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4.3 公式法
4.3 公式法
第1课时 运用平方差公式因式分解
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想；（重点）
2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.（难点）
填空：
（1）（x+5）（x-5） = ；
（2）（3x+y）（3x-y）= ；
（3）（3m+2n）（3m–2n）= ．
它们的结果有什么共同特征？
以上都是用平方差公式：(a+b)( a-b)＝a2-b2计算得出来的.
整式的乘法
9 –
9 –
（x+5）（x-5）
（3x+y）（3x-y）
因式分解
它们有什么共同特征？你能由此得到什么结论？
共同特征：两个数（式）的平方差可以化成这两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积的形式,这种变形就是我们今天学习的内容.
尝试将上面的结果分别写成两个因式的乘积：
探究一：用平方差公式因式分解
把乘法公式(a+b)( a-b)＝a2-b2反过来，就得到
a2-b2＝(a+b)( a-b).
注意：能用平方差公式分解因式的多项式的特点:a2-b2.
即多项式是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，如果能，请将其转化成（　） －（　） 的形式.
(1) 2 －81
(2) 1 －162
(3) 42+9
(4
(5)
不能转化为平方差形式.
不能转化为平方差形式.
= 2 －92
= 12－(4 )2
解：（1）25-16x2
=52-(4x)2
=(5+4x)(5-4x)；
归纳：第一步，将两项写成平方的形式，找出a，b;
第二步，利用a2-b2=(a-b)(a+b)分解因式.
例1 把下列各式因式分解.
（1）25-16x2； （2）.
（2）
=
=
观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解.
(1)a4-b4；　 (2)x3y2-xy4.
还能继续分解吗？
解：(1)a4-b4
=(a2+b2)(a2-b2)
=(a2+b2)(a+b)(a-b)
(2) x3y2-xy4
＝xy2(x2-y2)
有公因式的要先提公因式,再进一步分解.
＝xy2(x+y)(x-y).
解：(1)2x3-8x
=2x(x2-4)
=2x(x2-22)
=2x(x+2)(x-2).
例2 把下列各式因式分解：
（1）2x3-8x； （2）9(m+n)2-(m-n)2.
（2）9(m+n)2-(m-n)2
=[3(m+n)]2-(m-n)2
=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n);
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解.
（4）计算：1002-992+982-972+962-952+… +22-12=　　　　.
（3）因式分解：2a2-18=　　　 　.
（2）若x2-9=(x+a)(x+3),则a=　　　　.
-3
2(a+3)(a-3)
（1）因式分解：(x-1)2-9= .
(x+2)(x-4)
5050
1.按照下列要求进行填空.
运用平方差公式因式分解的注意事项：
1.具有平方差形式的多项式才可运用平方差公式分解因式.
2.公式中的字母 可以是单项式，也可以是多项式，应视具体情形灵活运用.
3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式.
4.分解因式要彻底.要注意每一个因式的形式要最简，直到不能再分解为止.
解:(1)x3y-xy3
=xy(x2-y2)
=xy(x+y)(x-y).
(2)49m2-n2
=(7m)2-()2
=(7m+)(7m-).
2.把下列各式因式分解:
(1)x3y-xy3； (2)49m2-n2 .
探究二：平方差公式因式分解的应用
求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除.
证明：原式＝(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)＝4n·2＝8n，
∵n为整数，
∴8n被8整除，
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除.
如图，在一张边长为 cm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b cm的正方形．求剩余部分的面积。当＝3.6，b＝0.8时，剩余部分的面积是多少？
解：剩余部分的面积是(a2－4b2)cm2.
当a＝3.6，b＝0.8时，
a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)
＝(3.6＋2×0.8)×(3.6－2×0.8)
＝5.2×2＝10.4.
答：当a＝3.6，b＝0.8时，剩余部分的面积为10.4 cm2.
1．把代数式3x2－27因式分解，结果正确的是( )
A．3(x2－9) B．3(x－3)2
C．3(x＋3)(x－3) D．3(x＋9)(x－9)
2.如图所示，已知R=6.75，r=3.25，则图中阴影部分
的面积为(结果保留π)(　　)
A.3.5π　　　　 B.12.25π
C.27π　　　　 D.35π
D
D
3．计算752－252的结果为________．
5000
4.把下列各式因式分解:
(1)(2x+3y)2-1； (2)-16b4+1.
解: (1)(2x+3y)2-1
=(2x+3y)2-12
=(2x+3y+1)(2x+3y-1).
(2)-16b4+1
=1-16b4
=12-(4b2)2
=(1+4b2)(1-4b2)
=(1+4b2)(1+2b)(1-2b).
5.已知n为整数，试说明(n+7)2-(n-3)2的值一定能被 20 整除.
解:∵(n+7)2-(n-3)2
=(n+7+n-3)(n+7-n+3)
=20(n+2)，
∴(n+7)2-(n-3)2的值一定能被 20 整除.
6.已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
∴x－y＝－2 ②.
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1 ①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得
平方差公式因式分解
平方差
因式分解
a2-b2＝(a+b)( a-b).（两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.）
一提：有公因式的先提取公因式；
二套：套用公式（平方差公式）；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
步骤
4.3 公式法
第2课时 运用完全平方公式因式分解
1. 理解并掌握用完全平方公式分解因式；（重点）
2. 会综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解.（难点）
2.把下列各式分解因式:
(1)ax4-ax2; (2)x4-16.
提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)；
平方差公式法：a2-b2=(a+b)(a-b).
解:(1)ax4-ax2
=ax2(x2-1)
=ax2(x+1)(x-1).
(2)x4-16
=(x2+4)(x2-4)
=(x2 +4)(x+2)(x-2).
1.因式分解学过了哪些方法？
有公因式，先提公因式.
因式分解要彻底.
【问题1】填空：
（1）(a+2b)2＝ ；
（2）(3a-b)2 ＝ .
它们的结果有什么共同特征？
a2+4ab+4b2
9a2-6ab+b2
以上都是用完全平方公式：(a+b)2＝ a2+2ab+b2，(a-b)2＝ a2-2ab+b2计算得出来的.
整式的乘法
【问题2】根据问题1中等式填空：
（1）a2+4ab+4b2＝ ；
（2）9a2-6ab+b2＝ .
(a+2b)2
(3a-b)2
思考：根据学方差公式因式分解的经验和方法，你能将形如“a2+2ab+b2、a2-2ab+b2”的式子因式分解吗？
因式分解
它们有什么共同特征？你能由此得到什么结论？
探究一：用完全平方公式因式分解
将乘法公式(a+b)2＝ a2+2ab+b2， (a-b)2 ＝a2-2ab+b2反过来，就得到:
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
形如 a2±2ab+b2的式子称为完全平放式.
因式分解的完全平方公式:
a2+2ab+b2＝(a+b)2 ， a2-2ab+b2＝(a-b)2 .
根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2.
整式乘法
因式分解
a2+2ab+b2 =(a+b)2
a2-2ab+b2 =(a-b)2
议一议：下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a ;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
（2）因为它只有两项；
不是
（3）4b 与-1的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
完全平放式的特点：
1.是三项式（或可以看成三项）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间是这两个数的积的±2倍.
只有完全平放式才可以用完全平方公式因式分解.
注意：公式中的a，b既可以是单项式，也可以是多项式.
1.下列多项式能用完全平方公式分解因式的有(　　)
(1)a2+ab+b2；(2)a2-a+；(3)9a2-24ab+4b2；(4)-a2+8a-16.
A.1个 　 B.2个 C.3个 D.4个
B
解析：(1)a2+ab+b2，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a2-a+＝(a-)2；(3)9a2-24ab+4b2，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)-a2+8a-16＝-(a2-8a+16)＝-(a-4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解.
例1 把下列完全平方式因式分解：
(1)x2＋14x＋49； (2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
解：(1)x2＋14x＋49
＝ x2＋2×7x＋72
＝ (x＋7) 2 ；
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9
＝ [(m＋n)－3]2
＝(m＋n－3)2.
归纳：因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.
例2 把下列各式因式分解：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2； (2)－x2－4y2＋4xy.
解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2
＝ 3a(x2＋2xy＋y2)
＝3a(x＋y)2；
(2)－x2－4y2＋4xy
＝ －(x2＋4y2－4xy)
＝ －(x2－4xy＋4y2)
＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]
＝ －(x－2y)2.
首项有“负号”要先提
做一做：计算或化简下列各式：
(1)2022+202×196+982； (2)(a2-2)2-2a2(a2-2)+a4.
探究二：完全平方公式因式分解的应用
解：(1) 2022+202×196+982
＝2022+2×202×98+982
＝(202+98)2
＝3002
＝90 000.
(2) (a2-2)2-2a2(a2-2)+a4
＝(a2-2)2-2a2(a2-2)+(a2)2
＝(a2-2-a2)2
＝(-2)2
＝4.
利用完全平方公式因式分解，可以简化计算.
2.已知a,b,c分别是△ABC三边的长,且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状,并说明理由．
∴△ABC是等边三角形．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，
∴a＝b＝c，
3.如图所示，是长与宽分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为________．
1.因式分解(a-b)2+4ab的结果是　 　　　.
2.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为________．
±4
(a+b)2
490
4.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36; (2)2a2b-a3-ab2;
（3）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (4) y2+2y+1－x2;
(3)4(2a+b)2-4(2a+b)+1
=[2(2a+b)] － 2·2(2a+b)·1+(1)
=(4a+2b － 1)2;
解：(1)x2－12x+36
=x2－2·x·6+(6)2
=(x－6)2;
(4)y2+2y+1－x2
=(y+1) －x
=(y+1+x)(y+1－x).
(2)2a2b-a3-ab2
=-a(a2-2ab+b2)
=-a(a-b)2;
5.阅读材料:在因式分解中,有一类形如x2+(m+n)x+mn的多项式,其常数项是两个因数的积,而它的一次项系数恰是这两个因数的和,则我们可以把它分解:x2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n).
例如:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)·(x+3).
运用上述方法因式分解:
(1)x2+6x+8; (2)x2-x-6; (3)x2-5xy+6y2.
解: (1)x2+6x+8=(x+2)(x+4);
(2)x2-x-6=(x+2)(x-3);
(3)x2-5xy+6y2=(x-2y)(x-3y).
完全平方公式因式分解
完全平方公式因式分解
a2±2ab+b2=(a±b)2
1.是三项式；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间是这两个数的积的±2倍.
完点全平放式的特：

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