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5.3 分式方程
5.3 分式方程
第1课时 分式方程的概念
1. 理解分式方程的意义，掌握解分式方程的基本思路和解法；（重点）
2. 能根据题意列分式方程.（难点）
2.分式的混合运算法则
1.分式加减运算的方法思路
通分
转化为
异分母相加减
同分母
相加减
分子（整式）相加减
分母不变
转化为
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
注意：计算结果要化为最简分式或整式．
问题1:京张高速铁路正线全长174 km，这条线路上，甲列车的平均行驶速度是乙列车的2倍，甲列车从北京市到张家口市的行驶时间比乙列车少5/6h.
(1) 你能找出这一情境中的所有等量关系吗
甲列车的平均速度 = 2×乙列车的行驶速度；
乙列车的行驶时间-甲列车的行驶时间 = h.
探究一：分式方程的概念
问题1:京张高速铁路正线全长174 km，这条线路上，甲列车的平均行驶速度是乙列车的2倍，甲列车从北京市到张家口市的行驶时间比乙列车少5/6h.
(1) 你能找出这一情境中的所有等量关系吗
探究一：分式方程的概念
问题1:京张高速铁路正线全长174 km，这条线路上，甲列车的平均行驶速度是乙列车的2倍，甲列车从北京市到张家口市的行驶时间比乙列车少5/6h.
(2) 如果设乙列车的平均行驶速度是x km/h，那么x满足怎样的方程
∵乙列车的行驶时间-甲列车的行驶时间 =
探究一：分式方程的概念
问题1:京张高速铁路正线全长174 km，这条线路上，甲列车的平均行驶速度是乙列车的2倍，甲列车从北京市到张家口市的行驶时间比乙列车少5/6h.
(3) 如果设甲列车从北京市到张家口市的行驶时间是y h，那么y满足怎样的方程
探究一：分式方程的概念
由甲列车的平均速度 = 2×乙列车的行驶速度，得
= 2×.
问题2:为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款.已知七年级同学捐款总额为4 800元，八年级同学捐款总额为5 000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等.如果设七年级捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？
解：因为七年级捐款人数为x人，所以八年级捐款人数为(x+20)人.
根据两次人均捐款额相等，可列方程 = .
由上面的问题，你得到了哪些方程 观察这些方程，它们有什么共同特点
得到的方程：
- = ， = 2×， = .
共同特点：都是分母中含有未知数的方程.
分式方程的概念
分式方程的特征
分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
（1）是等式；
（2）方程中含有分母；
（3）分母中含有未知数.
解：（2）、（3）、（5）、（6）是分式方程，
（1）、（4）是整式方程.
注意：判断一个方程是不是分式方程，关键是看分母中有没有未知数,注意必须是表示未知数的字母.
例1 下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程？
C
C
探究二：列分式方程
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少
解：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
思考：列分式方程和一元一次方程有什么共同特点？
步骤一样.
列分式方程的步骤：
（1）审清题意，明确题目中的未知数；
（2）根据题意找等量关系，列出分式方程.
例2 甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树 x 棵，则根据题意列出的方程是（　　　）　
Ａ. B.
C. D.
D
A
B
1.下列属于分式方程的是（ ）
A. B.
C. D.
A
C
3.某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格为x元，则可列方程 .
4.某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设管道x m，则可得方程 _______________.
(2)根据题意及表中所得到的信息列出方程　　　　　　　　.
x
x+6
概念
分式方程
的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
列分式方程的步骤
1.审清题意，明确题目中的未知数；
2.根据题意找等量关系，列出分式方程.
5.3 分式方程
第2课时 分式方程的解法
1. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法；（重点）
2. 理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验根的方法.（难点）
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
列分式方程的步骤：
（1）审清题意，明确题目中的未知数；
（2）根据题意找等量关系，列出分式方程.
可以化成一元一次方程来求解.
你能求出方程- = 的解吗 你是怎样思考的
你能求出方程- = 的解吗 你是怎样思考的
方程两边同乘2x，得2×174-174= ×2x，
即x=174.
解得x=104.4.
检验：将x=104.4代入原方程，得左边= ，右边= ，左边=右边.
所以x=104.4 是原方程的根.
3x=4(x-1)．
解：方程两边都乘 x(x-1)，得
解这个方程，得 x=4．
检验：将x=4代入原方程，得 左边=1，右边=1，左边=右边.
∴x=4是原方程的根．
做一做：解方程: .
探究一：分式方程的解法
方程两边同乘最简公分母.
例1 解方程:
解这个方程，得x=3.
左边=1，右边=1，左边=右边.
检验：将x=3代入原方程，得
解：因为分式中分母不能为零，
所以
方程的两边都乘x(x－2)，得x=3（x－2）.
所以，x=3是原方程的根.
是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” ，即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
解分式方程的基本思路：
A
解：方程两边都乘(x－2)，得
解这个方程，得
x=2．
1－x=－1－2（x－2）.
你认为x=2是原方程的根吗？与同伴进行交流.
探究二：分式方程的增根
你会解吗？小亮的解法如下.
x=2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零.
产生增根的原因是，我们在方程的两边同乘了一个使分母为零的整式．因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验．通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就可以了．
使原分式方程的分母为零的根称为原方程的增根．
方程为什么会产生增根呢？
例2 解方程:
你还有不同于例题的解法吗？
解：方程两边都乘2x，得
解这个方程，得
x=4．
960-600=90x.
经检验，x=4是原方程的根.
想一想：解分式方程一般需要经过哪几个步骤
1.去分母，化为整式方程（方程两边各项乘以最简公分母）;
2.解这个整式方程，得到方程的根.
3.检验：判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解.
(1)把未知数的值代入原方程(一般方法);
(2)把未知数的值代入最简公分母(简便方法).
4.结论 ：确定分式方程的解.
解：方程两边同乘以x-2，
得2-x+m=2x-4,
合并同类项,得3x=6+m,
∴m=3x-6.
∵该分式方程有增根，
∴x=2，
∴m=0.
例3 若关于x的方程有增根，求m的值.
2或1
3.若方程有增根，则增根为(　　)
A.0　 B.2　　 C.0或2 D.1
A
2. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ）
A.2（x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8
C.2(x-8)-5x=16(x-7) D.2(x-8)-5x=8
A
D
A
D
A
6.解分式方程:
将分式方程化为整式方程.
分式方程的解法
解分式方程的基本思路
解分式方程的一般步骤
1.去分母，化为整式方程（方程两边各项乘以最简公分母）;
2.解这个整式方程，得到方程的根.
3.检验：把未知数的值代入原方程或最简公分母.
4.结论 ：确定分式方程的解.
分式方程的增根
若求出的解使得原分式方程的分母为零,我们称它为原方程的增根.
5.3 分式方程
第3课时 分式方程的应用
1. 理解数量关系正确列出分式方程；（重点）
2. 在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.（难点）
1.解分式方程的基本思路：
2.使原分式方程的分母为零的根称为原方程的 ．
3.解分式方程一般步骤:
(1)去分母，化为整式方程（方程两边各项乘以最简公分母）;
(2)解这个整式方程，得到方程的根.
(3)检验：判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解.
(4)结论 ：确定分式方程的解.
是将分式方程化为 ，具体做法是“去分母” ，即方程两边同乘 .
整式方程
最简公分母
增根
我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？
基本上有4种：
（1）行程问题： 路程=速度×时间；
（2）数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
（3）工程问题： 工作量=工时×工效；
（4）利润问题：
利润=售价-进价（成本）
利润率=×100%
.
利润=总收入-总支出
某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为96 000元，第二年为102 000元．
（1）你能找出这一情境中的等量关系吗
解：（1）等量关系包括：
第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500．
第一年出租房屋的间数=第二年出租房屋的间数；
审清题意,找出等量关系.
某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为96 000元，第二年为102 000元．
（2）根据这一情境你能提出哪些问题？
可以提出的问题如下:
① 该单位出租了多少间房屋
② 第一年每间房屋的租金是多少元
③ 第二年每间房屋的租金是多少元
某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为96 000元，第二年为102 000元．
（3） 你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗
(3)设第一年每间房屋的租金为x元,则第二年每间房屋的租金为(x＋500)元．
列方程得
方程两边乘x(x＋500)，得 96(x＋500)＝102x．
解这个方程，得 x=8 000．
经检验 x=8 000是原方程的根，
所以x＋500=8 500．
答:第一年每间房屋的租金为8 000元，则第二年每间房屋的租金为8 500元.
（1）审：审清题意，了解已知量与所求量各是什么，找出等量关系；
（2）设：设未知数（要有单位）；
（3）列：依据等量关系，列出相应的分式方程；
（4）解：解方程；
（5）验：看方程的解是否满足方程和符合题意；
（6）答：写出答案（要有单位）．
列分式方程解应用题的一般步骤：
例 师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅比徒弟每天多加工 10 个这种工艺品，师傅加工 300 个这种工艺品所用的时间是徒弟加工 120 个这种工艺品所用时间的 2 倍，求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品。
分析 : 问题中有怎样的等量关系 如何分别用代数式表示师傅加工 300 个这种工艺品、徒弟加工 120 个这种工艺品所用的时间
解: 设徒弟每天加工这种工艺品x个，则师傅每天加工这种工艺品 (x + 10) 个，根据题意，得
解这个方程，得
x = 40.
经检验，x = 40 是所列方程的根.
40 + 10 = 50.
所以，师傅每天加工这种工艺品 50 个，徒弟每天加工这种工艺品 40 个.
1.某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%,结果提前40天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则下面所列方程中正确的是 (　　)
A
10
2.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/时，若设船在静水中的速度为x千米/时,则根据题意可得方为 .
3.某市为治理污水,需要铺设一条全长为550 m的污水排放管道,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时,每天的工作效率比原计划增加10%,结果提前5天完成这一任务.则原计划每天铺设　　　　m.
4.甲、乙二人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等.求乙每小时做零件的个数.
2.几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加旅游的学生有x人，则所列方程为(　　)
A. B. C. D.
1.甲、乙两船从相距300 km的A,B两地同时出发,相向而行,甲船从A地顺流航行180 km时与从B地逆流航行的乙船相遇,水流的速度为6km/h.若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h,则求两船在静水中的速度可列方程为(　　)
A
A
4.某校学生去距学校20km的白水寺参观,一部分学生骑自行车先走,过了40min后,其余学生乘汽车沿相同路线出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,则骑车学生的速度是　　 km/h.
15
3.某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，可列出方程 .
应用类型
分式方程
的应用
列分式方程解应用题的步骤
行程问题、工程问题、数字问题、利润问题.
(1)审：审清题意，找出等量关系；
(2)设：设未知数；
(3)列：列分式方程；
(4)解：解方程；
(5)验：看方程的解是否满足方程和符合题意；
(6)答：写出答案（要有单位）．

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