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江苏省江都中学、江苏省高邮中学、江苏省仪征中学 2024-2025学年度第二学期高二4月期中联合测试
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．（2025高二下·江都期中）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；极限及其运算
【解析】【解答】解：由，
可得，即，
则曲线在点处的切线的斜率是.
故答案为：A.
【分析】化简，可得，即，结合导数的几何意义求解即可.
2．（2025高二下·江都期中）自然对数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中位数字设置一个位数的密码，则不同的密码有（　　）个
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：六个数的全排列共有个，
因为出现次，出现次，
所以不同的密码有个.
故答案为：C.
【分析】这是带重复元素的排列问题，核心思路是先算 6 个数字的全排列，再除以重复数字的内部排列数，消除重复计数，数字为1，8，2，8，1，8，其中1重复2次，8重复3次，2唯一。
3．（2025高二下·江都期中）在空间向量中，我们给出了定义向量的“外积”运算规则：对于空间向量和，.已知，，平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直
C．直线在平面内 D．相交但不垂直
【答案】D
【知识点】空间向量平行的坐标表示；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：，，则平面的法向量为，
，所以，所以与不垂直，
由，说明与不平行，与既不垂直也不平行，
则直线与平面相交但不垂直.
故答案为：D.
【分析】根据外积的定义先求平面的法向量，再根据向量的数量积求，判断与不垂直，再根据共线的坐标性质判断平面的法向量与直线的方向向量不平行，即可得直线与平面相交但不垂直.
4．（2025高二下·江都期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，，，
所以，解得，所以，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】先根据向量垂直的坐标性质（数量积为0）求出的值，确定的坐标，再利用投影向量公式计算在上的投影向量。
5．（2025高二下·江都期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，所以，
由函数在区间上单调递减，可得在上恒成立，
则要使在上恒成立，只需，
即，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：B
【分析】先对函数求导，将“函数在区间上单调递减”转化为“导数在该区间上恒小于等于 0”，再通过分离参数或代入区间端点建立不等式组，求解t的取值范围。
6．（2025高二下·江都期中）毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻（相邻仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（　　）
A．96 B．84 C．72 D．48
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先直接排序，站法种数为；
当甲、乙两名同学为正前后相邻时，其中必有1人站在老师的左侧或右侧，
另1人站在正后面，站法种数为；
当甲、乙两名同学为左右相邻时，两人必都站在后一排，将甲、乙两名同学看成一个元素，
从其余的3人中选2人站在老师的左右两侧，余下的1人与甲、乙两名同学看成的一个元素进行全排列，
所以站法种数为；
所以不同站法种数为.
故答案为：C.
【分析】采用间接法计数：先算出老师位置固定时所有同学的任意站法，再减去甲、乙相邻（包括正前后相邻和左右相邻）的站法，最终得到甲、乙不相邻的站法数。
7．（2025高二下·江都期中）设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：BD：因为，
又，所以，
所以当时，，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，所以，B错误，
因为，所以，所以，D正确，
AC：因为，
故， 又，
所以，
所以，故，
所以，
当时，，所以函数在上单调递增，
又，所以，所以，故A错误；
因为，所以，
所以，
设，则，
所以当时，，函数在上单调递增，
所以若，则，
取，可得当时，，
所以当，时，，函数在上单调递减，
所以，故C错误；
故答案为：D.
【分析】通过构造辅助函数 ，利用已知求出其导数，判断单调性，再结合单调性比较不同点处函数值的大小，进而验证各选项。
8．（2025高二下·江都期中）设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则，
当时，，所以在上是单调减函数；
当时，，所以在上是单调增函数；
由可得，
由题意可知，存在唯一的整数，使得，
则函数在直线下方的图象中只有一个横坐标为整数的点，
因为
当时，则函数在直线下方的图象中有无数个横坐标为整数的点，不合乎题意；
所以，因为，
当直线过点时，则，解得；
又，直线，所以此时函数与直线相切于点，
当直线过点时，则，且，
结合图象可得，
所以的取值范围是，
故答案为：A
【分析】先对函数求导分析单调性，再将不等式转化为与直线的位置关系，结合“仅存在唯一整数解”的条件，通过代入整数点建立不等式组求解的范围。
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·江都期中）关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若是锐角，则
C．已知，平面的法向量为，则
D．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
【答案】A,B,D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A，根据空间向量共面定理可知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A正确；
B，由是锐角，可得为非零向量，且，故，，所以，B正确；
C， 因为，所以，所以或，故C错误．
D．假设共面，则存在实数，使得，
由向量组是空间的一个基底可知不共面，故不存在实数，使得成立，
所以不共面，即也是空间的一个基底，D正确．
故答案为：ABD.
【分析】A：共线向量定直线，第三个向量与直线共面，两个共线向量可确定一条直线，空间中任意向量与直线必共面，故三个向量共面。
B：点积公式结合角度余弦值符号，由，锐角的值为正，模长恒正，因此点积大于0。
C：向量与法向量垂直≠向量平行于平面，仅说明，可能在平面内，并非必然平行于平面。
D：基底判定核心是向量不共面，利用反证法，假设新向量组共面会推出与原基底不共面的矛盾，故新向量组可作为基底。
10．（2025高二下·江都期中）下列说法正确的是（　　）
A．
B．将9个团员指标分到某年级的3个班，每班要求至少得2个，有15种不同的分配方法
C．某同学把英文单词“apple”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种
D．
【答案】A,C
【知识点】排列、组合的实际应用；排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：A，，故A正确；
B，先给每个班分一个名额，共用去3个名额，还剩6个名额分给3个班级，要求每个班级至少一个名额，利用挡板法，共有种，故B错误；
C，“apple”有 5 个字母，其中“p”重复 2 次，所以总的排列个数为，除去一种正确的情况，所以可能出现的错误共有种，故C正确；
D，，解的，又为正整数，所以或，
当时，；
当时，，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】本题围绕排列数、组合数、隔板法和重复元素排列展开，核心思路是：先利用排列数公式化简验证A；通过隔板法处理名额分配验证B；计算带重复元素的全排列并减去正确顺序得到错误数验证C；根据组合数定义域求出n的可能值，再代入计算验证D。
11．（2025高二下·江都期中）已知函数，直线与函数的图像有3个不同的交点，3个交点的横坐标分别为，则下列说法正确的有（　　）
A．
B．过点作函数的切线，有且只有三条
C．若，则有
D．
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A：，则，
则或；，
故在上单调递增，在单调递减，
，
因为直线与函数的图像有3个不同的交点，所以，故A正确；
B：设切点为，斜率，
则切线方程为，
将点代入得，得或，
则过点作函数的切线有2条，故B错误；
C：
，故C正确；
D：由题意得的三个不同的根为，
，
则，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】A：求导确定函数极值，由图像确定直线 与函数有三个交点时 的取值范围。
B：设切点，列切线方程，代入定点后转化为三次方程根的个数问题，判断切线数量。
C：代入函数表达式，利用 化简，验证 是否为定值。
D：利用多项式因式分解与韦达定理，建立根与系数的关系，推导 。
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·江都期中）若函数，则曲线在点处的切线方程为　 　．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由，得，
则点处的切线的斜率，
故曲线在点处的切线方程为，即．
故答案为：
【分析】 求曲线在指定点的切线方程，核心是先求导得到切线斜率，再结合点斜式写出直线方程。
13．（2025高二下·江都期中）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心．若函数，则　 　．
【答案】
【知识点】导数的四则运算；二阶导数
【解析】【解答】解：因为函数，
则，，
令，解得，且，
由题意可知，的拐点为，
故的对称中心为，
所以，
所以．
又，
所以
故答案为：.
【分析】先通过二阶导数求出三次函数的拐点，确定其对称中心；再利用对称中心的性质，将首尾项配对求和，最后处理中间项得到结果。
14．（2025高二下·江都期中）如图，在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为　 　；二面角的正弦值的最小值为　 　．
【答案】；
【知识点】平面与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：取的中点，因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为，，，所以，又，
所以三棱锥的体积为
，
因为，所以，则；
当且仅当，即时，等号成立，
故三棱锥的体积的最大值为.
由平面，又平面，
所以，
过作于，连接，
因为平面，，
所以平面，
又平面，所以，
所以为二面角的平面角，
在中，，
因为为的中点，所以等于点到直线的距离的，
而点到直线的距离小于等于，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
此时取得最小值，
故二面角的正弦值的最小值为.
故答案为：；.
【分析】第一空利用面面垂直性质确定高，将体积最大值转化为底面面积最大时的情况求解；第二空通过作二面角的平面角，将正弦值最小值转化为点到直线距离的最大值求解。
四、解答题：本大题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·江都期中）已知函数在处的切线垂直于直线．
（1）求的值；
（2）求的极值．
【答案】（1）解：因为直线的斜率为，
又函数在处的切线垂直于直线，
所以函数在处的切线斜率为，
所以，
由，
所以，
解得；
（2）解：由（1）知，，
则，
令，可得或，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故当时，取极大值，极大值为，
当时，函数取极小值，极小值为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1) 先求出直线 的斜率，根据切线与直线垂直的关系得到切线斜率，再利用导数的几何意义（函数在某点处的导数等于该点切线斜率）列方程求解 。
(2) 代入 的值得到函数 及其导函数 ，通过求导找零点，划分区间判断导数符号，进而确定函数的极值。
（1）因为直线的斜率为，
又函数在处的切线垂直于直线，
所以函数在处的切线斜率为，
所以，
由，
所以，
解得；
（2）由（1）知，，
则，
令，可得或，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故当时，取极大值，极大值为，
当时，函数取极小值，极小值为．
16．（2025高二下·江都期中）已知空间四点．
（1）求以为邻边的平行四边形面积；
（2）若四点共面，求的值；
（3）求直线AB和直线CD夹角余弦值的取值范围．
【答案】（1）解：，
又，
，
，
，
四边形的面积为．
以为邻边的平行四边形的面积为12．
（2）解：由题意得，得，四点共面，
存在唯一一对实数使得，
，
解得：，
故的值为．
（3）解：，
设直线和直线的夹角为，
，
，故，，
因为，所以两直线和的夹角余弦的范围是
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】(1) 先求向量 、，再用叉乘模长公式求平行四边形面积；
(2) 四点共面等价于向量 可由 、 线性表示，列方程组求解 ；
(3) 用向量夹角公式表示出直线夹角余弦值，再根据函数单调性求取值范围。
（1），
又，
，
，
，
四边形的面积为．
以为邻边的平行四边形的面积为12．
（2）由题意，得，
四点共面，
存在唯一一对实数使得，
，
解得：，
故的值为．
（3），
设直线和直线的夹角为，
，
，故，，
因为，所以两直线和的夹角余弦的范围是
17．（2025高二下·江都期中）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程.
（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数；
（2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；
（3）计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数.
【答案】（1）解：由题意得，共有种
（2）解：先将甲和乙的不同课程排好，有种情况，再将甲和乙的相同课程排好，有种情况；
因为丙和甲，乙的课程都不同，所以丙的排法种情况；因此，所有选课种数为.
（3）解：①当只任教1科时：先排任教科目，有种；
再从剩下5科中排的任教科目，有种；
接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种；
所以当只任教1科时，共有种；
②当任教2科时：先选任教的2科有种，
这样6科分为4组共有种，
所以当任教2科时，共有种，
综上课程安排方案有1140种.
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1) 采用间接法（容斥原理）：先算全排列，再减去“京剧在第一周”或“剪纸在最后一周”的情况，最后加回重复减去的“京剧在第一周且剪纸在最后一周”的情况。
(2) 分步计数：先确定甲、乙共同的1门课，再确定甲、乙各自剩下的1门课，最后确定丙的2门课（与甲、乙均不同）。
(3) 分类讨论：按教师A任教1门或2门课程分类，结合“B只教1门” “每人至少1门”的约束，用组合与排列计数。
（1）依题得，共有种；
（2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况；
第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况；
第三步，因为丙和甲，乙的课程都不同，所以丙的排法种情况；
因此，所有选课种数为.
（3）①当只任教1科时：先排任教科目，有种；
再从剩下5科中排的任教科目，有种；
接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种；
所以当只任教1科时，共有种；
②当任教2科时：先选任教的2科有种，
这样6科分为4组共有种，
所以当任教2科时，共有种，
综上课程安排方案有1140种.
18．（2025高二下·江都期中）已知平面四边形中，，且．以为腰作等腰直角三角形，且，平面平面
（1）证明：平面；
（2）已知点是线段上一点，
①若平面，求点到平面的距离；
②若直线与平面夹角的正弦值是，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：以为腰作等腰直角三角形，且，则，
由平面平面，平面平面平面，
所以平面，而平面，则，
由，则为直角梯形，故，
由，即为等腰直角三角形，故，且，
所以为等腰直角三角形，故，
又，平面，
则平面．
（2）解：由（1）平面，构建如图示空间直角坐标系，
所以，
①若，则，
所以，
令是平面的一个法向量，
则，
取，则，
所以是平面的一个法向量，
而，
由平面，则，解得，
所以是靠近的三等分点，则，
因为，
设是平面的一个法向量，
所以，
取，可得，
所以是平面的一个法向量，
所以，
所以点到平面PBC的距离是；
②设，其中，所以，
因为平面的一个法向量为，直线与平面夹角的正弦值是，
，
所以．
所以，解得：或者（舍）
所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，
令得，，
所以是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
所以，
令，得，
所以是平面的一个法向量，
所以，
设二面角为，
则，
所以二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 先由面面垂直的性质得到平面，再计算边长证明，最后根据线面垂直判定定理证明平面。
(2) ① 建立空间直角坐标系，利用线面平行的向量条件确定位置，再用点到平面的距离公式求解；
② 由线面角正弦值确定位置，再通过法向量求二面角的正弦值。
（1）以为腰作等腰直角三角形，且，则，
由平面平面，平面平面平面，
所以平面，而平面，则，
由，则为直角梯形，故，
由，即为等腰直角三角形，故，且，
所以为等腰直角三角形，故，
又，平面，
则平面．
（2）由（1）平面，构建如图示空间直角坐标系，
所以，
①若，则，
所以，
令是平面的一个法向量，
则，
取，则，
所以是平面的一个法向量，
而，
由平面，则，解得，
所以是靠近的三等分点，则，
因为，
设是平面的一个法向量，
所以，
取，可得，
所以是平面的一个法向量，
所以，
所以点到平面PBC的距离是；
②设，其中，所以，
因为平面的一个法向量为，直线与平面夹角的正弦值是，
，
所以．
所以，解得：或者（舍）
所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，
令得，，
所以是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
所以，
令，得，
所以是平面的一个法向量，
所以，
设二面角为，
则，
所以二面角的正弦值为.
19．（2025高二下·江都期中）已知函数，.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，证明：在上有且只有一个零点.
【答案】（1）解：当时，，，，
所以在点处的切线方程为，
即.
（2）解：因为，且，
由得，
当时，在上恒成立，
所以单调递增，恒成立，
当时，，
又因为，所以，
则在上，，
记，则时，，单调递减，
，与恒成立不符，
综上所述，恒成立，实数的取值范围是.
（3）解：当时，，
令，则，，
当时，，单调递减，
所以在上，，，
易得，在上没有零点，故只需证明在上有且只有一个零点，
令，，
在上，单调递减，，，
所以存在使得，在上，在上，；
因此在上单调递增，在上单调递减，，；
所以存在使得，在上，在上，；
故在上单调递增，在上单调递减，且，，
所以在区间，存在唯一的使得，在上没有零点
综上所述，时，函数在上有且只有一个零点.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1) 利用导数的几何意义，先求 时函数的导数 ，计算 处的切线斜率，再用点斜式写出切线方程。
(2) 求 的二阶导数分析单调性，按 的取值分类讨论，确保 恒成立时 的范围。
(3) 令 ，分析 的单调性，结合零点存在定理证明仅有一个零点。
（1）当时，，，，
所以在点处的切线方程为，
即.
（2）因为，且，
由得，
当时，在上恒成立，
所以单调递增，恒成立，
当时，，
又因为，所以，
则在上，，
记，则时，，单调递减，
，与恒成立不符，
综上所述，恒成立，实数的取值范围是.
（3）当时，，
令，则，，
当时，，单调递减，
所以在上，，，
易得，在上没有零点，故只需证明在上有且只有一个零点，
令，，
在上，单调递减，，，
所以存在使得，在上，在上，；
因此在上单调递增，在上单调递减，，；
所以存在使得，在上，在上，；
故在上单调递增，在上单调递减，且，，
所以在区间，存在唯一的使得，在上没有零点
综上所述，时，函数在上有且只有一个零点.
1 / 1江苏省江都中学、江苏省高邮中学、江苏省仪征中学 2024-2025学年度第二学期高二4月期中联合测试
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．（2025高二下·江都期中）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·江都期中）自然对数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中位数字设置一个位数的密码，则不同的密码有（　　）个
A． B． C． D．
3．（2025高二下·江都期中）在空间向量中，我们给出了定义向量的“外积”运算规则：对于空间向量和，.已知，，平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直
C．直线在平面内 D．相交但不垂直
4．（2025高二下·江都期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高二下·江都期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·江都期中）毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻（相邻仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（　　）
A．96 B．84 C．72 D．48
7．（2025高二下·江都期中）设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·江都期中）设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·江都期中）关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若是锐角，则
C．已知，平面的法向量为，则
D．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
10．（2025高二下·江都期中）下列说法正确的是（　　）
A．
B．将9个团员指标分到某年级的3个班，每班要求至少得2个，有15种不同的分配方法
C．某同学把英文单词“apple”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种
D．
11．（2025高二下·江都期中）已知函数，直线与函数的图像有3个不同的交点，3个交点的横坐标分别为，则下列说法正确的有（　　）
A．
B．过点作函数的切线，有且只有三条
C．若，则有
D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·江都期中）若函数，则曲线在点处的切线方程为　 　．
13．（2025高二下·江都期中）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心．若函数，则　 　．
14．（2025高二下·江都期中）如图，在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为　 　；二面角的正弦值的最小值为　 　．
四、解答题：本大题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·江都期中）已知函数在处的切线垂直于直线．
（1）求的值；
（2）求的极值．
16．（2025高二下·江都期中）已知空间四点．
（1）求以为邻边的平行四边形面积；
（2）若四点共面，求的值；
（3）求直线AB和直线CD夹角余弦值的取值范围．
17．（2025高二下·江都期中）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程.
（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数；
（2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；
（3）计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数.
18．（2025高二下·江都期中）已知平面四边形中，，且．以为腰作等腰直角三角形，且，平面平面
（1）证明：平面；
（2）已知点是线段上一点，
①若平面，求点到平面的距离；
②若直线与平面夹角的正弦值是，求二面角的正弦值．
19．（2025高二下·江都期中）已知函数，.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，证明：在上有且只有一个零点.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；极限及其运算
【解析】【解答】解：由，
可得，即，
则曲线在点处的切线的斜率是.
故答案为：A.
【分析】化简，可得，即，结合导数的几何意义求解即可.
2．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：六个数的全排列共有个，
因为出现次，出现次，
所以不同的密码有个.
故答案为：C.
【分析】这是带重复元素的排列问题，核心思路是先算 6 个数字的全排列，再除以重复数字的内部排列数，消除重复计数，数字为1，8，2，8，1，8，其中1重复2次，8重复3次，2唯一。
3．【答案】D
【知识点】空间向量平行的坐标表示；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：，，则平面的法向量为，
，所以，所以与不垂直，
由，说明与不平行，与既不垂直也不平行，
则直线与平面相交但不垂直.
故答案为：D.
【分析】根据外积的定义先求平面的法向量，再根据向量的数量积求，判断与不垂直，再根据共线的坐标性质判断平面的法向量与直线的方向向量不平行，即可得直线与平面相交但不垂直.
4．【答案】D
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，，，
所以，解得，所以，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】先根据向量垂直的坐标性质（数量积为0）求出的值，确定的坐标，再利用投影向量公式计算在上的投影向量。
5．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，所以，
由函数在区间上单调递减，可得在上恒成立，
则要使在上恒成立，只需，
即，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：B
【分析】先对函数求导，将“函数在区间上单调递减”转化为“导数在该区间上恒小于等于 0”，再通过分离参数或代入区间端点建立不等式组，求解t的取值范围。
6．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先直接排序，站法种数为；
当甲、乙两名同学为正前后相邻时，其中必有1人站在老师的左侧或右侧，
另1人站在正后面，站法种数为；
当甲、乙两名同学为左右相邻时，两人必都站在后一排，将甲、乙两名同学看成一个元素，
从其余的3人中选2人站在老师的左右两侧，余下的1人与甲、乙两名同学看成的一个元素进行全排列，
所以站法种数为；
所以不同站法种数为.
故答案为：C.
【分析】采用间接法计数：先算出老师位置固定时所有同学的任意站法，再减去甲、乙相邻（包括正前后相邻和左右相邻）的站法，最终得到甲、乙不相邻的站法数。
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：BD：因为，
又，所以，
所以当时，，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，所以，B错误，
因为，所以，所以，D正确，
AC：因为，
故， 又，
所以，
所以，故，
所以，
当时，，所以函数在上单调递增，
又，所以，所以，故A错误；
因为，所以，
所以，
设，则，
所以当时，，函数在上单调递增，
所以若，则，
取，可得当时，，
所以当，时，，函数在上单调递减，
所以，故C错误；
故答案为：D.
【分析】通过构造辅助函数 ，利用已知求出其导数，判断单调性，再结合单调性比较不同点处函数值的大小，进而验证各选项。
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则，
当时，，所以在上是单调减函数；
当时，，所以在上是单调增函数；
由可得，
由题意可知，存在唯一的整数，使得，
则函数在直线下方的图象中只有一个横坐标为整数的点，
因为
当时，则函数在直线下方的图象中有无数个横坐标为整数的点，不合乎题意；
所以，因为，
当直线过点时，则，解得；
又，直线，所以此时函数与直线相切于点，
当直线过点时，则，且，
结合图象可得，
所以的取值范围是，
故答案为：A
【分析】先对函数求导分析单调性，再将不等式转化为与直线的位置关系，结合“仅存在唯一整数解”的条件，通过代入整数点建立不等式组求解的范围。
9．【答案】A,B,D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A，根据空间向量共面定理可知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A正确；
B，由是锐角，可得为非零向量，且，故，，所以，B正确；
C， 因为，所以，所以或，故C错误．
D．假设共面，则存在实数，使得，
由向量组是空间的一个基底可知不共面，故不存在实数，使得成立，
所以不共面，即也是空间的一个基底，D正确．
故答案为：ABD.
【分析】A：共线向量定直线，第三个向量与直线共面，两个共线向量可确定一条直线，空间中任意向量与直线必共面，故三个向量共面。
B：点积公式结合角度余弦值符号，由，锐角的值为正，模长恒正，因此点积大于0。
C：向量与法向量垂直≠向量平行于平面，仅说明，可能在平面内，并非必然平行于平面。
D：基底判定核心是向量不共面，利用反证法，假设新向量组共面会推出与原基底不共面的矛盾，故新向量组可作为基底。
10．【答案】A,C
【知识点】排列、组合的实际应用；排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：A，，故A正确；
B，先给每个班分一个名额，共用去3个名额，还剩6个名额分给3个班级，要求每个班级至少一个名额，利用挡板法，共有种，故B错误；
C，“apple”有 5 个字母，其中“p”重复 2 次，所以总的排列个数为，除去一种正确的情况，所以可能出现的错误共有种，故C正确；
D，，解的，又为正整数，所以或，
当时，；
当时，，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】本题围绕排列数、组合数、隔板法和重复元素排列展开，核心思路是：先利用排列数公式化简验证A；通过隔板法处理名额分配验证B；计算带重复元素的全排列并减去正确顺序得到错误数验证C；根据组合数定义域求出n的可能值，再代入计算验证D。
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A：，则，
则或；，
故在上单调递增，在单调递减，
，
因为直线与函数的图像有3个不同的交点，所以，故A正确；
B：设切点为，斜率，
则切线方程为，
将点代入得，得或，
则过点作函数的切线有2条，故B错误；
C：
，故C正确；
D：由题意得的三个不同的根为，
，
则，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】A：求导确定函数极值，由图像确定直线 与函数有三个交点时 的取值范围。
B：设切点，列切线方程，代入定点后转化为三次方程根的个数问题，判断切线数量。
C：代入函数表达式，利用 化简，验证 是否为定值。
D：利用多项式因式分解与韦达定理，建立根与系数的关系，推导 。
12．【答案】
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由，得，
则点处的切线的斜率，
故曲线在点处的切线方程为，即．
故答案为：
【分析】 求曲线在指定点的切线方程，核心是先求导得到切线斜率，再结合点斜式写出直线方程。
13．【答案】
【知识点】导数的四则运算；二阶导数
【解析】【解答】解：因为函数，
则，，
令，解得，且，
由题意可知，的拐点为，
故的对称中心为，
所以，
所以．
又，
所以
故答案为：.
【分析】先通过二阶导数求出三次函数的拐点，确定其对称中心；再利用对称中心的性质，将首尾项配对求和，最后处理中间项得到结果。
14．【答案】；
【知识点】平面与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：取的中点，因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为，，，所以，又，
所以三棱锥的体积为
，
因为，所以，则；
当且仅当，即时，等号成立，
故三棱锥的体积的最大值为.
由平面，又平面，
所以，
过作于，连接，
因为平面，，
所以平面，
又平面，所以，
所以为二面角的平面角，
在中，，
因为为的中点，所以等于点到直线的距离的，
而点到直线的距离小于等于，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
此时取得最小值，
故二面角的正弦值的最小值为.
故答案为：；.
【分析】第一空利用面面垂直性质确定高，将体积最大值转化为底面面积最大时的情况求解；第二空通过作二面角的平面角，将正弦值最小值转化为点到直线距离的最大值求解。
15．【答案】（1）解：因为直线的斜率为，
又函数在处的切线垂直于直线，
所以函数在处的切线斜率为，
所以，
由，
所以，
解得；
（2）解：由（1）知，，
则，
令，可得或，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故当时，取极大值，极大值为，
当时，函数取极小值，极小值为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1) 先求出直线 的斜率，根据切线与直线垂直的关系得到切线斜率，再利用导数的几何意义（函数在某点处的导数等于该点切线斜率）列方程求解 。
(2) 代入 的值得到函数 及其导函数 ，通过求导找零点，划分区间判断导数符号，进而确定函数的极值。
（1）因为直线的斜率为，
又函数在处的切线垂直于直线，
所以函数在处的切线斜率为，
所以，
由，
所以，
解得；
（2）由（1）知，，
则，
令，可得或，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故当时，取极大值，极大值为，
当时，函数取极小值，极小值为．
16．【答案】（1）解：，
又，
，
，
，
四边形的面积为．
以为邻边的平行四边形的面积为12．
（2）解：由题意得，得，四点共面，
存在唯一一对实数使得，
，
解得：，
故的值为．
（3）解：，
设直线和直线的夹角为，
，
，故，，
因为，所以两直线和的夹角余弦的范围是
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】(1) 先求向量 、，再用叉乘模长公式求平行四边形面积；
(2) 四点共面等价于向量 可由 、 线性表示，列方程组求解 ；
(3) 用向量夹角公式表示出直线夹角余弦值，再根据函数单调性求取值范围。
（1），
又，
，
，
，
四边形的面积为．
以为邻边的平行四边形的面积为12．
（2）由题意，得，
四点共面，
存在唯一一对实数使得，
，
解得：，
故的值为．
（3），
设直线和直线的夹角为，
，
，故，，
因为，所以两直线和的夹角余弦的范围是
17．【答案】（1）解：由题意得，共有种
（2）解：先将甲和乙的不同课程排好，有种情况，再将甲和乙的相同课程排好，有种情况；
因为丙和甲，乙的课程都不同，所以丙的排法种情况；因此，所有选课种数为.
（3）解：①当只任教1科时：先排任教科目，有种；
再从剩下5科中排的任教科目，有种；
接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种；
所以当只任教1科时，共有种；
②当任教2科时：先选任教的2科有种，
这样6科分为4组共有种，
所以当任教2科时，共有种，
综上课程安排方案有1140种.
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1) 采用间接法（容斥原理）：先算全排列，再减去“京剧在第一周”或“剪纸在最后一周”的情况，最后加回重复减去的“京剧在第一周且剪纸在最后一周”的情况。
(2) 分步计数：先确定甲、乙共同的1门课，再确定甲、乙各自剩下的1门课，最后确定丙的2门课（与甲、乙均不同）。
(3) 分类讨论：按教师A任教1门或2门课程分类，结合“B只教1门” “每人至少1门”的约束，用组合与排列计数。
（1）依题得，共有种；
（2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况；
第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况；
第三步，因为丙和甲，乙的课程都不同，所以丙的排法种情况；
因此，所有选课种数为.
（3）①当只任教1科时：先排任教科目，有种；
再从剩下5科中排的任教科目，有种；
接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种；
所以当只任教1科时，共有种；
②当任教2科时：先选任教的2科有种，
这样6科分为4组共有种，
所以当任教2科时，共有种，
综上课程安排方案有1140种.
18．【答案】（1）证明：以为腰作等腰直角三角形，且，则，
由平面平面，平面平面平面，
所以平面，而平面，则，
由，则为直角梯形，故，
由，即为等腰直角三角形，故，且，
所以为等腰直角三角形，故，
又，平面，
则平面．
（2）解：由（1）平面，构建如图示空间直角坐标系，
所以，
①若，则，
所以，
令是平面的一个法向量，
则，
取，则，
所以是平面的一个法向量，
而，
由平面，则，解得，
所以是靠近的三等分点，则，
因为，
设是平面的一个法向量，
所以，
取，可得，
所以是平面的一个法向量，
所以，
所以点到平面PBC的距离是；
②设，其中，所以，
因为平面的一个法向量为，直线与平面夹角的正弦值是，
，
所以．
所以，解得：或者（舍）
所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，
令得，，
所以是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
所以，
令，得，
所以是平面的一个法向量，
所以，
设二面角为，
则，
所以二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 先由面面垂直的性质得到平面，再计算边长证明，最后根据线面垂直判定定理证明平面。
(2) ① 建立空间直角坐标系，利用线面平行的向量条件确定位置，再用点到平面的距离公式求解；
② 由线面角正弦值确定位置，再通过法向量求二面角的正弦值。
（1）以为腰作等腰直角三角形，且，则，
由平面平面，平面平面平面，
所以平面，而平面，则，
由，则为直角梯形，故，
由，即为等腰直角三角形，故，且，
所以为等腰直角三角形，故，
又，平面，
则平面．
（2）由（1）平面，构建如图示空间直角坐标系，
所以，
①若，则，
所以，
令是平面的一个法向量，
则，
取，则，
所以是平面的一个法向量，
而，
由平面，则，解得，
所以是靠近的三等分点，则，
因为，
设是平面的一个法向量，
所以，
取，可得，
所以是平面的一个法向量，
所以，
所以点到平面PBC的距离是；
②设，其中，所以，
因为平面的一个法向量为，直线与平面夹角的正弦值是，
，
所以．
所以，解得：或者（舍）
所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，
令得，，
所以是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
所以，
令，得，
所以是平面的一个法向量，
所以，
设二面角为，
则，
所以二面角的正弦值为.
19．【答案】（1）解：当时，，，，
所以在点处的切线方程为，
即.
（2）解：因为，且，
由得，
当时，在上恒成立，
所以单调递增，恒成立，
当时，，
又因为，所以，
则在上，，
记，则时，，单调递减，
，与恒成立不符，
综上所述，恒成立，实数的取值范围是.
（3）解：当时，，
令，则，，
当时，，单调递减，
所以在上，，，
易得，在上没有零点，故只需证明在上有且只有一个零点，
令，，
在上，单调递减，，，
所以存在使得，在上，在上，；
因此在上单调递增，在上单调递减，，；
所以存在使得，在上，在上，；
故在上单调递增，在上单调递减，且，，
所以在区间，存在唯一的使得，在上没有零点
综上所述，时，函数在上有且只有一个零点.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1) 利用导数的几何意义，先求 时函数的导数 ，计算 处的切线斜率，再用点斜式写出切线方程。
(2) 求 的二阶导数分析单调性，按 的取值分类讨论，确保 恒成立时 的范围。
(3) 令 ，分析 的单调性，结合零点存在定理证明仅有一个零点。
（1）当时，，，，
所以在点处的切线方程为，
即.
（2）因为，且，
由得，
当时，在上恒成立，
所以单调递增，恒成立，
当时，，
又因为，所以，
则在上，，
记，则时，，单调递减，
，与恒成立不符，
综上所述，恒成立，实数的取值范围是.
（3）当时，，
令，则，，
当时，，单调递减，
所以在上，，，
易得，在上没有零点，故只需证明在上有且只有一个零点，
令，，
在上，单调递减，，，
所以存在使得，在上，在上，；
因此在上单调递增，在上单调递减，，；
所以存在使得，在上，在上，；
故在上单调递增，在上单调递减，且，，
所以在区间，存在唯一的使得，在上没有零点
综上所述，时，函数在上有且只有一个零点.
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