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江苏省无锡市运河高级中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题
一、单选题
1．（2025高一下·梁溪期中）化简：（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】解：由．
故答案为：A.
【分析】根据向量的加减法运算法则化简即可.
2．（2025高一下·梁溪期中）点是所在平面内的一点，当且时，的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，所以是的重心，
又因为，所以垂直平分，所以为等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】根据向量的线性运算，结合向量垂直的数量积表示，先后判断出点是三角形重心，垂直平分，即可判断三角形形状.
3．（2025高一下·梁溪期中）已知复数z在复平面内所对应点的坐标为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意可得：复数，，则．
故答案为：A.
【分析】根据复数在复平面的表示先求得，再根据共轭复数的概念求得，最后根据复数的加法运算求即可.
4．（2025高一下·梁溪期中）若复数为虚数单位为纯虚数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由复数为纯虚数，可得，解得，
则，，
故．
故答案为：C.
【分析】根据复数的概念，列式求得a的值，再根据共轭复数的定义求，最后根据复数的加法运算，结合模的公式求解即可.
5．（2025高一下·梁溪期中）要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设，在中，，可得，
在中，，，
在中，由余弦定理，可得，
整理得，解得，即电视塔的高度为.
故答案为：.
【分析】设，用表示，再在中，利用余弦定理求解即可.
6．（2025高一下·梁溪期中）如图所示，在平面四边形中，，，.若，，则的长为（　　）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理可得，
因为，所以，
设则，
，
在中，由正弦定理，求得.
故答案为：C.
【分析】在中，利用余弦定理求，再利用同角三角函数基本关系求，设，则，利用差角正弦公式求，最后利用正弦定理求的长即可.
7．（2025高一下·梁溪期中）在正四棱台中，，，则该四棱台的体积为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：过，作出截面如图所示，过点作，垂足为，如图所示：
在正四棱台中，，由勾股定理可得，，
又因为，所以，则梯形为等腰梯形，，
，
该四棱台的体积.
故答案为：D.
【分析】过，作出截面如图所示，过点作，垂足为，推出梯形为等腰梯形，结合等腰梯形的性质得高，再计算该四棱台的体积即可.
8．（2025高一下·梁溪期中）在中，，，分别为内角，，的对边，若，，且，则（　　）
A． B．4 C． D．5
【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，所以，，
又因为，即，解得，
，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
整理得，即.
故答案为：B.
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合三角形面积公式，以及正弦、余弦定理求解即可．
二、多选题
9．（2025高一下·梁溪期中）设复数，则下列命题中正确的是（　　）
A．z的虚部是
B．
C．z在复平面内对应的点在第四象限
D．若z是关于x的实系数方程的一个根，则，
【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模；方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：复数，
A、复数的虚部为，故A错误；
B、由，可知，则，，即，故B正确；
C、复数在复平面内对应的点，位于第一象限，故C错误；
D、方程的根为，
则，，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据复数的概念求虚部即可判断A；求共轭复数，再利用复数的加法和模公式求解即可判断B；根据复数在复平面内的表示求解即可判断C；根据实系数一元二次方程虚根成对原理，结合韦达定理求解即可判断D.
10．（2025高一下·梁溪期中）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．若，，则的取值范围为
C．
D．若，，则
【答案】A,B
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A．，故A正确.
B．，故B正确.
C．是与共线，是与共线，故C错误.
D．因为，，且，
因为，即在方向上的投影等于在方向上的投影，得不到，故D错误；
故答案为：AB.
【分析】根据向量数量积的定义、三角不等式、向量运算律及消去律，逐一判断各选项。
11．（2025高一下·梁溪期中）在△中，，若解此三角形仅有一解，则边长度的可能取值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设所对的边为，由正弦定理，可得，
如图所示：当在处，即，，则，为直角三角形，此时三角形唯一；
当在射线上，即时三角形唯一，则.
故答案为：BD.
【分析】设所对的边为，利用正弦定理求解即可.
三、填空题
12．（2025高一下·梁溪期中）已知向量，，则在方向上的投影为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，，
易知，，
则在方向上的投影为.
故答案为：.
【分析】利用向量数量积和模的坐标运算，结合投影向量公式求解即可.
13．（2025高一下·梁溪期中）如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设，，向量，则λ＋μ的值为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：延长交于点，如图所示：
分别是的中点，与交于点， 则为的重心，即，
，且，
则，即.
故答案为：.
【分析】延长交于点，由题意可得为的重心，利用重心的性质即可求解.
14．（2025高一下·梁溪期中）在中，，，，则其外接圆的面积为　 　．
【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理得，解得，
，由同角三角函数的关系得，
设外接圆的半径为，由正弦定理得，解得，
设外接圆的面积为，则，即外接圆的面积为.
故答案为：.
【分析】在中，利用余弦定理求得，再利用同角三角函数基本关系求，设外接圆的半径为，利用正弦定理求出外接圆半径，最后利用圆的面积公式求解即可.
四、解答题
15．（2025高一下·梁溪期中）已知向量，.
（I）求向量与向量夹角的余弦值
（II）若，求实数的值.
【答案】解： （I）易知，设与的夹角为，
则；
（II）由题可得，
因为，所以，即，解得，
故实数的值为1.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】 （I） 利用向量的坐标运算，结合平面向量的夹角公式求解即可；
（II） 利用向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标运算求解即可.
16．（2025高一下·梁溪期中）已知复数z使得，其中i是虚数单位.
（1）求复数z的共轭复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：设复数，
因为，所以，
则， 即，解得，
故，；
（2）解：m为实数，，
由复数在复平面上对应的点在第四象限，可得，解得，
故的取值范围是.
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【分析】（1）设复数，根据复数代数形式的除法运算以及加法运算化简求得复数，再根据共轭复数概念求共轭复数即可；
（2）根据复数代数形式的乘法化简，再根据复数在第四象限，列不等式求解即可.
（1）设，∴
∴
∴ 所以，解得，
∴，
∴；
（2）∵m为实数，
∴，
解得
∴的取值范围是.
17．（2025高一下·梁溪期中）如图，在三棱柱，F为AC中点．
（1）求证：平面．
（2）若此三棱柱为正三棱柱，且，求的大小.
【答案】证明：取中点，连接，，，如图所示：
因为在三棱柱中，，是中点，则，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，是中点，所以，四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，所以平面平面，
又因为平面，所以平面；
（2）设，则，
在正中，，
在中，，，，，
则，即的大小为．
【知识点】直线与平面平行的判定；解三角形；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）取中点，连接，，，由题意推出四边形是平行四边形，利用面面平行的判定定理证得平面平面，再利用面面平行的性质，证明平面即可；
（2）设，分别求出，，，再利用余弦定理求的大小即可．
18．（2025高一下·梁溪期中）在中，它的内角，，的对边分别为，，，且满足．，，求：
（1）的值
（2）的面积；
【答案】（1）解：由，可得，
由正弦定理得，
由余弦定理，，可得，即，
则，解得；
（2）解：由（1）知，，
因为，，所以，
则.
【知识点】解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理，结合正弦、余弦定理求解即可；
（2）由（1）知，，再利用三角形面积公式求解即可.
（1），
，
由正弦定理得，
由余弦定理，，
则，，
则，
解得.
（2）由（1）知，，
，，，
.
19．（2025高一下·梁溪期中）如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M N分别是AB PC的中点
（1）求证：MN平面PAD；
（2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ平面PAD.
【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示：因为分别是的中点，所以，因为，所以，又因为面，面，所以面，同理可证：面，又因为面，面，，所以平面平面，又因为平面，所以平面；（2）解：假设第一问的即为所求，因为分别是的中点，为的中点，所以，且，则平面平面，且，所以平面平面，所以第一问的点即为所求，当在的中点时，平面平面.
（1）证明：取中点，连接，如图所示：
因为分别是的中点，所以，
因为，所以，
又因为面，面，所以面，
同理可证：面，
又因为面，面，，所以平面平面，
又因为平面，所以平面；
（2）解：假设第一问的即为所求，
因为分别是的中点，为的中点，所以，且，
则平面平面，且，所以平面平面，
所以第一问的点即为所求，当在的中点时，平面平面.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）取中点，连接，利用中位线性质，结合面面平行的判定定理证明平面平面，即可证明平面；
（2）假设第一问的即为所求，利用中位线性质，结合面面平行的判定定理证明即可.
1 / 1江苏省无锡市运河高级中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题
一、单选题
1．（2025高一下·梁溪期中）化简：（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·梁溪期中）点是所在平面内的一点，当且时，的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
3．（2025高一下·梁溪期中）已知复数z在复平面内所对应点的坐标为，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·梁溪期中）若复数为虚数单位为纯虚数，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高一下·梁溪期中）要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025高一下·梁溪期中）如图所示，在平面四边形中，，，.若，，则的长为（　　）
A． B．2 C．3 D．
7．（2025高一下·梁溪期中）在正四棱台中，，，则该四棱台的体积为（　　）．
A． B． C． D．
8．（2025高一下·梁溪期中）在中，，，分别为内角，，的对边，若，，且，则（　　）
A． B．4 C． D．5
二、多选题
9．（2025高一下·梁溪期中）设复数，则下列命题中正确的是（　　）
A．z的虚部是
B．
C．z在复平面内对应的点在第四象限
D．若z是关于x的实系数方程的一个根，则，
10．（2025高一下·梁溪期中）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．若，，则的取值范围为
C．
D．若，，则
11．（2025高一下·梁溪期中）在△中，，若解此三角形仅有一解，则边长度的可能取值为（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
12．（2025高一下·梁溪期中）已知向量，，则在方向上的投影为　 　.
13．（2025高一下·梁溪期中）如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设，，向量，则λ＋μ的值为　 　.
14．（2025高一下·梁溪期中）在中，，，，则其外接圆的面积为　 　．
四、解答题
15．（2025高一下·梁溪期中）已知向量，.
（I）求向量与向量夹角的余弦值
（II）若，求实数的值.
16．（2025高一下·梁溪期中）已知复数z使得，其中i是虚数单位.
（1）求复数z的共轭复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
17．（2025高一下·梁溪期中）如图，在三棱柱，F为AC中点．
（1）求证：平面．
（2）若此三棱柱为正三棱柱，且，求的大小.
18．（2025高一下·梁溪期中）在中，它的内角，，的对边分别为，，，且满足．，，求：
（1）的值
（2）的面积；
19．（2025高一下·梁溪期中）如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M N分别是AB PC的中点
（1）求证：MN平面PAD；
（2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ平面PAD.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】解：由．
故答案为：A.
【分析】根据向量的加减法运算法则化简即可.
2．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，所以是的重心，
又因为，所以垂直平分，所以为等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】根据向量的线性运算，结合向量垂直的数量积表示，先后判断出点是三角形重心，垂直平分，即可判断三角形形状.
3．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意可得：复数，，则．
故答案为：A.
【分析】根据复数在复平面的表示先求得，再根据共轭复数的概念求得，最后根据复数的加法运算求即可.
4．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由复数为纯虚数，可得，解得，
则，，
故．
故答案为：C.
【分析】根据复数的概念，列式求得a的值，再根据共轭复数的定义求，最后根据复数的加法运算，结合模的公式求解即可.
5．【答案】A
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设，在中，，可得，
在中，，，
在中，由余弦定理，可得，
整理得，解得，即电视塔的高度为.
故答案为：.
【分析】设，用表示，再在中，利用余弦定理求解即可.
6．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理可得，
因为，所以，
设则，
，
在中，由正弦定理，求得.
故答案为：C.
【分析】在中，利用余弦定理求，再利用同角三角函数基本关系求，设，则，利用差角正弦公式求，最后利用正弦定理求的长即可.
7．【答案】D
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：过，作出截面如图所示，过点作，垂足为，如图所示：
在正四棱台中，，由勾股定理可得，，
又因为，所以，则梯形为等腰梯形，，
，
该四棱台的体积.
故答案为：D.
【分析】过，作出截面如图所示，过点作，垂足为，推出梯形为等腰梯形，结合等腰梯形的性质得高，再计算该四棱台的体积即可.
8．【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，所以，，
又因为，即，解得，
，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
整理得，即.
故答案为：B.
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合三角形面积公式，以及正弦、余弦定理求解即可．
9．【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模；方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：复数，
A、复数的虚部为，故A错误；
B、由，可知，则，，即，故B正确；
C、复数在复平面内对应的点，位于第一象限，故C错误；
D、方程的根为，
则，，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据复数的概念求虚部即可判断A；求共轭复数，再利用复数的加法和模公式求解即可判断B；根据复数在复平面内的表示求解即可判断C；根据实系数一元二次方程虚根成对原理，结合韦达定理求解即可判断D.
10．【答案】A,B
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A．，故A正确.
B．，故B正确.
C．是与共线，是与共线，故C错误.
D．因为，，且，
因为，即在方向上的投影等于在方向上的投影，得不到，故D错误；
故答案为：AB.
【分析】根据向量数量积的定义、三角不等式、向量运算律及消去律，逐一判断各选项。
11．【答案】B,D
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设所对的边为，由正弦定理，可得，
如图所示：当在处，即，，则，为直角三角形，此时三角形唯一；
当在射线上，即时三角形唯一，则.
故答案为：BD.
【分析】设所对的边为，利用正弦定理求解即可.
12．【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，，
易知，，
则在方向上的投影为.
故答案为：.
【分析】利用向量数量积和模的坐标运算，结合投影向量公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：延长交于点，如图所示：
分别是的中点，与交于点， 则为的重心，即，
，且，
则，即.
故答案为：.
【分析】延长交于点，由题意可得为的重心，利用重心的性质即可求解.
14．【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理得，解得，
，由同角三角函数的关系得，
设外接圆的半径为，由正弦定理得，解得，
设外接圆的面积为，则，即外接圆的面积为.
故答案为：.
【分析】在中，利用余弦定理求得，再利用同角三角函数基本关系求，设外接圆的半径为，利用正弦定理求出外接圆半径，最后利用圆的面积公式求解即可.
15．【答案】解： （I）易知，设与的夹角为，
则；
（II）由题可得，
因为，所以，即，解得，
故实数的值为1.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】 （I） 利用向量的坐标运算，结合平面向量的夹角公式求解即可；
（II） 利用向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标运算求解即可.
16．【答案】（1）解：设复数，
因为，所以，
则， 即，解得，
故，；
（2）解：m为实数，，
由复数在复平面上对应的点在第四象限，可得，解得，
故的取值范围是.
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【分析】（1）设复数，根据复数代数形式的除法运算以及加法运算化简求得复数，再根据共轭复数概念求共轭复数即可；
（2）根据复数代数形式的乘法化简，再根据复数在第四象限，列不等式求解即可.
（1）设，∴
∴
∴ 所以，解得，
∴，
∴；
（2）∵m为实数，
∴，
解得
∴的取值范围是.
17．【答案】证明：取中点，连接，，，如图所示：
因为在三棱柱中，，是中点，则，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，是中点，所以，四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，所以平面平面，
又因为平面，所以平面；
（2）设，则，
在正中，，
在中，，，，，
则，即的大小为．
【知识点】直线与平面平行的判定；解三角形；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）取中点，连接，，，由题意推出四边形是平行四边形，利用面面平行的判定定理证得平面平面，再利用面面平行的性质，证明平面即可；
（2）设，分别求出，，，再利用余弦定理求的大小即可．
18．【答案】（1）解：由，可得，
由正弦定理得，
由余弦定理，，可得，即，
则，解得；
（2）解：由（1）知，，
因为，，所以，
则.
【知识点】解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理，结合正弦、余弦定理求解即可；
（2）由（1）知，，再利用三角形面积公式求解即可.
（1），
，
由正弦定理得，
由余弦定理，，
则，，
则，
解得.
（2）由（1）知，，
，，，
.
19．【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示：因为分别是的中点，所以，因为，所以，又因为面，面，所以面，同理可证：面，又因为面，面，，所以平面平面，又因为平面，所以平面；（2）解：假设第一问的即为所求，因为分别是的中点，为的中点，所以，且，则平面平面，且，所以平面平面，所以第一问的点即为所求，当在的中点时，平面平面.
（1）证明：取中点，连接，如图所示：
因为分别是的中点，所以，
因为，所以，
又因为面，面，所以面，
同理可证：面，
又因为面，面，，所以平面平面，
又因为平面，所以平面；
（2）解：假设第一问的即为所求，
因为分别是的中点，为的中点，所以，且，
则平面平面，且，所以平面平面，
所以第一问的点即为所求，当在的中点时，平面平面.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）取中点，连接，利用中位线性质，结合面面平行的判定定理证明平面平面，即可证明平面；
（2）假设第一问的即为所求，利用中位线性质，结合面面平行的判定定理证明即可.
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