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3.2 图形的旋转
3.2 图形的旋转
第1课时 旋转的概念与性质
1. 通过具体实例认识平面图形的旋转.
2. 探索图形旋转的基本性质.（重点）
下图反映的是日常生活中物体运动的一些场景，这些物体的运动有什么共同特点？
绕一个定点旋转.
你还能找到类似的例子吗
在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.
转动的方向分为顺时针与逆时针.
旋转不改变图形的形状和大小.
如图，△ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度，得到△DEF，点A，B，C分别旋转到了点D，E，F.
A
B
C
D
E
F
O
④ 点O是旋转中心，∠AOD，∠BOE，∠COF都是旋转角.
① 点A与点D是一组对应点；
② 线段AB与线段DE是一组对应线段；
③∠BAC与∠EDF是一组对应角；
(1) 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角；
(2) 旋转中心可以是图形上的某一点，也可以是图形内或图形外的某一点.
如果图形上的点P经过顺时针旋转变为点P′，
旋转方向：
旋转中心：
旋转角：
P
P′
o
顺时针
定点O
∠POP′
如图，△A′OB′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°得到的.
旋转中心是点___； 旋转的方向是_______；
旋转的角度是____； 点B的对应点是点____；
∠A的对应角是____，∠B的对应角是____，
线段OB的对应线段是线段____，
线段AB的对应线段是线段____，
OA的中点D的对应点在____的中点上.
O
逆时针
45°
B′
∠A′
∠B′
OB′
A′B′
OA′
两张透明纸上的四边形ABCD和四边形EFGH完全重合，在纸上选取旋转中心O，并将其固定.把其中一张纸片绕点O旋转一定角度.
(1) 观察图中的两个四边形，你能发现哪些相等的线段和相等的角
A D
B C
E H
F G
O
(1) 相等的线段：AB=EF，BC=FG，
CD=GH，AD=EH；
相等的角：∠A=∠E，∠B=∠F，
∠C=∠G，∠D=∠H.
两张透明纸上的四边形ABCD和四边形EFGH完全重合，在纸上选取旋转中心O，并将其固定.把其中一张纸片绕点O旋转一定角度.
(2) 连接AO，BO，CO，DO，EO，FO，GO，HO，你又能发现哪些相等的线段和相等的角
A D
B C
E H
F G
O
(2) 相等的线段：AO=EO，BO=FO，
CO=GO，DO=HO；
相等的角：∠AOE=∠BOF=∠COG=∠DOH.
两张透明纸上的四边形ABCD和四边形EFGH完全重合，在纸上选取旋转中心O，并将其固定.把其中一张纸片绕点O旋转一定角度.
(3) 在图中再取一些对应点，画出它们与旋转中心所连成的线段，你又能发现什么
A D
B C
E H
F G
O
(3) 对应点到旋转中心的距离相等，
任意一组对应点与旋转中心的连线
所成的角都等于旋转角.
一个图形和它经过旋转所得的图形中：
① 对应点到旋转中心的距离相等；
② 任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；
③ 对应线段相等，对应角相等.
如图，△ABC绕点O逆时针旋转n°得到△A′B′C′.
根据旋转的性质得OA=OA′，OC=OC′.
连接AA′，CC′，点O在线段AA′的垂直平分线上，也在线段CC′的垂直平分线上.
旋转中心的确定：
旋转中心是两组对应点所连线段的垂直平分线的交点.
在下图中的(1)~(4)的四个三角形中，哪个不能由△ABC经过平移或旋转得到？
C
B
A
(1) (2) (3) (4)
例1 如图，点A，B，C，D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为(　　)
A．30° B．45°
C．90° D．135°
C
1. 如图，四边形ABCD经过旋转后与四边形ADEF重合.
(1) 指出这一旋转的旋转中心和旋转角；
(2) 写出图中相等的线段和相等的角.
E
F
A
B
C
D
解：(1) 点A是旋转中心，
∠BAD，∠CAE，∠DAF都是旋转角.
E
F
A
B
C
D
1. 如图，四边形ABCD经过旋转后与四边形ADEF重合.
(1) 指出这一旋转的旋转中心和旋转角；
(2) 写出图中相等的线段和相等的角.
(2) 相等的线段有：AB=AD=AF，AC=AE，
BC=DE，CD=EF.
相等的角有：∠BAD=∠CAE=∠DAF，
∠BAC=∠DAE，∠CAD=∠EAF，∠BCA=∠DEA，∠ACD=∠AEF，∠ABC=∠ADE，∠BCD=∠DEF，∠ADC=∠AFE.
2. 如图，你能绕点O旋转，使得线段AB与线段CD重合吗 为什么
A B
C
O
D
解：不能.
因为旋转前后，对应点到旋转中心的距离应相等，
而OA≠OC，OB≠OD，
所以不能绕点O旋转，使得线段AB与线段CD重合.
3. 如图，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，点M是AC的中点.若BD=3cm，AB=8cm，则EC= ，AM= .
3cm
4cm
4. 如图所示，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为 .
50°
5. 如图所示，在等边三角形ABC中，AC=12，点O在AC上，P是AB上一点，连接OP，且OP=7，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，点D恰好落在BC上，则△OCD的周长是　　　　.
19
旋转
概念
在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转
要素
旋转中心、旋转方向、旋转角
性质
对应点到旋转中心的距离相等；
任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；
对应线段相等，对应角相等
3.2 图形的旋转
第2课时 旋转作图
1. 能够根据旋转的性质作出一些简单的平面图形旋转后的图形.（重点）
2. 能够综合运用平移和旋转分析、解释一些简单图形的变换.
问题 我们已经学面内图形旋转的概念和性质，怎样才能画出一个图形按一定条件旋转后的图形呢
在图1中，画出线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段.
解：(1) 如图2， 以AB为一边按顺时针方向画∠BAX，使∠BAX=60°.
B
A
图1
X
B
A
C
图2
(2) 在射线AX上取点C，使得AC=AB.
线段AC就是线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段.
如图，△ABC绕点O按逆时针方向旋转后，顶点A旋转到了点D．
(1) 指出这一旋转的旋转角.
(2) 画出旋转后的三角形.
C
A
B
D
O
解：(1) 如图，连接OA，OD，
∠AOD即为旋转角.
如图，△ABC绕点O按逆时针方向旋转后，顶点A旋转到了点D．
(1) 指出这一旋转的旋转角.
(2) 画出旋转后的三角形.
N
M
C
A
B
D
O
E
F
(2) ① 连接OB，OC，分别以OB，
OC为边作∠BOM＝∠CON＝∠AOD；
② 分别在OM，ON上截取OE＝OB，OF＝OC；
③ 依次连接DE，EF，FD；
则△DEF就是所求作的三角形，如图所示．
确定一个图形旋转后的位置，需要哪些条件
① 图形原来的位置；
② 旋转中心；
③ 旋转方向及旋转角.
旋转画图的一般步骤：
① 找：找出旋转中心、旋转方向、旋转角及构成图形的关键点；
② 连：将图形中的各关键点与旋转中心分别连接起来；
③ 转：把连线绕旋转中心按旋转方向分别旋转一定的角度，使其等于旋转角；
④ 截：在旋转后的射线上截取与各连线分别相等的线段，得到各关键点的对应点；
⑤ 画：根据原图形顺次连接所得到的各对应点，画出要求的图形；
⑥ 写：写出结论.
1.在图中，画出线段AB绕点O按逆时针方向旋转 60°后的图形.
A
B
O
B′
A′
解：① 连接OA，OB，分别以OA，
OB为边作∠AOM＝∠BON=60°；
M
N
则线段A′B′就是所求作的线段，如图所示．
② 分别在OM，ON上截取OA′＝OA，
OB′＝OB；
③ 连接A′B′；
观察图，甲图案进行怎样的运动变化，可以与乙图案重合？
甲
乙
A
B
方法一：可以先将甲图案绕图上的A点旋转，使得图案被“扶直”，然后，再沿AB方向将所得图案平移到B点位置，即可得到乙图案.
方法二：可以先将甲图案沿AB方向平移到B点位置，然后，绕图上的B点旋转，使得图案被“扶直”，即可得到乙图案.
B
A
甲
乙
例1 如图，怎样将右边的图案变成左边的图案？
解：方法一：以右边图案的中心为旋转中心，将图案按逆时针方向旋转90°，然后平移，即可得到左边的图案.
方法二：先将右侧图案平移到左边，然后以左边图案的中心为旋转中心逆时针方向旋转90°，即可得到左边的图案.
例2 如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有△ABC，点A、B、C均在小正方形的顶点上．将△ABC绕着点C顺时针旋转90°得到△CDE（点A、B的对应点分别为D、E），画出△CDE.
分析：根据旋转的性质可知，旋转角∠ACD=∠BCE=90°，对应线段相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.
D
.
E
.
解：如图，△CDE即为所求.
1. 在图中画出线段AB绕点O按顺时针方向旋转50°后的线段.
解：(1) 如图所示，以OA为一边按顺时针方向画
∠AOM，使得∠AOM=50°.
(2) 在射线OM上取点C，使得OC=OA，在CO的
延长线上取点D，使得OD=OB.
线段CD就是线段AB绕点O按顺时针方向旋转50°
后的线段.
2. 将如图所示的五边形绕点O按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形.
O
解：如图所示.
3. 同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的.如图是在万花筒中看到的一个图案．图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的四边形AEFG可以看成是四边形ABCD以A为旋转中心(　　)
A. 顺时针旋转60°得到的
B. 顺时针旋转120°得到的
C. 逆时针旋转60°得到的
D. 逆时针旋转120°得到的
B
4. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，4)，将OA绕坐标原点O旋转90°得到OA'，则点A'的坐标是　　　　　　　　.
(-4，3)或(4，-3)
5. 如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合(点A与点C重合，点B与点D重合)，
则这个旋转中心的坐标为 .
(4，2)
旋转画图的一般步骤：
① 找：找出旋转中心、旋转方向、旋转角及构成图形的关键点；
② 连：将图形中的各关键点与旋转中心分别连接起来；
③ 转：把连线绕旋转中心按旋转方向分别旋转一定的角度，使其等于旋转角；
④ 截：在旋转后的射线上截取与各连线分别相等的线段，得到各关键点的对应点；
⑤ 画：根据原图形顺次连接所得到的各对应点，画出要求的图形；
⑥ 写：写出结论.
3.2 图形的旋转
第3课时 中心对称
1. 理解中心对称的定义及性质，会识别中心对称图形.（重点）
2. 会运用中心对称及中心对称图形的性质解决实际问题.
问题 观察下图，图(1)经过怎样的运动变化就可以与图(2)重合？你还能举出一些类似的例子吗？
(1) (2) (1) (2)
绕一个顶点旋转180°后与另一个图形重合.
如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫作它们的对称中心.
A′
B′
C′
A
B
C
O
△ABC与△A′B′C′关于点 O 成中心对称，
点O是对称中心，
点 A关于点 O的对称点是A′，
A′B′是AB的对应线段，
∠B′A′C′是∠BAC的对应角.
A′
B′
C′
A
B
C
O
如图，△ABC绕点O旋转180°后得到△A′B′C′
1. 中心对称是特殊的旋转，其旋转角为180°.
2. 成中心对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形.
3. 成中心对称的两个图形，只有一个对称中心，这个对称中心可能在图形的外部，也可能在图形的内部或边上.
观察 AA′，BB′，CC′，你能发现什么特征
A′
B′
C′
A
B
C
O
对称点与旋转中心连线所成的
角都等于180°，三个点共线.
AA′，BB′，CC′都过点O，O是
它们的中点.
中心对称的性质
(1) 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分.
(2) 成中心对称的两个图形是全等形，对应角相等，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等.
例1 如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，点O为对称中心，则下列说法不正确的是( )
A. S△ABC=S△A′B′C′
B. AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′
C. AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′
D. S△ACO=S△A′B′O
D
例2 如图，点O是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形.
A
B
C
D
E
O
C′
B′
D′
解：如图，连接BO并延长至B′，使OB′=OB；
连接CO并延长至C′，使OC′=OC；
连接DO并延长至D′，使OD′=OD；
顺次连接E，B′，C′，D′，A.
图形EB′C′D′A就是以点O为对称中心、
与五边形ABCDE成中心对称的图形.
画与已知图形成中心对称的图形
(1) 连接：分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接；
(2) 延长：将以上连线延长找对称点，使得对称点与对称中心的距离和关键点与对称中心的距离相等；
(3) 连接：将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于对称中心对称的图形.
观察下图，这些图形有什么共同特征 你还能举出一些类似的图形吗
绕某一点旋转180°后能与原来图形重合.
你还见过哪些具有这种特征的图案或图形
A
B
点O
点C
点B
平行四边形ABCD
O
A
D
B
C
图中 _______________是中心对称图形，
对称中心是________，
点A的对称点是________，
点D的对称点是________.
把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心.
图形ABCDEB′C′D′是中心对称图形吗
A
B
C
D
E
O
C′
B′
D′
是中心对称图形.
中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
区别
联系 1. 针对两个图形而言的；
2. 是指两个图形的(位置)关系；
3. 对称点在两个图形上；
4. 对称中心在两个图形之间
1. 针对一个图形而言的；
2. 是指具有某种性质的一个图形；
3. 对称点在一个图形上；
4. 对称中心在图形上或其内部
若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则是中心对称图形，
若把中心对称图形的两部分看作两个图形，则它们成中心对称
O
A
D
B
C
中心对称图形的性质：中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分.
确定对称中心的方法
方法一：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心.
方法二：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该中点为对称中心.
下列几个交通标志，其中是中心对称图形的是( )
A B C D
D
1. 下面哪些图形是中心对称图形
(1) (2) (3) (4)
解：图(1)(2)(3)是中心对称图形.
2. 下面扑克牌中，哪些牌的牌面是中心对称图形
解：“红心2”“方片J”的牌面是中心对称图形.
3. 在①线段，②角，③等腰三角形，④等腰梯形，⑤平行四边形，⑥矩形，⑦菱形，⑧正方形和⑨圆中，是轴对称图形的有___________________，是中心对称图形的有_______________，既是轴对称图形又是中心对称图形的有____________.
①⑤⑥⑦⑧⑨
①②③④⑥⑦⑧⑨
①⑥⑦⑧⑨
4. 如图是一个中心对称图形，A为对称中心.若∠C=90°，∠B=30°，AC=2，则BB′的长为_______.
8
5. 如图所示，在Rt△ABC中，斜边AB的长为8cm，直角边BC的长为12 cm.若扇形CAE与扇形DBE关于点E对称，则图中阴影部分的面积是　　　　　　.
24cm2
6. 如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A′B′C′D′.
A
B
C
D
O
作法：
1. 连接AO并延长到A′，使OA′=OA，得到点A的对应点A′；
2. 同理，可作出点B，C，D的对应点B′，C′，D′；
3. 顺次连接A′，B′，C′，D′，A′，则四边形A′B′C′D′即为所作.
A′
B′
D′
C ′
中心对称
概念
把一个图形绕看某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合
一确定关键点；二确定对应点；三连线
性质
成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分
画已知图形关于某点成中心对称的图形的步骤

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