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(共12张PPT)
第四章　因式分解
基础专题12　因式分解的基本方法　
类型1　只提公因式
1.把下列各式因式分解：
(1)xy2＋x2y；
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解：原式＝xy(y＋x)。
(2)3mn－6n；
解：原式＝3n(m－2)。
(3)2m(n－1)＋(1－n)；
解：原式＝2m(n－1)－(n－1)
＝(n－1)(2m－1)。
(4)5x(x－y)3－20y(y－x)3。
解：原式＝5x(x－y)3＋20y(x－y)3
＝5(x－y)3(x＋4y)。
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类型2　只用公式
2.把下列各式因式分解：
(1)m2－4n2；
解：原式＝(m＋2n)(m－2n)。
(2)x2＋8x＋16；
解：原式＝(x＋4)2。
(3)(x＋3)2－(x＋y)2；
解：原式＝[(x＋3)＋(x＋y)] [(x＋3) －(x＋y)]
＝(2x＋y＋3)(3－y)。
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(4)(x－y)2＋6(x－y)＋9；
解：原式＝[(x－y)＋3]2
＝(x－y＋3)2。
(5)(x－1)2－8(x－1)＋16；
解：原式＝[(x－1)－4)]2
＝(x－5)2。
(6)(x2＋1)2－4x2；
解：原式＝(x2＋1－2x)(x2＋1＋2x)
＝(x－1)2(x＋1)2。
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(7)－1＋x4；
解：原式＝(x2)2－1
＝(x2＋1)(x2－1)
＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)。
(8)x2－2xy＋y2－z2。
解：原式＝(x2－2xy＋y2)－z2
＝(x－y)2－z2
＝(x－y＋z)(x－y－z)。
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类型3　先提公因式再用公式
3.把下列各式因式分解：
(1)3x2y－12y；
解：原式＝3y(x2－4)
＝3y(x＋2)(x－2)。
(2)ax3－axy2；
解：原式＝ax(x2－y2)
＝ax(x＋y)(x－y)。
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(3)x2(a－b)＋y2(b－a)；
解：原式＝x2(a－b)－y2(a－b)
＝(a－b)(x2－y2)
＝(a－b)(x＋y)(x－y)。
(4)2x3－12x2y＋18xy2；
解：原式＝2x(x2－6xy＋9y2)
＝2x(x－3y)2。
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(5)－4x2＋4x－1；
解：原式＝－(4x2－4x＋1)
＝－(2x－1)2。
(6)3m(2x－y)2－3mn2。
解：原式＝3m[(2x－y)2－n2]
＝3m(2x－y＋n)(2x－y－n)。
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类型4　先化简再因式分解
4.把下列各式因式分解：
(1)x(x－8)＋16；
解：原式＝x2－8x＋16
＝(x－4)2。
(2)(x－4)(x＋1)＋3x；
解：原式＝x2－3x－4＋3x
＝x2－4
＝(x＋2)(x－2)。
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(3)(x－1)2＋2(x－5)；
解：原式＝x2－2x＋1＋2x－10
＝x2－9
＝(x＋3)(x－3)。
(4)(x－2y)2＋8xy；
解：原式＝x2－4xy＋4y2＋8xy
＝x2＋4xy＋4y2
＝(x＋2y)2。
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(5)(x＋y)(x＋y－10)＋25；
解：原式＝(x＋y)2－10(x＋y)＋25
＝(x＋y－5)2。
(6)(x＋3)(x＋5)＋x2－25。
解：原式＝(x＋3)(x＋5)＋(x＋5)(x－5)
＝(x＋5)(x＋3＋x－5)
＝(x＋5)(2x－2)
＝2(x＋5)(x－1)。
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4(共15张PPT)
第四章　因式分解
1　因式分解
知识点1　因式分解概念的认识
1.(2025三明期末)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
(　 　)
A.a2－2ab＋b2＝(a－b)2 B.a2＋b2＝(a＋b)2
C.(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D.2(a＋b)＝2a＋2b
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A
2.下列由左边到右边的变形中，是因式分解的有______。(填序号)
①a(x＋y)＝ax＋ay；
②2x2－x＝x(2x－1)；
③y2－6y＋9＝(y－3)2；
④t2－16＋3＝(t－4)(t＋4)＋3。
②③
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知识点2　因式分解与整式乘法的关系
3.下列多项式因式分解后为(x＋3)(x－3)的是(　 　)
A.x2－9 B.9x－9
C.x2＋9 D.x2－6x－9
A
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4.对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3从左到右的变形，下列表述正确的是(　 　)
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算
D.①是乘法运算，②是因式分解
C
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5.计算(1)～(4)题，并根据计算结果将(5)～(8)题进行因式分解。
(1)x(x－2)＝________； (2)(x－2)(x－1)＝___________； (3)(x＋2)(x－2)＝_______； (4)(x－2)2＝___________。 (5)x2－2x＝_________；
(6)x2－3x＋2＝______________；
(7)x2－4＝______________；
(8)x2－4x＋4＝_________。
x2－2x
x2－3x＋2
x2－4
x2－4x＋4
x(x－2)
(x－2)(x－1)
(x＋2)(x－2)
(x－2)2
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6.已知等式x2＋kx＋16＝(x－4)2，求k的值，并判断从左到右的变形是不是因式分解。
解：∵x2＋kx＋16＝(x－4)2，(x－4)2＝x2－8x＋16，
∴x2＋kx＋16＝x2－8x＋16。
∴k＝－8。
x2－8x＋16＝(x－4)2从左到右的变形是因式分解。
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7.若关于x的多项式x2＋mx－6能因式分解为(x－2)(x＋3)，求m
的值。
解：∵关于x的多项式x2＋mx－6能因式分解为(x－2)(x＋3)，
∴x2＋mx－6＝(x－2)(x＋3)。
∵(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6，
∴x2＋mx－6＝x2＋x－6。
∴m＝1。
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8.下列由左边到右边的变形，是因式分解且正确的有(　 　)
①x－3xy＝x(1－3y)； ②x2＋2x＋1＝(x＋1)2；
③－2x(x＋y)＝－2x2－2xy； ④4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)。
A.①② B.①④
C.①③ D.②④
A
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9.如图，长方形ABCD由一个边长为a的正方形与两个长、宽分别为a，b的长方形拼接而成。根据拼接前后图形的面积可以得到一个多项式的因式分解：__________________。
(第9题)
a2＋2ab＝a(a＋2b)
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10.先因式分解，再计算求值：a2m＋9m，其中a＝－8，m＝3.8。
解：a2m＋9m＝m(a2＋9)。
当a＝－8，m＝3.8时，
原式＝3.8×[(－8)2＋9]
＝3.8×73
＝277.4。
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11.若m为自然数，试说明(2m＋3)2－4m2的值总能被3整除。
解：(2m＋3)2－4m2＝4m2＋12m＋9－4m2＝12m＋9＝3(4m＋3)。
∵m为自然数，
∴(2m＋3)2－4m2的值总能被3整除。
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12.先阅读下面的内容，再解决问题。
如果一个整式A等于整式B与整式C之积，那么称整式B和整式C为整式A的因式。
例如：①因为x2－4＝(x＋2)(x－2)，所以x＋2和x－2是x2－4的
因式。
②若x－2是x2＋ax－2的因式，则求常数a的值的过程如下：
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解：∵x－2是x2＋ax－2的因式，
∴存在一个整式(mx＋n)，使得x2＋ax－2＝(x－2)(mx＋n)。
∴当x＝2时，(x－2)(mx＋n)＝0。
此时x2＋ax－2＝0。将x＝2代入，得4＋2a－2＝0。解得a＝－1。
(1)x＋4是x2－2x－8的因式吗？______(填“是”或“不是”)。
不是
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(2)若x＋3是x2＋8x＋b的因式，求常数b的值。
解：∵x＋3是x2＋8x＋b的因式，
∴存在一个整式(mx＋n)，使得x2＋8x＋b＝(x＋3)(mx＋n)。
∴当x＝－3时，(x＋3)(mx＋n)＝0，则x2＋8x＋b＝0。
将x＝－3代入，得(－3)2＋8×(－3)＋b＝0。解得b＝15。
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12(共18张PPT)
第四章　因式分解
2　提公因式法
第1课时　公因式为单项式的因式分解　
知识点1　公因式的概念
1.(2025福州长乐区期末)把多项式2ab＋4ab2因式分解，应提取的公因式是(　 　)
A.ab B.2ab
C.2ab2 D.4ab2
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B
2.多项式6a2b＋18a2b3x－24ab2y的公因式是_____。
6ab
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3.写出一个二项式，使它的每一项都有公因式2a2：______________
________。
4a3＋6a2(答案
不唯一)　
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知识点2　公因式为单项式的因式分解
4.下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是(　 　)
A.x2－y B.2x2＋x
C.x2＋y2 D.x2－xy＋y2
B
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5.因式分解：
(1)(2025江西)a2－a＝_________；
(2)(2025福州模拟)x2－4x＝_________；
(3)(2025厦门思明区期末)2a2－6ab＝___________；
(4)a2＋ab－a＝____________。
a(a－1)
x(x－4)　
2a(a－3b)
a(a＋b－1)
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6.把下列各式因式分解：
(1)6x2＋4x；
解：原式＝2x·3x＋2x·2
＝2x(3x＋2)。
(2)x2y－2xy2；
解：原式＝xy·x－xy·2y
＝xy(x－2y)。
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(3)9x3－12x2y；
解：原式＝3x2·3x－3x2·4y
＝3x2(3x－4y)。
(4)24m2n＋6nm。
解：原式＝6mn·4m＋6mn·1
＝6mn(4m＋1)。
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7.把下列各式因式分解：
(1)－a3b＋2ab；
解：原式＝－(a3b－2ab)
＝－(ab·a2－ab·2)
＝－ab(a2－2)。
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(2)x3－3xy2。
解：原式＝(x3－6xy2)
＝(x·x2－x·6y2)
＝x(x2－6y2)。
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知识点3　应用提取公因式因式分解解决简单问题
8.(2025莆田模拟)已知a＋b＝3，ab＝－4，则a2b＋ab2的值为______。
－12
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9.利用因式分解进行计算：ab1＋ab2＋ab3，其中b1＝19.7，b2＝32.4，b3＝35.9，a＝2.5。
解：ab1＋ab2＋ab3＝a(b1＋b2＋b3)。
当b1＝19.7，b2＝32.4，b3＝35.9，
a＝2.5时，
原式＝2.5×(19.7＋32.4＋35.9)
＝2.5×88
＝220。
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10.把下列各式因式分解：
(1)a2b－2ab＋3b；
解：原式＝b·a2－b·2a＋b·3
＝b(a2－2a＋3)。
(2)6x3y＋9x2y2－xy3；
解：原式＝xy·6x2＋xy·9xy－xy·y2
＝xy(6x2＋9xy－y2)。
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(3)ab4－4ab3＋6ab2；
解：原式＝ab2·b2－ab2·4b＋ab2·6
＝ab2(b2－4b＋6)。
(4)9a3b＋12a2b2－3ab；
解：原式＝3ab·3a2＋3ab·4ab－3ab·1
＝3ab(3a2＋4ab－1)。
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(5)－4n＋6mn－8n2；
解：原式＝－(4n－6mn＋8n2)
＝－(2n·2－2n·3m＋2n·4n)
＝－2n(2－3m＋4n)。
(6)－5a3x－10a2x3＋20ax。
解：原式＝－(5a3x＋10a2x3－20ax)
＝－(5ax·a2＋5ax·2ax2－5ax·4)
＝－5ax(a2＋2ax2－4)。
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11.简便计算：
(1)992＋99；
解：原式＝99×(99＋1)
＝99×100
＝9 900。
(2)24×3.14＋314×0.57＋190×0.314。
解：原式＝3.14×24＋3.14×57＋3.14×19
＝3.14×(24＋57＋19)
＝3.14×100
＝314。
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12.先因式分解，再计算求值：xyz2＋xy2z＋x2yz，其中x＝，y＝，z＝。
解：xyz2＋xy2z＋x2yz＝xyz(z＋y＋x)。
∵x＝，y＝，z＝，
∴原式＝×××＝×1＝。
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13.不解方程组用“整体思想”求7y(x－3y)2＋2(x－3y)3的值。
解：原式＝(x－3y)2[7y＋2(x－3y)]
＝(x－3y)2(y＋2x)。
由方程组得原式＝12×6＝6。
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13(共6张PPT)
第四章　因式分解
综合与实践
小明在学习了八下数学教材中“因式分解”章节后，用若干长方体进行实践操作探究。
【温故知新】
如图1，现有编号为①②③④的四种长方体各若干块，现取其中两块拼成一个大长方体如图2所示，据此写出一个多项式的因式分解：__________________。
x3＋x2＝x2(x＋1)
【问题解决】
若要用如图所示的这四种长方体拼成一个棱长为(x＋1)的正方体，需要②号长方体、③号长方体分别多少个？并据此写出一个多项式的因式分解。
解：(x＋1)(x＋1)(x＋1)
＝(x2＋2x＋1)(x＋1)
＝x3＋x2＋2x2＋2x＋x＋1
＝x3＋3x2＋3x＋1。
所以若要用这四种长方体拼成一个棱长为(x＋1)的正方体，需要②号长方体 3个，③号长方体3个，
据此写出一个多项式的因式分解为 x3＋3x2＋3x＋1＝(x＋1)3。
【拓展与延伸】
如图3，在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，据此写出a3－b3＝__________________。
解析：将如图3切割后的三个长方体体积分别是a2(a－b)，ab(a－b)和b2(a－b)，
∴a3－b3＝a2(a－b)＋ab(a－b)＋b2(a－b)
＝(a－b)(a2＋ab＋b2)。
(a－b)(a2＋ab＋b2)(共19张PPT)
第四章　因式分解
2　提公因式法
第2课时　公因式为多项式的因式分解　
知识点1　公因式的确定
1.多项式2(a－1)与(a－1)2的公因式是(　 　)
A.a＋1 B.a－1
C.a＋2 D.a－2
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B
2.分解因式3(m＋n)－6n(m＋n)时，应提取的公因式是_________。
3(m＋n)
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3.代数式x(y－1)与－18(1－y)的公因式是______。
y－1
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知识点2　公因式为多项式的因式分解
4.把多项式(x＋3)(x－1)－(x－1)提取公因式x－1后，余下的部分是
(　 　)
A.x＋3 B.x－1
C.x－2 D.x＋2
D
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5.把多项式5x(5x－2)－4(5x－2)2因式分解，其结果是(　 　)
A.(5x－2)(25x－8) B.(5x－2)(5x－4)
C.(5x－2)(－15x＋8) D.(5x－2)(－20x＋4)
C
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6.把下列各式因式分解：
(1)m(a＋1)＋2n(a＋1)；
解：原式＝(a＋1)(m＋2n)。
(2)a(m2＋n2)－b(m2＋n2)；
解：原式＝(m2＋n2)(a－b)。
(3)(2025厦门模拟)x(x－2)＋(2－x)；
解：原式＝(x－2)(x－1)。
(4)(2024宁德期中)(x－1)2＋3(x－1)。
解：原式＝(x－1)(x－1＋3)
＝(x－1)(x＋2)。
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7.把下列各式因式分解：
(1)(2025三元期中)m(a＋2)－3(2＋a)；
解：原式＝m(a＋2)－3(a＋2)
＝(a＋2)(m－3)。
(2)(2025宁德期末)a(x－3)＋b(3－x)；
解：原式＝a(x－3)－b(x－3)
＝(x－3)(a－b)。
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(3)x(x－y)2－y(y－x)2；
解：原式＝x(x－y)2－y(x－y)2
＝(x－y)2(x－y)
＝(x－y)3。
(4)2(m－n)2－4m(n－m)。
解：原式＝2(m－n)2＋4m(m－n)
＝2(m－n)[(m－n)＋2m]
＝2(m－n)(3m－n)。
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知识点3　应用提取公因式因式分解解决简单问题
8.如果a，b，c为三角形的三边长，且满足a(a－b)＋c(a－b)＝0，那么该三角形的形状一定为(　 　)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.不等边三角形 D.无法确定
A
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9.下列各组数中没有公因式的是(　 　)
A.5m(a－b)和b－a B.(a＋b)2和－a－b
C.mx＋y和x＋y D.－a2＋ab和a2b－ab2
C
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10.把下列各式因式分解：
(1)mc(a－b)－nc(b－a)；
解：原式＝mc(a－b)＋nc(a－b)
＝c(a－b)(m＋n)。
(2)9(x＋y)(x－y)－3(x－y)2；
解：原式＝3(x－y)[3(x＋y)－(x－y)]
＝3(x－y)(2x＋4y)
＝6(x－y)(x＋2y)。
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(3)5a(x－y)2＋10ax(y－x)；
解：原式＝5a(x－y)2－10ax(x－y)
＝5a(x－y)[(x－y)－2x]
＝5a(x－y)(－x－y)
＝－5a(x－y)(x＋y)。
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(4)4(x－y)3－6y(y－x)2。
解：原式＝4(x－y)3－6y(x－y)2
＝2(x－y)2[2(x－y)－3y]
＝2(x－y)2(2x－2y－3y)
＝2(x－y)2(2x－5y)。
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11.先因式分解，再计算求值：
(1)6m(x－2)＋3n(x－2)，其中x＝0.5，m＝1.5，n＝－2；
解：原式＝3(x－2)(2m＋n)。
当x＝0.5，m＝1.5，n＝－2时，
原式＝3×(0.5－2)×(2×1.5－2)
＝－4.5。
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(2)(x－3)2－5(3－x)，其中x＝－3。
解：原式＝(x－3)2＋5(x－3)
＝(x－3)(x－3＋5)
＝(x－3)(x＋2)。
当x＝－3时，
原式＝(－3－3)×(－3＋2)＝6。
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12.若a是整数，则下列各数一定能整除a2＋a的是(　 　)
A.2 B.3
C.5 D.7
A
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13.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2
＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]
＝(1＋x)(1＋x)(1＋x)
＝(1＋x)3。
(1)上述因式分解的方法是____________，共应用了___次；
提公因式法
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(2)若因式分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2 026，则需应用上述方法______次，结果是__________；
(3)因式分解：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n＝____________(n为正整数)。
2 026
(1＋x)2 027　
　(1＋x)n＋1
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13(共18张PPT)
第四章　因式分解
3　公式法
第1课时　运用平方差公式因式分解　
知识点1　直接运用平方差公式因式分解
1.(2025广西)因式分解：a2－1＝(　 　)
A.(a＋1)(a－1) B.a(a＋1)
C.(a＋1)2 D.(a－1)2
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A
2.下列各式中，能用平方差公式因式分解的是(　 　)
A.－x2－y2 B.x2－ay2
C.x2＋4y2 D.－x2＋y2
D
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3.因式分解：(1)(2025厦门湖里区模拟)9m2－1＝_______________；(2)(2025厦门模拟)a2－4b2＝________________。
(3m＋1)(3m－1)
(a＋2b)(a－2b)
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4.把下列各式因式分解：
(1)25a2－9；
解：原式＝(5a)2－32
＝(5a＋3)(5a－3)。
(2)a2－0.09b2；
解：原式＝a2－(0.3b)2
＝(a＋0.3b)(a－0.3b)。
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(3)16a2－81b2；
解：原式＝(4a)2－(9b)2
＝(4a－9b)(4a＋9b)。
(4)36a2－b2。
解：原式＝(6a)2－
＝。
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知识点2　提公因式后运用平方差公式因式分解
5.因式分解：(1)(2025北京)7m2－28＝_______________；
(2)(2025福州鼓楼区模拟)xy2－25x＝_______________。
7(m＋2)(m－2)
x(y＋5)(y－5)
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6.把下列各式因式分解：
(1)(2025宁德期末)3x2－3y2；
解：原式＝3(x2－y2)
＝3(x＋y)(x－y)。
(2)2x－8x3；
解：原式＝2x(1－4x2)
＝2x(1－2x)(1＋2x)。
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(3)a2(a－4)＋(4－a)；
解：原式＝a2(a－4)－(a－4)
＝(a－4)(a2－1)
＝(a－4)(a＋1)(a－1)。
(4)3x2－y4。
解：原式＝(9x2－y4)
＝(3x＋y2)(3x－y2)。
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知识点3　用平方差公式因式分解的应用
7.简便运算：582－422＝____________________＝______。
(58＋42)×(58－42)
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8.先因式分解，再计算求值：3x3－48x，其中x＝－4。
解：原式＝3x(x2－16)
＝3x(x＋4)(x－4)。
当x＝－4时，原式＝0。
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9.(2025福州晋安区期末)下列各式在实数范围内能用平方差公式因式分解的有(　 　)
①x2＋4；②m2－n2；③－a2＋b2；④－x2－y2；⑤1－4b2。
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
B
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10.把下列各式因式分解：
(1)(a＋1)2－9；
解：原式＝(a＋1＋3)(a＋1－3)
＝(a＋4)(a－2)。 　　　
(2)(x＋y)2－y2；
解：原式＝(x＋y＋y)(x＋y－y)
＝x(x＋2y)。
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(3)36(a－b)2－25(a＋b)2；
解：原式＝[6(a－b)]2－[5(a＋b)]2
＝[6(a－b)＋5(a＋b)]· [6(a－b)－5(a＋b)]
＝(11a－b)(a－11b)。 　　　
(4)x4－16。
解：原式＝(x2＋4)(x2－4)
＝(x2＋4)(x－2)(x＋2)。
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11.已知4x2－9y2＝12，2x＋3y＝4，求2x－3y的值。
解：4x2－9y2＝(2x＋3y)(2x－3y)。
∵4x2－9y2＝12，2x＋3y＝4，
∴4(2x－3y)＝12。
∴2x－3y＝3。
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12.如图，在半径为R的圆形板材上剪去半径为r的4个小圆。现测得R＝7，r＝1.5。请用较为简便的方法求出剩余部分(阴影)的面积。(单位：dm，π取3.14)
解：阴影部分的面积为πR2－4πr2＝π(R＋2r)(R－2r)。
当R＝7，r＝1.5时，
原式＝π(7＋2×1.5)×(7－2×1.5)
＝40π≈125.6.
∴剩余部分(阴影)的面积约为125.6 dm2。
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13.为保证数据安全，通常会将数据经过加密的方式进行保存。例如：将一个多项式a3－a因式分解为a(a－1)(a＋1)，当a＝20时，a－1＝19，a＋1＝21。将得到的三个数按照从小到大的顺序排列，得到加密数据192021。根据上述方法，当x＝15时，多项式16x3－9x表示的加密数据是什么？
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解：16x3－9x＝x(16x2－9)
＝x(4x＋3)(4x－3)。
当x＝15时，4x＋3＝63，4x－3＝57。
将15，63，57按照从小到大的顺序排列为15，57，63，
∴当x＝15时，多项式16x3－9x表示的加密数据是155763。
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13(共21张PPT)
第四章　因式分解
章末复习　因式分解
考点1　因式分解的相关概念
1.(2025福州期末)下列由左到右的变形中，属于因式分解的是
(　 　)
A.(x＋1)(x－1)＝x2－1 B.x2＋2x＋1＝(x＋1)2
C.x2＋2x－1＝x(x＋2)－1 D.x(x－1)＝x2－x
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B
2.多项式m2－4与多项式m2＋4m＋4的公因式是(　 　)
A.m＋2 B.m－2
C.m＋4 D.m－4
A
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3.如果x2＋ax＋81是完全平方式，那么a的值是(　 　)
A.18 B.91
C.±18 D.±9
C
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考点2　将多项式因式分解
4.(2025福州闽清期末)下列因式分解正确的是(　 　)
A.xy－y2＝y(x－y) B.x2－9＝(x＋9)(x－9)
C.4x2－4x＋1＝(4x－1)2 D.2x2－6x＋2＝2(x2－3x)
A
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5.下列多项式中，不能进行因式分解的是(　 　)
A.－a2＋b2 B.－a2－b2
C.a3－3a2＋2a D.(a－b)2－1
B
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6.因式分解：
(1)(2025长沙)mx－2my＝__________；
(2)(2025厦门模拟)4m2－4n2＝ _______________；
(3)(2025福州模拟)a(a－2)＋1＝_________；
(4)(2025兰州)2x2＋4x＋2＝__________。
m(x－2y)
4(m＋n)(m－n)
(a－1)2
2(x＋1)2　
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7.因式分解：(1)(2024广元)(a＋1)2－4a＝_________；
(2)(2024威海)(x＋2)(x＋4)＋1＝_________。
(a－1)2
(x＋3)2
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8.把下列各式因式分解：
(1)3a2－75；
解：原式＝3(a2－25)
＝3(a＋5)(a－5)。
(2)2x(x－1)－4(1－x)；
解：原式＝2x(x－1)＋4(x－1)
＝2(x－1)(x＋2)。
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(3)m2n－6mn＋9n；
解：原式＝n(m2－6m＋9)
＝n(m－3)2。
(4)(m＋1)2－4(m＋1)＋4；
解：原式＝(m＋1－2)2
＝(m－1)2。
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(5)8x3y－8x2y2＋2xy3；
解：原式＝2xy(4x2－4xy＋y2)
＝2xy(2x－y)2。
(6)a2(x－y)＋4(y－x)。
解：原式＝a2(x－y)－4(x－y)
＝(x－y)(a2－4)
＝(x－y)(a＋2)(a－2)。
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9.把下列各式因式分解：
(1)(a2＋9)2－36a2；　　　　
解：原式＝(a2＋9＋6a)(a2＋9－6a)
＝(a＋3)2(a－3)2。　　　　　　　
(2)(m2＋3m)2－(3m＋9)2。
解：原式＝(m2＋3m＋3m＋9)(m2＋3m－3m－9)
＝(m2＋6m＋9)(m2－9)
＝(m＋3)2(m＋3)(m－3)
＝(m＋3)3(m－3)。
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10.先因式分解，然后计算求值：
(1)4a2＋20ab＋25b2，其中a＝，b＝－；　
解：原式＝(2a＋5b)2。
当a＝，b＝－时，
原式＝＝1。
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(2)(x＋2y)2－(x－2y)2，其中x＝－，y＝4。
解：原式＝(x＋2y＋x－2y)(x＋2y－x＋2y)
＝8xy。
当x＝－，y＝4时，
原式＝8××4＝－16。
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考点3　运用因式分解解决问题
11.对于任意正整数m，多项式(2m＋3)2－1不一定能被(　 　)
A.4整除 B.m整除
C.(m＋1)整除 D.(m＋2)整除
B
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12.求值：(1)(2025福州台江区模拟)已知2x－y＝，xy＝2，则2x2y－xy2＝___。
(2)(2025宁德福鼎期中)若x2＋x－1＝0，则x3＋2x2＋2 025＝______。
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13.常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法，但有一部分多项式直接用上述方法无法分解，例如：x2－2xy＋y2－16。我们细心观察这个式子，会发现前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解。
过程如下：x2－2xy＋y2－16
＝(x－y)2－16
＝(x－y＋4)(x－y－4)。
这种因式分解的方法叫分组分解法。
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利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：ax＋ay＋x2－y2＝_________________；
解析：ax＋ay＋x2－y2
＝(ax＋ay)＋(x2－y2)
＝a(x＋y)＋(x＋y)(x－y)
＝(x＋y)(a＋x－y)。
(x＋y)(a＋x－y)
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(2)因式分解：a2＋b2－n2＋2ab；
解：a2＋b2－n2＋2ab
＝(a2＋b2＋2ab)－n2
＝(a＋b)2－n2
＝(a＋b＋n)(a＋b－n)。
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(3)已知a，b，c分别是△ABC三边的边长，且a2＋b2＋ac－bc－2ab＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由。
解：△ABC为等腰三角形。理由如下：
∵a2＋b2＋ac－bc－2ab＝0，
∴(a2－2ab＋b2)＋(ac－bc)＝0。
∴(a－b)2＋c(a－b)＝0。
∴(a－b)(a－b＋c)＝0。
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∵a，b，c是△ABC三边的边长，
∴a＋c－b＞0。
∴a－b＝0。
∴a＝b。
∴△ABC为等腰三角形。
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13(共8张PPT)
第四章　因式分解
阅读与理解　
1.(2025漳州期末)阅读与思考
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阅读材料：我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫作完全平方式。如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题。
例如：因式分解x2＋2x－3。
x2＋2x－3＝(x2＋2x＋1)－4＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)。
又例如：求代数式2x2＋4x－6的最小值。
∵2x2＋4x－6＝2(x2＋2x－3)＝2[(x2＋2x＋1)－4]＝2(x＋1)2－8，且(x＋1)2≥0，
∴当x＝－1时，2x2＋4x－6有最小值，最小值是－8。
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根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题。
(1)因式分解：a2－6a－7＝ ______________；
(2)若多项式x2－4x＋k的最小值为1，求k的值；
解：x2－4x＋k＝x2－4x＋4－4＋k＝(x－2)2＋(k－4)。
∵(x－2)2≥0，
∴x2－4x＋k的最小值是k－4。
∵x2－4x＋k的最小值为1，
∴k－4＝1。
∴k＝5。
(a＋1)(a－7)
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(3)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2＝2ab＋8b＋6c－25，试判断△ABC的形状。
解：∵a2＋2b2＋c2＝2ab＋8b＋6c－25，
∴a2＋b2＋b2＋c2－2ab－8b－6c＋25＝0。
∴(a2－2ab＋b2)＋(b2－8b＋16)＋(c2－6c＋9)＝0。
∴(a－b)2＋(b－4)2＋(c－3)2＝0。
∴a－b＝0，b－4＝0，c－3＝0。
∴a＝b，b＝4，c＝3。
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴△ABC是等腰三角形。
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2.(2025泉州期末)定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”。例如：8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52，因此8，16，24都是“登高数”。
【特例感知】(1)判断40是否为“登高数”，并说明理由。
解：40是“登高数”。理由如下：
∵40＝112－92，
∴40是“登高数”。
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【规律探究】(2)根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为2k－1和2k＋1，其中k是正整数，那么“登高数”都能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明。
解：“登高数”都能被8整除。理由如下：
∵两个连续正奇数为2k－1和2k＋1，其中k是正整数，
∴(2k＋1)2－(2k－1)2＝(2k＋1＋2k－1)·(2k＋1－2k＋1)＝4k×2＝8k。
∴“登高数”都能被8整除。
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【拓展应用】(3)求不超过2 000的所有“登高数”的和。
解：由(2)知“登高数”表示为8k，其中k是正整数，
∵8k≤2 000，
∴k≤250。
∴不超过2 000的“登高数”有250个，分别为8，16，24，32，…，1 984，1 992，2 000。
∴这些“登高数”的和为125×(8＋2 000)＝251 000。
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2(共21张PPT)
第四章　因式分解
3　公式法
第2课时　运用完全平方公式因式分解　
知识点1　完全平方公式
1.(2025泉州南安期末)小明利用完全平方公式进行因式分解“x2■＋4y2＝(x＋2y)2”时，墨迹将“x2■＋4y2”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是(　 　)
A.＋4xy B.＋2xy
C.－4xy D.－2xy
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A
2.运用公式a2－2ab＋b2＝(a－b)2直接因式分解9x2－6x＋1，则公式中的a可以是(　 　)
A.3x B.3x2
C.6x D.9x2
A
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3.若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝___。
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知识点2　直接运用完全平方公式因式分解
4.因式分解：(1)(2025甘肃)x2－6x＋9＝_________；
(2)4－4x＋x2＝_________。
(x－3)2
(2－x)2　
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5.把下列各式因式分解：
(1)9a2－12a＋4；
解：原式＝(3a)2－2×2×3a＋22
＝(3a－2)2。
(2)a2＋a＋；
解：原式＝a2＋2·a·＋
＝。
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(3)x2－8xy＋16y2；
解：原式＝x2－2·x·4y＋(4y)2
＝(x－4y)2。
(4)－x2－xy－y2。
解：原式＝－
＝－
＝－。
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知识点3　提公因式后运用完全平方公式因式分解
6.(2025福州台江区期末)下列将多项式3a2－6a＋3因式分解正确的是(　 　)
A.3a(a－2)＋3 B.3(a2－2a＋1)
C.3(a－1)(a＋1) D.3(a－1)2
D
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7.把下列各式因式分解：
(1)3＋6x＋3x2；
解：原式＝3(1＋2x＋x2)
＝3(1＋x)2。
(2)m3－2m2＋m；
解：原式＝m(m2－2m＋1)
＝m(m－1)2。
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(3)3b3－18b2＋27b；
解：原式＝3b(b2－6b＋9)
＝3b(b－3)2。
(4)3m3－6m2n＋3mn2。
解：原式＝3m(m2－2mn＋n2)
＝3m(m－n)2。
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8.先因式分解，然后计算求值：2x2－4xy＋2y2，其中x＝1＋，y＝1－。
解：原式＝2(x2－2xy＋y2)＝2(x－y)2。
∵x＝1＋，y＝1－，
∴x－y＝1＋－1＋＝2。
∴原式＝2×(2)2＝16。
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9.有下列多项式：①x2＋2xy－y2；②－x2－y2＋2xy；③x2＋xy＋y2；④4x2＋1＋4x。其中能用完全平方公式因式分解的有______。
②④
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10.因式分解：(1)x(x＋4)＋4＝_________；
(2)(2025泉州晋江区期末)(a－b)2－2(a－b)b＋b2＝__________。
(x＋2)2
(a－2b)2　
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11.若x2＋mx＋9是完全平方式，则m的值是_____。
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12.(2024福州模拟)已知a＋b＝2，ab＝－5，则a3b＋2a2b2＋ab3的值为______。
－20
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13.把下列各式因式分解：
(1)5a3b－10a2b＋5ab；
解：原式＝5ab(a2－2a＋1)
＝5ab(a－1)2。
(2)－x2－4y2＋4xy；
解：原式＝－(x2－4xy＋4y2)
＝－(x－2y)2。
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(3)(x＋y)2－4(x＋y)＋4；
解：原式＝[(x＋y)－2]2
＝(x＋y－2)2。
(4)－4a2＋(a2＋1)2。
解：原式＝(a2＋1)2－(2a)2
＝(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a)
＝(a＋1)2(a－1)2。
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14.简便运算：
(1)1992＋398＋1；
解：原式＝1992＋2×199×1＋12
＝(199＋1)2
＝2002
＝40 000。
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(2)4.92－9.8×0.9＋0.92。
解：原式＝4.92－2×4.9×0.9＋0.92
＝(4.9－0.9)2
＝42
＝16。
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15.(2025宁德福鼎期中)李雷同学因式分解(x＋y)2＋2(x＋y)＋1时，遇到了困难，老师提醒说：“把‘x＋y’看作一个整体，就能用公式法进行因式分解……”。
(1)请用公式法因式分解(x＋y)2＋2(x＋y)＋1＝____________；
(x＋y＋1)2
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(2)若正方形ABCD的面积为(m2－m)(m2－m＋4)＋4，m为整数，试说明这个正方形的边长为偶数。
解：令m2－m＝a，则(m2－m)(m2－m＋4)＋4＝a(a＋4)＋4＝a2＋4a＋4＝(a＋2)2＝(m2－m＋2)2。
∴正方形的边长是｜m2－m＋2｜。
当m为偶数时，m2－m是偶数，则m2－m＋2为偶数；
当m为奇数时，m2－m是偶数，则m2－m＋2为偶数。
∴这个正方形的边长为偶数。
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