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(共21张PPT)
第二章　不等式与不等式组
1　不等式及其性质
第3课时　不等式的基本性质
知识点1　不等式的基本性质
1.(2024三明尤溪期中)已知a＜b，下列不等式不正确的是(　 　)
A.4a＜4b B.a＋4＜b＋4
C.－4a＜－4b D.a－4＜b－4
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C
2.(2025南平期末)如果m＞n，那么下列结论中，正确的是(　 　)
A.1－m＞1－n B.＜
C.m－5＞n－5 D.－2m＞－2n
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C
3.(2025漳州龙海区期中)若x＜y，且(m－3)x＞(m－3)y，则m的值可能是(　 　)
A.5 B.4
C.3 D.2
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D
4.设“ ”“ ”“ ”分别表示三种不同的物体，用天平称两次的情况如图所示，那么下列式子成立的是(　 　)
A. ＝2× B. ＞2×
C. ＜2× D. ＞3×
(第4题)
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B
5.(2025常州)若＞，则x－y____0。(填“＞”“＜”或“＝”)
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＞
知识点2　根据不等式的基本性质解不等式
6.在横线上写出下列不等式的变形依据及具体变形过程：
(1)由3＋x＜5，得x＜2：___________________________________
______；
(2)由－2x＜6，得x＞－3：_________________________________
__________；
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根据不等式的基本性质1，不等式两边
根据不等式的基本性质3，不等式两边
都减3
都除以－2
(3)由x＞－2，得x＞－6：___________________________________
_______；
(4)由3x＞2x－4，得x＞－4：_________________________________
_______。
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根据不等式的基本性质2，不等式两边
根据不等式的基本性质1，不等式两边
都乘3
都减2x
7.根据不等式的性质解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1)x－13＜2；
解：根据不等式的基本性质1，
两边都加13，得x＜15。
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示。
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(2)5x＞4x＋2；
解：根据不等式的基本性质1，
两边都减4x，得x＞2。
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示。
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(3)4x＜－5；
解：根据不等式的基本性质2，
两边都除以4，得x＜－。
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示。
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(4)－x≤4。
解：根据不等式的基本性质3，
两边都乘－，得x≥－6。
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示。
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8.(2025泉州洛江区期末)若3a＋2b＝0，且a＜0，则(　 　)
A.b＞0 B.b＜0
C.b≥0 D.b≤0
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A
9.若a＜b＜0，则1－a，1，1－b三个数之间的大小关系为________
_______。(用“＜”连接)
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1＜1－b
＜1－a
10.先阅读下面的解题过程，再解题。
已知a＞b，试比较－2 025a＋1与－2 025b＋1的大小。
解：∵a＞b，①
∴－2 025a＞－2 025b。②
∴－2 025a＋1＞－2 025b＋1。③
(1)上述解题过程中，从步骤____开始出现错误；
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②
(2)请写出正确的解题过程。
解：∵a＞b，
∴－2 025a＜－2 025b。
∴－2 025a＋1＜－2 025b＋1。
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11.赵军同学说不等式2a＞3a永远不会成立，因为如果在这个不等式两边同时除以a，就会出现2＞3这样的错误结论。你同意他的说法吗？若同意，说明其依据；若不同意，说出错误的原因。
解：不同意他的说法。
∵a的值不确定，
∴解题时这个不等式两边不能直接同时除以a，不等号方向不变。
若2a＞3a，则2a－3a＞0，
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即－a＞0。
∴a＜0。
∴赵军错误的原因是两边除以a时不等号的方向没有改变。
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12.(2025漳州模拟)已知实数a，b，c满足a＋b＋c＜0，4a＋c＝2b。
(1)求证：b＜a；
证明：∵4a＋c＝2b，a＋b＋c＜0，
∴c＝2b－4a。∴a＋b＋2b－4a＜0。
∴3b－3a＜0，即b－a＜0。
∴b＜a。
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(2)若b2－4ac＝1，且c＞0，求b－4a的值。
解：根据题意，得a＋b＜0。
∵b－a＜0，
∴b－a＋a＋b＜0，即b＜0。
∵4a＋c＝2b，c＞0，
∴c＝2b－4a＞0。
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∴b－4a＞－b＞0。
∵c＝2b－4a，
∴b2－4ac＝b2－4a(2b－4a)＝b2－8ab＋16a2＝(b－4a)2＝1。
∵b－4a＞0，
∴b－4a＝1。
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12(共8张PPT)
第二章　不等式与不等式组
基础专题6　解一元一次不等式
1.下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务。
解不等式：＞－1。
解：2(2x－1)＞3(3x－2)－6。…………………………第一步
4x－2＞9x－6－6。 ……………………………………第二步
4x－9x＞－6－6＋2。 …………………………………第三步
－5x＞－10。……………………………………………第四步
x＞2。……………………………………………………第五步
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[任务1]
(1)以上解题过程中，第一步变形的依据是___________________；
(2)第____步出现错误，这一步出现错误的原因是________________
______________________________。
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不等式的基本性质2　
五
不等式的两边都除
以－5时，不等号的方向没有改变
[任务2]请直接写出该不等式的正确解集，并把解集表示在数
轴上。
解：这个不等式的解集为x＜2。
它的解集在数轴上表示如图所示。
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2.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1)5x＋2＞2x－4；
解：5x－2x＞－4－2。
3x＞－6。
x＞－2。
将不等式的解集表示在数轴上如图。
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(2)3x－2≤2(x－2)。
解：3x－2≤2x－4。
3x－2x≤－4＋2。
x≤－2。
将不等式的解集表示在数轴上如图。
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3.解下列不等式：
(1)≤＋1；
解：2(x＋2)≤3(x－1)＋6。
2x＋4≤3x－3＋6。
2x－3x≤－3＋6－4。
－x≤－1。
x≥1。
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(2)－＞1。
解：2(x＋1)－3(2x－5)＞12。
2x＋2－6x＋15＞12。
2x－6x＞12－15－2。
－4x＞－5。
x＜。
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3(共16张PPT)
第二章　不等式与不等式组
2　一元一次不等式
第2课时　一元一次不等式的应用
知识点1　根据条件列一元一次不等式
1.(2025泉州南安期中)“x与7的差的一半是正数”，用不等式可表示为(　 　)
A.x－＞0 B.＞0
C.≥0 D.－7≥0
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B
2.(2025莆田月考)某校成立了“智能机器人社团”，该社团在学校展览架的上、下两层摆放了40套机器人模型，若将上层的机器人模型拿5套放在下层，则下层的数量大于上层的数量。设上层摆放了x套机器人模型，则可列不等式为(　 　)
A.x－5＜40－x＋5 B.x＋5＜40－x－5
C.x－5＞40－x＋5 D.x＋5＞40－x－5
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A
3.(2025三明三元区期中)某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动。某小组的任务是平整土地300 m2。前半小时，由于操作不熟练，只平整完30 m2，学校要求完成全部任务的时间不超过3 h。若他们在剩余时间内每小时平整土地x m2，则x满足的不等关系为
(　 　)
A.30＋(3－0.5)x≤300 B.300－30x－0.5≤3
C.30＋(3－0.5)x≥300 D.0.5＋300－30x≥3
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C
知识点2　利用一元一次不等式解决实际问题
4.(2025宜宾)某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分。若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是(　 　)
A.14道 B.13道
C.12道 D.11道
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C
5.某中学团委组织七年级和八年级共60名学生参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶，为了保证收集塑料瓶的总数不少于1 000个，至少需要多少名八年级学生参加活动？
解：设需要x名八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为(60－x)名。
根据题意，得
20x＋15(60－x)≥1 000。
解得x≥20。
答：至少需要20名八年级学生参加活动。
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6.(2025宁德期末)生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任。某小区为加强生活垃圾分类处理，购进A型和B型两种垃圾桶共60个，已知购买一个A型垃圾桶需40元，购买一个B型垃圾桶需25元。为了保证总费用不超过2 000元，则最多能购买A型垃圾桶多
少个？
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解：设购买A型垃圾桶x个。
根据题意，得40x＋25(60－x)≤2 000。
解得x≤。
∵x为整数，∴x的最大值为33。
答：最多能购买A型垃圾桶33个。
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7.某学校需要购买投影仪6台，市场上有A型和B型两种，A型投影仪每台500元，B型投影仪每台550元，总费用不超过3 100元，则不同的购买方式有(　 　)
A.2种 B.3种
C.4种 D.5种
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B
8.(2025湖南省卷)同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料。已知A种香料的单价比B种香料的单价多3元，且购买4件A种香料与购买6件B种香料的费用相等。
(1)求A种香料和B种香料的单价；
解：设A种香料的单价为x元，则B种香料的单价为(x－3)元。
根据题意，得4x＝6(x－3)。
解得x＝9。
∴x－3＝6。
答：A种香料的单价为9元，B种香料的单价为6元。
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(2)若需购买A种香料和B种香料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种香料多少件？
解：设能购买A种香料m件，则能购买B种香料(50－m)件。
根据题意，得9m＋6(50－m)≤360。
解得m≤20。
答：最多能购买A种香料20件。
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9.某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种。
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元。(如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元)
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(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由。
解：选择活动一更合算。理由如下：
活动一花费450×＝360(元)；
活动二花费450－80＝370(元)。
∵360＜370，
∴选择活动一更合算。
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(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价。
解：设一件这种健身器材的原价为x元。
若x≤300，则活动一按原价打八折，活动二按原价，此时付款金额不可能相等。
∴300＜x＜500。
∴x＝x－80。
解得x＝400。
∴一件这种健身器材的原价是400元。
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(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围。
解：300≤a＜400或600≤a＜800。
解析：当300≤a＜600时，a－80＜0.8a。
解得a＜400。
∴300≤a＜400。
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当600≤a＜900时，a－160＜0.8a。
解得a＜800。
∴600≤a＜800。
综上所述，a的取值范围为300≤a＜400或600≤a＜800。
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9(共22张PPT)
第二章　不等式与不等式组
章末复习　一元一次不等式(组)及其解法
考点1　不等式的基本性质
1.(2025漳州期末)如果a＜b，那么下列不等式一定成立的是(　 　)
A.a＋3＞b＋3 B.－2a＞－2b
C.＞ D.a－b＞0
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B
2.(2024苏州)若a＞b－1，则下列结论一定正确的是(　 　)
A.a＋1＜b B.a－1＜b
C.a＞b D.a＋1＞b
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D
3.(2025泉州南安期中)已知x＜y，试比较和的大小，并说明理由。请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤的数学依据。
解：。理由如下：
∵x＜y，
∴____________(　
　 )。
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＞
－2x＞－2y
不等式的两边都乘同一个负数，不等号的方向改
变(或不等式的基本性质3)　
∴______________(　 　
)。
∴(　 　
)。
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3－2x＞3－2y
不等式的两边都加同一个代数式，不等号的方
向不变(或不等式的基本性质1)
＞
不等式的两边都除以同一个正数，不等号的方向不
变(或不等式的基本性质2)
考点2　不等式(组)的解与解集
4.(2025福州模拟)若某不等式的解集为x≥2，则该解集在数轴上的表示是(　 　)
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D
5.(2024泉州安溪期中)已知1是不等式2x－a＜0的一个解，则a的值可以是(　 　)
A.0 B.1
C.2 D.3
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D
6.已知关于x的不等式(2－a)x＞1的解集是x＜，则a的取值范围是(　 　)
A.a＞2 B.a＞0
C.a＜0 D.a＜2
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A
7.(2024山东省卷)写出满足不等式组的一个整数解：_________________。
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－1(答案不唯一)
考点3　一元一次不等式的解法
8.解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)3x－2＞x＋4；
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解：3x－x＞4＋2。
2x＞6。
x＞3。
将不等式的解集表示在数轴上，如图。
(2)＞3x－2；
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解：x＋2＞9x－6。
x－9x＞－6－2。
－8x＞－8。
x＜1。
将不等式的解集表示在数轴上，如图。
(3)≤；
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解：4(1－x)≤3(2－x)。
4－4x≤6－3x。
－4x＋3x≤6－4。
－x≤2。
x≥－2。
将不等式的解集表示在数轴上，如图。
(4)＋1≥。
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解：3(3－x)＋6≥2x。
9－3x＋6≥2x。
－3x－2x≥－9－6。
－5x≥－15。
x≤3。
将不等式的解集表示在数轴上，如图。
考点4　一元一次不等式组的解法
9.(2024南充)若关于x的不等式组的解集为x＜3，则m的取值范围是(　 　)
A.m＞2 B.m≥2
C.m＜2 D.m≤2
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B
10.(2025浙江)不等式组的解集是___________。
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－2≤x＜4
11.(2025青海)在平面直角坐标系中，点P(a－2，1＋a)在第三象限，则a的取值范围是________。
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a＜－1
12.解下列不等式组：
(1)(2025自贡)
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解：解不等式①，得x＞－1。
解不等式②，得x＜2。
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，
如图。
∴原不等式组的解集为－1＜x＜2。
(2)(2025苏州)
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解：解不等式①，得x＞－2。
解不等式②，得x＞3。
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，
如图。
∴原不等式组的解集为x＞3。
13.已知实数x，y满足2x－y＝1。
(1)填空：y＝_______；(用含有x的代数式表示y)
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2x－1
(2)若实数y满足y＞1，求x的取值范围；
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解：∵y＞1，
∴2x－1＞1。
解得x＞1。
(3)若实数x，y满足x＜3，y≥－5，且2x－3y＝k，求k的取值范围。
1
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9
10
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12
13
解：∵y≥－5，
∴2x－1≥－5。
解得x≥－2。
又∵x＜3，
∴－2≤x＜3。
∵2x－3y＝k，y＝2x－1，
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
13
∴k＝－4x＋3。
∵－2≤x＜3，
∴－9＜k≤11。(共18张PPT)
第二章　不等式与不等式组
3　一元一次不等式与一次函数
第1课时　一元一次不等式与一次函数的关系
知识点1　利用一次函数图象解一元一次不等式
1.(2025泉州洛江区期末)若函数y＝kx－b的图象如图所示，则关于x的不等式kx－b＜0的解集为(　 　)
A.x＞b
B.x＜b
C.x＞2
D.x＜2
1
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7
8
9
(第1题)
C
2.(2025漳州期末)一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图所示，则关于x的不等式kx＋b＞x＋a的解集为(　 　)
A.x＜3
B.x＞3
C.x＜1
D.x＞1
(第2题)
1
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3
4
5
6
7
8
9
A
3.如图，在平面直角坐标系中，作出函数y＝4x－3的图象，根据图象回答：
(1)当x取什么值时，函数值y大于0？
解：函数y＝4x－3的图象如图所示。
当x＞时，函数值y大于0。
1
2
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5
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7
8
9
(2)当x取什么值时，函数值y小于0？
解：函数y＝4x－3的图象如图所示。
当x＜时，函数值y小于0。　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(3)当x取什么值时，函数值y小于1？
解：函数y＝4x－3的图象如图所示。
当y＝1时，4x－3＝1。
解得x＝1。
∴当x＜1时，函数值y小于1。
1
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3
4
5
6
7
8
9
知识点2　利用一次函数图象解决实际问题中的不等问题
4.甲、乙二人从A地到B地，甲比乙早出发半小时，甲骑摩托车，乙乘汽车。若A，B两地相距180 km，摩托车的速度是40 km/h，汽车的速度是60 km/h。分别列出甲、乙两人距离A地的路程s1，s2(单位：km)与乙乘汽车时间t(单位：h)之间的函数关系式，并画出函数图象，观察图象回答下列问题：
(1)何时甲在乙的前面？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解：根据题意，得s1＝40(t＋0.5)＝40t＋20，s2＝60t，画出图象如图所示。
观察图象，得当t＜1时，甲在乙的前面。
1
2
3
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5
6
7
8
9
(2)何时乙在甲的前面？
解：根据题意，得s1＝40(t＋0.5)＝40t＋20，s2＝60t，画出图象如图所示。
观察图象，得当t＞1时，乙在甲的前面。
1
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3
4
5
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7
8
9
(3)谁先行驶了50 km？谁先到达终点？
解：根据题意，得s1＝40(t＋0.5)＝40t＋20，s2＝60t，画出图象如图所示。
观察图象，得甲先行驶了50 km，乙先到达终点。
1
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7
8
9
5.刘月的存款为700元，陈铭的存款为1 500元，从本月开始，他们进行零存整取储蓄，刘月每月存款400元，陈铭每月存款200元。
(1)列出刘月、陈铭的存款y1，y2(单位：元)与存款月数x(单位：月)之间的函数关系式，并画出函数图象的简图；
1
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5
6
7
8
9
解：刘月的存款：y1＝700＋400x；陈铭的存款：y2＝1 500＋200x。
画出函数图象的简图如图所示。
(2)到第几个月，刘月的存款超过陈铭的存款？
解：根据题意，得700＋400x＞1 500＋200x。解得x＞4。
∴到第5个月，刘月的存款超过陈铭的存款。
1
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3
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8
9
6.(2024 广东)已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx＋b的图象大致是(　 　)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B
7.(2025三明期末)一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)中的x与y的部分对应值如下表：
当m＜－3时，关于x的一元一次不等式(k－3)x＋b＞0的解集是
(　 　)
A.x＜0 B.x＜－1
C.x＞－1 D.x＞－3
x －1 1
y －3 m
1
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5
6
7
8
9
B
8.A，B两地相距90 km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发。图中l1，l2分别表示甲、乙两人离A地的距离s(单位：km)与时间t(单位：h)之间的函数关系。
(1)甲、乙两人谁的速度较快？
解：甲的速度v甲＝＝45(km/h)，
乙的速度v乙＝＝30(km/h)。
∵45＞30，
∴甲的速度较快。　　
1
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5
6
7
8
9
(2)何时甲到B地的距离大于乙到B地的距离？
解：由图象可知，s甲＝90－45t，
s乙＝30t－15。
根据题意，得90－45t＜30t－15。
解得t＞1.4。
∴当1.4＜t≤3.5时，甲到B地的距离大于乙到B地的距离。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9.已知一次函数y1＝kx＋2(k为常数，k≠0)和y2＝x－3。
(1)当k＝－2时，若y1＞y2，求x的取值范围；
解：当k＝－2时，y1＝－2x＋2。
根据题意，得－2x＋2＞x－3。
解得x＜。
1
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4
5
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7
8
9
(2)若当x＜1时，y1＞y2，请直接写出k的取值范围。
k的取值范围为－4≤k≤1，且k≠0。
1
2
3
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5
6
7
8
9(共9张PPT)
第二章　不等式与不等式组
基础专题8　一次函数与一元一次不等式
1.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋3经过点(2，0)，则关于x的不等式kx＋3＞0的解集是(　 　)
A.x＜2
B.x＞2
C.x＜3
D.x＞3
1
2
3
4
5
(第1题)
A
2.一次函数y1＝mx＋n与y2＝－x＋a的图象如图所示，则mx＋n＜－x＋a的解集为(　 　)
A.x＞1
B.x＜4
C.x＜－1
D.－1＜x＜0
1
2
3
4
5
(第2题)
C
3.一次函数y＝ax＋b(a≠0)的自变量和函数值的部分对应值如表所示，则关于x的不等式ax＋b＞x的解集是(　 　)
A.x＜0
B.x＞3
C.x＜8
D.x＞8
1
2
3
4
5
x 0 8
y 3 8
(第3题)
C
4.如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过A，B两点。
(1)求此一次函数的关系式；
解：将点A(3，4)，B(0，－2)的坐标分别代入y＝kx＋b中，
得解得
∴一次函数的关系式为y＝2x－2。
1
2
3
4
5
(2)结合函数图象，直接写出关于x的不等式kx＋b＜4的解集。
解：x＜3。
1
2
3
4
5
5.已知一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(1，4)和点B(2，2)。
(1)求该一次函数的关系式；
1
2
3
4
5
解：将A(1，4)，B(2，2)代入y1＝kx＋b(k≠0)，
得解得
∴该一次函数的关系式为y1＝－2x＋6。
(2)当－2≤x≤2时，求函数y1的最大值；
1
2
3
4
5
解：∵y1＝－2x＋6，k＝－2＜0，
∴y随着x的增大而减小。
∴当x＝－2时，有最大值为y1＝－2×(－2)＋6＝10。
∴y1的最大值为10。
(3)若一次函数y2＝－x＋2m－6，当x＜m时，总有y1＞y2，求m的取值范围。
1
2
3
4
5
解：∵y1－y2＝－2x＋6－(－x＋2m－6)＝－x＋12－2m。
∵当x＜m时，总有y1＞y2，
∴当x＜m时，－x＋12－2m＞0。
∴x＜12－2m。
∴m≤12－2m。
∴m≤4。(共17张PPT)
第二章　不等式与不等式组
4　一元一次不等式组
知识点1　一元一次不等式组的概念
1.下列不等式组中，是一元一次不等式组的是(　 　)
A. B.
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
2.有下列不等式组：①② ③ ④⑤其中是一元一次不等式组的是_____
___。(填序号)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
①②
⑤
知识点2　一元一次不等式组的解集
3.(2025宜宾)满足不等式组的解是(　 　)
A.－3 B.－1
C.1 D.3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
C
4.(2025山西)不等式组的解集是(　 　)
A.x＜2 B.x≥3
C.2＜x≤3 D.无解
1
2
3
4
5
6
7
8
9
C
知识点3　解一元一次不等式组
5.解下列不等式组：
(1)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解：解不等式①，得x＞－2。
解不等式②，得x≥1。
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，
如图所示。
∴原不等式组的解集为x≥1。
(2)(2025长沙)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解：解不等式①，得x＞－7。
解不等式②，得x≤2。
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，
如图所示。
∴原不等式组的解集为－7＜x≤2。
(3)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解：解不等式①，得x≤1。
解不等式②，得x＜4。
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，
如图所示。
∴原不等式组的解集为x≤1。
(4)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解：解不等式①，得x≤1。
解不等式②，得x＞3。
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，
如图所示。
∴原不等式组无解。
6.如图，点C位于点A，B之间(不与点A，B重合)，点C表示1－3x，则x的取值范围是__________。
1
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5
6
7
8
9
－＜x＜0
7.(2025南充)不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是______。
1
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3
4
5
6
7
8
9
m≤3
8.(2025泉州泉港区期中)2025年4月23日是第30个世界读书日。为了推进中华传统文化教育，营造浓郁的读书氛围，某学校举办了以“让读书成为习惯，让书香飘满校园”为主题的活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书。八年级两个班订购图书情况如下表。
1
2
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5
6
7
8
9
老舍文集/套 四大名著/套 总费用/元
八(1)班 4 5 900
八(2)班 8 3 820
(1)求《老舍文集》和《四大名著》每套各是多少元。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解：设《老舍文集》每套x元，《四大名著》每套y元。根据题意，得
解得
答：《老舍文集》每套50元，《四大名著》每套140元。
老舍文集/套 四大名著/套 总费用/元
八(1)班 4 5 900
八(2)班 8 3 820
(2)学校准备再购买《老舍文集》和《四大名著》共20套，总费用不超过1 720元，购买《老舍文集》的数量不超过四大名著的3倍，学校有几种购买方案？请你设计出来。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解：设学校决定购买《老舍文集》a套。
根据题意，得
解得12≤a≤15。∴a＝12，13，14，15。
方案1：购买《老舍文集》12套，《四大名著》8套；
1
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3
4
5
6
7
8
9
方案2：购买《老舍文集》13套，《四大名著》7套；
方案3：购买《老舍文集》14套，《四大名著》6套；
方案4：购买《老舍文集》15套，《四大名著》5套。
9.(2025龙东地区改编)关于x的不等式组恰有3个整数解，求a的取值范围。
解：解不等式2x－3≤0，得x≤。
解不等式x－a＞0，得x＞a。
∴a＜x≤。
1
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5
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7
8
9
∵该不等式组恰有3个整数解，
∴3个整数解是1，0，－1。
∴－2≤a＜－1。
1
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3
4
5
6
7
8
9(共7张PPT)
第二章　不等式与不等式组
阅读与理解
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式(组)解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式(组)的“学梅方程”。例如：方程2x－1＝1的解是x＝1，同时x＝1也是不等式x＋1＞0的解，则称方程2x－1＝1是不等式x＋1＞0的“学梅方程”。反之，若一元一次方程的解不在一元一次不等式(组)的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式(组)的“思梅方程”。
(1)有下列方程：①5(x＋2)－(x＋4)＝26；②9x－3＝20；③6－2(x－3)＝0。其中是不等式组的“学梅方程”的是____。(填序号)
②
(2)若关于x的方程4a－x＝2(x－a)是＋1≤x＋a的“思梅方程”，求a的取值范围。
解：根据题意，得4a－x＝2(x－a)，解得x＝2a。
∵＋1≤x＋a，∴x≥2－3a。
∵方程4a－x＝2(x－a)是＋1≤x＋a的“思梅方程”，
∴2a＜2－3a。∴a＜。
(3)若关于x的方程－3m＝0是关于x的不等式组的“学梅方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求m的取值范围。
解：∵－3m＝0，∴x＝6m－5。
∵不等式组为
∴解不等式①，得x＞0。
解不等式②，得x≤3m＋1。
∴原不等式组的解集为0＜x≤3m＋1。
∵不等式组有3个整数解，
∴整数解的值为1，2，3。
∴3≤3m＋1＜4。
∴≤m＜1。
∵关于x的方程－3m＝0是关于x的不等式组的“学梅方程”，
∴∴＜m≤2。
综上所述，m的取值范围是＜m＜1。(共17张PPT)
第二章　不等式与不等式组
章末复习　一元一次不等式的应用
考点1　一元一次不等式与一次函数
1.直线y＝kx＋b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx＋b≥0的解集是(　 　)
A.x≤－2
B.x≤1
C.x≥－2
D.x≥1
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(第1题)
C
2.如图，在同一平面直角坐标系中，函数y1＝2x和y2＝－x＋b的图象交于点A(m，n)，若不等式y1＜y2恰好有3个非负整数解，则
(　 　)
A.m＝2
B.m＝3
C.2＜m＜3
D.2＜m≤3
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8
9
(第2题)
D
3.(2025福州期中)如图，已知函数y＝2x＋b与函数y＝kx－3的图象交于点P，则不等式kx－3＞2x＋b的解集是______。
1
2
3
4
5
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7
8
9
(第3题)
x＜4
4.如图，在平面直角坐标系中画出函数y＝3x＋6的图象，利用图象解决以下问题：
(1)求不等式3x＋6＜0的解集；
解：当x＝0时，y＝6；当y＝0时，x＝－2。
∴函数y＝3x＋6的图象过(0，6)，(－2，0)两点，
画出函数图象如图。
观察图象，得不等式3x＋6＜0的解集为x＜－2。
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(2)若－3≤y≤3，求x的取值范围。
解：当x＝0时，y＝6；当y＝0时，x＝－2。
∴函数y＝3x＋6的图象过(0，6)，(－2，0)两点，画出函数图象如图。
观察图象，得x的取值范围为－3≤x≤－1。
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9
考点2　一元一次不等式的应用
5.(2025泉州惠安期末)甲、乙两队进行篮球对抗赛，现规定每队胜一场得4分，负一场得2分，双方比赛10场且每一场都赛出胜、负(没有平场)，甲队至少要胜多少场才能使得分不少于30分？设甲队胜了x场，则下列不等式正确的为(　 　)
A.4x＋2(10－x)＞30 B.4x－2(10－x)＞30
C.4x－2(10－x)≥30 D.4x＋2(10－x)≥30
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8
9
D
6.(2025福州平潭期末)为了丰富学生课余生活，增强学生身体素质，某校积极开展阳光体育活动。学校准备一次性采购排球和足球共50个，且支出不超过3 120元。已知一个排球的单价为68元，一个足球的单价为40元。该校最多能购买多少个排球？
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9
解：设购买x个排球，则购买(50－x)个足球。
根据题意，得68x＋40(50－x)≤3 120。
解得x≤40。
∴x的最大值为40。
答：该校最多能购买40个排球。
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9
考点3　一元一次不等式与方程综合应用
7.(2025辽宁)小张计划购进A，B两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售。已知A种文创产品比B种文创产品每件进价多3元，购进2件A种文创产品和3件B种文创产品共需花费26元。
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9
解：设B种文创产品每件的进价为x元。
根据题意，得2(x＋3)＋3x＝26。
解得x＝4。
答：B种文创产品每件的进价为4元。
(1)求B种文创产品每件的进价；
(2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件A种文创产品？
解：设小张购进m件A种文创产品。
由(1)可知，A种文创产品每件的进价为4＋3＝7(元)。
根据题意，得7m＋4(100－m)≤550。
解得m≤50。
答：小张最多可以购进50件A种文创产品。
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考点4　一元一次不等式与一次函数的综合应用
8.甲、乙两厂家生产的课桌和椅子的质量、价格一致，每张课桌300元，每把椅子80元。甲、乙两厂家各自推出优惠方案如下。甲厂家：买一张课桌送1把椅子；乙厂家：课桌和椅子全部按原价的九折销售。现某学校要购买100张课桌和x(x≥100)把椅子。
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9
(1)分别求从甲、乙两个厂家购买桌椅所需金额y甲，y乙(单位：元)与椅子的数量x(单位：把)之间的函数关系式。
解：y甲＝80x＋22 000；y乙＝72x＋27 000。
(2)该学校到哪个厂家购买更划算？
1
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3
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7
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9
解：当80x＋22 000＝72x＋27 000时，x＝625。
当80x＋22 000＞72x＋27 000时，x＞625。
当80x＋22 000＜72x＋27 000时，x＜625。
答：当购买625把椅子时，选择甲厂家或乙厂家花费相同；
当购买的椅子超过625把时，选择乙厂家划算；
当购买的椅子少于625把时，选择甲厂家划算。
9.(2025河南)为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果。已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为
800元。
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7
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9
解：设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的售价为b元。
根据题意，得解得
答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元。
1
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9
(1)求甲、乙两种苹果每箱的售价。
(2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数。求该公司最少需花费多少元。
解：设该公司需花费w元，购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果(12－x)箱。
根据题意，得12－x≤x，解得x≥6。
根据题意，得w＝100x＋80(12－x)＝20x＋960。
∵20＞0，∴w随x的增大而增大。
∴当x＝6时，w有最小值，w＝20×6＋960＝1 080。
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答：该公司最少需花费1 080元。(共7张PPT)
第二章　不等式与不等式组
综合与实践
【项目主题】哪一款手机资费套餐更合适。
【项目背景】做一件事情，有时会有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案是非常有必要的。手机作为日常生活的必备品，在我们身边有着举足轻重的作用。某校综合实践小组以探究“哪一款手机资费套餐更合适”为主题展开项目学习。
【驱动任务】探究“哪一款手机资费套餐更合适”。
【研究步骤】
(1)实地走访，调查使用最广泛且性价比较高的几种资费套餐；
(2)查看小明妈妈手机近几个月的话费账单，初步筛选出可供选择的两种资费套餐；
(3)数据分析，形成结论。
【收集数据】
套餐名称 套餐内容 超出套餐资费
月费 流量 通话 流量 通话
A 60元 30 GB 500 min 5元/GB 0.1元/min
B 180元 60 GB 1 000 min 3元/GB
套餐说明：月资费＝月费＋超出套餐资费(流量超出费＋通话超时费)；套餐内，流量和通话均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费
【问题解决】请根据此项目实施的相关材料完成下列任务。
【建立模型】(1)据调查显示，小明妈妈的手机通话时长没有超出套餐内容，因此只需研究流量与手机资费的关系：
①小明妈妈5月份的通话时长为480 min，使用流量40 GB，若使用A套餐，这个月她的手机资费是_____元；
②设小明妈妈每月手机资费为y(单位：元)，每月使用流量为x(单位：GB)，通过分析数据，完成下面的填空。
A套餐：当x＞30时，yA＝______；B套餐：当x＞60时，yB＝____。
110
5x－90
3x
【图象表示】(2)为了更直观地比较，请你在同一平面直角坐标系中分别画出A套餐和B套餐每月手机资费y(单位：元)关于每月使用流量x(单位：GB)的函数图象。下面已给出部分图象，请你补充完整。
解：补全函数图象，如图所示。
【应用模型】(3)结合上面的信息，请你为小明妈妈提出一条套餐使用建议。
解：令5x－90＜180，解得x＜54。
令5x－90＝180，解得x＝54。
令5x－90＞180，解得x＞54。
建议：当每月使用流量不足54 GB时，使用A套餐；
当每月使用流量等于54 GB时，使用A套餐和B套餐均可以；
当每月使用流量超过54 GB时，使用B套餐。(共18张PPT)
第二章　不等式与不等式组
1　不等式及其性质
第1课时　不等式的概念
知识点1　不等式的概念
1.(2025三明三元区期中)下列各式中，属于不等式的是(　 　)
A.y＝x－4 B.a－2
C.2x－5＝0 D.2x≠1
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D
2.(2025泉州晋江期中)若x＋y□0是不等式，则符号“□”不能是
(　 　)
A.＝ B.＞
C.≤ D.＜
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A
3.(2025漳州诏安期中)有下列各式：①x＋3≠0；②－3＜0；③3m＝5；④a2＋2ab＋b2；⑤3a＋2b＜0。其中属于不等式的有(　 　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
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C
知识点2　根据数量关系列不等式
4.若不等式“x■5”表示“不小于5的数”，则被墨迹覆盖的不等号是(　 　)
A.≤ B.＜
C.≥ D.＞
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C
5.请根据表格信息，写出一个关于水温x(℃)的不等式：________。
洗涤说明
手洗，勿浸泡，水温不超过40 ℃
(第5题)
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x≤40
6.用适当的符号表示下列关系：
(1)x的3倍与1的和大于4；
解：3x＋1＞4。
(2)y的20％不小于1与y的和；
解：20％y≥1＋y。
(3)a与b两数和的平方小于100。
解：(a＋b)2＜100。
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知识点3　根据简单实际问题列不等式
7.(2025广西)有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a g水、b g水，a＞b。都加入c g水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水的质量的大小关系的是(　 　)
A.a＋c＞b＋c B.a＋c＝b＋c
C.a＋c＜b＋c D.a－c＜b－c
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A
8.在公路上，同学们常看到如图所示的不同的交通标志图形，它们有着不同的意义。如果设汽车载重为x，宽度为l，高度为h，速度为y，请你用不等式表示图中各种标志的意义。
解：x≤5.5，l≤2，h≤3.5，y≤30。
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9.有理数m，n在数轴上如图所示，用不等号填空。
(1)m＋n____0；(2)m－n____0；(3)m·n____0；
(4)m2____n；(5)｜m｜____｜n｜。
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＞
10.请设计不同的实际背景来表示下列不等式：
(1)a2≤90；
解：答案不唯一，示例：一个正方形的边长为a cm，它的面积不超过90 cm2，则有a2≤90。
(2)3x＋4y＞10。
解：答案不唯一，示例：一个等边三角形的边长为x cm，一个正方形的边长为y cm，它们的周长之和超过10 cm，则有3x＋4y＞10。
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11.某搬运工欲乘坐电梯将一批水泥搬到楼上进行施工，已知此人的体重为70 kg，每袋水泥的质量均为50 kg，电梯最大负荷为1 050 kg。列出在该搬运工乘坐的情况下能搭载的水泥袋数x应满足的不等式。
解：根据题意，得70＋50x≤1 050。
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12.为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中价格、有效监控半径如下表所示。
型号 甲型 乙型
单价/元 450 600
有效监控半径/(m/台) 100 150
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(1)若购买该批设备的资金不超过7 200元，写出购买的甲型设备数量x(台)应满足的不等式；
解：根据题意，得
450x＋600(15－x)≤7 200。
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型号 甲型 乙型
单价/元 450 600
有效监控半径/(m/台) 100 150
(2)若要求有效监控半径覆盖范围大于1 600 m，写出购买的甲型设备数量x(台)应满足的不等式。
解：根据题意，得100x＋150(15－x)＞1 600。
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型号 甲型 乙型
单价/元 450 600
有效监控半径/(m/台) 100 150
13.阅读下面材料，完成填空。
你能比较两个数2 0242 025和2 0252 024的大小吗？
为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nn＋1和(n＋1)n的大小(n≥1，且n为整数)。然后从分析n＝1，n＝2，n＝3……这些简单情形入手，发现规律，经过归纳，猜想出结论。
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(1)通过计算，比较下列各组两个数的大小：(填“＞”“＜”或“＝”)
①12____21；②23____32；③34____43；④45____54；
⑤56____65；⑥67____76；⑦78____87；…
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＞
＞
＞
＞
(2)从第(1)小题的结果经过归纳，可以猜想出nn＋1和(n＋1)n的大小关系，写出你的猜想。
解：当n＝1或2时，nn＋1＜(n＋1)n；
当n≥3且n为整数时，nn＋1＞(n＋1)n。
(3)根据(2)中归纳猜想得到的一般结论，可以得到：2 0242 025____2 0252 024。(填“＞”“＜”或“＝”)
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＞(共9张PPT)
第二章　不等式与不等式组
基础专题9　解一元一次不等式组
1.解不等式组请按下列步骤完成解答：
(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得________；
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x≤1
x＞－3
(3)如图，将不等式①②的解集在数轴上表示出来；
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3
(4)原不等式组的解集是___________。
－3＜x≤1
2.利用数轴解下列不等式组：
(1)
解：解不等式①，得x＞1。
解不等式②，得x＜2。
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图。
∴原不等式组的解集为1＜x＜2。
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(2)
解：解不等式①，得x≥1。
解不等式②，得x＞2。
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图。
∴原不等式组的解集为x＞2。
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(3)
解：解不等式①，得x＞1。
解不等式②，得x≤3。
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图。
∴原不等式组的解集为1＜x≤3。
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(4)
解：解不等式①，得x≥4。
解不等式②，得x≥1。
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图。
∴原不等式组的解集为x≥4。
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3.解下列不等式组：
(1)(2025泉州期末)
解：解不等式①，得x≤1。
解不等式②，得x＜4。
∴原不等式组的解集为x≤1。
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(2)(2024北京)
解：解不等式①，得x＜7。
解不等式②，得x＞－1。
∴原不等式组的解集为－1＜x＜7。
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3(共19张PPT)
第二章　不等式与不等式组
1　不等式及其性质
第2课时　不等式的解集
知识点1　不等式的解
1.(2024 宁德福鼎期中)下列数是不等式5x－3＜7的一个解的是
(　 　)
A. B.2
C. D.3
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A
2.若x＝2是不等式x－m＜0的一个解，则m的值不可能是(　 　)
A.2 B.2.5
C.3 D.3.5
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A
3.请写出一个满足下列条件的不等式。
(1)0是这个不等式的一个解：__________________；
(2)－2，－1，0，1都是这个不等式的解：__________________；
(3)0不是这个不等式的解：__________________。
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x＜1(答案不唯一)　
x＜2(答案不唯一)
x＜0(答案不唯一)　
知识点2　不等式的解集
4.下列不等式的解集中，不包括－5的是(　 　)
A.x≤5 B.x≥－5
C.x≤－6 D.x≥－6
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C
5.下列说法中，正确的是(　 　)
A.x＝1是不等式x＜2的一个解
B.x＝2是不等式3x＞5的解集
C.不等式3x＞9的解集是x＝4
D.x＜5是不等式x－5＞0的解集
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A
知识点3　用数轴表示不等式的解集
6.(2025厦门同安区期末)不等式的解集x＞2在下列数轴上表示正确的是(　 　)
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C
7. (2025泉州永春期末)如图，该数轴表示的不等式的解集为(　 　)
A.x≤1 B.x＜1
C.x≥1 D.x＞1
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B
8.在数轴上表示下列不等式的解集：
(1)x＞1；
解：如图。
(2)x＜0；
解：如图。
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(4)x≥－2。
解：如图。
(3)x≤2；
解：如图。
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9.(2025漳州南靖期中)不等式2x －4的解集在数轴上的表示如图所示，则 盖住的符号是(　 　)
A.＞ B.＜
C.≥ D.≤
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B
10.不等式x＜3的正整数解是(　 　)
A.1，2 B.0，1，2
C.1，2，3 D.0，1，2，3
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A
11.下列数值中，哪些是不等式x＋3＞5的解？你能找出这个不等式其他的解吗？它有多少个解？你从中发现了什么规律？
－6，－4，－1.5，0，1，2，3，4.3，6.7。
解：∵－6＋3＜5，－4＋3＜5，－1.5＋3＜5，0＋3＜5，
1＋3＜5，2＋3＝5，
3＋3＞5，4.3＋3＞5，
6.7＋3＞5，
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它的解还有6，6.3，7，8.1，….(答案不唯一)
该不等式有无数个解。
规律：所有大于2的数都是该不等式的解。
∴3，4.3，6.7是不等式x＋3＞5的解。
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12.比较4x与10－x的大小。
解：令4x－(10－x)＝0，
解得x＝2。
∴当x＞2时，4x＞10－x；
当x＝2时，4x＝10－x；
当x＜2时，4x＜10－x。
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13.当x取任何正数时，都能使不等式x＋5＞2成立，能不能说不等式x＋5＞2的解集是x＞0？为什么？
解：不能说不等式x＋5＞2的解集是x＞0。
例如：x＝－1是不等式x＋5＞2的解，但未包含在x＞0内。
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14.某市自来水公司收费标准如下：每户每月用水不超过5 m3时，收费1.5元/m3；若超过5 m3，超过的部分按2元/m3计费。小明家某月水费不超过12元，设小明家该月的用水量为x m3。
(1)写出x应满足的不等式；
解：①当0＜x≤5时，1.5x≤12，不等式一定成立；
②当x＞5时，5×1.5＋2(x－5)≤12。
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(2)x可能等于6或8吗？
解：x可能取6，不可能取8。
当x＝6时，
5×1.5＋2×(6－5)＝9.5＜12，
∴不等式成立。
当x＝8时，
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5×1.5＋2×(8－5)＝13.5＞12，
∴不等式不成立。
∴x可能取6，不可能取8。
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14(共18张PPT)
第二章　不等式与不等式组
2　一元一次不等式
第1课时　一元一次不等式的解法
知识点1　一元一次不等式的概念
1.(2025泉州一中期中)下列式子中是一元一次不等式的是(　 　)
A.＋2≥4 B.4x＋5＞0
C.x－3＝0 D.x2＋x＜0
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B
2.写出一个解集为x＜3的一元一次不等式：__________________。
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x－3＜0(答案不唯一)
3.若m－2x3＋m＞3是关于x的一元一次不等式，则m＝_____。
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－2
知识点2　解一元一次不等式
4.(2025吉林)不等式x－3＞2的解集为(　 　)
A.x＞5 B.x＜5
C.x＞－1 D.x＜－1
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A
5.(2025福建)不等式x＋1≤2的解集在数轴上表示正确的是(　 　)
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C
6.(2024莆田期末)不等式3x－8＜0的最大整数解是___。
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7.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1)3x＋2≤8；
解：移项，得3x≤8－2。
合并同类项，得3x≤6。
两边都除以3，得x≤2。
将不等式的解集表示在数轴上如图。
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(2)3x－2＞5x＋4；
解：移项，得3x－5x＞4＋2。
合并同类项，得－2x＞6。
两边都除以－2，得x＜－3。
将不等式的解集表示在数轴上如图。
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(3)≥；
解：去分母，得3(3x－1)≥2(2x＋1)。
去括号，得9x－3≥4x＋2。
移项、合并同类项，得5x≥5。
两边都除以5，得x≥1。
将不等式的解集表示在数轴上如图。
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(4)＞1－2x。
解：去分母，得1－4x＞3(1－2x)。
去括号，得1－4x＞3－6x。
移项、合并同类项，得2x＞2。
两边都除以2，得x＞1。
将不等式的解集表示在数轴上如图。
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8.(2025泉州期末改编)已知关于x，y的二元一次方程组
若x＞y，求m的取值范围。
解：
①＋②，得2x－2y＝－2m＋6。
∴x－y＝－m＋3。
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∵x＞y，∴x－y＞0。
∴－m＋3＞0。
∴m＜3。
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9.小彬求解一元一次不等式1－＞及自我检查的过程如下所示，请认真阅读并完成相应的任务。
解答过程 自我检查
解：去分母，得10－5(x＋1)＞2(x－3)。……第一步 去括号，得10－5x－5＞2x－6。……第二步 移项，得－5x＋2x＞10＋5－6。……第三步 合并同类项，得－3x＞－9。……第四步 两边都除以－3，得x＜3。……第五步 第一步正确，其依据是 ；
第二步符合去括号法则，也正确；
第三步出错了
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(1)第一步的依据是不等式的一条性质，请写出这一性质的内容：______________________________________________________；
(2)写出第三步出错的原因：______________。
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不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变
移项没有变号
(3)请从第三步开始，写出正确的解答过程。
解：移项，得－5x－2x＞－10＋5－6。
合并同类项，得－7x＞－11。
两边都除以－7，得x＜。
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10.已知关于x的不等式(a＋b)x＋(2a－3b)＜0的解集为x＞3，求关于x的不等式(a－3b)x＋(b－2a)＞0的解集。
解：∵不等式(a＋b)x＋(2a－3b)＜0的解集为x＞3，
∴a＋b＜0，且＝3。
∴3b－2a＝3a＋3b。
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整理，得5a＝0，即a＝0。
∴b＜0。
不等式(a－3b)x＋(b－2a)＞0，
可化为－3bx＋b＞0。
移项，得－3bx＞－b。
两边都除以－3b，得x＞。
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第二章　不等式与不等式组
基础专题7　
应用一元一次不等式解决实际问题
1.甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，又各自推出优惠方案：在甲商场累计购物超过300元后，超出300元的部分打八折；在乙商场累计购物超过200元后，超出200元的部分打九折。设某顾客累计购物x元(x＞300)。
(1)请用含x的代数式分别表示顾客去甲、乙两商场购物实际应支付的费用；
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解：300＋0.8(x－300)＝0.8x＋60。
∴在甲商场购物实际应支付的费用为(0.8x＋60)元。
200＋0.9(x－200)＝0.9x＋20。
∴在乙商场购物实际应支付的费用为(0.9x＋20)元。
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(2)若顾客去甲商场购物更划算，试求出x应满足的条件。
解：∵顾客去甲商场购物更划算，
∴0.8x＋60＜0.9x＋20。
解得x＞400。
∴x应满足的条件为x＞400。
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2.2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展。某快递企业为提高工作效率，计划购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件。现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A型机器人？
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解：设该企业需要购买A型机器人x台，则需要购买B型机器人(10－x)台。
根据题意，得22x＋18(10－x)≥200。
解得x≥5。
答：该企业最少需要购买5台A型机器人。
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3.(2025厦门集美区期末)某中学开展篮球比赛，在其中一场篮球比赛中，八年级(1)班篮球队通过罚篮得分为10分，投进2分球和3分球共48个。如果八年级(1)班篮球队在这场比赛中总分超过110分，那么他们至少投进多少个3分球？
解：设八年级(1)班篮球队在这场比赛中投进x个3分球，则投进(48－x)个2分球。
根据题意，得3x＋2(48－x)＋10＞110。
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解得x＞4。
又∵x为正整数，∴x的最小值为5。
答：八年级(1)班篮球队在这场比赛中至少投进5个3分球。
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4.五一假期期间，某市迎来了一个短期旅游高峰。某热门景点的门票价格规定见下表。一个不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少时，购买B种门票比购买A种门票节省？
票的种类 A B C
购票人数 1～50 51～100 100以上
票价/元 50 45 40
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解：设游客人数为x。
根据题意，得50x＞45×51。
解得x＞45.9。
又∵x为正整数，
∴x的最小值为46。
答：当游客人数最低为46时，购买B种门票比购买A种门票节省。
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4(共21张PPT)
第二章　不等式与不等式组
3　一元一次不等式与一次函数
第2课时　一元一次不等式与一次函数的应用
知识点1　利用一元一次不等式与一次函数解决收益大小问题
1.如图，l1反映了某产品的销售收入y(单位：元)与销
售量x(单位：件)之间的关系，l2反映了该产品的销售
成本y(单位：元)与销售量x(单位：件)之间的关系。根
据图象判断该产品有盈利的销售量为(　 　)
A.小于4件 B.等于4件
C.大于4件 D.大于或等于4件
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(第1题)
C
2.某公司销售一种产品，每件产品的成本0.5万元，每天其他成本1万元，销售这种产品2件的销售收入是2万元。如图，销售收入y(单位：万元)与销售量x(单位：件)的关系用l1表示，销售
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解：设销售收入为y1，销售成本为y2，销售量为x。
根据题意，得y1＝x，y2＝x＋1。
成本y(单位：万元)与销售量x(单位：件)的关系用l2表示。
(1)分别写出l1，l2对应的函数关系式；
(2)若该公司盈利，请写出此时销售量的取值范围；
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解：观察图象，得当x＞2时，该公司盈利。
(3)若利润不少于3万元，求销售量的取值范围。
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解：根据题意，得x－≥3，解得x≥8。
∴当x≥8时，利润不少于3万元。
知识点2　利用一元一次不等式与一次函数作决策
3.某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为x，两种消费卡所需费用分别为y甲，y乙，且y甲，y乙与x之间的函数图象如图所示。当游泳次数为30时，更合算的消费卡是(　 　)
A.甲种消费卡
B.乙种消费卡
C.两种消费卡一样
D.无法确定
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(第3题)
B
4.(2025福州晋安区期末)“双减”政策受到各地教育部门积极响应，某校为加强学生体育锻炼，决定购买羽毛球和羽毛球拍。甲、乙两家体育用品商店出售相同的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价4元，羽毛球拍每副定价50元。现两家商店都搞促销活动：甲商店每买一副球拍赠2个羽毛球；乙商店按九折优惠。某班级需购球拍4副，羽毛球x个(x≥8)。
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(1)若在甲商店购买，需付款y甲(单位：元)；若在乙商店购买，需付款y乙(单位：元)。分别写出y甲，y乙与x之间的函数关系式；
解：根据题意，得
y甲＝4×50＋(x－8)×4＝4x＋168，
y乙＝(4×50＋4x)×0.9＝3.6x＋180。
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(2)请问该班在哪个商店购买更省钱？
解：①4x＋168＝3.6x＋180，解得x＝30。
∴当x＝30时，在甲、乙商店购买费用一样。
②4x＋168＜3.6x＋180，解得x＜30。
∴当8≤x＜30时，在甲商店购买省钱。
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③4x＋168＞3.6x＋180，解得x＞30。
∴当x＞30时，在乙商店购买省钱。
综上所述，当8≤x＜30时，在甲商店购买更省钱；当x＝30时，在甲、乙商店购买费用一样；当x＞30时，在乙商店购买更省钱。
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5.随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：
若购物金额为x(0≤x＜200)元，请分别写出两家超市的实付金额y(单位：元)与购物金额x(单位：元)之间的函数关系式，并说明促销期间如何选择这两家超市购物更省钱。
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A超市 B超市
优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满100元返30元
解：当x＝0时，A，B两家超市花费一样多。
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当0＜x＜100时，A超市有八折优惠，B超市不优惠，
∴选择A超市更省钱。
当100≤x＜200时，A超市y与x之间的函数关系式为y＝0.8x，B超市y与x之间的函数关系式为y＝x－30。
∴当0.8x＜x－30，即150＜x＜200时，选择A超市购物更省钱；
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当0.8x＝x－30，即x＝150时，A，B两家超市购物花费一样多；
当0.8x＞x－30，即100≤x＜150时，选择B超市购物更省钱。
6.某公司要印制运动会宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1 600元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收3元印制费，不收制版费。
(1)分别写出两印刷厂的收费y甲，y乙(单位：元)与印制数量x(单位：份)之间的函数关系式。
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解：根据题意，得
甲印刷厂的收费y甲(单位：元)与印制数量x(单位：份)之间的函数关系式为y甲＝x＋1 600；
乙印刷厂的收费y乙(单位：元)与印制数量x(单位：份)之间的函数关系式为y乙＝3x。
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(2)印刷600份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？
解：当x＝600时，
y甲＝600＋1 600＝2 200(元)；
y乙＝3×600＝1 800(元)。
∵1 800＜2 200，∴选择乙印刷厂比较合算。
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(3)该公司拟拿出5 000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制的宣传材料能多一些？
解：当y甲＝5 000时，x＋1 600＝5 000，解得x＝3 400；
当y乙＝5 000时，3x＝5 000，解得x＝1 666。
∵3 400＞1 666，
∴找甲印刷厂印制的宣传材料多一些。
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7.甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一条路线分别从A，B两地同时出发匀速前往C地(B地在A，C两地的途中)。设甲、乙两人距A地的路程分
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别为y甲，y乙(单位：km)，行驶的时间为x(单位：h)，y甲，y乙与x之间的函数图象如图所示。
(1)直接写出y甲，y乙与x之间的函数关系式；
解：y甲＝60x；y乙＝40x＋60。
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(2)在乙行驶的过程中，当甲、乙两人距A地的路程差小于30 km时，求x的取值范围。
解：令y甲＝300，即60x＝300，解得x＝5；
令y乙＝300，即40x＋60＝300，解得x＝6。
分三种情况：
①当0＜x≤3时，(40x＋60)－60x＜30，解得x＞1.5。∴1.5＜x≤3。
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②当3＜x≤5时，60x－(40x＋60)＜30，解得x＜4.5。∴3＜x＜4.5。
③当5＜x≤6时，300－(40x＋60)＜30，解得x＞5.25。∴5.25＜x≤6。
综上所述，在乙行驶的过程中，当甲、乙两人距A地的路程差小于30 km时，x的取值范围是1.5＜x＜4.5或5.25＜x≤6。
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