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(共11张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
3　简单的图案设计
知识点1　平移、旋转、轴对称之间的关系
1.下图所示的四个汽车标志图案中，不能用平移或旋转变换来分析其形成过程的图案是(　 　)
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9
C
2.某公司的商业标志图案如图所示，该图案的外层可以看作是利用图形的______设计的，内部可以看作是利用图形的________设计的，这样既形象又美观。(填“平移”“旋转”或“轴对称”)
(第2题)
旋转
轴对称
1
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9
3.如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠ADE都是直角，点C在AE上，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转____°，能够与△AED重合，再将图1作为“基本图形”绕着点A按逆时针方向连续旋转____°后得到图2。
(第3题)
45
90
1
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3
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9
知识点2　设计图案
4.(2025扬州)窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美。下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(　 　)
C
1
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9
5.利用对称性可以设计出美丽的图案。在边长为1的方格纸中，某四边形如图所示(顶点都在格点上)。
(1)先画出四边形关于直线l成轴对称的图形，再画出你所作的图形连同原四边形绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形；
解：所要画的图形如图所示。　
(2)完成上述作图后，整个图案的面积等于____。
20
1
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9
6.某公司的商品标志图案如图所示。下列说法中，正确的有____。
(填序号)
①图案是按轴对称设计的；
②图案是按旋转设计的；
③图案的外层“S”是按旋转设计的；
④图案的内层“A”是按轴对称设计的。
(第6题)
③④
1
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7
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9
7.有一种拼图游戏是当每一行的小方格铺满后，这一行消失并使玩家得分，若在游戏过程中，已拼好的图案如图所示，又出现了一小方格体向下运动，为了使所有图案消失，你必须将这个小方格先________________，再__________，再__________，才能拼一个完整的图案，从而使图案消失。
(第7题)
顺时针旋转90°
向右平移
向下平移
1
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7
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8.已知每个网格中小正方形的边长都是1，图1中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成。请你在图2中以图1为基本图案，借助轴对称、平移或旋转设计一个完整的花边图案(要求至少含有两种图形变换)。
解：如图。(答案不唯一)
1
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9.如图，在8×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格的格点上。
(1)在图1中画△ABD(点D在网格的格点上)，使△ABD的周长等于△ABC的周长，且以A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；
解：要求画出的△ABD如图1所示。(答案不唯一)
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(2)在图2中画△ABE(点E在网格的格点上)，使△ABE的周长等于△ABC的周长，且以A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形。
解：要求画出的△ABE如图2所示。(答案不唯一)
1
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9(共14张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
1　图形的平移
第3课时　坐标系中的平移(2)　
知识点1　沿x轴、y轴的两次平移
1.(2025南平浦城期中)将点A(1，－4)先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后得到点A'，则点A'的坐标为
(　 　)
A.(4，－2) B.(－7，3)
C.(－2，－2) D.(－2，－6)
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C
2.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3，4)，B(－4，1)，C(－1，2)，则△ABC是怎样平移到△A1B1C1的？(写出一种平移方法)
解：△ABC先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1。
(或△ABC先向下平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度，得到△A1B1C1)
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3.如图，在平面直角坐标系中，网格中的每个小正方形的边长都是1个单位长度，四边形ABCD的各个顶点都在格点上。
(1)将四边形ABCD先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，请画出平移后得到的图形；
解：如图，四边形A'B'C'D'即为所求。
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(2)A，B，C，D四点平移后的对应点A'，B'，C'，D'，对应点的坐标之间有什么关系？写出A'，B'，C'，D'的坐标。
解：平移后，对应点的坐标之间的关系为横坐标加4，纵坐标加2。
A'(4，2)，B'(0，6)，C'(2，2)，D'(1，1)。
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知识点2　斜方向的一次平移
4.(2025宁德福鼎期中)在平面直角坐标系中，线段A'B'是由线段AB经过平移得到的，已知点A(－3，2)的对应点为A'(1，6)，点B(6，2)的对应点为B'，则点B'的坐标是(　 　)
A.(2，6) B.(2，－4)
C.(10，－4) D.(10，6)
D
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5.如图，△ABC各顶点的坐标分别为A(－2，6)，B(－3，2)，C(0，3)，将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△DEF。
(1)画出△DEF，并分别写出△DEF各顶点的坐标；
解：△DEF如图所示，
其各顶点的坐标分别为D(2，9)，E(1，5)，F(4，6)。
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9
(2)如果将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的，请指出平移方向和平移距离。
解：如图，连接AD。
由图可知，AD＝＝5。
∴平移方向是由点A到点D的方向，
平移的距离是5个单位长度。
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9
6. (2025漳州漳浦期中)如图，点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，若将线段AB平移至A1B1的位置，则a＋b的值是(　 　)
A.2
B.0
C.1
D.－1
(第6题)
A
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5
6
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7.(2025福州连江期中)在平面直角坐标系中，点A(m＋3，n)，B(m，n＋1)都在第一象限，将线段AB平移，使平移后的点A，B分别落在x轴和y轴上，则点A平移后的对应点的坐标是(　 　)
A.(－1，0) B.(1，0)
C.(－3，0) D.(3，0)
D
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8.(2025南平浦城期中)如图，在平面直角坐标系中，所给的正方形网格的每个小正方形边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点均在格点上，位置如图所示，其中A(－2，1)。现将△ABC沿AA1的方向平移，使得点A平移至A1(2，－2)的位置。
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(1)在图中画出△A1B1C1，点B1的坐标为________，点C1的坐标为__________；
(2)△A1B1C1的面积为___；
(3)线段AB沿AA1的方向平移到A1B1的过程中扫过的面积是____。
(6，1)
(8，－1)　
解：如图所示，△A1B1C1即为所求。
7
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9.(2024福州期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(－1，2)，B
(－1，5)，C(－4，5)，D(－4，2)，正方形ABCD经平移后得到正方形A1B1C1D1，点A的对应点为A1(4，－1)。
(1)请在平面直角坐标系中画出正方形A1B1C1D1；
解：如图所示，正方形A1B1C1D1为所求。
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(2)若点P在正方形A1B1C1D1内(不包含边界)，求a的取值范围。
解：∵点P在正方形A1B1C1D1内(不包含边界)，
∴解得1＜a＜。
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9(共7张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
基础专题11　旋转的性质与应用　
1.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ABC＝45°，点P在△ABC内，△ACP逆时针旋转后能与△BCP'重合。
(1)旋转中心为哪一点？旋转角的度数为多少？
1
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3
4
解：∵AC＝BC，∠ABC＝45°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°。
∴∠ACB＝180°－45°－45°＝90°。
∵将△ACP旋转后能与△BCP'重合，
∴AC与BC重合。
∴旋转中心是点C。
旋转角为∠ACB，度数为90°。
(2)连接PP'，△CPP'是什么三角形？并说明你的理由。
解：△CPP'是等腰直角三角形。理由如下：
由旋转的性质可知，CP＝CP'，∠PCP'＝∠ACB＝90°，
∴△CPP'是等腰直角三角形。
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2.如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长。
解：由旋转的性质，得AB＝AD。
∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形。
∴BD＝AB＝2。
∵BC＝3.6，
∴CD＝BC－BD＝3.6－2＝1.6。
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3.如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△EDC。若点A，D，E在同一条直线上，且∠ACB＝20°，求∠CAE及∠B的度数。
解：根据旋转的性质可知CA＝CE，∠ACE＝∠BCD＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形。
∴∠CAE＝45°。
∵∠BCD＝90°，∠ACB＝20°，
∴∠ACD＝90°－20°＝70°。
∴∠EDC＝45°＋70°＝115°。
∴∠B＝∠EDC＝115°。
1
2
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4
4.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE。
(1)如图1，当点C的对应点E恰好落在AB上时，若BC＝6，BD＝9，求AE的长；
解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，
∴AB＝BD＝9，BE＝BC＝6。
∴AE＝AB－BE＝9－6＝3。
1
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3
4
(2)如图2，BD∥AC，若∠C＝110°，∠A＝40°，求∠ABE的度数。
解：∵∠C＝110°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝180°－110°－40°＝30°。
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°。
∵BD∥AC，
∴∠DBC＋∠C＝180°。
∴∠DBC＝70°。∴∠ABE＝70°－30°×2＝10°。
1
2
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4(共16张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
2　图形的旋转
第3课时　中心对称
知识点1　中心对称图形
1.下面四个手机应用图标中是中心对称图形的是(　 　)
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B
2.(2025辽宁)数学中有许多优美的曲线，下列四条曲线中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　 　)
B
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知识点2　中心对称的概念
3.如图，在4组图形中，左边图形与右边图形不成中心对称的一组是(　 　)
D
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4.(2024福州期末)在平面直角坐标系中，点P(－4，－1)关于原点中心对称的点的坐标是________。
(4，1)
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5.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上。在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(－1，2)。以原点O为对称中心，画出与△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标。
解：如图所示，△A1B1C1即为所求。
由图可得，点B1的坐标为(1，－2)。
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6.某小区物业计划在小区的正方形绿化场地种植两种不同颜色(用阴影部分和非阴影部分表示)的花卉，要求种植的花卉能组成中心对称图案，设计图案中的一部分如图所示。请把图案补成中心对称图形，并标出对称中心P。
解：图形如图所示。
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知识点3　成中心对称图形的性质
7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是CD上一点，点D与点C关于点E成中心对称，连接AE并延长，与BC的延长线交于点F。
(1)填空：点E是线段CD的_______，点A与点F关于点_____成中心
对称；
中点
E
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(2)若AB＝AD＋BC，求证：△ABF是等腰三角形。
证明：∵点D与点C关于点E成中心对称，
∴点E是线段CD的中点。
∴DE＝CE。
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF。
在△ADE和△FCE中，
∠D＝∠ECF，DE＝CE，∠AED＝∠FEC，
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∴△ADE≌△FCE(ASA)。
∴CF＝AD。
∵AB＝AD＋BC，
BF＝BC＋CF＝BC＋AD，
∴AB＝BF。
∴△ABF是等腰三角形。
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8. (2025厦门期末)如图，四边形ABCD是正方形，E，F，G，H分别为各边的中点，HF与EG交于点O。下列三角形中，与△HAE成中心对称的是(　 　)
A.△FCG
B.△GOF
C.△FBE
D.△HOG
(第8题)
A
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9.如图，△ABC与△A'B'C'关于某一个点成中心对称，点A，B的对称点分别为点A'，B'。请用尺规作图的方法找出对称中心O，并把图形补充完整。
解：对称中心O及△A'B'C'如图所示。　
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10.五个大小一样的小正方形拼成的图形如图所示，请你移动其中一个小正方形，重新拼成一个新图形，使拼成的图形：
(1)是轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)是中心对称图形，但不是轴对称图形；
(3)既是中心对称图形，又是轴对称图形。
请分别画出示意图。
解：所画图形如右(答案不唯一)。
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11.【知识背景】过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分。
(1)如图1，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB____S四边形DEFC(填“＞”“＜”或“＝”)；
＝
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(2)两个正方形的摆放位置如图2所示，点O为小正方形对角线的交点，求作一条过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
解：所求作的直线如图2所示。
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(3)八个大小相同的正方形的摆放位置如图3所示，求作一条直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分割)。
解：所求作的直线如图3所示。
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11(共9张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
阅读与理解　
阅读材料并解答下列问题。
【材料】如图1，在△ABC中，若AB＝12，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围。是这样思考的：延长BD至点E，使DE＝BD，连接CE，利用边
角边证全等即可将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系可以求出BE的取值范围是_____________，进而得到BD的取值范围是_____________。
4＜BE＜20
2＜BD＜10
我们定义：如图2，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'.当α＋β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'的边B'C'上的中线AD叫作△ABC的“旋补中线”，点A叫作“旋补中心”。
【探索一】如图2，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”。请仿照上面材料中的方法，猜想图2中AD与BC的数量关系，并给予证明。
解：BC＝2AD。
证明：如图2，延长AD至点E使AD＝DE，连接C'E。
∵AD是△ABC的“旋补中线”，
∴AD是△AB'C'的中线。
∴B'D＝C'D。
又∵∠B'DA＝∠C'DE，
∴△B'DA≌△C'DE(SAS)。
∴AB'＝C'E，∠B'AD＝∠E。
∵AB'＝AB，∴AB＝C'E。
∵△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，
∴∠BAC＋∠B'AC'＝∠BAC＋∠B'AD＋∠EAC'＝180°。
∵∠AC'E＋∠E＋∠EAC'＝180°，
∠B'AD＝∠E，
∴∠BAC＝∠AC'E。
∵AC＝AC'，∠BAC＝∠AC'E，AB＝C'E，
∴△ABC≌△C'EA(SAS)。
∴BC＝AE＝2AD。
【探索二】如图3，当α＝β＝90°时，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AE⊥BC，垂足为E，AE的反向延长线交B'C'于点D，探索AD是不是△ABC的“旋补中线”，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由。
解：AD是△ABC的“旋补中线”。
证明：如图3，作C'H⊥AD于点H，作B'F⊥AD交AD的延长线于点F。
∵AE⊥BC，∴∠F＝∠BEA＝90°。
∴∠BAE＋∠B＝90°。
∴∠BAE＋∠B'AF＝90°。
∴∠B'AF＝∠B。
又∵BA＝AB'，
∴△ABE≌△B'AF(AAS)。
∴B'F＝AE。
同理，得△ACE≌△C'AH(AAS)，
∴AE＝C'H。
∴B'F＝C'H。
∵α＝β＝90°，即∠BAB'＝∠CAC'＝90°，
∵∠F＝∠C'HD＝90°，∠B'DF＝∠C'DH，
∴△B'DF≌△C'DH(AAS)。
∴B'D＝C'D。
∴AD是△AB'C'的中线。
∴AD是△ABC的“旋补中线”。(共14张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
1　图形的平移
第1课时　平移的概念与性质　
知识点1　平移的概念
1.(2025莆田城厢区期中)下列现象中，不属于平移的是(　 　)
A.滑雪运动员在平坦的雪地上沿直线滑行
B.时针的走动
C.商场自动扶梯上顾客的升降运动
D.火车在笔直的铁轨上行驶
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B
2.(2025厦门期中)下列图形可以通过基本图形平移得到的是(　 　)
B
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知识点2　平移的性质
3.(2024厦门模拟)如图，将△ABC沿射线AC的方向平移至△CDE，若AE＝6，则点B与点D之间的距离是___。
(第3题)
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10
4.如图所示，△ABC，△ECD，△FAE，△ACE都是边长为2 cm的等边三角形，通过平移△ABC能得到哪些三角形？请说出平移的方向和平移的距离。
解：通过平移△ABC可以得到△FAE和△ECD。
△ABC沿着射线BA的方向平移2 cm得到△FAE；
△ABC沿着射线BC的方向平移2 cm得到△ECD。
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5.如图，△ABC沿直线l向右平移了3 cm，得△FDE，且BC＝6 cm，∠B＝40°。
(1)BE＝___cm；
(2)∠FDB＝_______；
(3)找出图中相等的线段(不另外添加线段)；
解：相等的线段有AB＝FD，AC＝FE，BC＝DE，BD＝CE＝CD。
(4)找出图中互相平行的线段(不另外添加线段)。
解：平行的线段有AB∥FD，AC∥FE。
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140°
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知识点3　平移作图
6.如图，经过平移，△ABC的边AB移到了EF的位置。
(1)指出平移的方向和平移的距离。
解：如图，连接AE。平移的方向为点A到点E的方向，平移的距离为线段AE的长度。
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(2)你有几种画法可以画出平移后的三角形？请简单描述。
解：答案不唯一。例如：作法1：如图1，连接AE，BF，过点C作线段CG∥ AE，连接EG，FG，△EFG就是平移后的三角形。
作法2：如图2，过点E，F分别作EG∥AC，FG∥BC，EG和FG交于点G，则△EFG就是平移后的三角形。
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10
7.如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2 cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝2 cm，EF＝5 cm，则阴影部分的面积为(　 　)
A.6 cm2
B.8 cm2
C.12 cm2
D.16 cm2
(第7题)
B
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7
8
9
10
8.如图，将△ABC沿着某一方向平移一定的距离得到△DEF，有下列结论：①AD＝CF；②AC∥DF；③∠ABC＝∠DEF；④∠DAE＝∠AEB。其中正确的有(　 　)
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.①②
(第8题)
A
1
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7
8
9
10
9.(2024三明期中)如图，在△ABC中，∠B＝80°，将AB沿射线BC的方向平移至A'B'，连接AA'，设A'B'与AC的交点为O。
(1)若B'为BC的中点，求证：△AOA'≌△COB'；
证明：∵A'B'由AB沿射线BC的方向平移所得，∴AA'∥BB'，AA'＝BB'。
∴∠OAA'＝∠C。
∵B'为BC的中点，
∴BB'＝CB'。∴AA'＝CB'。
又∵∠AOA'＝∠COB'，
∴△AOA'≌△COB'(AAS)。
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10
(2)若AC平分∠BAA'，求∠C的度数。
解：∵AC平分∠BAA'，
∴∠BAC＝∠OAA'。
又∵∠OAA'＝∠C，
∴∠BAC＝∠C。
∵∠BAC＋∠C＋∠B＝180°，∠B＝80°，
∴∠C＝(180°－80°)÷2＝50°。
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10
10.如图，在方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上。
(1)将△ABC平移后得到△A'B'C'，图中已画出点B的对应点B'，请补全△A'B'C'；
解：如图，△A'B'C'即为所求。
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10
(2)画出△A'B'C'的高C'H以及中线A'D；
解：如图，高C'H，中线A'D即为所求。
(3)直接写出BB'和CC'的关系：_____________________。
BB'＝CC'，BB'∥CC '
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9
10(共7张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
基础专题10　图形的平移与旋转作图　
1.(2025福州台江期中)如图，在平面直角坐标系中有四个点A(－2，4)，B(－4，0)，C(0，1)，D(4，2)，△DEF由△ABC平移得到，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F。
(1)画出△DEF，并写出点E，F的坐标；
解：如图，△DEF即为所求作的三角形。
∴E(2，－2)，F(6，－1)。
1
2
3
(2)若P(m，n)为△ABC中任意一点，则平移后的对应点P1的坐标为_____________。
1
2
3
(m＋6，n－2)　
2.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为
A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)。
(1)在图中画出将△ABC绕点A逆时针旋
转90°后得到的△A1B1C1；
解：如图，△A1B1C1即为所求。
(2)在图中画出与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2。
解：如图，△A2B2C2即为所求。　
1
2
3
3.(2025龙岩长汀期中)如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上。将△ABC向左平移2格，再向上平移4格。
(1)在图中画出平移后的△A'B'C'；
解：如图，△A'B'C'为所作。
1
2
3
(2)在图中画出△A'B'C'的高C'D'，并求出△ABC在整个平移过程中线段AC扫过的面积为____；
解：如图，C'D'即为所作。
解析：线段AC扫过的面积＝S△AA'C＋S△C'A'C＝×8×4＋×4×8＝32。
32
1
2
3
(3)图中能使S△MBC＝S△ABC的格点M共有___个。(点M异于点A)
解析：如图，过点A作BC的平行线，此直线的格点有4个(点A除外)，即能使S△MBC＝S△ABC的格点M共有4个。
4
1
2
3(共11张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
☆问题解决活动：最短距离
典例1
已知A，B两个城镇和一条河流。
(1)如图1，A，B两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点P建造一个抽水站，抽水到A，B两镇，在河边找出点P的位置，使PA＋PB的值最小。(不写作法，保留作图痕迹)
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解：如图1，点P的位置即为所求。
(2)如图2，A，B两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠B镇的一边找一点P建造一个抽水站，抽水到A，B两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点P的位置，使铺设管道的总长最小。(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图2，点P的位置即为所求。
变式1
直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，村庄P和村庄Q在这条河的两岸。现要在这条河上建一座桥EF(桥EF与河的两岸l1，l2垂直)，使得从村庄P经桥EF过河到村庄Q的路径PEFQ最短，即PE＋EF＋FQ最小。则下列图中满足条件的是(　 　)
A
变式2
如果A，B两个村庄中间有两条平行的河流(如图)，准备在两条河上各建一座桥(桥仍然与河岸垂直)，那么，要使由A到B的路程最短，两座桥应建在何处呢？ (不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，CD和EF的位置即为所求桥的位置。
典例2
如图，A，B为直线l异侧两定点，M，N为直线l上的两动点，且MN的长度为定值，试确定点M，N的位置，使BM＋MN＋AN的值最小。(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，点M'，N'即为所求的点M，N的位置。　
变式3
如图，A，B为直线l同侧两定点，M，N为直线l上的两动点，且MN的长度为定值，试确定点M，N 的位置，使AM＋MN＋BN的值最小。(不写作法，保留作图痕迹)
解：点M，N的位置如图所示。　
变式4
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，G分别是边AB，AC上的点，CG＝2BD，线段EF在边BC上左右滑动。若BD＝，BC＝7，EF＝1，求DE＋GF的最小值。
解：如答图1，作GG1∥BC，使得GG1＝EF＝1，作G1关于BC的对称点G2，交BC于点H，连接DG2，交于BC于点P，过D作DM⊥BC于点M，过G作GN⊥BC于点N，连接G1E，G2E。
∴∠DMB＝∠GNC＝90°。
由平移的性质，得EG1＝FG。
由轴对称的性质，得EG1＝EG2。
易得G1H＝GN，GG1＝HN＝1。
∴G1H＝G2H＝GN。
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°。
∴∠ABC＝∠BDM＝∠NGC＝∠ACB＝45°。
∴BM＝DM ，GN＝NC。
∵BD＝，CG＝2BD，
∴CG＝2。
∴由勾股定理，得BM＝DM＝1，GN＝NC＝2。
∴G1H＝G2H＝GN＝2，BH＝BC－HN－CN＝7－1－2＝4。
∵DE＋EG2≥DG2，
∴当D，E，G2三点共线时DE＋EG2最小，即DE＋GF的最小值为DG2。
如答图2，以B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系。
∴D(1，1)，G2(4，－2)。
∴DG2＝＝3。
∴DE＋GF的最小值为3。(共7张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
综合与实践
生活中，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌。
(1)如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠BAD＝60°，对图1进行切割平移，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线AD方向平移而成。其平移的距离是___。
3
同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成。我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是________。
18　
(2)小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按如图7所示的方式全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌。小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖的价格比一块边长为1的正六边形瓷砖的价格便宜40元；正三角形瓷砖与正六边形瓷砖各购买50片，共花了3 000元。
小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少。按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，求购买瓷砖最少需要多少元。
解：设一块边长为1的正三角形瓷砖的价格为x元，一块边长为1的正六边形瓷砖的价格为y元。
根据题意，得
解得
∵每个边长为1的正六边形瓷砖的面积等于边长为1的正三角形瓷砖的面积的6倍，
一块边长为1的正六边形瓷砖的价格等于一块边长为1的正三角形瓷砖价格的5倍，
∴用边长为1的正六边形瓷砖越多，费用就越少。
根据题图7，结合题意，可知正六边形瓷砖最多
可以使用8块，此时正三角形需要12块，
∴最少费用＝8×50＋12×10＝520(元)。(共14张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
2　图形的旋转
第2课时　旋转作图　
知识点1　旋转作图
1.分析图①、图②、图④中阴影部分的分布规律，按此规律在图③中画出相应的阴影部分。
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解：如图③，阴影部分即为所求作。　
2.如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1。
解：如图，△AB1C1即为所作。　
1
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7
8
9
3.如图，△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为A'，试确定旋转后的三角形。
解：如图所示，△A'B'C'即为所求作的三角形。　
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9
知识点2　网格中的旋转作图
4.如图，在正方形网格中，以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△AB1C1。
解：如图所示，△AB1C1即为所求作的三角形。　
1
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9
5.如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空。
(1)画出线段OA绕点O按顺时针方向旋转90°后得到的线段OB，连接AB；
解：如图，OB，AB即为所作。
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9
(2)画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是点C；
解：如图，△COB即为所作。
(3)∠OCB的度数为______。
45°
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9
6.在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，将OA绕坐标原点O旋转180°到OA'，则点A'的坐标是____________。
(－1，－2)
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9
7.(2025三明三元区期中)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转α°，得到Rt△AB'C'，点C的对应点C'恰好落在斜边AB上。
(1)用直尺和圆规作出△AB'C'(不写作法，保留作图痕迹)；
解：如图，△AB'C'即为所求。
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(2)在(1)的条件下，连接BB'，若AB＝10，BC＝6，求BB'的长。
解：∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴由勾股定理，得AC＝8。
由旋转，得∠AC'B'＝∠ACB＝90°，
AC'＝AC＝8，B'C'＝BC＝6。
∴∠B'C'B＝90°，
BC'＝AB－AC'＝10－8＝2。
∴BB'＝＝＝2。
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8.如图，分别在网格中画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°和180°后的△A1B1C1和△A2B2C2。
解：如图，△A1B1C1是△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后得到的图形；△A2B2C2是△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°后得到的图形。
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9.(2024厦门海沧区期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，CD＝CB。
(1)尺规作图：将△ABD绕点B按顺时针方向旋转α(0°＜α＜90°)得到△EBF，使得点A的对应点E在BC的延长线上(保留作图痕迹，不写作法)；
解：如图，△EBF为所作。
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(2)在(1)的条件下，连接CF，判断点F与直线AC的位置关系，并说明理由。
解：点F在直线AC上。理由如下：
∵△ABD绕点B按顺时针方向旋转α得到△EBF，
∴∠ABE＝∠DBF＝α，BD＝BF。
∴∠BDF＝(180°－∠DBF)
＝×(180°－α)
＝90°－α。
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9
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝α。
∵CD＝CB，
∴∠CDB＝(180°－∠ACB)
＝×(180°－α)
＝90°－α。
∴∠CDB＝∠BDF。
∴F，C，D三点共线，
即点F在直线AC上。
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9(共14张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
章末复习　图形的平移与旋转　
考点1　图形的平移
1.(2024三明期末)把点M(－2，4)向下平移3个单位长度得到的点的坐标是(　 　)
A.(1，4) B.(－5，4)
C.(－2，1) D.(－2，7)
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8
9
C
2. (2025福州福清期中)如图，将△ABC沿CB方向平移1个单位长度得到△DEF，已知CB＝3，则CE的长为(　 　)
A.3
B.4
C.5
D.6
(第2题)
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3.(2024福州福清期中)如图，将△ABC的边AB沿点A到点C的方向平移到ED，ED交BC于点O，连接BD，BE。
(1)若∠AEB＝70°，∠CBD＝60°，求∠EBC的大小；
解：∵边AB沿点A到点C的方向平移到ED，
∴AC∥DB。∴∠C＝∠CBD＝60°。
∵∠AEB＝∠C＋∠EBC，
∴∠EBC＝70°－60°＝10°。
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(2)若AB＝7，BC＝8，AC＝3，边AB在平移的过程中，点E始终在边AC上(不与点A，点C重合)，求△EOC与△BOD周长的和。
解：∵AB＝ED，AE＝DB，
∴△EOC与△BOD周长的和
＝CE＋CO＋EO＋OD＋OB＋DB
＝DE＋BC＋EC＋AE
＝AB＋BC＋AC＝7＋8＋3＝18。
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考点2　图形的旋转
4.(2025漳州诏安期中)围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史。下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是(　 　)
C
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5. (2025宁德福鼎期中)如图，在△ABC中，∠B＝105°，∠C＝25°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE。当AD落在AC上时，∠BAE的度数是(　 　)
A.95°
B.100°
C.105°
D.110°
(第5题)
B
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9
6.如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝5，AC＝2，∠A＝90°，求CE的长。
解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC。∴BC＝CE。
∵AB＝5，AC＝2，∠A＝90°。
∴BC＝＝＝。∴CE＝BC＝。
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7.如图，网格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点和点O都在格点上。画出将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后的△A1B1C1。
解：如图，△A1B1C1即为所求。
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9
考点3　图案设计
8.由4个全等的正方形组成的L形图案如图所示，请按下列要求设计图案：
(1)在图1中添加1个正方形，使它成为轴对称图形但不是中心对称
图形；
解：设计好的图案如图1所示(答案不唯一)。
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(2)在图2中添加1个正方形，使它成为中心对称图形但不是轴对称
图形；
解：设计好的图案如图2所示。
1
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(3)在图3中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既是中心对称图形，又是轴对称图形。
解：设计好的图案如答图所示(答案不唯一)。
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9
9.(2024北京改编)已知∠MAN＝α(0°＜α＜45°)，点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B按顺时针方向旋转180°－2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E。如图，当点D在射线AN上时，求证：点C是AE的中点。
证明：如图，连接CD。
根据题意，得
BC＝BD，∠CBD＝180°－2α，
∴∠BDC＝∠BCD。
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9
∵∠BDC＋∠BCD＋∠CBD＝180°，
∴∠BDC＝＝α。
∴∠BDC＝∠A。
∴CA＝CD。
∵ED⊥AN，
∴∠1＋∠A＝∠2＋∠BDC＝90°。
∴∠1＝∠2。
∴CD＝CE。
∴CA＝CE。
∴点C是AE的中点。
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9(共19张PPT)
第三章　图形的平移与旋转
1　图形的平移
第2课时　坐标系中的平移(1)　
知识点1　沿x轴的左右平移
1.(2025湖南省卷)在平面直角坐标系中，将点P(－3，2)向右平移3个单位长度到P1处，则点P1的坐标为(　 　)
A.(－6，2) B.(0，2)
C.(－3，5) D.(－3，－1)
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11
12
B
2.一个四边形各顶点的纵坐标保持不变，横坐标减5，则这个四边形的移动情况正确的是(　 　)
A.向右平移5个单位长度 B.向左平移5个单位长度
C.向上平移5个单位长度 D.向下平移5个单位长度
B
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5
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12
3. (2024福州期中)如图，△OAB的顶点B的坐标为(5，0)，把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE。如果CB＝2，那么OE的长为___。
(第3题)
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12
4.在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系，如图所示。
(1)将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；
解：如图，△A1O1B1即为所求。
(2)在(1)的条件下，点A1的坐标为__________。
　(－2，3)
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12
5.如图，△ABC的顶点坐标分别为A(－2，3)，B(－3，0)，C(－1，－1)。将△ABC平移后得到△A'B'C'，且点A的对应点是A'(2，3)，点B，C的对应点分别是B'，C'。
(1)点A，A'之间的距离是___；
(2)请在图中画出△A'B'C'。
解：如图，△A'B'C'即为所求。
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知识点2　沿y轴的上下平移
6.(2025山东省卷)在平面直角坐标系中，将点P(3，4)向下平移2个单位长度，得到的对应点P'的坐标是________。
(3，2)
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7.(2025辽宁改编)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(2，－2)，将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标为(3，5)，则点B的对应点D的坐标为________。
(2，3)　
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12
8.如图，在平面直角坐标系中，
(1)描出点(－1，0)，(4，4)，(2，0)，(4，1)，(4，－1)，(2，0)，(3，－2)，(－1，0)，并将各点依次用线段连接起来；
解：描点、连线如图所示。
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(2)若将(1)中图形各点的横坐标不变，纵坐标分别加3，则坐标变为____________________________________________________________________，描出这些点，并将各点依次用线段连接起来；
解：描点、连线如图所示。
(－1，3)，(4，7)，(2，3)，(4，4)，(4，2)，(2，3)，(3，1)，
(－1，3)
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11
12
解：图形的形状、大小都没有改变，只是位置向上平移了3个单位长度。
(3)将(2)中的图形与(1)中的图形比较，发生了什么变化？
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11
12
9.(2025陕西)在平面直角坐标系中，过点(1，0)，(0，2)的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是(　 　)
A.(1，－3) B.(1，3)
C.(－3，2) D.(3，2)
B
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10.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示。
(1)△ABC经过平移得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别是点A1，B1，C1，对应点的坐标之间有什么关系？△A1B1C1可以由△ABC如何变化而来？
解：平移后，△A1B1C1与△ABC对应点坐标之间的关系为：横坐标不变，纵坐标增加3。△A1B1C1是由△ABC向上平移3个单位长度得到的。
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(2)△ABC经过平移得到△A2B2C2，点A，B，C的对应点分别是点A2，B2，C2，对应点的坐标之间有什么关系？△A2B2C2可以由△ABC如何变化而来？
解：平移后，△A2B2C2与△ABC对应点坐标之间的关系为纵坐标不变，横坐标加6。△A2B2C2是由△ABC向右平移6个单位长度得
到的。
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(3)△ABC经过平移得到△A3B3C3时，顶点A的对应点是A3(－3，－4)，请写出点B3，C3的坐标。
解：根据平移规律，得B3(－5，－5)，C3(－1，－5)。
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11.如图所示，长方形ABCD在平面直角坐标系内，点A的坐标是(，1)，且边AB，CD与x轴平行，边AD，BC与y轴平行，AB＝4，AD＝2。
(1)求B，C，D三点的坐标。
解：∵A(，1)，AB＝4，AD＝2，
∴BC到y轴的距离为4＋，CD到x轴的距离为2＋1＝3。
∴B(4＋，1)，C(4＋，3)，D(，3)。
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(2)怎样平移，才能使点A与原点重合？
解：由图可知，将长方形先向下平移1个单位长度，再向左平移个单位长度(或先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度)，能使点A与原点重合。
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12.如图，点P(a－1，a)位于平面直角坐标系的第三象限。点P向上平移到第二象限得到点Q(2a＋1，1－a)。
(1)求a的值，并标出点P，Q。
解：∵P(a－1，a)向上平移得到点Q(2a＋1，1－a)，
∴a－1＝2a＋1。
解得a＝－2。
∴P(－3，－2)，Q(－3，3)。
点P，Q在平面直角坐标系中的表示如图所示。
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(2)若点P沿坐标轴方向平移后得到点T(2，b)。请画出△PQT，并说明△PQT是等腰直角三角形。
解：△PQT如图所示。
∵点P沿坐标轴方向平移后得到点T(2，b)，
P(－3，－2)，
∴PT＝5。
∵PQ＝5，
∴PT＝PQ。
∵PQ∥y轴，PT∥x轴，
∴∠QPT＝90°。
∴△PQT是等腰直角三角形。
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第三章　图形的平移与旋转
2　图形的旋转
第1课时　旋转的概念与性质　
知识点1　旋转的有关概念
1.下列运动形式中，属于旋转的是(　 　)
A.火车车厢的直线运动 B.冰球在冰面上滚动
C.电梯的上下移动 D.汽车方向盘的转动
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D
2.(2024厦门模拟)如图，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转至△DBE。下列角中，是旋转角的是(　 　)
A.∠ABD
B.∠DBC
C.∠ABC
D.∠ABE
(第2题)
A
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3.如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上的一点，△ABD经过旋转后，到达△ACP的位置，旋转中心是点____，旋转角度是______，△ADP是______三角形。
(第3题)
A
60°
等边
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知识点2　旋转的性质
4.(2025吉林)如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能。图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则α的大小可以为(　 　)
A.90°
B.120°
C.150°
D.180°
(第4题)
B
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5.如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定的角度得到△AB'C'，使点B'恰好落在边AC上。若AB＝2，AC'＝5，则B'C的长为(　 　)
A.2
B.3
C.4
D.5
(第5题)
B
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6.(2025漳州诏安期中)如图，一个小孩坐在秋千上，秋千绕点O旋转了86°，小孩的位置也从点A运动到了点A'，则∠OAA'＝____°。
(第6题)
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7.如图，一个钝角三角形ABC，∠ABC＝120°。将△ABC绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得点C落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1。
(1)旋转角的度数是______；
60°
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(2)求证：∠A1AC＝∠C1。
证明：∵点A，B，C1在一条直线上，
∴∠ABC1＝180°。
∵∠ABC＝∠A1BC1＝120°，
∴∠ABA1＝∠CBC1＝60°。
∴∠A1BC＝60°。
又∵AB＝A1B，
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∴△ABA1是等边三角形。
∴∠AA1B＝∠A1BC＝60°。∴AA1∥BC。
∴∠A1AC＝∠C。
由旋转的性质，得∠C＝∠C1。
∴∠A1AC＝∠C1。
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8.如图，在正方形网格中，阴影部分的两个图形是其中一个经过旋转变化得到另一个的，其旋转中心可能是(　 　)
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
(第8题)
B
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9.如图所示，在正方形网格(1格长为1个单位长度)中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是______。
(第9题)
90°
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10.(2025天津改编)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转后得到△AB'C'，点B，C的对应点分别为B'，C'，B'C'的延长线与边BC相交于点D，连接CC'。若AC＝4，CD＝3，则线段CC'的长为。
(第10题)
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11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F。
(1)求证：△ABD≌△ACE；
证明：由旋转的性质，得
∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE。
又∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝AD＝AE。
∴△ABD≌△ACE(SAS)。
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(2)求∠ACE的度数。
解：∵∠CAE＝100°，AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC。
∴∠ACE＝×(180°－∠CAE)＝×(180°－100°)＝40°。
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12.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D和点E均在边BC上，且∠DAE＝45°。
(1)把△ABD绕点A按顺时针方向旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，
求证：△DAE≌△GAE；
证明：由旋转可知，△ABD≌△ACG，
∴AD＝AG，∠BAD＝∠CAG。
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
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∴∠BAD＋∠EAC＝∠CAG＋∠EAC＝90°－45°＝45°。
∴∠EAG＝45°。
∴△DAE≌△GAE(SAS)。
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(2)连接CG，试猜想BD，DE，EC应满足的数量关系(直接写结论，不需证明)。
解：DE2＝CE2＋BD2。
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