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(共19张PPT)
第五章　分式与分式方程
章末复习　分式方程　
考点1　分式方程的有关概念
1.若分式方程＝1的解是x＝1，则a的值为(　 　)
A.－1 B.3
C.－3 D.0
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2.给出下列方程：①＋＝1；②＝4；③＝4；④＝－1；⑤＝6；⑥＋＝7。其中是关于x的分式方程的有：________。(填序号)
③④⑤
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考点2　分式方程的解法
3.将方程＝－2去分母化简后，得到的方程是(　 　)
A.x－4＝3－2 B.x－4＝3－2x＋1
C.x－4＝3－2x＋2 D.x－4＝3－2x－2
D
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4.(2025漳州长泰区期中)若关于x的方程＋2＝有增根，则a的值是___。
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5.解方程：
(1)＝；
解：方程两边同乘x(x＋1)，得
3(x＋1)＝2x。
解得x＝－3。
经检验，x＝－3是原方程的解。
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(2)＝－1；
解：方程两边同乘(x－1)，得
2＝－3－(x－1)。
解得x＝－4。
经检验，x＝－4是原方程的解。
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(3)＝＋1；
解：方程两边同乘3(x＋1)，得
3x＝x＋3(x＋1)。
解得x＝－3。
经检验，x＝－3是原方程的解。
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(4)＋＝0。
解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得
x－1＋2＝0。
解得 x＝－1。
经检验，x＝－1是原分式方程的增根，原方程无解。
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6.对于非零实数a，b，规定a b＝－。若(2x－1) 2＝1，试求x的值。
解：根据题意，得－＝1。
方程两边同乘2(2x－1)，得
2－(2x－1)＝2(2x－1)。
解得x＝。
经检验，x＝是原方程的解。
∴x＝。
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考点3　分式方程的应用
7.(2025宁德期末)为了更好地宣传宁德畲族历史文化，某商店推出多款文创产品，其中有木质浮雕冰箱贴、畲族IP卡通钥匙扣等。已知1个冰箱贴的售价比1个钥匙扣的售价高20元，用45元购买的钥匙扣和用105元购买的冰箱贴的数量一样多。若设钥匙扣的单价为x元，则可列方程为(　 　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
A
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8.某公司对外出租一些商铺，第二年每间商铺的租金比第一年多0.1万元，所有商铺第一年的总租金为20万元，第二年的总租金为25万元。设每年有x间商铺出租，则根据题意可列出分式方程为。
－＝0.1
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9.某商场先用3 200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空。该商场又用8 000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元，则第一次购进这种太阳伞_____把。
200
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10.(2025泉州安溪期中)清溪中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动。原计划投资800元购买菜苗，由于市场价格上涨，每株菜苗的价格比原计划上涨了1元，为了完成种植计划，学校追加投资400元，与原计划购买的菜苗数量相等。求原计划每株菜苗的价格是多少元。
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解：设原计划每株菜苗的价格是x元。
根据题意，得＝。
解得 x＝2。
经检验，x＝2是所列方程的解，且符合题意。
答：原计划每株菜苗的价格是2元。
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11.为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩。已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量
相等。
(1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
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解：设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是(x＋0.2)万元。
根据题意，得
＝。解得x＝0.6。
经检验，x＝0.6是所列方程的解，且符合题意。
∴x＋0.2＝0.6＋0.2＝0.8。
答：甲型充电桩的单价是0.8万元，乙型充电桩的单价是0.6万元。
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(2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用。
解：设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为(15－m)个。
根据题意，得15－m≤2m。
解得 m≥5。
设所需总费用为w万元。根据题意，得
w ＝0.8m＋0.6×(15－m)＝0.2m＋9。
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∵0.2＞0，∴ w随m的增大而增大。
∴当m＝5时，w取得最小值，
w min＝0.2×5＋9＝10。
答：购买这批充电桩所需的最少总费用为10万元。
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11(共21张PPT)
第五章　分式与分式方程
3　分式方程
第2课时　分式方程的解法　
知识点1　分式方程的解法
1.(2025湖南省卷)将分式方程＝去分母后得到的整式方程为
(　 　)
A.x＋1＝2x B.x＋2＝1
C.1＝2x D.x＝2(x＋1)
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A
2.解方程－＝2，去分母正确的是(　 　)
A.2＋(x－2)＝2(x－1) B.2－(x＋2)＝2
C.2＋(x＋2)＝2(x－1) D.2－(x＋2)＝2(x－1)
D
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3.分式方程＝的解是(　 　)
A.x＝1 B.x＝－1
C.x＝17 D.x＝－17
C
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4.解分式方程－＝0，去分母时方程两边都乘的最简公分母是_________。
x(x＋1)
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5.(2025甘肃)方程＝1的解是________。
x＝－1
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6.若x＝2是关于x的分式方程＋＝2的解，则a的值为___。
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7.解方程：
(1)(2025兰州)＝；
解：方程两边同乘x(x＋1)，得
3x＝2x＋2。
解得x＝2。
检验：当x＝2时，x(x＋1)≠0。
∴x＝2是原方程的解。
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(2)＝。
解：方程两边同乘2(3x－1)，得
2x＝x－2。
解得x＝－2。
检验：当x＝－2时，2(3x－1)≠0。
∴x＝－2是原方程的解。
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知识点2　分式方程的增根
8.关于x的分式方程＋3＝有增根，则增根为(　 　)
A.x＝7 B.x＝－7
C.x＝－2 D.x＝2
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9.若解分式方程＝去分母时产生增根，则k＝_____。
－3
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10.解方程：－＝8。
解：方程两边同乘(x－7)，得x－8＋1＝8x－56。
解得x＝7。
检验：当x＝7时，x－7＝0。
∴x＝7是增根，原方程无解。
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11.方程＝－3的解是(　 　)
A.x＝2 B.x＝－2
C.x＝0 D.无解
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12.若分式方程－2＝有增根，则m的值为___。
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13.解方程：
(1)＋＝1；
解：方程两边同乘2(x＋1)，得
2＋x－3＝2(x＋1)。
解得 x＝－3。
检验：当x＝－3时，2(x＋1)≠0。
∴x＝－3是原方程的解。
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(2)＋2＝；
解：方程两边同乘(x－3)，得
－1＋2(x－3)＝x－2。
解得x＝5。
检验：当x＝5时，x－3≠0。
∴x＝5是原方程的解。
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(3)＋＝1；
解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得
x(x＋1)＋3(x－1)＝(x－1)(x＋1)。
解得x＝。
检验：当x＝时，(x＋1)(x－1)≠0。
∴x＝是原方程的解。
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(4)－＝1。
解：方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得
(x＋3)(x＋2)－5＝(x＋3)(x－3)。
解得x＝－2。
检验：当x＝－2时，(x＋3)(x－3)≠0。
∴x＝－2是原方程的解。
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14.已知关于x的分式方程＝1－的解为正数，求m的取值范围。
解：去分母，得2＝x－1－m。
解得x＝m＋3。
由方程的解为正数，得
m＋3＞0，且m＋3≠1，
∴m的取值范围为m＞－3且m≠－2。
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15.若关于x的方程－＝1无解，求k的值。
解：方程去分母，得3－(kx－1)＝x－2。
整理，得(k＋1)x＝6。
①当k＋1＝0，即k＝－1时，方程无解。
②当k＋1≠0时，x＝。
由分式方程无解，得x－2＝0，
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即x＝2。
∴＝2。
解得k＝2。
综上所述，k的值为－1或2。
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第五章　分式与分式方程
1　分式及其基本性质
第1课时　认识分式　
知识点1　分式的概念
1.(2025泉州晋江期中)下列各式是分式的是(　 　)
A. B.
C.－ D.
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B
2.(2025漳州长泰区期中)分式有意义，则x的取值范围为(　 　)
A.x≠0 B.x≠2
C.x＜2 D.x＞2
B
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3.(2025泉州南安期中)当x＝－1时，下列分式没有意义的是(　 　)
A. B.
C. D.
D
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4.当x＝_____时，分式无意义。
－2
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5.下列分式中的x满足什么条件时，分式有意义？
(1)；
解：当x≠0时，分式有意义。
(2)；
解：当x＋2≠0，即x≠－2时，分式有意义。
(3)；
解：当2x－4≠0，即x≠2时，分式有意义。
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(4)。
解：∵x2≥0，
∴x2＋1＞0。
∴x为任意实数，分式都有意义。
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知识点2　分式的值
6.(2025贵州)若分式的值为0，则实数x的值为(　 　)
A.2 B.0
C.－2 D.－3
A
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7.当a＝1时，分式的值是___。
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8.当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为________
_______。
0(答案
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不唯一)
知识点3　列分式
9.根据以下叙述列式：
(1)A，B两地相距10 km，甲步行从A地到B地需要t h，乙骑自行车行同样的路程比甲少用1 h，则乙的速度是多少？
解：乙的速度是 km/h。
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(2)某种商品每件的零售价是x元，进价是y元，则这种商品的利润率是多少？
解：这种商品的利润率是×100％。
(3)某工厂库存原材料x t，原计划每天用a t，若现在每天少用b t，则可以多用多少天？
解：可以多用的天数为。
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(4)营业员将单价为a元的甲种糖果x kg与单价为b元的乙种糖果y kg混合后出售，那么混合之后的糖果的单价应该定为多少？
解：混合之后的糖果的单价应该定为元/kg。
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10.若分式有意义，则x应满足的条件是(　 　)
A.x≠2 B.x≠－2
C.x≠±2 D.x≠0
C
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11.(2024泉州月考)当x＝___时，分式的值为零。
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12.当a＝－2，b＝0.5时，求的值。
解：当a＝－2，b＝0.5时，
原式＝
＝
＝－。
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13.当x取何值时，分式的值是负数？
解：∵分式的值是负数，
∴或
解得1＜x＜3。
∴当1＜x＜3时，分式的值是负数。
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第五章　分式与分式方程
基础专题14　分式方程　
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类型1　解分式方程
1.解下列方程：
(1)＝；
解：方程两边同乘x(x＋1)，得
4x＝3(x＋1)。
解得x＝3。
经检验，x＝3是原方程的解。
(2)－＝0；
解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得
3(x－1)－(x＋1)＝0。
解得x＝2。
经检验，x＝2是原方程的解。
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(3)＝＋1；
解：方程两边同乘7(x＋1)，得
7x＝x＋7(x＋1)。
解得x＝－7。
经检验，x＝－7是原方程的解。
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(4)1－＝。
解：方程两边同乘2(3x－1)，得
6x－2－2＝5。
解得x＝。
经检验，x＝是原方程的解。
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2.解下列方程：
(1)＋＝1；
解：方程两边同乘(x－2)，得
6－x－1＝x－2。
解得x＝。
经检验，x＝是原方程的解。
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(2)＋2＝；
解：方程两边同乘(x－4)，得
－3＋2(x－4)＝1－x。
解得x＝4。
经检验，x＝4是原分式方程的增根，原方程无解。
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(3)＝－1；
解：方程两边同乘(x－6)，得
2＝－3－(x－6)。
解得x＝1。
经检验，x＝1是原方程的解。
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(4)－2＝。
解：方程两边同乘(x－3)，得
x－1－2(x－3)＝－5。
解得x＝10。
经检验，x＝10是原方程的解。
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3.若关于x的方程＝＋1有增根，求k的值。
解：去分母，得 2x＝k＋x－2。
解得x＝k－2。
由分式方程有增根，得 x－2＝0，即x＝2。
∴2＝k－2。
解得 k＝4。
∴k的值为4。
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类型2　分式方程的应用
4.若代数式的值比的值大1，求x的值。
解：根据题意，得－＝1。
方程两边同乘(3＋2x)(3－2x)，得
2x(3－2x)－3＝(3＋2x)(3－2x)。
解得x＝2。
经检验，x＝2是分式方程的解。
∴x的值为2。
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5.方程－1＝的根与方程－＝0的根互为相反数，求a
的值。
解：解－＝0，得x＝2。
经检验，x＝2是方程－＝0的根。
∴方程－1＝的根为x＝－2。
把x＝－2代入－1＝，
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得－1＝－2。
解得a＝1。
经检验，a＝1是－1＝－2的根。
∴a的值为1。
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6.为响应低碳号召，肖老师上班的交通方式由自驾轿车改为骑自行车。肖老师的家距离学校15 km，因为自驾轿车的速度是骑自行车速度的4倍，所以肖老师每天比原来早出发45 min，才能按原时间到校。求肖老师骑自行车每小时行驶多少千米。
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解：设肖老师骑自行车每小时行驶x km。
根据题意，得－＝。
解得x＝15。
经检验，x＝15是分式方程的解，且符合题意。
答：肖老师骑自行车每小时行驶15 km。
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7.为助力“双碳”目标不断实现，小华家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车。之前驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费是27元。已知每行驶1 km，之前燃油汽车所需的油费比现在纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新置换的纯电动汽车每行驶1 km所需的电费。
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解：设新置换的纯电动汽车每行驶1 km所需的电费为x元，
则燃油汽车每行驶1 km所需的油费为(x＋0.54)元。
根据题意，得＝。
解得x＝0.18。
经检验，x＝0.18是所列方程的根，且符合实际意义。
答：新置换的纯电动汽车每行驶1 km所需的电费为0.18元。
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7(共20张PPT)
第五章　分式与分式方程
1　分式及其基本性质
第2课时　分式的基本性质及约分　
知识点1　分式的基本性质
1.若根据分式的基本性质可知＝，则△是(　 　)
A.a2 B.b2
C.ab D.ab2
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C
2.(2025福州仓山区期末)下列式子从左到右的变形，正确的是
(　 　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
C
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知识点2　最简分式
3.(2025宁德期末)下列分式中，是最简分式的是(　 　)
A. B.
C. D.
D
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4.有下列分式：①；②；③；④；⑤，其中最简分式有______。(填序号)
①③
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知识点3　分式的约分
5.下列约分正确的是(　 　)
A.＝x3 B.＝2
C.＝ D.＝
D
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6.化简下列分式：
(1)；　　　
解：原式＝
＝。　　　　　
(2)；
解：原式＝
＝－。　　　　　　　　
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(3)。
解：原式＝
＝。
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7.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”。
(1)；
解：原式＝。
(2)；
解：原式＝－。
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(3)；
解：原式＝－。
(4)－。
解：原式＝。
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8.如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么该分式的值(　 　)
A.扩大3倍 B.不变
C.缩小到原来的 D.缩小到原来的
A
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9.若表示的是一个最简分式，则☆可以是(　 　)
A.4 B.x
C.2x D.x2
B
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10.若＝，则的值为(　 　)
A. B.
C. D.
B
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11.当x＝2 026时，分式的值为______。
2 023
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12.化简下列分式：
(1)；　
解：原式＝
＝。　　　　　　
(2)；
解：原式＝
＝－。　　　　　　　
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(3)。
解：原式＝
＝。
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13.求下列各式的值：
(1)，其中a＝－4，b＝14；　
解：原式＝＝－。
当a＝－4，b＝14时，原式＝＝。　　　　　
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(2)，其中x＝3，y＝5。
解：原式＝＝2(x－y)
＝2x－2y。
当x＝3，y＝5时，原式＝2×3－2×5＝－4。
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14.我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”。例如：＝＝4x，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”。若分式(m，n为常数)是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x－7，求m，n的值。
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解：∵分式是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x－7，
∴(x＋n)(x－7)＝x2－4x＋m。
∴x2＋(n－7)x－7n＝x2－4x＋m。
∴n－7＝－4，m＝－7n。
∴n＝3，m＝－21。
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14(共19张PPT)
第五章　分式与分式方程
2　分式的运算
第2课时　分式的加减法——同分母分式的加减　
知识点1　同分母分式的加减法
1.(2025泉州晋江期末)－＝。
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2.化简：＋＝___。
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3.计算：＋＝______。
　a－b
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4.计算：
(1)－；
解：原式＝
＝
＝1。
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(2)＋；
解：原式＝
＝
＝
＝2。
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(3)－；
解：原式＝
＝
＝x。
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(4)＋－。
解：原式＝
＝
＝－1。
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知识点2　分母互为相反数的分式的加减
5.计算－的结果为(　 　)
A.1 B.1－x
C.x＋1 D.
D
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6.计算＋的结果是。
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7.计算：
(1)＋；
解：原式＝－
＝
＝
＝1。
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(2)＋。
解：原式＝－
＝
＝
＝x＋2。
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8.化简＋的结果为(　 　)
A. B.
C. D.
D
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9.计算：
(1)＋；
解：原式＝－
＝
＝
＝2a＋b。
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(2)＋－。
解：原式＝－－
＝
＝
＝
＝2。
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10.已知x≠y，y＝－x＋8，求代数式＋的值。
解：∵x≠y，y＝－x＋8，
∴x＋y＝8。
∴原式＝－＝＝＝x＋y＝8。
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11.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”。
例如：＝＝＋＝1＋，＝＝a－1＋，
则和都是“和谐分式”。
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11
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是__________。(填序号)
①；②；③；④。
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式。
＝＝＝x＋7＋。
①②③④
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(3)应用：当x为整数时，若也为整数，求满足条件的所有x的值的和。
解：令A＝＝＝＝x－1－。
∵当x为整数时，A也为整数，即也必为整数，
∴x－1＝－2或x－1＝－1或x－1＝1或x－1＝2。
∴x＝－1或0或2或3。
∴满足条件的所有x的值的和为－1＋0＋2＋3＝4。
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11(共6张PPT)
第五章　分式与分式方程
阅读与理解　
新定义：如果两个实数a，b，使得关于x的分式方程＋1＝b的解是x＝成立，那么我们就把实数a，b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程＋1＝b的一个“关联数对”。
例如：a＝2，b＝－5使得关于x的分式方程＋1＝－5的解是x＝＝－成立，所以数对[2，－5]就是关于x的分式方程＋1＝b的一个“关联数对”。
(1)判断下列数对是否为关于x的分式方程＋1＝b的“关联数对”。若是，请在括号内打“√”；若不是，打“×”。
①[－1，－1](　 　)　　　
②[3，－5](　 　)　　　
③[1，－2](　 　)
×
√
×
(2)若数对[n2－3，－n2]是关于x的分式方程＋1＝b的“关联数对”，求n的值。
解：∵数对[n2－3，－n2]是关于x的分式方程＋1＝b的“关联
数对”，
∴＋1＝－n2。解得x＝。
∴＝。解得n＝±。
(3)若数对[m－k，k](m≠－1且m≠0，k≠1)是关于x的分式方程＋1＝b的“关联数对”，且关于x的方程kx－m＋1＝x有整数解，求整数m的值。
解：∵数对[m－k，k]是关于x的分式方程＋1＝b的“关联数对”，
∴＋1＝k，x＝＝。
∴m(m－k)＋1＝k。解得k＝。
∵kx－m＋1＝x可化为k(m＋1)x－m(m＋1)＋(m＋1)＝－2mx，
∴(m＋1)2x＝(m＋1)(m－1)。
解得x＝＝＝1－。
∵方程有整数解，
∴整数m＋1＝±1，±2，即m＝0，－2，1，－3。
又m≠0，k≠1，
∴m2＋1≠m＋1。
∴m≠0，m≠1。
∴整数m的值为－2或－3。(共14张PPT)
第五章　分式与分式方程
2　分式的运算
第1课时　分式的乘除法　
知识点1　分式的乘法
1.计算·的结果是(　 　)
A. B.
C.xy D.
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D
2.(2025泉州晋江期中)计算·的结果是(　 　)
A.m B.m2
C.m3 D.3m
A
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3.计算：
(1)·；
解：原式＝
＝。
(2)·；
解：原式＝
＝。
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(3)·；
解：原式＝
＝。
(4)(x2－9)·。
解：原式＝(x＋3)(x－3)·
＝x(x＋3)＝x2＋3x。
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知识点2　分式的除法
4.计算÷的结果是(　 　)
A.2 B.2a＋2
C.1 D.
A
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5.计算：
(1)÷；
解：原式＝·
＝4bc。
(2)(－3xy)÷；
解：原式＝－3xy·
＝－。
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(3)÷；
解：原式＝·
＝a－b。
(4)÷(m2－mn)。
解：原式＝·
＝。
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6.(2025安徽)先化简，再求值：÷，其中x＝3。
解：原式＝·(x＋1)(x－1)＝。
当x＝3时，原式＝＝1。
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7.在一块a hm2的稻田上插秧，人工插秧需要m天完成；如果用插秧机工作，比人工插秧提前3天完成，那么插秧机的工作效率是人工插秧效率的(　 　)
A.倍 B.倍
C.倍 D.倍
A
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8.计算：
(1)·；
解：原式＝·
＝－x。
(2)÷。
解：原式＝·
＝。
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9.如图1，某品牌饮料的包装箱是一个长、宽、高分别为a，b，4r的长方体纸箱，饮料瓶可近似看成底面半径为r，高为4r的圆柱体。如图2，若纸箱里装满了一层饮料，求纸箱的空间利用率(听装饮料总体积与纸箱体积的比)。
解：∵长方体纸盒装满了一层底面半径为r，高为4r的圆柱体的听装饮料，
∴长方体的长放置的听装饮料的数量为，长方体的宽放置的听装饮料的数量为。
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∴听装饮料的数量为·＝。
∴听装饮料的总体积为πr2·4r·＝πabr，纸箱的体积为a·b·4r＝4abr。
∴纸箱的空间利用率为＝。
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10.已知分式A＝÷，当x取什么整数时，分式A的值为整数？
解：A＝·＝＝＝x－3－。
∵分式A的值为整数，
∴x－1＝±3或±1。
∴x＝4，－2，2，0。
根据题意，得x－4≠0。
∴x≠4。
∴当x取－2，2或0时，分式A的值为整数。
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10(共15张PPT)
第五章　分式与分式方程
基础专题13　分式的运算
类型1　分式的乘除
1.计算：
(1)÷；
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解：原式＝·＝。
(2)·；
解：原式＝·＝。
(3)·；
解：原式＝·＝y。
(4)÷。
解：原式＝·＝。
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类型2　分式的加减
2.计算：
(1)＋；
解：原式＝＝＝1。
(2)－；
解：原式＝＝＝2。
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(3)－；
解：原式＝＋＝
＝＝3。
(4)＋。
解：原式＝＝
＝a＋2。
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3.计算：
(1)＋；
解：原式＝＋
＝
＝。
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(2)＋；
解：原式＝＋
＝
＝。
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(3)－；
解：原式＝－
＝
＝＝。
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(4)－。
解：原式＝－
＝
＝－。
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6
类型3　分式的混合运算
4.计算：
(1)·－；
解：原式＝－
＝－
＝
＝。
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(2)·＋；
解：原式＝·＋
＝＋
＝。
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(3)·；
解：原式＝·
＝·
＝。
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6
(4)÷。
解：原式＝·
＝·
＝。
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5.(2025泉州泉港模拟)先化简，再求值：÷－，其中a＝－3。
解：原式＝·－＝－＝。
当a＝－3时，原式＝＝－。
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6.(2025福州模拟)先化简，再求值：÷，其中x＝－1。
解：原式＝÷＝÷＝·＝。
当x＝－1时，
原式＝＝＝。
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6(共18张PPT)
第五章　分式与分式方程
2　分式的运算
第3课时　分式的加减法——异分母分式的加减　
知识点1　最简公分母
1.(2025龙岩上杭期末)分式，的最简公分母是(　 　)
A.3ab B.ab
C.3b D.3ab2
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A
2.分式，的最简公分母是__________。
3x(x－2)
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知识点2　通分
3.将下列各式通分：
(1)，；
解：＝＝，
＝＝。
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(2)，；
解：＝＝，
＝＝。
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(3)，；
解：＝
＝，
＝
＝。
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(4)，。
解：＝
＝＝，
＝＝＝。
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知识点3　异分母分式的加减
4.(2024泉州晋江期中)化简＋的结果是(　 　)
A. B.
C. D.
D
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5.计算－的结果是。
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6.计算：
(1)＋；
解：原式＝＋
＝
＝。
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(2)－。
解：原式＝
＝
＝。
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11
7.计算－a－1的结果是(　 　)
A. B.
C.－ D.
B
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8.计算：
(1)－；
解：原式＝－
＝
＝
＝－。
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(2)－。
解：原式＝－
＝
＝
＝。
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9.先化简，再求值： －，其中x＝＋2。
解：原式＝－＝＝＝。
当x＝＋2时，
原式＝＝＝。
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10.小明的家距离学校s m，从家出发步行a min刚好赶到学校上课。某天因为妈妈感冒了，小明要帮妈妈做早饭，因此从家出发的时间比平时晚了b min。那么小明每分钟应多走多少米，才能按时到校
上课？
解：－＝＝。
答：小明每分钟应多走 m，才能按时到校上课。
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11.已知下面一列等式：1×＝1－；×＝－；×＝－；×＝－；…
(1)观察这些等式的结构特征，并用含n(n≥1，且为整数)的等式表示出它的一般规律；
解：它的一般规律为·＝－。
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(2)验证一下你写出的等式是否成立；
解：∵－＝－＝＝·，
∴等式成立。
(3)利用你写出的等式计算：＋＋＋。
解：原式＝－＋－＋－＋－＝－＝。
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11(共7张PPT)
第五章　分式与分式方程
综合与实践　
【阅读材料】
设一杯糖水的总质量为a g，其中糖的质量为b g，则糖与糖水的质量之比为(a＞b＞0)，若往杯里加糖m g(m＞0)，此时糖水中糖的质量为(b＋m)g，糖水总质量为(a＋m)g，糖与糖水的质量之比为。
∵－＝＝＞0(其中a＞b＞0，m＞0)，
即＞，∴糖水的含糖率变大，糖水变得更甜。
【问题解决】
某水果店免费提供大小质量相同的纸箱(每箱最多装10 kg)，装不同质量的水果进行销售。
(1)小明买了一箱连箱重5 kg的苹果，付了50元；小亮买了一箱连箱重10 kg的苹果，付了100元。小明与小亮所买苹果的实际单价(指纯苹果的单价)哪个便宜？请类比材料中的方法解释。
解：设箱重a kg，
则小明买的苹果单价为元/kg，
小亮买的苹果单价为元/kg。
－＝
＝＝。
根据题意，可知0＜5－a＜5，0＜10－a＜10。
∵a＞0，∴50a＞0。
∴＞0。
∴＞。
∴小亮所买苹果的实际单价便宜。
(2)小李买了两箱梨，每箱连箱重6 kg，付了p元，又买了一箱连箱重9 kg的梨，付了q元。若梨的实际单价是相同的，则小李买一箱连箱重7 kg的梨需付多少元？(用含p，q的代数式表示)
解：设箱重a kg，
则小李第一次买梨的单价为元，
第二次买梨的单价为元，
梨的单价为k元/kg。
根据题意，得
k＝＝。
∴p＝(12－2a)k，q＝(9－a)k。
∴p＋q＝3(7－a)k，即k＝。
∴小李买一箱连箱重7 kg的梨需付的钱数为
(7－a)·＝(元)。(共16张PPT)
第五章　分式与分式方程
3　分式方程
第3课时　分式方程的应用　
知识点1　根据实际问题列分式方程
1.随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3 000件提高到4 200件，平均每人每周比原来多投递48件。若该快递公司的快递员总人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件。设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为(　 　)
A.＝ B.＝
C.＝－48 D.＝－48
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8
B
2.马拉松比赛是全民健身的热门项目，全程的总赛程约为42 km，在比赛中选手甲的平均速度是选手乙的1.5倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早40 min。若设乙的平均速度为x km/h，则可列方程为
(　 　)
A.－＝40 B.－＝
C.－＝40 D.－＝
B
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8
3.为美化校园，某学校安排甲、乙两人种植麦冬草，已知两人每小时共种植40株麦冬草，且甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍，求甲、乙两人每小时各种植多少株麦冬草。设甲每小时种植x株麦冬草，则可列方程为。
＝2×　
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4.古代著作《四元玉鉴》中曾记载一道“绫罗尺价”问题： “今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文。问绫、罗尺价各几何。”其大意为：现在有绫布和罗布，布长共3丈(1丈＝10尺)，已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文。问两种布每尺各多少文。设绫布每尺x文，则列出的方程为。
＋＝30
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知识点2　列分式方程解决实际问题
5.(2025云南)某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20 kg，机器人A搬运800 kg所用时间与机器人B搬运1 000 kg所用时间相等。求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料。
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解：设机器人A每小时搬运x kg化工原料，则机器人B每小时搬运(x＋20)kg化工原料。
根据题意，得＝。
解得x＝80。
经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意。
∴x＋20＝80＋20＝100(kg)。
答：机器人A每小时搬运80 kg化工原料，机器人B每小时搬运100 kg化工原料。
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6.(2025福州长乐区期末)为了改善城市环境，提升市容市貌，某区计划在街道两旁种植900棵景观树。由于社区志愿者的支援，实际每天种植的棵数是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务。原计划每天种树多少棵？
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解：设原计划每天种树x棵，则实际每天种树1.2x棵。
根据题意，得－＝2。
解得x＝75。
经检验，x＝75是所列方程的解，且符合题意。
答：原计划每天种树75棵。
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7.随着城际铁路的正式开通，从甲市经丙市到乙市的高铁列车里程比普快列车里程缩短了90 km，运行时间减少了8 h，已知甲市到乙市的普快列车里程为1 220 km，高铁列车平均时速是普快列车平均时速的2.5倍。
(1)求高铁列车的平均时速。
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解：设普快列车的平均时速为x km/h，则高铁列车的平均时速为2.5x km/h。
根据题意，得－＝8。
解得x＝96。
经检验，x＝96是所列方程的根，且符合题意。
2.5x＝240。
答：高铁列车的平均时速为240 km/h。
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8
(2)某日，王先生要从甲市去距离大约780 km的丙市参加14：00召开的会议，如果他买到当日9：20从甲市到丙市的高铁票，而且从丙市火车站到会议地点最多需要1 h，在高铁列车准点到达的情况下，他能否在开会之前20 min赶到会议地点？
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8
解：780÷240＝3.25，
则坐车共需要3.25＋1＝4.25＝4(h)。
从9：20到13：40，共计4 h，
4＞4，
∴王先生能在开会之前20 min赶到会议地点。
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8
8.甲、乙两人在同一个商场购买相同价格的同一种商品，甲用2 400元购买的商品数量比乙用3 000元购买的商品数量少10件。
(1)求这种商品的单价。
解：设这种商品的单价为x元。
根据题意，得
＋10＝。解得x＝60。
经检验，x＝60是所列分式方程的根，且符合题意。
答：这种商品的单价为60元。
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8
(2)甲、乙两人第二次又同时去购买该商品，发现该商品的单价有所变化，如果甲购买该商品的总价与上次相同，乙购买该商品的数量与上次相同，结果两人两次购买该商品的总件数相同，那么该商品的价格是如何变化的？请说明理由。
解：该商品第二次购买的单价为40元，比第一次购买的单价少了20元。理由如下：
设第二次购买时，该商品的单价为(60＋m)元。
∵乙两次购买该商品的总件数为
×2＝100(件)，
1
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8
而甲第一次购买该商品的件数为
＝40(件)，
∴甲第二次购买该商品的件数为60件。
∴＝60。解得m＝－20。
60＋m＝40。
∴第二次购买时，该商品的单价为40元，比第一次购买的单价少了20元。
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8(共17张PPT)
第五章　分式与分式方程
章末复习　分式　
考点1　分式的有关概念
1.下列代数式中，是分式的是(　 　)
A. B.
C. D.－
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C
2.若使分式有意义，则x的取值范围是(　 　)
A.x≠3 B.x＞－3
C.x≠0 D.x≠－3
D
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13
3.如果某种商品m kg的售价为n元，那么这种商品8 kg的售价为
(　 　)
A.元 B.元
C.元 D.元
A
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13
4.(2025三明期末)若分式的值为0，则x的值为_____。
－1
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5.有分别写有x，x＋1，x－1的三张卡片，若从中任选一个作为分式的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有___的卡片。
x
1
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13
考点2　分式的基本性质
6.(2025厦门同安区期末)若把分式中的x与y都扩大2倍，则所得分式的值(　 　)
A.缩小为原来的 B.扩大为原来的2倍
C.扩大为原来的4倍 D.不变
B
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13
7.对于分式，下列变形正确的是(　 　)
A.－ B.
C. D.
B
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13
考点3　分式的运算
8.下列运算正确的是(　 　)
A.·＝ B.÷＝
C.＋＝ D.－＝
D
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9.计算：－＝___。
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10.计算：
(1)·；
解：原式＝
＝。
(2)÷；
解：原式＝·
＝。
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(3)－；
解：原式＝－
＝
＝
＝。
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(4)÷。
解：原式＝·
＝·
＝。
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11.(2025青海)先化简÷，再从－2，0，1中选一个合适的数代入求值。
解：原式＝·＝·＝a－2。
根据题意，得a≠±2。
当a＝0时，原式＝0－2＝－2；
当a＝1时，原式＝1－2＝－1。
(选一个数代入即可)
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12.若＋＝，求实数A，B的值。
解：∵＋＝＋＝＝。
∴解得
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13.已知实数a，b满足＋＝，求证：＝2。
证明：∵＋＝，
∴＝。
∴(a＋b)(a－b)＝2ab。
∴a2－b2＝2ab。
∴＝1－＋
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＝
＝
＝
＝
＝2。
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13(共16张PPT)
第五章　分式与分式方程
2　分式的运算
第4课时　分式的混合运算　
知识点1　较复杂异分母分式的加减
1.化简－的结果是(　 　)
A.－ B.
C.－ D.
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A
2.计算：1－＝。
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3.计算：
(1)－；
解：原式＝－
＝
＝。
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(2)－。
解：原式＝－
＝
＝。
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知识点2　分式的混合运算及化简求值
4.计算÷的结果是(　 　)
A.－ B.
C.－ D.
A
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5.计算：
(1)·＋；
解：原式＝·＋
＝＋
＝。
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10
(2)÷。
解：原式＝·
＝·
＝。
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6.先化简，再求值：－＋，其中x＝1。
解：原式＝－＋＝
＝＝＝。
当x＝1时，原式＝＝。
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7.某种商品，原来每盒售价为p元，现在每盒的售价降低了2元，同
样用500元购买这种商品，现在比原来可多买盒。
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8.(2025福建)先化简，再求值：÷，其中a＝－1。
解：原式＝÷＝·＝。
当a＝－1时，原式＝＝＝。
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9.已知b－2a＝0，求÷－的值。
解：原式＝÷－
＝·－
＝－
＝。
∵b－2a＝0，
∴b＝2a。
∴原式＝＝。
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10.已知分式A＝÷。
(1)化简这个分式。
解：A＝·＝。
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(2)把分式A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B，问：当a＞2时，分式B的值较原来分式A的值是变大了还是变小了？试说明理由。
解：当a＞2时，分式B的值较原来分式A的值是变小了。理由如下：
由(1)，得A＝，B＝，
∴A－B＝－
＝
＝。
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∵a＞2，
∴A－B＞0，即A＞B。
∴分式B的值较原来分式A的值是变小了。
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(3)若分式A的值是整数，且a也为整数，求出所有符合条件a的值。
解：∵A＝＝1＋是整数，a也是整数，
∴当a＝0时，A＝－1；当a＝3时，A＝5；
当a＝4时，A＝3；当a＝6时，A＝2；
当a＝－2时，A＝0。
∴所有符合条件的a的值为0，3，4，6，－2。
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10(共14张PPT)
第五章　分式与分式方程
3　分式方程
第1课时　分式方程的概念　
知识点1　分式方程的概念
1.下列关于x的方程是分式方程的是(　 　)
A.＋ B.＋＝0
C.＋1＝0 D.x＝1
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C
2.(2025泉州永春期中)有下列方程：①＝1；②＝2；③＝；④＋＝5。其中是分式方程的有(　 　)
A.①② B.②③
C.③④ D.②③④
D
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4
5
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知识点2　列分式方程
3.(2025宁德模拟)随着无人机技术的发展，无人机表演越来越受欢迎。在一次无人机表演排练时，A无人机落后B无人机30 m，已知B无人机的飞行速度为3 m/s。若A无人机飞行200 m刚好追上B无人机，设A无人机接下来的飞行速度为x m/s，则下列方程正确的是
(　 　)
A.＝ B.＝
C.＝－30 D.－30＝
A
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9
4.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4 mg，一年滞尘1 100 mg所需的国槐树叶的片数与一年滞尘2 000 mg所需的银杏树叶的片数相同。若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x mg，则根据题意可列方程为。
＝
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4
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9
5.根据题意，只列方程不求解。
(1)为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1 500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，求每个足球的价格是多少。
解：设每个足球的价格为x元。
根据题意，得
－＝5。
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9
(2)某县准备修建一条道路，在修建600 m后，剩下的4 800 m道路采用新的修建技术，每天修建的长度是原来的2倍，结果共用15天完成了全部任务，求原来每天修建道路多少米。
解：设原来每天修建道路x m，则采用新的修建技术后每天修建道路2x m。
根据题意，得
＋＝15。
1
2
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4
5
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9
(3)某水果店搞促销活动，对某种水果打九折出售，若用50元钱买这种水果，可以比打折前多买2 kg，求这种水果打折前的价格是
多少。
解：设该种水果打折前的价格为x元/kg。
根据题意，得
＝－2。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6.某工地调来72人挖土和运土，已知3人挖出的土1人能全部运走，怎样调配劳动力才能使挖出的土能及时运走？设安排x人挖土，其他人运土，列方程为①＝；②72－x＝；③x＋3x＝72；
④＝3。以上所列方程中，正确的有______。(填序号)
①②
1
2
3
4
5
6
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9
7.某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校10 km，甲、乙两名同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的速度的1.2倍，结果甲比乙早到了24 min。设乙同学骑自行车的速度为x km/h，根据题意可列方程为。
－＝　
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3
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8.根据题意，只列方程不求解。
(1)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到距离800里(1里＝500 m)的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间。
解：设规定时间为x天。根据题意，得
＝·。
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3
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5
6
7
8
9
(2)A，B两地间的距离是80 km，一辆公共汽车从A地驶出3 h后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车晚20 min到达B地，求公共汽车的速度。
解：设公共汽车的速度为x km/h。
根据题意，得
－＝。
1
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5
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9
(3)某服装厂准备生产400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率提高了20％，结果共用了18天完成任务。问：采用新技术后每天生产服装多少套？
解：设原来每天生产x套服装，则采用新技术后每天生产服装(1＋20％)x套。
根据题意，得
＋＝18。
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9.某运输公司运送一批货物，甲车每天运送货物总量的。在甲车运送1天货物后，公司又增派乙车运送货物，两车共同运送货物半天，运完全部货物。求乙车单独运送这批货物需多少天。(根据题意，只列方程不求解)
解：设乙车单独运送这批货物需x天。
根据题意，得＋＝1。
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