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5.1 分式及其基本性质
5.1 分式及其基本性质
第1课时 认识分式
1. 了解分式的概念,明确分式和整式的区别；
理解分式有意义的条件及分式值为零的条件；（重点）
2. 能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件.（难点）
2019年12月30日，京张高速铁路开通运营，大大缩短了北京市到张家口市的旅程时间.京张高速铁路正线全长174km，在这条线路上，甲列车的平均行驶速度是乙列车的2倍.
设乙列车的平均行驶速度为x km/h，请回答下列问题：
(1) 乙列车从北京市到张家口市的行驶时间是多少
(2) 甲列车从北京市到张家口市的行驶时间是多少
解：（1）乙列车从北京市到张家口市的行驶时间是h
（2）甲列车从北京市到张家口市的行驶时间是 h.
(1) 李叔叔计划用 x 元购买一批单价为 a 元/kg 的苹果，由于购买量大，现在每千克便宜了 b 元，那么李叔叔现在可以购买多少千克苹果
苹果现在的单价：a b 元/kg .
李叔叔现在可以购买的苹果 ：
探究一：分式的概念
(2) 在 2022 年北京冬奥会期间，某电视台对其中一项赛事进行了连续转播。据统计，这项赛事前 a 天日均收看人数为 m 万，后 b 天日均收看人数为 n 万，那么这 (a + b) 天该赛事的日均收看人数为多少万
这 (a + b) 天该赛事的日均收看人数：
这 (a + b) 天该赛事的总收看人数：
与整式的不同点：
①单项式和多项式统称为整式.其中，单项式的分母中不能含有字母；
②以上式子分母中都含有字母.
共同特征：①从形式上都具有分数形式；
②分子、分母都是整式，且分母中都含有字母.
【观察·交流】
上面问题中出现了代数式 ， ， ,，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？
分式的定义
一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，且B中含有字母，那么称为分式.其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.对于任意一个分式，分母不能为零.
注意：
（1）分式也是代数式；
（2）分式是两个整式的商，它的形式是 （其中A，B都是整式并且B是含有字母的整式）.
解:分式有①②④⑦⑩.
例1 下列各式中，哪些是分式？
探究二：分式有、无意义的条件
（1）我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
当B=0时，分式无意义；
当B≠0时，分式有意义.
（2）要使分式的值为0，应满足什么条件？
当A=0，且B≠0，分式的值为0.
注意：分式的值为0一定是在有意义的条件下成立的.
(2)当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之外，分式都有意义.
解：(1)当a=1时，==2;
当a=2时，=1;
当a=-1时，
由分母2a-1=0，得
例2 （1）当a=1,2，-1时，分别求出分式的值；
（2）当a取何值时，分式有意义.
所以，当时，分式有意义.
的值为零.
∴当x = 1时，分式
∴ x ≠ -1.
　x+1≠0
∴ x = ±1
　x2-1=0
例3 当x为何值时，分式 的值为零
列式表示下列各量：
（1）某村有n个人，耕地40公顷,人均耕地面积为 公顷；
（2）△ABC的面积为S，BC边长为a，高AD为 ；
（3）一辆汽车行驶a千米用b小时，它的平均车速为 km/h；一列火车行驶a千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速为 km/h.
探究三：根据实际问题列分式
3.某单位全体员工在植树节义务植树240棵,原计划每小时植树a棵,实际每小时植树的棵数比原计划每小时植树的棵数多10棵,那么实际比原计划提前了　　　　　　　　　小时完成任务.(用含a的代数式表示)
2.当x　　　　　时,分式有意义.
1.下列式子:①，②，③，④，⑤，⑥中,属于分式的有　　　　(填序号).
①③⑤
≠±1
解: (1)当a=1，b=5时,=7.
4.(1)当a=1，b=5时，求分式的值;
(2)当x=0,-2,时,求分式的值.
(2)当x=0时,==-1;
当x=-2时,==-1;
当x=时,==0.
1.在下面四个代数式中,分式为( )
B
2.当x=2时,分式无意义,当x=4时,此分式的值为0,则a-b=　　　　.
-2
3.（1）当x 时，分式有意义；
（2）当x 时，分式的值为零；
（3）当x=-3时，分式的值为 .
≠
=2
4.已知分式满足条件“只含有字母x,且当x=1时无意义”,请写出一个这样的分式:___________.
5.把x千克橘子糖、y千克椰子糖、z千克奶糖混合成什锦糖.已知橘子糖的单价为每千克28元,椰子糖的单价为每千克32元,奶糖的单价为每千克48元,则这种什锦糖的单价可以表示为(　　)
A.36元/千克 B.元/千克
C.元/千克 D.元/千克
D
6.已知分式.
（1）当x=2时，求分式的值;
（2）当x为何值时，分式有意义
（3）当x为何值时，分式的值为0
(2)当x+3≠0且x-4≠0,即x≠-3且x≠4时,分式有意义.
解: (1)当x=2时,=.
(3)要使分式的值为0,则解得x=3.所以当x=3时,分式的值为0.
一个概念
分母等于零
分母不等于零
分子等于零且分母不等于零
两个应用
列分式
求分式的值
三个条件
分式有意义的条件：
分式无意义的条件：
分式的值为零的条件：
分式的概念
①分子分母都是整式
②分母中含有字母
③分母不能为零
问题提出：你认为分式 与 相等吗？
5.1 分式及其基本性质
第2课时 分式的基本性质及约分
1. 理解并掌握分式的基本性质；（重点）
2. 会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分.（难点）
1.分式的定义：
一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式， 且B中含有 ，那么称为分式.其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.对于任意一个分式，分母不能为 .
(3)分式值为零的条件
2.(1)分式有意义的条件
(2)分式无意义的条件
当B=0时，分式无意义.
当B≠0时，分式有意义.
当A=0，且B≠0，分式的值为0.
零
字母
问题： 吗？你的判断依据是什么？从左到右依次是怎样变化来的？谁是最简的分数？
思考： 你能类比分数，得到分式的基本性质吗？
分数的 基本性质
，其依据是：分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数，分数的值不变.
其中，是最简的分数.
探究一：分式的基本性质
=.
回顾分数的基本性质，猜一猜，分式有什么性质？
想一想：类比分数，你认为分式与相等吗？
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
分式的基本性质：
上述性质可以用式子表示为：
，
例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）
； （2）
.
为什么(2)中，x≠0？
解：（1）因为y≠0，所以
（2）因为x≠0，所以
例2 化简下列各式：
（1）
； （2）
．
解：（1）
（2）
分子、分母同时约去了整式ab.
分子、分母同时约去了整式x-1.
把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
约分的定义：
约分的基本步骤：
(1)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
(2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式因式分解，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
做一做 化简下列分式：
（1）
； （2）
．
解：（1）
（2）
（1）化简分式：.
（2）在化简时，小宇和小丽的做法分别如下.
对于两人的做法，你有什么看法？与同伴进行交流.
一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式．
注意：化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式．
最简分式：
归纳：分式的分子、分母及分式的本身，任意改变其中的两个符合，分式的值不变；若只改变其中的一个或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数．
想一想：有什么关系？
（2）有什么关系？
,
.
解：
例3 化简下列分式：
约分的注意事项：
（1）约分前后分式的值要相等.
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.
1.把分式约分为(　　)
A. B. C. D.
2.下列分式是最简分式的是(　　)
A. B. C. D.
3.如果把中的x与y都扩大为原来的10倍,那么这个代数式的值(　　)
A.不变 B.扩大为原来的50倍
C.扩大为原来的10倍 D.缩小为原来的
A
C
C
2.下列各式中是最简分式的（ ）
D
B
5a
5a
10a2b
y-2
y-2
x-y
x-y
分式的
基本性质
分式的基本性质及约分
当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式．
注意：化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式．
最简分式
分式的约分
把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．

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