函数，在上为增函数，故C错误；
D、函数是奇函数，在上为减函数，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】逐项判断函数的奇偶性和单调性即可得正确答案.
11．（2025高一下·柳州月考）已知函数是定义在上的偶函数，当时，则（　　）
A．的最大值为1 B．在区间上单调递增
C．的解集为 D．当时，
【答案】A,C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；不等式的解集
【解析】【解答】解：当时，，，
因为是定义在上的偶函数，所以，
则，故D错误；
画出函数的图象，如图所示：
由图可知，的最大值为1，故A正确；
易知在区间上单调递减，故B错误；
由图可知：的解集为，故C正确.
故答案为：AC.
【分析】由题意，根据函数奇偶性定义求函数的解析式即可判断D；画出函数图象，数形结合求解即可判断ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·柳州月考）已知扇形的面积为，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为　 　.
【答案】4
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的弧长为，半径为，
由，可得，解得.
故答案为：4.
【分析】设扇形的弧长为，半径为，根据扇形的面积公式以及弧长公式列式求解即可.
13．（2025高一下·柳州月考）若，，且，则与的夹角为　 　；
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由，可得，即，
则，因为，所以.
故答案为：.
【分析】将展开，结合向量的数量积运算求得，再利用向量的夹角公式求解即可.
14．（2025高一下·柳州月考）函数的最大值为　 　.
【答案】5
【知识点】函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：，其中，
因为，所以的最大值为5.
故答案为：5.
【分析】先利用辅助角公式化简，再根据余弦函数的性质求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共67分.
15．（2025高一下·柳州月考）在中，内角，，的对边为，，，满足，，.
（1）求的面积；
（2）求边的长.
【答案】（1）解：在中，，，，
则，
即的面积为；
（2）解：在中，，，，
由余弦定理得，
则，即边的长为.
【知识点】解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）直接利用三角形面积公式求解即可；
（2）在中，直接利用余弦定理求解即可.
（1）在中，由已知有，，，
∴，
∴的面积为.
（2）在中，由已知有，，，
由余弦定理得
∴，
∴边的长为.
16．（2025高一下·柳州月考）已知非零向量，不共线．
（1）如果，，，求证：，，三点共线；
（2）欲使和共线，试确定实数的值．
【答案】（1）证明：因为，
所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线.
（2）解：因为与共线，所以存在实数，使，
所以，
又因为向量，不共线，只能有，
解得：
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算可知，用，表示，可知，且有公共点，即可证，，三点共线；
（2）根据向量的共线定理可知，整理可得，进而可知，解方程组即可求出的值.
（1）证明：因为，，
所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线.
（2）因为与共线，所以存在实数，使，
则，又由于向量，不共线，只能有，
解得：
17．（2025高一下·柳州月考）某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低（）个百分点，预测收购量可增加个百分点.
（1）写出税收（万元）与的函数关系式；
（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的，试确定的取值范围
【答案】接：（1）降低税率后的税率为，农产品的收购量为万担，收购总金额为万元，
由题意可得；
（2）原计划税收为万元
由题意可得，
化简得，解得，
又因为，所以，
则的取范围是.
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数模型
【解析】【分析】（1）由题意可得征税率降低个百分点后的税率为（10-x）%，农产品的收购量为a（1+2x%）万担，收购总金额 200a（1+2x%），据此求税收y（万元）与x的函数关系式；（2）利用税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，列不等式，求x的取值范围即可．
18．（2025高一下·柳州月考）已知函数
（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）求的单调递减区间
（3）求在的最值．
【答案】（1）解：因为，
所以的最小正周期为，令，
所以对称中心为；
（2）解：令，则，因为函数u为增函数，
当时函数为减函数，
即，解得，
则的单调递减区间为；
（3）解：当时，，则当，即时，，
当即时，，
故函数在的最大值为3，最小值为.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系，正、余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简，再利用正弦周期公式及对称中心求解即可；
（2）令，则，根据复合函数的单调性求解即可；
（3）利用整体法，结合正弦函数的性质求解即可.
（1）因为，
所以的最小正周期为，令，
所以对称中心为.
（2）令，则，因为函数u为增函数，
当时函数为减函数，
即，解得，
所以的单调递减区间为.
（3）当时，所以当，即时，，
当即时，，
所以在的最大值为3，最小值为.
19．（2025高一下·柳州月考）若定义域为的函数满足对任意的和，都有，我们就称这个函数是“优美的”．
（1）若函数是优美的，求；
（2）写出一个优美的函数，使得，并说明为什么是优美的；
（3）对于任意优美的函数，证明：对任意的有理数，都有．
【答案】（1）解：函数是“优美的”，对任意的和，都有，
令，则，即，即，所以；
（2）解：设，此时，满足，
下面证明是“优美的”：
对于任意的和，，而，
所以，故是“优美的”；
（3）证明：对任意有理数，都有，
有理数包括整数和分数，分类讨论，
当为0时，显然，
当为正整数时：设（为正整数），由可得：
，
同理，以此类推可得，
当为负整数时：设（为正整数），因为，由前面已证得，
所以，则，即，
当为分数时：设（为整数，），因为，
又由前面已证得当为整数时，所以，则，即，
综上，对任意的有理数，都有.
【知识点】函数的表示方法
【解析】【分析】（1）由题意，利用赋值法求即可；
（2）设，满足的函数，再根据“优美的”函数定义证明函数是“优美的”；
（3）需要分情况讨论有理数为正整数、负整数、分数时，证明成立.
（1）已知函数是“优美的”，即对任意的和，都有.
令，则，即.
即，所以.
（2）设，此时，满足.
下面证明是“优美的”：
对于任意的和，，而.
所以，故是“优美的”.
（3）证明对任意有理数，都有.
有理数包括整数和分数，分类讨论.
当为0时，显然.
当为正整数时：
设（为正整数），由可得：
.
同理，以此类推可得.
当为负整数时：
设（为正整数），因为，由前面已证得，所以，则，即.
当为分数时：
设（为整数，），因为，
又由前面已证得当为整数时，所以，
则，即.
综上，对任意的有理数，都有.
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