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3.1 图形的平移
3.1 图形的平移
第1课时 平移的概念与性质
1. 通过具体实例认识平面图形的平移，探索平移的基本性质.（重点）
2. 会进行简单的平移画图，发展抽象能力.
下面是日常生活中物体运动的一些场景，这些物体的运动有什么共同特点？
沿着一定的方向移动一定的距离.
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.
平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置.
如图，△ABC经过平移得到△DEF，
点 A，B，C分别平移到了点D，E，F.
点A与点D是一组对应点；
线段AB与线段DE是一组对应线段；
∠BAC与∠EDF是一组对应角.
B
A
C
D
E
F
平移前后两个图形中能够互相重合的点称为对应点，
能够互相重合的线段称为对应线段，
能够互相重合的角称为对应角.
点B,C与点E,F分别是对应点；
线段BC，AC与线段EF,DF分别是对应线段；
∠ABC，∠ACB与∠DEF，∠DFE分别是对应角.
你还能找到其他的对应点、对应线段和对应角吗？
B
A
C
D
E
F
D
E
F
A
B
C
平移的要素 ① 平移的方向，如点A到点D的方向.
② 平移的距离，如线段AD(或线段CF，BE)的长度.
图形平移后，原图形上的点到它对应点的方向是平移的方向；原图形上的点与它对应点所连线段的长度是平移的距离.
将如图所示的四边形硬纸片按某一方向平移一定距离.右图画出了平移前的四边形ABCD和平移后的四边形EFGH.
在图中任意选一组对应线段，这两条线段之间有怎样的关系
D
A
B
C
E
F
G
H
(1) 任意一组对应线段的关系是平行且相等.
(2) 在图中任意选一组对应角，这两个角之间有怎样的关系
(3) 线段AE，BF，CG，DH分别是对应点所连成的线段，它们之间有怎样的关系
D
A
B
C
E
F
G
H
(2) 任意一组对应角的关系是相等.
(3) 它们之间的关系是平行且相等.
平移的基本性质：
一个图形和它经过平移所得的图形中，
对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等；
对应线段平行(或在一条直线上)且相等；
对应角相等.
例1 如图，△ABC沿BA方向平移8cm后得到了△DEF，其中AB=
10cm，AC=13cm， 那么AE= cm，CF= cm，BE= cm，DF= cm，CF和AD的关系是 .
2
平行且相等
8
8
13
解析：∵ AC与DF是对应线段，
∴ DF=AC=13cm，
∵ CF，BE，AD均为对应点所连的线段，
∴ CF=BE=AD=8cm，且CF和AD平行，
∴ AE=AB-BE=10-8=2(cm).
例2 如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D.
(1) 指出平移的方向和平移的距离；
B
C
A
D
如图，连接AD，平移的方向是点A到点D的方向，平移的距离是线段AD的长度.
例2 如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D.
(2) 画出平移后的三角形.
B
C
A
D
E
F
连接DE，DF，EF，△DEF就是△ABC平移后的图形.
分别过点B，C按射线AD的方向作线段BE，CF，使它们与线段AD平行且相等，
请在图中找出平行且相等的线段，以及相等的角.
AB与DE，BC与EF， AC与DF分别平行且相等；
线段AD，BE，CF平行且相等；
∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，
∠ACB=∠DFE.
B
C
A
D
E
F
平移画图的基本步骤：
① 定：分析题目要求，确定平移的方向和距离；
② 找：找出构成图形的关键点；
③ 移：按平移的方向和距离平移各个关键点，得到各个关键点的对应点，并标上相应的字母；
④ 连：按原图关键点的顺序依次连接各对应点；
⑤ 写：写出结论.
在上述问题中，你还有画△DEF的其他的方法吗
B
C
A
D
E
F
解：如图，过点D按射线AB的方向作线段DE平行且等于AB；
过点D按射线AC的方向作线段DF平行且等于AC；
连接EF.
△DEF就是△ABC平移后的图形.
确定一个图形平移后的位置需要哪些条件
① 图形原来的位置；
② 平移的方向；
③ 平移的距离.
1. 下列现象中，属于平移的是(　　)
A. 网球赛中，网球的运动 B. 打气筒打气时活塞的运动
C. 钟摆的摆动 D. 将一张纸对折
B
2. 如图，在△ABC中，AC=8，∠A=45°，∠B=105°，把△ABC向右平移到△DEF的位置，若CF=3，则下列结论中错误的是(　 )
A．AD=3 B．∠F=30°
C．AB∥DE D．DC=4
D
3. 如图所示，△DAF沿直线AD平移得到△CDE，CE，AF的延长线交于点B.若∠AFD=111°，则∠CBA的度数为(　　)
A. 110° B. 111°
C. 112° D. 113°
B
4. 如图所示，要在竖直高AC为2米，水平宽BC为8米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要______米.
10
A
B
C
5. 如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题，保留画图痕迹：
(1) 画出△A′B′C′；
(2) 连接AA′，CC′，那么AA′与CC′的关系是__________________，线段AC扫过的图形的面积为________.
10
AA′∥ CC′且AA′=CC′
A′
C′
平移
概念
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离
要素
（1）平移的方向；（2）平移的距离
性质
对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等；对应线段平行(或在一条直线上)且相等；对应角相等
利用平移的性质作图
3.1 图形的平移
第2课时 坐标系中的平移(1)
1. 掌握平面直角坐标系中的点或图形平移引起的点的坐标的变化规律.（重点）
2. 了解由点的坐标的变化规律引起的图形的变化规律.
问题 在直角坐标系中描出以下各点：
(0，0)， (5，4) ，(3，0) ，(5，1) ，
(5，-1) ，(3，0)，(4，-2)，(0，0).
并用线段依次连接，看一看是什么
图案.
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像一条鱼.
(1) 画出向右平移5个单位长度的新图形.
y
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4
5
(2) 在图中尽量多选取几组对应点，并将它们的坐标填入下表：
(3) 你发现对应点的坐标之间有什么
关系？
原来的“鱼” (0，0) (5，4) (3，0) (5，1) (5，-1) (3，0) (4，-2) …
向右平移5个单位长度后的新“鱼” …
(5，0) (10，4) (8，0) (10，1)(10，-1) (8，0) (9，-2)
平移后图形对应点的横坐标都加上5，
纵坐标不变.
如果将原来的“鱼”向左平移4个单位长度呢
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y
x
问题：对应点的坐标之间又有什么关系？
原来的“鱼” (0，0) (5，4) (3，0) (5，1) (5，-1) (3，0) (4，-2) …
向左平移4个单位长度后的新“鱼” …
(-4，0) (1，4) (-1，0) (1，1) (1，-1) (-1，0) (0，-2)
平移后图形对应点的横坐标都减去4，纵坐标不变.
点的左右平移
点 P (x，y)
P2(xa，y)
向左平移 a个单位
P1(x+a，y)
向右平移
a个单位
一般地，在平面直角坐标系中
将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y)).
想一想：
(1) 如果将图中的“鱼”向上平移3个单位长度，那么平移前后的两条“鱼”中，对应点的坐标之间有什么关系？
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y
x
平移前后图形对应点的横坐标都不变，纵坐标都加上3.
想一想：
(2) 如果将图中的“鱼”向下平移2个单位长度呢？
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1
y
x
平移前后图形对应点的横坐标都不变，纵坐标都减去2.
点的上下平移
点 P (x，y)
P3(x，y+b)
向上平移 b个单位
P4(x，yb)
向下平移 b个单位
一般地，在平面直角坐标系中将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b)).
点的平移：
左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变.
上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减.
例1 点P(-3，6)沿x轴正方向平移5个单位长度，再沿y轴负方向平移3个单位长度，所得的点P′的坐标为__________.
(2，3)
分析：将点P(-3，6)沿x轴向右平移5个单位长度，横坐标加5，纵坐标不变；再沿y轴向下平移3个单位长度，纵坐标减3，横坐标不变．
1.在平面直角坐标系中，若将点A向左平移可得到点B(1，2)，向上平移可得到点C(3，4)，则点A的坐标是　　　　.
(3，2)
分析： 点A向左平移可得到点B(1，2)，说明两点纵坐标相同为2，点A向上平移可得到点C(3，4)，说明两点横坐标相同为3.
想一想：
(1) 如果将图中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别加3，再将得到的点用线段依次连接起来，所得到的新“鱼”与原来的“鱼”相比，有什么变化
新“鱼”是由原来的“鱼”沿x轴向右平移3个单位长度得到的.
如果纵坐标保持不变，横坐标分别减2呢
新“鱼”是由原来的“鱼”沿x轴向左平移2个单位长度得到的.
(2) 将图中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别加3，所得到的新“鱼”与原来的“鱼”相比又有什么变化
新“鱼”是由原来的“鱼”沿y轴向上平移3个单位长度得到的.
如果横坐标保持不变，纵坐标分别减2呢
新“鱼”是由原来的“鱼”沿y轴向下平移2个单位长度得到的.
坐标变化下的图形平移
1. 在平面直角坐标系中，如果把图形中所有点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，纵坐标保持不变，相应的新图形就是把原来的图形沿着x轴向右(或向左)平移a个单位长度.
2. 在平面直角坐标系中，如果把图形中所有点的纵坐标都加上(或减去)一个正数b，横坐标保持不变，相应的新图形就是把原来的图形沿着y轴向上(或向下)平移b个单位长度.
2.将△ABC各顶点的横坐标不变，纵坐标分别减去1得到△DEF，则△DEF是原△ABC( )
A. 向左平移1个单位长度得到的
B. 向右平移1个单位长度得到的
C. 向上平移1个单位长度得到的
D. 向下平移1个单位长度得到的
D
1. 四边形ABCD的顶点坐标分别是A(0，3)，B(-3，0)，C(0，-3)，D(3，0).
(1) 将四边形ABCD向右平移6单位长度，得到四边形A1B1C1D1，写出四边形A1B1C1D1各顶点的坐标；
(2) 将四边形A1B1C1D1向上平移6个单位长度，得到四边形A2B2C2D2，写出四边形A2B2C2D2各顶点的坐标.
解：(1) A1(6，3)，B1(3，0)，C1(6，-3)，D1(9，0).
(2) A2(6，9)，B2(3，6)，C2(6，3)，D2(9，6).
2. 四边形ABCD的顶点坐标分别是A(0，3)，B(-3，0)，C(0，-3)，D(3，0).
(1) 横坐标分别减4，得到四边形A1B1C1D1，它与四边形ABCD相比有什么变化
解：(1) 形状、大小相同，只是位置发生了变化.
四边形A1B1C1D1是由四边形ABCD向左平移4个单位长度得到的.
2. 四边形ABCD的顶点坐标分别是A(0，3)，B(-3，0)，C(0，-3)，D(3，0).
(2) 将四边形A1B1C1D1各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别减4，得到四边形A2B2C2D2，它与四边形A1B1C1D1相比有什么变化
(2) 形状、大小相同，只是位置发生了变化.
四边形A2B2C2D2是由四边形A1B1C1D1向下平移4个单位长度得到的.
3. 在平面直角坐标系中，将点P(-3，4)平移至原点，则平移方式可以是 (　　)
A. 先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度
B. 先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度
C. 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度
D. 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度
D
(0，0)
点的平移变换：左右移动改变点的横坐标，左减右加；
上下移动改变点的纵坐标，下减上加.
4. 将点P(m+2，2m+4)向左平移1个单位长度得到点Q，且点Q在y轴上，那么点P的坐标是　　　　.
(1，2)
5. 如图，三角形ABC的顶点坐标分别为A(-1，4)，B(-4，-1)，
C(1，1)，将三角形ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形A′B′C′，且点C的对应
点是点C′.
(1) 在图中画出三角形A′B′C′，并直接
写出点C′的坐标；
解：(1) 三角形A′B′C′如图所示.
点C′的坐标为(5，-2).
5. 如图，三角形ABC的顶点坐标分别为A(-1，4)，B(-4，-1)，
C(1，1)，将三角形ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形A′B′C′，且点C的对应
点是点C′.
(2) 若三角形ABC内有一点P(a，b)，
经过以上平移后得到对应点P′，直接写
出点P′的坐标；
(3) 求三角形ABC的面积.
解：(2) 因为将三角形ABC向右平移4个单位长度，
再向下平移3个单位长度得到三角形A′B′C′，
所以点P′的坐标为(a+4，b-3).
(3) S△ABC=5×5-×3×5-×2×3-×5×2
=.
用坐标表示平移
点的平移
规律总结：
左减右加横坐标，
上加下减纵坐标
图形的平移
利用平移求点的坐标
转化
3.1 图形的平移
第3课时 坐标系中的平移(2)
1. 通过具体实例认识图形的两次平移变换，探索它的基本性质.（重点）
2. 能按要求画出平面图形两次平移后的图形.（难点）
问题 先将图中的“鱼”F向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到新“鱼”F′.
（1）在平面直角坐标系中画出
“鱼”F′.
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5
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(2) 能否将“鱼”F′看成是由“鱼”F经过一次平移得到的 如果能，请指出平移的方向和平移的距离.
能将“鱼”F′看成是“鱼”F经过一次
平移得到的，平移的方向是点(0，0)到
点(3，-2)的方向，
平移的距离为.
(3) 在“鱼”F和“鱼”F′中，对应点的坐标之间有什么关系
“鱼”F′与“鱼”F相比，对应点的
横坐标分别增加了3，纵坐标分别减
小了2.
先将图中的“鱼”F的每个“顶点”的横坐标分别加2，纵坐标不变，得到“鱼”G；
再将“鱼”G的每个“顶点”的纵坐标分别加3，横坐标不变，得到“鱼”H.
与原来的“鱼”F相比有什么变化
y
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F
与原来的“鱼”F相比形状、大小相同，只是位置改变 ，先向右平移了2个单位长度，再向上平移了3个单位长度.
y
x
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5
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H
F
(1) 能否将“鱼”H看成是“鱼”F经过一次平移得到的 若能，请说出平移方向和距离.
可以将“鱼”H看成是“鱼”F经过一次平移得到的，
y
x
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4
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F
H
平移方向是点(0，0)到点(2，3)的方向，
平移距离是.
(2) 如果横坐标分别加2，纵坐标分别
减3呢
y
x
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5
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-4
可以看成是“鱼”F经过一次平移
得到的，
平移方向是点(0，0)到点(2，-3)的方向，
平移距离是.
一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形与原来的图形相比，位置有什么变化
它们对应点的坐标之间有怎样的关系
平移方向和平移距离 对应点的坐标
向右平移a个单位长度，向上平移b个单位长度
向右平移a个单位长度，向下平移b个单位长度
向左平移a个单位长度，向上平移b个单位长度
向左平移a个单位长度，向下平移b个单位长度
(x+a ， y+b)
(x+a ， y-b)
(x-a ， y+b)
(x-a ， y-b)
一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.
例1 如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A(-3， 5)，B(-4， 3)，C (-1，1)，D(-1，4)，将四边形ABCD先向上平移3个单位长度， 再向右平移4个单位长度，
得到四边形A′B′C′D′.
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
(1) 四边形A′B′C′D′与四边形ABCD对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？分别写出点A′，B′，C′，D′的坐标.
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
解：(1) 四边形A′B′C′D′与四边形ABCD对应点的横坐标分别增加了4，纵坐标分别增加了3，
A′(1，8)，B′(0，6)，C′(3，4)，
D′(3，7).
(2) 如果将四边形A′B′C′D′看成是由四边形ABCD经过一次平移得到的，那么请指出这一平移的平移方向，并求出平移距离.
(2) 如图，连接AA′，
由图可知AA′==5.
因此，如果将四边形A′B′C′D′看成是由四边形ABCD经过一次平移得到的，平移方向是由A到A′的方向，平移距离是5个单位长度.
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(3，-1)，平移线段AB，使点A落在点A′(-2，2)处，则点B的对应点B′的坐标为(　　)
A. (-1，-1) B. (1，0)
C. (-1，0) D. (3，0)
C
1. 如图，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点P(a，b)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(　　)
A．(a－2，b＋3)
B．(a－2，b－3)
C．(a＋2，b＋3)
D．(a＋2，b－3)
A
2. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，1)，将线段AB平移，使其一个端点到点C(3，2)处，则平移后另一端点的坐标为　 　　　　　.
(1，3)或(5，1)
3. 在平面直角坐标系中，将点A(x，y)向左平移5个单位长度，
再向上平移3个单位长度后与点B(-3，2)重合，则点A的坐标是 .
(2，-1)
4. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点B的坐标为(2，0)，点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为 .
(4，2 )
5. (1) 在平面直角坐标系中描出点A(-8，7)，B(-7，3)，
C(-6，7)，D(-5，3)，E(-4，7)，并将它们依次连接；
A
D
B
C
E
解：(1)如图所示．
(2) 将(1)中所画图形先向右平移10个单位长度，再向下平移10个单位长度，画出第2次平移后的图形；
A
D
B
C
E
A′
D′
B′
C′
E′
(2)平移后各点坐标分别为
A′(2，-3)，B′(3，-7)，
C′(4，-3)，D′(5，-7)，
E′(6，-3)．
如图所示．
(3) 如何将(1)中所画图形经过一次平移得到(2)中所画图形？平移前后对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？
A
D
B
C
E
A′
D′
B′
C′
E′
(3) 如图所示，连接AA′，
由图可知AA′=，
因此，将(1)中所画图形沿A 到A′的方向平移个单位长度即可得到(2)中所画图形；
平移后的横坐标等于平移前的横坐标加10，平移后的纵坐标等于平移前的纵坐标减10.
平移方向和平移距离 对应点的坐标
向右平移a个单位长度，向上平移b个单位长度
向右平移a个单位长度，向下平移b个单位长度
向左平移a个单位长度，向上平移b个单位长度
向左平移a个单位长度，向下平移b个单位长度
(x+a ， y+b)
(x+a ， y-b)
(x-a ， y+b)
(x-a ， y-b)
一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.

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