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(共11张PPT)
第六章　平行四边形
基础专题17　三角形中位线定理的应用
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类型1　解决线段关系问题
1.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接DF交AC于点O。求证：OC＝OE。
证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线。
∴DE∥BC，DE＝BC。
∴∠DEO＝∠FCO。
∵CF＝BC，
∴DE＝CF。
∵∠DOE＝∠FOC，
∴△DOE≌△FOC(AAS)。
∴OC＝OE。
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2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AD＝6，BC＝8，AE⊥CD于点E。若点F为BC的中点，求EF的长。
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10。
∵AC＝AD＝6，
∴BD＝4。
∵AE⊥CD，
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∴CE＝DE。
又∵点F为BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线。
∴EF＝BD＝2。
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3.如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，求证：MN＝AD。
证明：如图，连接EF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC。
∵DE＝CF，
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∴AE＝BF。
∴四边形ABFE和四边形CDEF都是平行四边形。
∴AM＝MF，DN＝NF。
∴MN是△ADF的中位线。
∴MN＝AD。
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类型2　判定平行四边形
4.如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F。求证：四边形BCFD是平行四边形。
证明：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，即DF∥BC。
又∵CF∥BD，
又∵CF∥BD，
∴四边形BCFD是平行四边形。
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5.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，G，F分别为BH，CH的中点。求证：四边形DEFG是平行四边形。
证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE∥BC，且DE＝BC。
∵G，F分别为BH，CH的中点，
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∴GF∥BC，且GF＝BC。
∴DE∥GF，且DE＝GF。
∴四边形DEFG是平行四边形。
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，点F在BC的延长线上，且∠CEF＝∠A。求证：四边形DCFE是平行四边形。
证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，AE＝CE。
∴∠AED＝∠ACB＝90°。
∴DE是线段AC的垂直平分线。
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∵∠CEF＝∠A，
∴∠CEF＝∠DCA。
∴DC∥EF。
∴四边形DCFE是平行四边形。
∴DA＝DC。
∴∠A＝∠DCA。
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第六章　平行四边形
章末复行四边形的性质与判定
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考点1　平行四边形的性质
1.(2025南平期末)在 ABCD中，若∠B＝55°，则∠D的度数是(　)
A.70° B.55°
C.50° D.45°
B
2.(2025厦门同安区期末)如图，若 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AC＋BD＝28，则△ABO的周长为(　　)
A.18
B.19
C.20
D.21
(第2题)
B
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3.(2025莆田城厢区期末)如图，在 ABCD中，AD＝3，CD＝2。以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q；再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N。若射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是(　　)
A.
B.1
C.
D.
(第3题)
B
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4.如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为__________。
(第4题)
(－2，－1)
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5.(2025泉州南安质检)如图，在 ABCD中，E为BC上一点，F为AE的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点G。求证：BG＝CE。
证明：∵F为AE的中点，
∴AF＝EF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC。
∴∠ADF＝∠EGF。
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∵∠AFD＝∠EFG，
∴△AFD≌△EFG(AAS)。
∴AD＝EG。
∴EG＝BC。
∴EG－BE＝BC－BE，
即BG＝CE。
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考点2　平行四边形的判定
6.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A.AB∥CD，AD∥BC B.AB∥CD，AD＝BC
C.OA＝OC，OB＝OD D.AB∥CD，OA＝OC
B
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7.(2025三明期末)依据图中所标数据，下列图形一定为平行四边形的是(　　)
A
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8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝8 cm，BC＝6 cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动，当点P，Q中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则s后四边形PQCD是平行四边形。
(第8题)
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9.如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F。
(1)请你添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是______________________；
AE＝CF(答案不唯一)
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(2)添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形。
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEF＝∠CFE＝90°。
∴AE∥CF。
∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形。
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10.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别为线段AB，CD的中点。若∠EDF＝50°，求∠EBF的度数。
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB。
∵E，F分别为线段AB，CD的中点，
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∴FD＝CD，BE＝AB。
∴FD＝BE。
∴四边形DEBF是平行四边形。
∴∠EBF＝∠EDF＝50°。
11.规定：有一对相对的角互补的四边形叫作智慧四边形。例如：在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°或∠B＋∠D＝180°，则四边形ABCD是智慧四边形。
(1)如图1，已知四边形ABCD是智慧四边形，其中三个内角∠A，∠B，∠C的度数之比是4∶3∶2，则∠D的度数为______；
90°
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(2)如图2，D为△ABC内一点，且∠BDC＝90°＋∠A，△ABC的两个外角∠MBC，∠BCN的平分线交于点E。判断四边形DBEC是否为智慧四边形，并说明理由。
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解：四边形DBEC是智慧四边形。理由如下：
∵△ABC的两个外角∠MBC，∠BCN的平分线交于点E，
∴∠CBE＝∠MBC，∠BCE＝∠NCB。
则∠CBE＋∠BCE＝∠MBC＋∠NCB
＝(∠MBC＋∠NCB)
＝(180°－∠ABC＋180°－∠ACB)
＝(180°＋∠A)＝90°＋∠A。
∴90°＋∠A＋∠E＝180°。
∵∠BDC＝90°＋∠A，∴∠BDC＋∠E＝180°。
∴四边形DBEC是智慧四边形。
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第六章　平行四边形
1　平行四边形的性质
第1课时　平行四边形及边角的性质
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知识点1　平行四边形的概念
1.如图，在 ABCD中，EF∥BC，则图中平行四边形共有(　　)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
(第1题)
C
2.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形。在转动其中一张纸条的过程中，四边形ABCD始终是平行四边形，这里蕴含的数学原理是_______________
_______________________。
(第2题)
两组对边分别平
行的四边形是平行四边形
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知识点2　平行四边形是中心对称图形
3.(2025湖北)如图， ABCD对角线的交点在原点。若点A(－1，2)，则点C的坐标是(　　)
A.(2，－1)
B.(－2，1)
C.(1，－2)
D.(－1，－2)
(第3题)
C
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4.关于平行四边形的对称性的描述，错误的是(　　)
A.平行四边形一定是中心对称图形
B.平行四边形一定是轴对称图形
C.平行四边形的对称中心是对角线的交点
D.平行四边形的对称中心只有一个
B
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知识点3　平行四边形边、角的性质
5.(2025厦门一中期中)如图，在 ABCD中，∠A＋∠C＝120°，则∠C的度数为(　　)
A.50°
B.60°
C.70°
D.120°
(第5题)
B
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6.在 ABCD中，若AB＝6，则CD的长为(　　)
A.2 B.4
C.6 D.12
C
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7.如图，在 ABCD中，AC＝4，若△ACD的周长为13，则 ABCD的周长为(　　)
A.26
B.24
C.20
D.18
(第7题)
D
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8.(2025宜宾)如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5。求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长。
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD＝5。
∴∠D＝∠FCE。
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE。
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在△ADE和△FCE中，
∵∠D＝∠FCE，DE＝CE，∠AED＝∠FEC，
∴△ADE≌△FCE(ASA)。
∵AD＝5，
∴FC＝AD＝5。
∴BF＝BC＋FC＝5＋5＝10。
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9.(2025河北)平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n。若n为整数，则n的值可以为_________________。(写出一个即可)
2(答案不唯一)
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10.(2024福州期中)如图，在 ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB的平分线AE交线段CD于点E，则EC＝___。
(第10题)
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11.如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E。若∠A＝46°，求∠E的度数。
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD。
∴∠A＋∠ADC＝180°。
∵∠A＝46°，
∴∠ADC＝134°。
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∴∠ADF＝∠ADC＝67°。
∵DF∥BE，
∴∠E＝∠ADF＝67°。
∵DF平分∠ADC，
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12.如图，在 ABCD中，∠ABC＝45°，连接BD，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，∠EFC＝30°，AB＝2。求CF的长。
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD。
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形。
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∴AB＝DE＝CD，即D为CE的中点。
∵AB＝2，
∴CE＝4。
∵AB∥CD，
∴∠ECF＝∠ABC＝45°。
如图，过点E作EH⊥BF于点H。
∵CE＝4，∠ECF＝45°，
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∴EH＝CH＝2。
∵∠EFC＝30°，
∴EF＝2EH＝4。
∴FH＝＝2。
∴CF＝CH＋FH＝2＋2。
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第六章　平行四边形
2　平行四边形的判定
第3课时　平行四边形的性质与判定的综合应用
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知识点1　平行线之间的距离
1.如图，直线m∥n，图中线段的长可以表示直线m与n之间的距离的有(　　)
A.只有AB
B.只有AE
C.AB和CD均可
D.AE和CF均可
(第1题)
C
2.如图，在 ABCD中，E为边BC延长线上一点，连接AE，DE。若 ABCD的面积为10，则△ADE的面积为(　　)
A.10
B.5
C.4
D.3
(第2题)
B
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知识点2　平行四边形的性质与判定的应用
3.(2025福州一中期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD。下列结论不一定成立的是(　　)
A.AB∥DC
B.AD＝BC
C.∠ABC＝∠ADC
D.∠DBC＝∠BAD
(第3题)
D
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4.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在直线AC上(不同于点A，C)，当点E，F的位置满足条件：_____________
_______时，四边形DEBF是平行四边形。
(第4题)
AE＝CF(答案
不唯一)
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5.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为___。
(第5题)
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6.如图，在 ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点。
(1)求证：AF＝CE；
解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC。
∴AE∥CF。
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又∵E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AE＝AD，CF＝BC。
∴AE＝CF。
∴四边形AECF是平行四边形。
∴AF＝CE。
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(2)若四边形AFCE的周长为12，AF＝4，AB＝3，求 ABCD的周长。
解：∵四边形AFCE的周长为12，AF＝4，
∴AE＋CF＝12－2×4＝4。
∵E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AD＋BC＝2(AE＋CF)＝8。
∵AB＝3，
∴ ABCD的周长＝8＋2×3＝14。
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7.(2025安徽)如图，在 ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足AF＝CH，则下列为定值的是(　　)
A.四边形EFGH的周长
B.∠EFG的大小
C.四边形EFGH的面积
D.线段FH的长
(第7题)
C
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8.如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长均为1，请在网格中找出一点D，使四边形ABCD为平行四边形，则 ABCD的边AB
上的高的长度为。
(第8题)
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9.如图，在 ABCD中，MN∥AC。求证：MQ＝NP。
证明：∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴AM∥CQ。
∵MN∥AC，
∴MQ∥AC。
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∴四边形ACQM是平行四边形。
∴MQ＝AC。
同理，四边形APNC是平行四边形。
∴NP＝AC。
∴MQ＝NP。
10.如图，△ABC的面积为5，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转60°得到△EBF，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△DFC，连接EA，DA，当∠BAC＝120°时，求四边形ADFE的面积。
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解：如图，过点A作AG⊥DF于点G，过点C作CM⊥FD的延长线于点M。
根据题意，得△BEF≌△BAC≌△FDC。
∴BE＝BA＝FD，EF＝AC＝DC。
∵∠ABE＝60°，∠ACD＝60°，
∴△ABE，△ACD都是等边三角形。
∴AE＝AB，AC＝AD。
∴AE＝DF，AD＝EF。
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∴四边形AEFD是平行四边形。
∴AE∥DF。
∴AG＝CM。
∴S ADFE＝2S△CDF＝2S△ABC＝2×5＝10。
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10(共16张PPT)
第六章　平行四边形
3　三角形的中位线
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知识点1　三角形的中位线定理
1.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的中点，若∠B＝36°，则∠ADE的度数为(　　)
A.36°
B.54°
C.72°
D.144°
(第1题)
A
2.(2025厦门海沧区期末)如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC 的中点，AB＝4，BC＝3，AC＝6，则DE的长为(　　)
A.6
B.4
C.3
D.2
(第2题)
D
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知识点2　三角形中位线的应用
3.(2025漳州期末)如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离。他先在A，B外选一点C，然后步测AC，BC的中点为D，E，测得DE＝20 m，则A，B之间的距离为(　　)
A.10 m
B.20 m
C.30 m
D.40 m
(第3题)
D
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4.(2024广安)如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为(　　)
A.45°
B.50°
C.60°
D.65°
(第4题)
D
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5.如图，在△ABC中，D为AB上一点，BC＝BD，BE⊥CD于点E，F为AC的中点，连接EF。若EF＝2，AB＝10，则BC的长为(　　)
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D.8
(第5题)
B
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6.如图，在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点。若EF⊥AD，AB＝5，AD＝3，则EF的长为___。
(第6题)
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7.如图，D，E，F分别是△ABC的三边AB，AC，BC的中点，BC＝4，AB＝6。求四边形BDEF 的周长。
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解：∵D，E，F分别是△ABC的三边AB，AC，BC的中点，BC＝4，AB＝6，
∴DE，EF是△ABC的中位线，
BF＝BC＝2，BD＝AB＝3。
∴DE＝BC＝2，EF＝AB＝3。
∴四边形BDEF的周长＝BD＋DE＋EF＋BF＝3＋2＋3＋2＝10。
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8.如图，四边形EFGH是由四边形ABCD的各边中点依次连接而形成的四边形，对角线AC＝a，BD＝b。下列说法正确的是(　　)
A.四边形EFGH的周长为2a
B.四边形EFGH的周长为2b
C.四边形EFGH的面积为ab
D.四边形EFGH的周长为(a＋b)
(第8题)
D
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9.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°。求∠PFE的度数。
解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线。
∴PE＝AD。
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同理，得PF＝BC。
∵AD＝BC，
∴PE＝PF。
∴∠PFE＝∠PEF＝30°。
10.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，∠ACB的平分线交DE于点F，连接AF。若AC＝12，BC＝20，求DF的长。
解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
EC＝AE＝AC＝6。
∴DE∥BC，DE＝BC＝10。
∴∠BCF＝∠EFC。
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∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠BCF＝∠ACF。
∴∠ACF＝∠EFC。
∴EF＝EC＝6。
∴DF＝DE－EF＝10－6＝4。
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11.如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，求OB与OD的长度关系。
解：OB＝2OD。
如图，取OB，OC的中点M，N，连接EM，MN，DN，ED。
∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，
∴D，E分别是AC和AB的中点。
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∴DE是△ABC的中位线。
∴DE＝BC，DE∥BC。
∵M，N分别是OB，OC的中点，
∴MN是△OBC的中位线。
∴MN＝BC，MN∥BC。
∴DE∥MN，DE＝MN。
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∴四边形MNDE是平行四边形。
∴OM＝OD，OE＝ON。
又∵M，N分别是OB，OC的中点，
∴OB＝2OM＝2OD。
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11(共18张PPT)
第六章　平行四边形
1　平行四边形的性质
第2课时　平行四边形对角线的性质
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知识点1　平行四边形的对角线互相平分
1.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若BD＝6，则OB的长是(　　)
A.2
B.3
C.4
D.5
(第1题)
B
2.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论一定成立的是(　　)
A.OA＝OB
B.OA⊥OB
C.OA＝OC
D.∠OBA＝∠OBC
(第2题)
C
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知识点2　对角线互相平分的性质应用
3.如图，在 ABCD中，若BC＝8，AC＝14，BD＝10，则△BOC的周长是(　　)
A.20
B.25
C.28
D.32
(第3题)
A
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4.在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若△AOB的面积为5，则四边形ABCD的面积为____。
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5.(2025宁德质检)如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且OE＝OF。
求证：BE＝DF。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD。
∵∠BOE＝∠DOF，OE＝OF，
∴△OBE≌△ODF(SAS)。
∴BE＝DF。
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6.如图， ABCD的周长为26 cm，AC与BD相交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长小3 cm，求AB，BC的长。
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC。
∵△AOB的周长比△BOC的周长多3 cm，
∴AB－BC＝3 cm。①
∵ ABCD的周长为26 cm，
∴AB＋BC＝13 cm。②
联立①②，得AB＝8 cm，BC＝5 cm。
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知识点3　探索梯形的性质
7.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝2∠A，CD＝6，BC＝5，则AB＝____。
(第7题)
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8.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，若AD＝2，BC＝8，梯形的高是3，则∠B＝____°。
(第8题)
45
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9.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，若AB＝4，AC＝6，则BD的长为(　　)
A.10
B.5
C.2
D.2
(第9题)
A
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10.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E。若AE＝4，DE＝2，DC＝2，则AC的长为
(　　)
A.6
B.5
C.4
D.4
(第10题)
C
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11.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线分别交AB，CD于点E，F。
(1)求证：OE＝OF；
解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝OC。
∴∠EAO＝∠FCO。
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO(ASA)。
∴OE＝OF。
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(2)若CD＝10，AD＝8，OE＝3，求四边形AEFD的周长。
解：∵△AEO≌△CFO，
∴AE＝CF。
∴DF＋AE＝DF＋FC＝DC＝10。
∵EF＝2OE＝6，
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∴四边形AEFD的周长
＝AD＋DF＋EF＋AE
＝AD＋DC＋EF
＝8＋10＋6
＝24。
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12.如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F，AD＝1，BD＝2，AC＝2，∠DOF＝α。
(1)当α为多少度时，EF⊥AC？
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝BD＝1，OA＝AC＝。
∵AD＝1，
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∴AD2＋OD2＝OA2，OD＝AD。
∴∠ADO＝90°，∠AOD＝45°。
∵EF⊥AC，
∴∠AOE＝90°。
∴α＝90°－45°＝45°。
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(2)在(1)的条件下，连接AF，求△ADF的周长。
解：由(1)可得EF垂直平分AC，
∴AF＝FC。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB。
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝。
∴DC＝。
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∴△ADF的周长＝AD＋DF＋FA
＝AD＋DF＋FC
＝AD＋DC
＝1＋。
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12(共19张PPT)
第六章　平行四边形
章末复习　三角形的中位线、
平行四边形的性质与判定的综合应用
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考点1　三角形的中位线
1.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点。若AB＝6，BC＝8，则DE的长为(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
(第1题)
D
2.如图，DE是△ABC的中位线，若∠BDE＝140°，则∠B＝(　　)
A.30°
B.40°
C.80°
D.140°
(第2题)
B
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3.如图，D，E分别是AB，AC的中点，BE是∠ABC的平分线，给出下列结论：①BC＝2DE；②DE∥BC；③BD＝DE；④BE⊥AC。其中正确的是(　　)
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
(第3题)
D
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4.(2025莆田涵江区期末)如图，在△ABC中，D是边BC的中点，点F在AB边上，AE⊥CF且AE平分∠BAC。已知DE＝1，AC＝4，则AB的长为___。
(第4题)
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5.如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BC的中点，将△ABC沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点P处。若∠CDE＝48°，则∠APD＝____°。
(第5题)
48
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12
6.某个跷跷板的示意图如图所示，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，OM＝30 cm。当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为____cm。
(第6题)
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7.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，过点E作EF∥CD，交AC的延长线于点F。求证：CF＝AC。
证明：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线。
∴DE＝AC，DE∥AC。
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∵EF∥CD，
∴四边形DEFC是平行四边形。
∴DE＝CF。
∴CF＝AC。
考点2　平行四边形的性质与判定的综合应用
8.如图，在△ABC中，∠B＝49°，分别以点A，C为圆心，以BC，AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，CD，则∠ADC的度数为(　　)
A.41°
B.49°
C.51°
D.59°
(第8题)
B
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9.如图，F是 ABCD的边CD上的点，Q是BF的中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P。若S△APD＝2 cm2，S△BQC＝8 cm2，则阴影部分的面积为(　　)
A.24 cm2
B.17 cm2
C.18 cm2
D.10 cm2
(第9题)
C
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10.如图，点E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF的长为___。
(第10题)
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11.如图，在 ABCD中，F是CD的中点，延长AB到点E，使BE＝AB，连接BF，CE。
(1)求证：四边形BECF是平行四边形；
解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD。
∵F是CD的中点，
∴CF＝CD。
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∵BE＝AB，
∴CF＝BE。
∵CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形。
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(2)若AB＝8，AD＝6，∠A＝60°，求CE的长。
解：如图，过点C作CH⊥BE于点H。
在 ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6。
∴∠CBE＝∠A＝60°。
∴CD＝AB＝8，CB＝AD＝6。
在Rt△BCH中，∠BCH＝90°－∠CBE＝30°。
∴BH＝CB＝3。
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由勾股定理，得CH＝＝＝3。
由(1)可知，四边形BECF是平行四边形，
∴BE＝CF＝CD＝4。
∴EH＝BE－BH＝4－3＝1。
在Rt△CHE中，根据勾股定理，得
CE＝＝＝2。
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12.如图，在△ABC中，∠A＝60°，AC＞AB＞6，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE＝6，连接DE，M是DE的中点，N是BC的中点，求线段MN的长。
解：如图，作CH∥AB，连接DN并延长交CH于点H，连接EH，过点C作CJ⊥EH于点J。
∵BD∥CH，
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∴∠B＝∠NCH。
∵N是BC的中点，
∴BN＝CN。
∵∠DNB＝∠HNC，
∴△DNB≌△HNC。
∴BD＝CH，DN＝HN。
∵BD＝EC＝6，
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∴EC＝CH＝6。
∵AB∥CH，
∴∠A＋∠ACH＝180°。
∵∠A＝60°，
∴∠ECH＝120°。
∴∠HEC＝EHC＝30°。
∵CJ⊥EH，
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∴CJ＝EC＝3，EJ＝＝3，HJ＝EJ＝3。
∵M是DE的中点，DN＝HN，
∴MN是△DEH的中位线。
∴MN＝EH＝EJ＝3。
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12(共16张PPT)
第六章　平行四边形
2　平行四边形的判定
第2课时　利用对角线判定平行四边形
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知识点1　对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　)
A.OA＝OB，OC＝OD
B.OA＝OB，AC＝BD
C.OA＝OC，OB＝OD
D.OB＝AB，OD＝CD
(第1题)
C
2.如图，在四边形ABCD中，AO＝OC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形。添加的条件是_____________________。
(第2题)
OB＝OD(答案不唯一)
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3.如图，若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝24 cm，则当OA＝______cm时，四边形ABCD是平行四边形。
(第3题)
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知识点2　利用对角线判定平行四边形的应用
4.综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形，(1)～(3)是其作图过程。在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(　　)
A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分
D.一组对边平行且相等
C
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5.小玲在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：将两根木条AC，BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形。这种方法的依据是____________________________________。
对角线互相平分的四边形是平行四边形
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6.(2025泉州安溪期末)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠CAD＝∠ACB，OA＝OC。求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：在△AOD和△COB中，
∵∠CAD＝∠ACB，OA＝OC，∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB(ASA)。
∴OD＝OB。
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形。
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7.如图，AD是△ABC的中线。
(1)尺规作图：延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE，CE。
解：如图，DE，BE，CE即为所求。
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(2)四边形ABEC是平行四边形吗？证明你的结论。
解：四边形ABEC是平行四边形。
证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD。
∵ED＝AD，
∴四边形ABEC是平行四边形。
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8.如图，取两根长度不等的细木棒AC，BD，将它们的中点重合固定(记为点O)，转动木棒AC，在∠AOD由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形ABCD，下列结论一定成立的是(　　)
A.AB＝AD
B.OA＝AD
C.∠BAD＝∠ABC
D.∠BAD＝∠BCD
(第8题)
D
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9.如图，在平面直角坐标系中，A(－1，2)，B(3，1)，C(1，－2)。在平面内确定点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可能是(　　)
A.(1，5)
B.(－3，－1)
C.(5，－3)
D.(6，－4)
(第9题)
D
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10.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA。
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO。
∵BE＝DF，
∴EO＝FO。
∴四边形AECF是平行四边形。
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(2)若△ABE的面积为2，求△CFO的面积。
解：∵BE＝EF，
∴S△ABE＝S△AEF＝2。
∵四边形AECF是平行四边形，
∴S△AEF＝S△CEF＝2，EO＝FO。
∴S△CFO＝S△CEO＝S△CEF＝1。
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11.如图，M，N是 ABCD对角线BD上的动点(均可与端点重合)，设BD＝12 cm，点M由点B向点D匀速运动，速度为2 cm/s，同时点N由点D向点B匀速运动，速度为a cm/s，运动时间为t s。若要使四边形AMCN为平行四边形，求a的值及t的取值范围。
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解：如图，连接AC交BD于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝6。
要使四边形AMCN为平行四边形，
则应满足OM＝ON。
根据题意，得OM＝6－2t，ON＝6－at或OM＝2t－6，ON＝at－6，
∴6－2t＝6－at或2t－6＝at－6。
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∴a＝2。
当点M，N重合于点O，即t＝6÷2＝3时，
点A，M，C，N在同一直线上，不能组成四边形。
当点M由点B运动到点D时，
t＝12÷2＝6。
∴当0≤t＜3或3＜t≤6时，四边形AMCN为平行四边形。
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第六章　平行四边形
综合与实践
根据以下信息，探索完成任务。
如何设计窗户限位器位置
信息1 问题背景 如图1，平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架。图2是这种平开窗的实物展示图
如何设计窗户限位器位置
信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成如图3所示的示意
图。已知滑撑支架的滑动轨道AB固定
在窗框底边，CF固定在窗页底边，B，
E，D三点固定在同一直线上。当窗户关闭时，点C与点A重合，DC和DB均落在AB上；当点O向点B滑动时，四边形OCDE始终为平行四边形，其中OC＝6 cm，CD＝10 cm，BE＝13 cm
如何设计窗户限位器位置
信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，OE与AB形成一个角，即∠EOB。出于安全考虑，部分公共场合的平开窗的开启角度有限制：平开窗的开启角度应该控制在30°以内(即∠EOB≤30°)
问题解决
任务1 求解关 键数量 滑撑支架中DE的长度为___cm，滑动轨道AB的长度是____cm
任务2 确定安 装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道AB上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时∠EOB＝30°，则限位器P应装在离点A多远的位置(结果保留根号)
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解：如图3，∠EOB＝30°，此时点O与点P重合，过点E作EH⊥OB于点H。
则∠OHE＝∠BHE＝90°。
∵四边形OCDE为平行四边形，CD＝10 cm，
∴OE＝CD＝10 cm。
∵∠OHE＝90°，∠EOB＝30°，
∴EH＝OE＝5 cm。
∴OH＝＝＝5(cm)，
BH＝＝＝12(cm)。
∴PA＝OA＝AB－OH－BH＝29－5－12＝(17－5)cm。
答：限位器P应装在离点A(17－5)cm的位置。(共5张PPT)
第六章　平行四边形
阅读与理解
请阅读下列材料，并完成相应的任务。
小明在学行四边形的知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下性质：平行四边形的四条边长的平方和等于对角线长的平方和，即：
如图，在 ABCD中，AB2＋BC2＋CD2＋AD2
＝AC2＋BD2。
小明在老师的提示下，对该性质进行了证明。
证明：如图，分别过点A，D作BC的垂线，与
BC交于点E，与BC的延长线交于点F。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD(依据)，AD∥BC，AD＝BC。
设AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，BE＝c，则CE＝b－c。
∴AB2＋BC2＋CD2＋AD2＝2a2＋2b2。
在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，即AE2＝a2－c2。
在Rt△ACE中，AC2＝AE2＋CE2＝a2－c2＋(b－c)2＝a2＋b2－2bc。
……
任务：
(1)证明过程中的“依据”是指：______________________；
(2)请你补全小明的证明过程。
证明：如图，分别过点A，D作BC的垂线，与
BC交于点E，与BC的延长线交于点F。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC。
设AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，BE＝c，则CE＝b－c。
平行四边形的对边相等
∴AB2＋BC2＋CD2＋AD2＝2a2＋2b2。
在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，即AE2＝a2－c2。
在Rt△ACE中，AC2＝AE2＋CE2＝a2－c2＋(b－c)2＝a2＋b2－2bc。
由辅助线，得AE∥DF。
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD为平行四边形。
∴EF＝AD＝BC，AE＝DF。
在Rt△BDF中，BD2＝DF2＋BF2＝a2－c2＋(b＋c)2＝a2＋b2＋2bc，
∴AC2＋BD2＝2a2＋2b2＝AB2＋BC2＋CD2＋AD2。(共11张PPT)
第六章　平行四边形
基础专题16　平行四边形的判定
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类型1　通过对边相等或平行的条件证明平行四边形
1. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，AB∥DC。求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：∵AB∥DC，
∴∠A＋∠D＝180°。
∵∠A＝∠C，
∴AD∥BC。
又∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∴∠C＋∠D＝180°。
2.如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF。
求证：四边形ABDF是平行四边形。
证明：∵AB平分∠CAE，
∴∠CAB＝∠BAE。
∵AB∥DF，
∴∠BAE＝∠DFE。
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∴∠CAB＝∠EFD。
又∵∠ACB＝∠FED＝90°，AC＝FE，
∴△CAB≌△EFD(ASA)。
∴AB＝FD。
∴四边形ABDF是平行四边形。
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3.某同学用两副三角尺，拼出了如图所示的内部有留白的四边形(直角三角尺互不重叠)。
(1)求证：拼出的四边形是平行四边形(根据需要，自己标字母)；
解：证明：如图。
∵两副三角尺拼出了内部有留白的四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC。
∴四边形ABCD是平行四边形。
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(2)请拼出另一种符合题意的图，并画出图形。
解：如答图，四边形ABCD即为所求。
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类型2　通过对角线互相平分的条件证明平行四边形
4.如图，在△ABC中，F是AB上一点，连接CF，过点A作AD∥FC，E是AC的中点，连接FE并延长，交AD于点D，连接CD。求证：四边形AFCD是平行四边形。
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证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE。
∵AD∥FC，
∵∠AED＝∠CEF，
∴△DAE≌△FCE(ASA)。
∴DE＝FE。
∴四边形AFCD是平行四边形。
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∴∠DAE＝∠FCE。
5.如图，在四边形ABCD中，M，N是BD上两点，AM∥CN，AN∥CM。若BM＝DN，求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：如图，连接AC交BD于点O。
∵AM∥CN，AN∥CM，
∴四边形AMCN是平行四边形。
∴OM＝ON，OA＝OC。
∵BM＝DN，
∴OM＋BM＝ON＋DN，即OB＝OD。
∴四边形ABCD是平行四边形。
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6. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为DC的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接GF。求证：四边形ABFG是平行四边形。
证明：∵AD∥BC，E为DC的中点，
∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，
DE＝CE。
∴△ADE≌△FCE(AAS)。
∴AE＝FE。
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∵AD∥BC，
∴∠DGE＝∠CBE，∠GDE＝∠BCE。
∵DE＝CE，
∴△GDE≌△BCE(AAS)。
∴EG＝EB。
∴四边形ABFG是平行四边形。
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第六章　平行四边形
基础专题15　平行四边形性质的应用
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类型1　直接应用平行四边形的性质解决问题
1.如图，在 ABCD中，点E，F分别在边DA，BC的延长线上，且AE＝CF。
求证：△ABE≌△CDF。
∴∠EAB＝∠FCD。
又∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD，AB＝CD。
∵∠DAB＋∠EAB＝180°，∠BCD＋∠FCD＝180°，
2. 如图，在 ABCD中，F是CB的延长线上一点， BF＝CB。求证：ED＝EF。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC。
∴∠ADE＝∠F。
∵BF＝CB，
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∵∠DEA＝∠FEB，
∴△ADE≌△BFE(AAS)。
∴ED＝EF。
∴AD＝BF。
3.如图，在 ABCD中，E，F为对角线AC上的两点，且AE＝CF。若∠BCE＝30°，∠AFD＝80°，求∠CBE的度数。
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC。
∴∠DAF＝∠BCE。
∵AE＝CF，
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∴EF＋AE＝EF＋CF，即AF＝CE。
∴△ADF≌△CBE(SAS)。
∴∠AFD＝∠CEB＝80°。
∵∠BCE＝30°，
∴∠CBE＝180°－∠CEB－∠BCE＝70°。
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4.如图，在 ABCD中，点M，N分别在边BC，AD上，且AM∥CN，对角线BD分别交AM，CN于点E，F。求证：BE＝DF。
证明：如图，连接AC交BD于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO。
∵AM∥CN，
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∴∠EAO＝∠FCO。
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)。
∴OE＝OF。
∴BO－OE＝DO－OF，即BE＝DF。
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类型2　平行四边形性质与判定的简单综合应用
5.如图，在 ABCD中，E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接AF，BD。求证：四边形ABDF是平行四边形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF。
∴∠BAE＝∠FDE。
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE。
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∵∠AEB＝∠DEF，
∴△BAE≌△FDE(ASA)。
∴AB＝DF。
∵AB∥CF，
∴四边形ABDF是平行四边形。
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6.如图，在 ABCD中，延长CB到点E，使得BE＝BC，连接AE，BD，若AE＝AB。
求证：AB＝DB。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC。
∵BE＝BC，
∴AD＝BE。
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∴四边形AEBD是平行四边形。
∴AE＝DB。
∵AE＝AB，
∴AB＝DB。
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7.如图，在 ABCD中， DN＝BM，DF＝BE。求证： EF与MN互相平分。
证明：如图，连接EM，EN，NF，FM。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，∠B＝∠D。
∵BM＝DN，AF＝CE，
∴AB－BM＝DC－DN，AD－DF＝BC－BE，
即AM＝CN，AF＝CE。
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∵DN＝BM，∠D＝∠B，DF＝BE，
∴△NDF≌△MBE(SAS)。
∴NF＝ME。
∵AM＝CN，∠A＝∠C，AF＝CE，
∴△AMF≌△CNE(SAS)。
∴FM＝EN。
∴四边形MENF是平行四边形。
∴EF与MN互相平分。
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第六章　平行四边形
2　平行四边形的判定
第1课时　利用边判定平行四边形
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知识点1　两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD是平行四边形，需添加一个条件，则下列条件正确的是(　　)
A.AD＝AB
B.AD＝BC
C.∠C＋∠D＝180°
D.∠A＝∠C
(第1题)
B
2.小明想要用四根木棒钉一个平行四边形的木框(接头处忽略不计)，他现在已经有了三根长分别为3，3，5的木棒，则第四根木棒的长是___。
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3.如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是____________________
_________________。
(第3题)
两组对边分别相等的四
边形是平行四边形
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4.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC。求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°。
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
∵BD＝DB，AD＝CB，
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∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)。
∴AB＝CD。
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
知识点2　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
5.如图，若再增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形ABCD为平行四边形，则这条线段为(　　)
A.a
B.b
C.c
D.d
(第5题)
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6.(2025厦门期中)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则添加下列条件，一定可使四边形ABCD成为平行四边形的是
(　　)
A.AC＝BD
B.AB∥CD，AD＝BC
C.AO＝CO
D.AD∥BC，AD＝BC
(第6题)
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7.如图，B是AC的中点，点D，E在AC同侧，AE＝BD，BE＝CD。
(1)求证：△ABE≌△BCD；
证明：∵B是AC的中点，
∴AB＝BC。
∵AE＝BD，BE＝CD，
∴△ABE≌△BCD。
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(2)连接DE，求证：四边形BCDE是平行四边形。
证明：∵△ABE≌△BCD，
∴∠ABE＝∠BCD。
∴BE∥CD。
∵BE＝CD，
∴四边形BCDE是平行四边形。
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8.汽车雨刮器(如图1)是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，通常两个雨刮器的刷片长度相同，即AB＝CD。某时刻汽车雨刮器的位置如图2所示，此时∠ABE＝∠C，则下列说法错误的是(　　)
A.四边形ABCD是平行四边形
B.∠A＝∠D
C.AD＝BC
D.AD∥BC
(第8题)
B
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9.如图，在等边三角形ABC中，BC＝8 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以2 cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以4 cm/s的速度运动。设它们运动的时间为t s，则当
t＝s时，以点A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形。
(第9题)
或4
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10.如图，根据图中的标注，求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴(x－1)2＝42＋(x－3)2。
解得x＝6。
∴AB＝x－1＝5，BC＝x－3＝3，AD＝9－x＝3。
∴AB＝CD，AD＝BC。
∴四边形ABCD是平行四边形。
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11.如图，将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，你能用这两个三角形拼成多少种平行四边形？试一试，分别求出它们的对角线的长。
解：用这两个三角形能拼成三种平行四边形。
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如图1中，两条对角线的长都是m；
如图2中，较短的对角线长为h，
较长的对角线长为2×＝；
如图3中，较短的对角线长为n，
较长的对角线长为2×＝。
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