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(共19张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
3　直角三角形
第1课时　直角三角形的性质与判定
知识点1　直角三角形的性质
1.(2025泉州永春期末)在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则∠B＝(　 　)
A.30°　　　　　 B.40°　　　　　
C.50°　　　　　 D.60°
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D
2.(2024三明尤溪月考)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝25，BC＝14，AD平分∠BAC，交BC于点D，则AD＝____。
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3.如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E。
求证：△ABC≌△DAE。
证明：∵BC⊥AC，DE⊥AC，∴∠ACB＝∠DEA＝90°。
∴∠1＋∠B＝90°。
∵∠BAD＝90°，∴∠1＋∠2＝180°－∠BAD＝90°。
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在△ABC和△DAE中，
∴∠2＝∠B。
∴△ABC≌△DAE(AAS)。
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知识点2　直角三角形的判定
4.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是
(　 　)
A.1，， B.3，4，5
C.2，2，3 D.5，12，13
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C
5.(2025泉州鲤城区月考)给出下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；
②∠A∶∠B∶∠C＝5∶3∶2；③∠A＝90°－∠B；④∠A＝2∠B＝3∠C。其中能确定△ABC是直角三角形的条件有_________。(填
序号)
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①②③
6.如图，在正方形网格中，每个小方格的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上。
(1)求△ABC的周长；
解：由勾股定理，得
AB＝＝2，AC＝＝5，BC＝＝。
∴C△ABC＝AB＋BC＋AC＝2＋＋5＝3＋5。
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(2)判断△ABC的形状，并说明理由。
解：△ABC是直角三角形。理由如下：
∵AB2＋BC2＝(2)2＋()2＝20＋5＝25＝AC2，
∴△ABC是直角三角形。
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知识点3　逆命题、逆定理
7.命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是___________________
_____。
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如果a2＝b2，那么
a＝b
8.给出下列定理：①对顶角相等；②等腰三角形的两底角相等；
③两直线平行，同位角相等。其中，有逆定理的是_________。(填
序号)
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②③
9.在Rt△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶m∶4，则m的值是(　 　)
A.3 B.4
C.2或6 D.2或4
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C
10.给出下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②偶数一定能被2整除；③末位数是5的数，能被5整除；④对顶角相等。其中逆命题是假命题的是______。(填序号)
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③④
11.(2025福州鼓楼区期末)如图，在直角三角形卡纸△ABC中，∠C＝90°，将纸片沿DE折叠，若∠1＝64°，则∠2的度数为______。
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38°
12.(2025厦门湖里区期末)若一个三角形的三边满足其中两边之和等于第三边的2倍，则称该三角形为“均边三角形”。如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，AC＝5。判断△ABC是否为“均边三角形”，并说明理由。
解：△ABC不是“均边三角形”。理由如下：
如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝90°。
又∵∠B＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形。
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∵AB＝4，
∴AD＝BD＝4。
在Rt△ADC中，由勾股定理，得CD＝＝＝3。
∴BC＝4＋3＝7。
∵三角形ABC的三边不满足其中两边之和等于第三边的2倍，
∴该三角形不是“均边三角形”。
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13.如图为某景区的一个四边形区域的平面图，A，B，C，D为观光点，经测量AB＝AD＝CD＝70 m，BC＝70 m，且∠BAD＝90°。
(1)∠ADC的度数是_______；
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135°
(2)若直线AD为景区观光车的行驶道路(道路宽度忽略不计)，景区管理部门想要在C处安装一个监控摄像头来监测观
解：如图，连接BD，过点C作CH⊥AD于点H，作点D关于CH的对称点F，连接CF。
由轴对称的性质，得CD＝CF＝70 m，DH＝FH。
∵∠CDH＝180°－∠ADC＝180°－135°＝45°，
光车的行驶情况。已知摄像头能监控的最远距离为70 m，求被监控到的道路长度。
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∴△CDH是等腰直角三角形。
∴DH＝CH＝CD＝35 m。
∴DF＝2DH＝70 m。
答：被监控到的道路长度为70 m。
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13(共20张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
5　角平分线
第2课时　三角形三个内角的平分线
知识点1　角平分线的性质与判定
1.已知△ABC内一点M，如果点M到AB，AC的距离相等，那么点M一定在(　 　)
A.∠BAC的平分线上 B.AC边的高上
C.BC边的垂直平分线上 D.AB边的中线上
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A
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D。若CD＝5 cm，则点D到AB的距离是_____。
(第2题)
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5 cm
3.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝40°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE。
求证：DE平分∠ADC。
证明：如图，过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H。
∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°－50°＝40°。
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∵∠DAC＝40°，
∴∠FAE＝∠CAD＝40°，
即AC为∠DAF的平分线。
又∵EF⊥AB，
EG⊥AD，
∴EF＝EG。
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∵BE是∠ABC的平分线，
∴EF＝EH。∴EG＝EH。
∴点E在∠ADC的平分线上。
∴DE平分∠ADC。
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知识点2　三角形三个内角的平分线
4.一块三角形的草坪如图所示，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在
(　 　)
A.△ABC三条中线的交点
B.△ABC三条角平分线的交点
C.△ABC三条高所在直线的交点
D.△ABC三边的垂直平分线的交点
(第4题)
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B
5.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。若△ABC的面积为30 cm2，AB＝8 cm，AC＝7 cm，则DE的长为_____。
(第5题)
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4 cm
6.如图，在△ABC中，∠C＝90°。
(1)过点B作∠ABC的平分线交AC于点D；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
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解：如图，BD就是∠ABC的平分线。
(2)若CD＝3，AB＋BC＝16，求△ABC的面积。
解：如图，过点D作DH⊥AB于点H。
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝3。
∴S△ABC＝S△BCD＋S△ABD＝BC·CD＋AB·DH＝×3BC＋×3AB＝×3(BC＋AB)
＝×3×16＝24。
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7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB，∠ACB的平分线的交点，且BC＝4 cm，AC＝5 cm，则点O到边AB的距离为(　 　)
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
(第7题)
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A
8.如图，在△ABC中，∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，延长BA，BC，PM⊥BE，PN⊥BF，有以下结论：①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；
④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP。其中，正确的是__________。(填序号)
(第8题)
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①②③④
9.如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的平分线，点F为AE上一点，连接BF，∠BFE＝45°。
(1)求证：BF平分∠ABE；
证明：∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAD＝2∠BAF。
∵∠BFE＝45°，
∴∠FBA＋∠BAF＝45°。
∴2∠FBA＋2∠BAF＝90°。
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∵AD为BC边上的高，
∴∠EBF＋∠FBA＋2∠BAF＝90°。
∴2∠FBA＝∠EBF＋∠FBA。
∴∠EBF＝∠FBA。
∴BF平分∠ABE。
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(2)连接CF交AD于点G，若S△ABF＝S△CBF，求证：∠AFC＝90°。
∵BF平分∠ABE，FM⊥BC，
FN⊥AB，∴FM＝FN。
∵S△ABF＝S△CBF，
即AB·FN＝BC·FM，
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证明：如图，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N。
∴AB＝BC。
∵∠ABF＝∠CBF，BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF(SAS)。
∴∠AFB＝∠CFB。
∵∠BFE＝45°，
∴∠AFB＝∠CFB＝135°。
∴∠CFE＝∠CFB－∠BFE＝135°－45°＝90°。
∴∠AFC＝90°。
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10.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，点P为∠ABC，∠ACB的平分线的交点。
(1)∠BPC的度数是_______。
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130°　
(2)点P是否在∠BAC的平分线上？请说明理由。
解：点P在∠BAC的平分线上。理由如下：
如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于
点E，PF⊥AC于点F。
∵BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴PD＝PE，PE＝PF。
∴PD＝PF。
∴点P在∠BAC的平分线上。
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(3)求证：AB＝PC。
证明：如图，连接AP并延长，在AP的延长线上取PG＝PC，连接GC。
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝80°。
∵AP，CP分别为∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠GAC＝40°，
∠ACP＝20°。
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∴∠GPC＝∠PAC＋∠ACP＝60°。
∴△PGC为等边三角形。
∴∠G＝60°＝∠ABC，PC＝CG。
又∵∠ACB＝∠GAC＝40°，AC＝AC，
∴△ABC≌△CGA(AAS)。
∴AB＝CG。
∵PC＝CG，∴AB＝PC。
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10(共19张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
2　等腰三角形
第2课时　等腰三角形的判定
知识点1　等腰三角形的判定
1.在△ABC中，已知∠B＝∠C，下列结论正确的是(　 　)
A.AB＝BC B.AB＝AC
C.BC＝AC D.∠A＝60°
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　B
2.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是(　 　)
A.AB＝3，AC＝3，BC＝4
B.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶4
C.∠B＝50°，∠C＝80°
D.AB∶AC∶BC＝4∶5∶6
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D
3.在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝BC＝3，则AC＝___。
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4.如图，∠BAC＝100°，∠B＝40°，∠D＝20°。求证：△ACD是等腰三角形。
证明：∵∠BAC＝100°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠B＝40°。
∵∠ACB＝∠D＋∠CAD＝40°，∠D＝20°，
∴∠CAD＝∠D＝20°。
∴CD＝CA。
∴△ACD是等腰三角形。
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5.如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC。
求证：△ABC是等腰三角形。
证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB。
∵BD，CE是锐角三角形ABC的两条高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°。
∵∠BEC＋∠BCE＋∠ABC＝∠CDB＋∠DBC＋∠ACB＝180°，
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∴180°－∠BEC－∠BCE＝180°－∠CDB－∠CBD。
∴∠ABC＝∠ACB。
∴AB＝AC。
∴△ABC是等腰三角形。
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知识点2　反证法
6.(2025三明期末)用反证法证明“在△ABC中，已知∠B≠∠C，则AB≠AC”，应首先假设____________。
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AB＝AC
7.用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”，写出已知、求证和证明过程。
解：已知：如图，直线l1，l2被直线l3所截，∠1＋∠2≠180°。
求证：直线l1与l2不平行。
证明：假设l1∥l2，
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则∠1＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)。
这与∠1＋∠2≠180°矛盾，故l1∥l2不成立。
∴l1与l2不平行。
8.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，若AC＝10，BC＝6，则BD的长为
(　 　)
A.5
B.3
C.4
D.2
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D
9.(2025泉州晋江期末)学完三角形后，小桐说：“存在三角形三条边上的高之比等于2∶3∶5。”小颖说：“存在锐角三角形三个内角之比为x∶y∶z，且x＋y＜z。”关于两人的说法，下列判断正确的是(　 　)
A.小桐和小颖都是对的
B.小桐和小颖都是错的
C.小桐是错的，小颖是对的
D.小桐是对的，小颖是错的
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D
10.在△ABC中，∠A＝80°，若∠B＝____________，则△ABC是以AB为腰的等腰三角形。
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50°或20°
11.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论正确的有______。(填序号) ①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB＋CE；③△ADE的周长等于AB＋BC；④BF＝CF。
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①②
12.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE。
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C。
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∵BE＝CF，BD＝CE，
∴△DBE≌△ECF(SAS)。
∴DE＝EF。
∴△DEF是等腰三角形。
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(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数。
解：∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4。
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠B＝(180°－40°)＝70°。
∴∠1＋∠2＝110°。
∴∠3＋∠2＝110°。
∴∠DEF＝70°。
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13.如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，AM是BC边上的中线。用反证法证明：点M与点D不重合。
证明：假设点M与点D重合。延长AM到点N，使得MN＝AM，连接BN。
∵在△ABC中，AM是BC边上的中线，
∴BM＝CM。
又∵∠AMC＝∠NMB，AM＝MN，
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∴△AMC≌△NMB(SAS)。
∴∠MAC＝∠MNB，BN＝AC。
∵点M与点D重合，
∴AM是∠BAC的平分线。
∴∠BAM＝∠MAC。
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∴∠MNB＝∠BAM。
∴BN＝AB，即AC＝AB。
这与AB＞AC相矛盾，
∴假设不成立。
∴点M与点D不重合。
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13(共7张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
基础专题4　与直角三角形有关的证明
1.如图，∠A＝∠B＝90°，E是线段AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2。求证：AD＝BE。
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证明：∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE和△BEC均为直角三角形。
∵∠1＝∠2，
∴EC＝DE。
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)。
∴AD＝BE。
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2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝CF，BD＝DF。
(1)求证：DE＝DC；
证明：∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°。
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
CF＝BE，DF＝BD，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)。
∴DE＝DC。
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(2)求证：AB＝AF＋2BE。
证明：在Rt△CDA与Rt△EDA中，
AD＝AD，DC＝DE，
∴Rt△CDA≌Rt△EDA(HL)。
∴AC＝AE。
∵AB＝AE＋EB，AE＝AF＋FC，
∴AB＝AF＋2BE。
1
2
3
3.如图，△ABC的高BD，CE相交于点F，BE＝CD，求证：EF＝DF。
证明：∵BD，CE分别是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°。
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
BE＝CD，BC＝BC，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL)。
1
2
3
∴∠BCE＝∠CBD。
∴BF＝CF。
∵由Rt△BEC≌Rt△CDB，得EC＝DB，
∴EC－CF＝DB－BF，
即EF＝DF。
1
2
3(共16张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
基础专题1　利用三角形全等进行证明
类型1　一次全等进行证明
1.如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E。
求证：点D为AE的中点。
1
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3
4
5
6
7
证明：∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD。
∵BE∥AC，
∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD。
在△BDE和△CDA中，
∴△BDE≌△CDA(AAS)。
∴ED＝AD，即点D为AE的中点。
1
2
3
4
5
6
7
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：△BEC是等腰三角形。
证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAE＝∠EAC。
在△ABE和△ACE中，
1
2
3
4
5
6
7
　　　　
∴△ABE≌△ACE(SAS)。
∴BE＝CE。
∴△BEC是等腰三角形。
1
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3
4
5
6
7
3.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D，E分别是BC，AC边上的点，且AD＝DE。若∠ADE＝∠B，求证：BC＝AB＋CE。
证明：∵∠ADC＝∠ADE＋∠CDE，∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE。
在△ABD和△DCE中，
　　
1
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6
7
∴△ABD≌△DCE(AAS)。
∴BD＝CE，AB＝DC。
∵BC＝BD＋DC，
∴BC＝AB＋CE。
1
2
3
4
5
6
7
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，过点D的直线EF分别交AB于点E，交AC的延长线于点F，且DE＝DF。求证：BE＝CF。
证明：如图，过点E作EG∥AC，交BC于点G。
∴∠ACB＝∠BGE，
∠F＝∠DEG。
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB。
1
2
3
4
5
6
7
∴∠B＝∠BGE。
∴BE＝GE。　　　
在△CDF和△GDE中，
∠CDF＝∠GDE，DE＝DF，∠F＝∠DEG，
∴△CDF≌△GDE(ASA)。
∴CF＝GE。
∴BE＝CF。
1
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3
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5
6
7
类型2　两次全等进行证明
5.如图，在△ABC中， AD为△ABC的角平分线，以点A为圆心，AD长为半径画弧，与边AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF。若∠BDE＝∠CDF，求证：BE＝CF。
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD。
又∵AE＝AF，AD＝AD，
1
2
3
4
5
6
7
在△ADE和△ADF中，
∴△ADE≌△ADF(SAS)。
∴∠DEA＝∠DFA，DE＝DF。
∵∠DEA＝∠B＋∠BDE，∠DFA＝∠C＋∠CDF，∠BDE＝∠CDF，
∴∠B＝∠C。
1
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5
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7
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS)。
∴BE＝CF。
1
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4
5
6
7
6.如图，点E，A，C，F在同一条直线上，AB＝DC，AE＝CF，BE＝DF。求证：AD∥BC。
证明：在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SSS)。
∴∠BAE＝∠DCF。
∵∠BAC＋∠BAE＝180°，∠DCA＋∠DCF＝180°，
1
2
3
4
5
6
7
∴∠BAC＝∠DCA。
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(SAS)。
∴∠ACB＝∠CAD。
∴AD∥BC。
1
2
3
4
5
6
7
7.如图，AB＝AD，BC＝DC，E，F分别是DC，BC的中点，求证：AE＝AF。
证明：如图，连接AC。
在△ACD和△ACB中，
AD＝AB，AC＝AC，DC＝BC，
∴△ACD≌△ACB(SSS)。
∴∠ACE＝∠ACF。
1
2
3
4
5
6
7
∵BC＝DC，E，F分别是DC，BC的中点，
∴CE＝CF。
在△ACE和△ACF中，
CE＝CF，∠ACE＝∠ACF，AC＝AC。
∴△ACE≌△ACF(SAS)。
∴AE＝AF。
1
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6
7(共17张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
章末复习　
直角三角形、线段的垂直平分线及角平分线
考点1　直角三角形
1.在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，有下列条件：①a2＝b2＋c2；②∠A＝∠B－∠C；③∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5；④a∶b∶c＝3∶4∶5；⑤∠A＝∠B＝∠C。其中，可以判定△ABC为直角三角形的有________。(填序号)
1
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5
6
7
8
9
①②④
2.如图，AB＝AE，BC＝ED，AB⊥BF，AE⊥EF，点F是CD上一点，∠C＝∠D＝90°。
求证：Rt△BCF≌Rt△EDF。
证明：如图，连接AF。
∵AB⊥BF，AE⊥EF，
∴∠ABF＝∠AEF＝90°。
在Rt△ABF和Rt△AEF中，
1
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4
5
6
7
8
9
AF＝AF，AB＝AE，
∴Rt△ABF≌Rt△AEF(HL)。
∴BF＝EF。
在Rt△BCF和Rt△EDF中，
BF＝EF，BC＝ED，
∴Rt△BCF≌Rt△EDF(HL)。
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5
6
7
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9
考点2　线段的垂直平分线
3.(2024三明尤溪月考)A，B，C分别表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使文化广场中心P到三个小区的距离相等。下列尺规作图中，能确定文化广场中心P的位置的是(　 　)
1
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8
9
B
4.如图，在Rt△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交BC，AC于点D，E，连接BE。若∠EBD＝32°，则∠A＝______。
(第4题)
1
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9
58°
5.如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF。若DE＝EF，试判断△AEF的形状，并说明理由。
解：△AEF是等边三角形。理由如下：
∵EF是AD的垂直平分线，
∴∠AOE＝∠AOF＝90°。
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD。
1
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3
4
5
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7
8
9
又∵AO＝AO，
∴△AEO≌△AFO(ASA)。
∴AE＝AF。
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE＝DE。
∵DE＝EF，
∴AE＝EF＝AF。
∴△AEF是等边三角形。
1
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4
5
6
7
8
9
考点3　角平分线
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且BD，CE相交于点O。下列说法错误的是(　 　)
A.BO＝CO
B.点O到∠BAC两边的距离相等
C.CE＝BD
D.点O到点A，B，C三点的距离相等
(第6题)
1
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7
8
9
D
7.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于点F，交AC于点E，过点O作OD⊥BC于点D，下列四个结论：
①∠AOB＝90°＋∠C；②AE＋BF＝EF；
③当∠C＝90°时，E，F分别是AC，BC的中点；
④若OD＝a，CE＋CF＝2b，则S△CEF＝ab。
其中结论正确的是________。(填序号)
(第7题)
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4
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6
7
8
9
①②④
8.如图，在平面直角坐标系中，点A(0，8)，点B(6，8)。
(1)求作一个点P(点P在第一象限内)，使点P同时满足
下列两个条件：
①点P到A，B两点的距离相等；
②点P到x轴、y轴的距离相等。(尺规作图，保留
作图痕迹，不写作法)
解：如图，点P即为所求。
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9
(2)求点P的坐标。
解：如图，设AB的垂直平分线交AB于点E，交x轴于点F。
由作图可得EF⊥AB，EF⊥x轴，OF＝3，OP是∠AOF的平分线，
∴∠OPF＝∠POF＝45°。
∴PF＝OF＝3。
∴点P的坐标为(3，3)。
1
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7
8
9
9.(2025厦门期中)如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E。
(1)求证：△ABE为等腰三角形；
证明：∵BE⊥AD，
∴∠AFE＝∠AFB＝90°。
又∵AD平分∠BAC，
1
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9
∴∠EAF＝∠BAF。
又∵∠AFE＋∠EAF＋∠AEF＝180°，
∠AFB＋∠BAF＋∠ABF＝180°，
∴∠AEF＝∠ABF。
∴AB＝AE。
∴△ABE为等腰三角形。
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9
(2)已知AC＝13，BD＝5，求AB的长。
解：如图，连接DE。
∵AE＝AB，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BE，
∴BD＝ED。
∴∠DEF＝∠DBF。
1
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5
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7
8
9
∵∠AEF＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ABD。
又∵∠ABC＝2∠C，
∴∠AED＝2∠C。
又∵在△CED中，
∠AED＝∠C＋∠EDC，
1
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9
∴∠C＝∠EDC。
∴ED＝EC。
∴CE＝BD。
∴AB＝AE＝AC－CE＝AC－BD＝13－5＝8。
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9(共18张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
☆问题解决策略：反思
类型1　适当改变题目条件后的反思
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB和AC上，连接BE，CD，交点为F，且AD＝AB，AE＝AC。
(1)请用两种不同的方法证明：CD＝BE；
1
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5
解：证明：
方法一：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB。
∵AD＝AB，AE＝AC，
∴AD＝AE。
∴BD＝CE。
∵BC＝CB，
∴△BCD≌△CBE(SAS)。∴CD＝BE。
1
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4
5
方法二：∵AB＝AC，AD＝AB，AE＝AC，∴AD＝AE。
∵∠BAE＝∠CAD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)。
∴BE＝CD。
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3
4
5
(2)变化点D，E的位置，请你写出一个一般化的结论。
答案不唯一，例如：在△ABC中，AB＝AC，如果AD＝AB，AE＝AC，那么CD＝BE。
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5
2.如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在CB的延长线上，连接AD。
(1)求证：AD2－AB2＝BD·CD。
证明：如图1，过点A作AE⊥BC于点E。
∵AB＝AC，
∴BE＝CE。
在Rt△ADE中，AD2－AE2＝DE2，
1
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3
4
5
图1
在Rt△ACE中，AC2－AE2＝CE2，
两式相减得AD2－AC2＝DE2－CE2＝(DE－CE)(DE＋CE)＝BD·CD，
即AD2－AB2＝BD·CD。
1
2
3
4
5
(2)若点D在CB上，如图2。上述结论将会有什么变化，试证明你的新结论。
解：结论：AB2－AD2＝BD·CD。
证明如下：如图2，过点A作AE⊥BC于点E。与(1)同理可得AD2－AE2＝DE2，AC2－AE2＝CE2。
∵点D在CB上，
∴AB＞AD。
1
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3
4
5
∴AC2－AD2＝CE2－DE2＝(CE－DE)·(CE＋DE)＝(BE－DE)(CE＋DE)＝BD·CD，
即AB2－AD2＝BD·CD。
1
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3
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5
类型2　题目条件和结论互换后的反思
3.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥AB交BC于点E。
(1)求证：EB＝ED；
证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠ABD。
∵DE∥BC，
∴∠ABD＝∠EDB。
∴∠EBD＝∠EDB。
∴BE＝DE。
1
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3
4
5
(2)变换题目的某些条件和结论，请你写出一个正确的命题。
解：答案不唯一，例如：若BD是△ABC的角平分线且EB＝ED，则DE∥AB。
1
2
3
4
5
4.如图，△ABC是等边三角形。
(1)若AD＝BE＝CF，则△DEF是等边三角形。该命题是____命题(填“真”或“假”)。
1
2
3
4
5
真
(2)请问(1)的逆命题成立吗？若成立，请证明；若不成立，请用反例说明。
解：(1)的逆命题成立。
已知：△DEF是等边三角形。
求证：AD＝BE＝CF。
证明：∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝EF＝DE。
1
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3
4
5
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°。
∵∠ADF＋∠AFD＝120°，∠ADF＋∠BDE＝120°，
∴∠AFD＝∠BDE。
同理可得∠BDE＝∠CEF。
∴△ADF≌△BED≌△CFE(AAS)。
∴AD＝BE＝CF。
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5
类型3　题目条件不变，寻找其他结论的反思
5.天天和乐乐放风筝，在试飞风筝的过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度，试飞风筝的示意图如图所示。以下是他们测量高度的过程：
①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8 m；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10 m；
③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5 m。
1
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3
4
5
已知点A，B，C，D在同一平面内。
(1)求风筝离地面的垂直高度CD；
解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，则AE＝BD＝8 m，AB＝ED＝1.5 m。
在Rt△ACE中，CE＝＝＝6(m)，
∴CD＝CE＋ED＝6＋1.5＝7.5(m)。
1
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3
4
5
(2)在测高的过程中，请你提出一个新的问题并尝试解决提出的
问题。
解：答案不唯一。例如：
问题：若在手中剩余线仅有7.5 m，BD的长度不变的情况下风筝沿射线DC方向能否上升9 m？
解：能。理由如下：
假设能上升9 m，如图所示，延长DC至点F，连接AF，则CF＝9 m。
∴EF＝CE＋CF＝6＋9＝15(m)。
1
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5
在Rt△AEF中，
AF＝＝17(m)。
∵AC＝10 m，余线仅剩7.5 m，
∴10＋7.5＝17.5＞17。
∴能上升9 m。
1
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4
5(共19张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
4　线段的垂直平分线
第2课时　三角形三边的垂直平分线
知识点1　与线段垂直平分线有关的尺规作图
1.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图正确的是(　 　)
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11
B
2.如图，已知Rt△ABC，请用尺规作图的方法在AB边上求作一点D，连接CD，使得△BCD是以BC为底的等腰三角形。(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，△BCD即为所求。
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11
3.如图，已知△ABC。
(1)尺规作图：作BC边上的高AD；(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，AD为所求作的高。
1
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11
(2)若∠B＝45°，∠C＝30°，AC＝4，求AB的长。
解：在Rt△ACD中，∵∠C＝30°，∴AD＝AC＝×4＝2。
在Rt△ABD中，∵∠B＝45°，∴AB＝AD＝2。
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11
知识点2　三角形三边的垂直平分线
4.如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P，则线段PA，PB，PC(图中未连接)的大小关系是_____________。
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11
PA＝PB＝PC
5.如图，点P为△ABC三边的垂直平分线的交点，
∠PAC＝22°，∠PCB＝33°，求∠PAB的度数。
解：∵点P为△ABC三边的垂直平分线的交点，
∴PA＝PB＝PC。
∴∠PCA＝∠PAC＝22°，∠PBC＝∠PCB＝33°，∠PAB＝∠PBA。
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11
∵2∠PAC＋2∠PCB＋2∠PAB＝180°，即44°＋66°＋2∠PAB＝180°，
∴∠PAB＝×(180°－44°－66°)＝35°。
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11
6.如图，为了丰富群众的娱乐活动，某镇准备新建一个文化娱乐站，要求娱乐站到三个村A，B，C的距离相等，请你用尺规作图的方法确定娱乐站的位置。(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，点P即为娱乐站的位置。
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11
7.如图，△ABC是等边三角形，直线MN∥BC，点P在直线MN上运动，当点P与△ABC的两个顶点的距离相等时，警报器就会发出警报，则在直线MN上会发出警报的点有(　 　)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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11
C
8.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E在BC的垂直平分线上，若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACE的度数为______。
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11
48°
9.如图，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)。
解：如图，△ABC就是所求作的等腰三角形。　
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11
10.如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB的垂直平分线，连接AD，CD。若∠B＝50°，求∠ACD的度数。
解：如图，连接DB。
∵∠ABC＝50°，
∴∠BAC＋∠BCA＝180°－50°＝130°。
∵DE，DF分别为BC，AB的垂直平分线，
∴DB＝DC，DB＝DA。
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11
∴∠DCB＝∠DBC，∠DAB＝∠DBA，DC＝DA。
∴∠DCB＋∠DAB＝∠DBC＋∠DBA＝50°。
∴∠CAD＋∠ACD＝130°－50°＝80°。
∵DC＝DA，
∴∠ACD＝∠CAD＝40°。
1
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11
11.如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P，连接AP。
(1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
证明：如图，连接PB，PC。
∵PE垂直平分AB，
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11
PM垂直平分AC，
∴PA＝PB，PA＝PC。
∴PB＝PC。
∴点P在线段BC的垂直平分线上。
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11
(2)求证：AP平分∠FAN；
证明：由(1)，知PB＝PC，
∴∠PBF＝∠PCN。　　　
∵PE垂直平分AB，
∴PA＝PB，FA＝FB。
∴∠PAB＝∠PBA，
1
2
3
4
5
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7
8
9
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11
∠FAB＝∠FBA。
∴∠PAF＝∠PBF。
同理，∠PAN＝∠PCN。
∴∠PAF＝∠PAN，
即AP平分∠FAN。
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11
(3)设∠FAN＝α，其他条件不变时，∠FPN的度数是。(用含α的代数式表示)
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10
11(共16张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
2　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质
知识点1　等边对等角
1.如图，在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为
(　 　)
A.70°
B.100°
C.110°
D.140°
1
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11
C
2.将三角尺和直尺按如图所示的方式摆放。若△ABC是等腰三角形，则∠1的度数是______。
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30°
3.(2025漳州漳浦期中)如图，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝36°，求∠ABD的度数。
解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝＝72°。
∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C＝72°。
∵∠BDC是△ABD的一个外角，
∴∠ABD＝∠BDC－∠A＝36°。
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11
知识点2　等腰三角形中的“三线合一”
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线。如果AB＝5，BC＝6，那么AD的长为___。
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4
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F。
求证：AE＝AF。
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°。
∵D是BC的中点，AB＝AC，∴AD平分∠BAC。
∴∠BAD＝∠CAD。
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11
在△AED和△AFD中，
∵∠AED＝∠AFD，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD。
∴△AED≌△AFD(AAS)。
∴AE＝AF。
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11
知识点3　等边三角形的性质
6.(2024福州鼓楼区月考)如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC。若AB＝7，BD＝3，则△ADE的周长为____。
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12
7.如图，AD是等边三角形ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为______。
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15°
8.若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为____。
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11
12
9.如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，连接DE，则∠DEC＝______。
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11
30°
10.如图，点D，E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE。
求证：AB＝AC。
证明：如图，过点A作AF⊥BC于点F。
∵AD＝AE，
∴DF＝EF。
∵BD＝CE，
∴BF＝CF。
∴AB＝AC。
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11
11.已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，BF，作BE∥CF交射线AD于点E，∠CFA＝∠BAC＝α。
(1)如图1，当α＝70°，∠ABE＝20°时，∠BAE＝______；
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11
50°
(2)如图2，当α＝90°，AB＝AC＝BF＝8时，求CF的长。
解：∵BE∥CF，
∴∠BEF＝∠CFE＝90°。
∵AB＝AC＝BF，BE⊥AF，
∴AE＝EF，∠ABE＝∠FBE。
∴∠ABE＋∠BAE＝90°＝∠BAE＋∠CAF。
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11
∴∠ABE＝∠CAF。
∴∠CAF＝∠FBE。
∴△BEF≌△AFC(AAS)。
∴EF＝FC。
∴FC＝EF＝AE＝AF。
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11
∵AB＝AC＝8，
∴在△AFC中，CF2＋(2CF)2＝64。
解得CF＝(负值已舍去)。
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11(共17张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
1　三角形内角和定理
第1课时　三角形内角和定理
知识点1　三角形的内角和定理
1.(2025福州闽清期末)如图，若△OAD≌△OBC，∠O＝78°，∠C＝22°，则∠OAD的度数为(　 　)
A.20°
B.65°
C.80°
D.95°
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C
2.在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则(　 　)
A.必有一个内角等于30° B.必有一个内角等于45°
C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90°
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D
3.将一副三角尺按图中所示方式摆放，则∠1的度数是_______。
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105°
4.如图，在△ABC中，∠ABC＝24°，∠ACB＝118°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于点E，求∠DAE的度数。
解：∵在△ABC中，∠ABC＝24°，∠ACB＝118°，
∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝38°。
又∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAC＝19°。
∴∠ADC＝180°－∠DAC－∠ACB＝43°。
又∵AE⊥BC，∴∠E＝90°。
∴∠DAE＝90°－∠ADC＝90°－43°＝47°。
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10
知识点2　全等三角形的判定——AAS
5. (2024牡丹江)如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D，E，F三点共线，请添加一个条件_____________________，使得AE＝CE。(只添一种情况即可)
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10
DE＝EF(或AD＝CF)
6.(2025云南)如图，AB与CD相交于点O，AC＝BD，∠C＝∠D。
求证：△AOC≌△BOD。
证明：在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD(AAS)。
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10
7.(2025泉州五中期中)如图，从△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE。如果∠1＋∠2＝240°，那么∠C的度数为(　 　)
A.40°
B.60°
C.50°
D.55°
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10
B
8.如图，BC，AE是锐角三角形ABF的高，且BC，AE相交于点D。若AD＝BF，AF＝7，CF＝2，则BD的长为___。
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3
9.如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，点D是边BC上的一点，将△ABD沿AD折叠，点B恰好落在BC边上的点E处。
(1)填空：∠ADE＝____°；
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90
(2)求∠EAC的度数。
解：由折叠可知∠AEB＝∠B＝60°。
∴∠AEC＝180°－∠AEB＝180°－60°＝120°。
在△AEC中，∠AEC＝120°，∠C＝45°，
∴∠EAC＝180°－∠AEC－∠C＝180°－120°－45°＝15°。
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10.在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的
3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”。例
如：三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是
“智慧三角形”。
如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C。
(1)∠ABO的度数为____°，△AOB____(填“是”或“不是”)“智慧三角形”；
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30
是
(2)若∠OAC＝20°，求证：△AOC为“智慧三角形”；
证明：∵∠AOC＝60°，∠OAC＝20°，
∴∠AOC＝3∠OAC。
∴△AOC为“智慧三角形”。
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10
(3)若点C在线段OB上，且△ABC为“智慧三角形”，求∠OAC的
度数。
解：∵△ABC为“智慧三角形”，点C在线段OB上，∠ABO＝30°，
∴∠BAC＋∠BCA＝150°，∠ACB≥60°，∠BAC≤90°。
①当∠ABC＝3∠BAC时，∠BAC＝10°，
∴∠OAC＝80°。
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10
②当∠ABC＝3∠ACB时，∠ACB＝10°。
此种情况不存在。
③当∠BCA＝3∠BAC时，∠BAC＋3∠BAC＝150°。
∴∠BAC＝37.5°。
∴∠OAC＝52.5°。
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10
④当∠BCA＝3∠ABC时，∠BCA＝90°。
∴∠BAC＝60°。
∴∠OAC＝90°－60°＝30°。
⑤当∠BAC＝3∠ABC时，
∠BAC＝90°。
∴∠OAC＝0°。
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10
⑥当∠BAC＝3∠ACB时，3∠ACB＋∠ACB＝150°。∴∠ACB＝37.5°。
此种情况不存在。
综上所述，当△ABC为“智慧三角形”时，∠OAC的度数为80°或52.5°或30°或0°。
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10(共17张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
4　线段的垂直平分线
第1课时　线段的垂直平分线
知识点1　线段垂直平分线的性质
1.(2025连云港)如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为(　 　)
A.5
B.6
C.7
D.8
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8
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11
C
2.如图，在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝45°，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，则∠ACD＝______。
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11
25°
3.(2025漳州芗城区月考)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°。
(1)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E。(要求：保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，点D，射线AE即为所求。
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11
(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数。
解：∵DF垂直平分线段AB，
∴DB＝DA。
∴∠DAB＝∠B＝30°。
∵∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°－30°－40°＝110°。
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11
∴∠CAD＝110°－30°＝80°。
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝40°。
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11
知识点2　线段垂直平分线的判定
4.(2025三明期末)如图，AC＝AD，BC＝BD，下列结论一定正确的是(　 　)
A.CD平分∠ACB
B.CD垂直平分AB
C.AB垂直平分CD
D.AB与CD互相垂直平分
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11
C
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠AEC＝60°，点D是AB的中点，则DE__________AB。
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11
垂直平分
6.如图，已知BD交AC于点E，DE＝CE，∠C＝∠D＝90°。求证：点E在AB的垂直平分线上。
证明：∵在△ADE和△BCE中，
　　　　
∴△ADE≌△BCE(ASA)。
∴AE＝BE。
∴点E在AB的垂直平分线上。
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11
7.如图，已知Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC交于点M，∠A＝15°，BM＝2，则△AMB的面积为(　 　)
A.1
B.2
C.4
D.5
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5
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10
11
A
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，有下列结论：①BD平分∠ABC；②AD＝BD＝BC；③△BDC的周长等于AB＋BC；④D是AC的中点。其中正确的有________。(填序号)
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11
①②③
9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则CE的长等于。
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11
　
10.如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，求∠EBD的度数。
解：如图，连接CE。
∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，
∴CA＝CB，CD＝CE。
∴∠ACB＝∠DCE。
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11
∴∠BAC＝∠ABC＝72°，∠DEC＝∠EDC＝72°。
∴∠ACE＝∠BCD。
∴△BCD≌△ACE(SAS)。
∴∠CBD＝∠CAE＝72°＋∠BAE。
∵∠AEB＝92°，
∴∠ABE＝180°－∠AEB－∠BAE＝180°－92°－∠BAE＝88°－∠BAE。
∴∠EBD＝360°－∠CBD－∠ABC－∠ABE＝360°－(72°＋∠BAE)－72°－(88°－∠BAE)＝128°。
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11
11.已知OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ＝OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，C，连接AB，PB。
(1)如图1，当P，Q两点都在射线ON上时，连接BQ，则线段AB与PB的数量关系可表示为____________。
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11
AB＝PB
(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？请说明理由。
解：线段AB，PB还存在(1)中的数量关系。理由如下：如图2，连接BQ。
∵BC垂直平分OQ，
∴BO＝BQ。
∴∠BOQ＝∠BQO。
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11
∵OF平分∠MON，∠BOQ＝∠FON，
∴∠AOF＝∠FON＝∠BOQ＝∠BQC。
∴∠BQP＝∠AOB。
∵OA＝PQ，
∴△AOB≌△PQB(SAS)。
∴AB＝PB。
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11(共9张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
基础专题2　与等腰三角形有关的证明
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，DE∥AB，交AC于点E，试找出图中所有的等腰三角形(△ABC除外)，并对其中的一个等腰三角形加以证明。
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4
解：根据题意，得△ADE，△CDE，
△ABD和△ACD都是等腰三角形。
选取△CDE证明如下：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C。
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B。
∴∠EDC＝∠C。
∴EC＝ED。
∴△CDE是等腰三角形。
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4
2.求证：等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。
解：已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F。
求证：DE＝DF。
证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD。
∵AB＝AC，
1
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4
∴∠B＝∠C。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°。
在△BDE和△CDF中，
∠B＝∠C，∠DEB＝∠DFC，BD＝CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS)。
∴DE＝DF。
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3
4
3.如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，点F是CD的中点，连接AF。
求证：AF⊥CD。
证明：如图，连接AC，AD。
∵在△ABC和△AED中，
1
2
3
4
∴△ABC≌△AED(SAS)。
∴AC＝AD。
又∵点F是CD的中点，
∴AF⊥CD。
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3
4
4.如图，BC＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠D，点F是CD的中点，求证：∠1＝∠2。
证明：如图，延长AB交DC的延长线于点M，
延长AE交CD的延长线于点N。
∵∠ABC＝∠AED，∠BCD＝∠EDC，
∴180°－∠ABC＝180°－∠AED，180°－∠BCD＝180°－∠EDC，
即∠CBM＝∠DEN，∠BCM＝∠EDN。
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3
4
在△BCM和△EDN中，
∠CBM＝∠DEN，BC＝DE，∠BCM＝∠EDN，
∴△BCM≌△EDN(ASA)。
∴∠M＝∠N，CM＝DN。
∴AN＝AM。
∴△AMN为等腰三角形。
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3
4
∵点F是CD的中点，
∴点F是MN的中点。
∴∠1＝∠2。(共17张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
1　三角形内角和定理
第4课时　多边形的外角和
知识点1　多边形的外角和
1.正十二边形的外角和为(　 　)
A.30° B.150°
C.360° D.1 800°
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11
C
2.图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，图2是它的示意图，它的一个外角α的度数为(　 　)
A.70°
B.72°
C.60°
D.108°
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11
　B
3.(2025扬州)若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为___。
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10
11
9
4.如图，五边形ABCDE的各内角都相等，各边都相等，∠AEF是它的一个外角，求∠BEF的度数。
解：根据多边形外角和定理，得
∠AEF＝360°÷5＝72°。
∴∠A＝∠AED＝180°－∠AEF＝108°。
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝36°。
∴∠BEF＝∠AEB＋∠AEF＝36°＋72°＝108°。
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11
知识点2　多边形的内角和与外角和
5.(2025遂宁)已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为(　 　)
A.10 B.11
C.12 D.13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
6.如图，在多边形ABCDE中，F是CD延长线上的一点，若∠EDF＝50°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠E＝(　 　)
A.360°
B.390°
C.410°
D.490°
1
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4
5
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8
9
10
11
C
7.若一个多边形的每个外角都是40°，则这个多边形的内角和是________。
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11
1 260°
8.如图，小明从点A出发，前进10 m后向右转40°，再前进10 m后又向右转40°……如此反复下去，直到他第一次回到出发点A，他所走的路径恰好构成了一个正多边形。
(1)小明一共走了多少米？
解：根据题意，得这个正多边形的每个外角为40°。
∴这个正多边形的边数为360°÷40°＝9。
∴10×9＝90(m)。
答：小明一共走了90 m。
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3
4
5
6
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9
10
11
(2)求这个正多边形的内角和。
解：这个正多边形的内角和为
(9－2)×180°＝7×180°＝1 260°。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9.完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形。如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中∠1＋∠2＝160°，则∠C＋∠D＋∠E＝(　 　)
A.300°
B.340°
C.200°
D.260°
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5
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9
10
11
　B
10.A和B分别是两个多边形，阅读A和B的对话，完成下列各题。
(1)嘉嘉说：“因为B的边数比A多，所以B的外角和比A的大。”判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由。
解：嘉嘉的说法不正确。理由如下：
多边形的外角和始终为360°，与多边形的边数无关。
1
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8
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10
11
(2)设A的边数为n(n＞3)。
①若n＝7，求x的值；
解：根据题意，得180°(7＋x－2)－180°×(7－2)＝360°。
解得x＝2。
∴x的值为2。
1
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7
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10
11
②淇淇说：“无论n取何值，x的值始终不变。”请用列方程的方法说明理由。
解：根据题意，得180°(n＋x－2)－180°(n－2)＝360°。
解得x＝2。
∴无论n取何值，x的值始终不变。
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10
11
11.研究一个问题：多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？
【回顾】(1)如图1，请直接写出∠ACD与∠A，∠B之间的数量关系：__________________。
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11
∠ACD＝∠A＋∠B
【探究】(2)如图2，∠DCE是四边形ABCD的外角，求证：∠DCE＝∠A＋∠B＋∠D－180°。
证明：∵∠A＋∠B＋∠D＋∠BCD＝360°，∠DCE＋∠BCD＝180°，
∴360°－(∠A＋∠B＋∠D)＝180°－∠DCE。
∴∠DCE＝∠A＋∠B＋∠D－180°。
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11
【结论】(3)若n边形的一个外角为x°，与其不相邻的内角之和为y°，则x，y与n的数量关系是_________________。
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11
y－x＝180(n－3)(共17张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
1　三角形内角和定理
第3课时　多边形的内角和
知识点1　多边形的内角和
1.(2025云南)一个六边形的内角和等于(　 　)
A.360° B.540°
C.720° D.900°
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12
C
2.若过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的内角和是(　 　)
A.360° B.540°
C.720° D.900°
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11
12
　D
3. (2025长沙)如图，在五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A＋∠E＝_______。
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12
205°
4.如图，阅读小明和小红的对话，解决下列问题。
(1)这个“多加的锐角”是____°；
1
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10
11
12
30
(2)小明求的是几边形的内角和？
解：设这个多边形为n边形。
根据题意，得(n－2)·180°＝1 800°。
解得n＝12。
答：小明求的是十二边形的内角和。
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11
12
知识点2　正多边形
5.正十边形的内角和为(　 　)
A.144° B.360°
C.1 440° D.1 800°
1
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8
9
10
11
12
C
6.(2025眉山)如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB，DE分别交于点M，N，则∠1＋∠2的度数为(　 　)
A.216°
B.180°
C.144°
D.120°
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12
C
7.如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠1的度数为_______。
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8
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11
12
132°
8.已知正n边形的内角和为1 080°，边长为2。求正n边形的每个内角的度数和周长。
解：根据题意，得180°×(n－2)＝1 080°，
解得n＝8。
正n边形每个内角的度数为
1 080°÷8＝135°，
正n边形的周长为8×2＝16。
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12
9.(2025湖南省卷)如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，则∠AMB＝______。
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12
45°
10.(2025泉州泉港区期末)如图，将正六边形的边AB与正五边形的边CD放在同一条直线上，O为公共顶点。试求出∠POF的度数。
解：正五边形的内角和为
(5－2)×180°＝540°。
∵正五边形的每一个内角都相等，
∴∠COF＝∠OCD＝540°÷5＝108°。
∴∠OCB＝180°－108°＝72°。
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11
12
正六边形的内角和为
(6－2)×180°＝720°。
∵正六边形的每一个内角都相等，
∴∠BOP＝∠ABO＝720°÷6＝120°。
∴∠OBC＝180°－120°＝60°。
∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－60°－72°＝48°。
∴∠POF＝360°－∠BOP－∠COF－∠BOC＝360°－120°－108°－48°＝84°。
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11
12
11.如图，有一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化情况，解答下列问题。
(1)将表格补充完整；
正多边形的边数 3 4 5 6
α的度数
60°
45°
36°
30°
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11
12
(2)观察上面表格中α的变化规律，α与边数n的关系为__________；
(3)根据规律，当α＝18°时，正多边形的边数n＝____。
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12
α＝°
10
12.有一张多边形的纸片，小明将这张多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2 160°，求原多边形的边数。
解：设新多边形的边数为n。
根据题意，得(n－2)·180°＝2 160°，
解得n＝14。
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12
将纸片剪去一角有三种剪法，如图所示。
剪完后新多边形的边可能比原多边形多一条、与原多边形相等、比原多边形少一条，共三种情况。
∴原多边形的边数为13或14或15。
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12(共11张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
基础专题5　
与等腰三角形有关的分类讨论
类型1　腰和底不明时需分类讨论
1.已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为(　 　)
A.25 B.25或20
C.20 D.15
1
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3
4
5
6
7
A
2.若△ABC是等腰三角形，AB＝14，BC＝8，AC＝2m－2，则m的值是______。
1
2
3
4
5
6
7
8或5
类型2　顶角和底角不明时需分类讨论
3.若等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是_________。
1
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5
6
7
80°或20°　
4.我们定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”。若在等腰三角形ABC中，∠A＝75°，它的特征值k＝。
1
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5
6
7
　或　
类型3　特殊线段的位置不明确时需分类讨论
5.如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，那么这个等腰三角形底角的度数为____________。
1
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3
4
5
6
7
66°或24°
6.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将三角形的周长分成27和18两部分，求这个等腰三角形的腰长和底边长。
解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD＝AC。
∵AB＝AC，
∴设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x。
1
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5
6
7
分两种情况讨论。
①如图1，联立方程，
得
解得
∴AB＝AC＝18。
1
2
3
4
5
6
7
∴这个等腰三角形的腰长为18，底边长为9。
②如图2，联立方程，得
解得
∴AB＝AC＝12。
∴这个等腰三角形的腰长为12，底边长为21。
综上所述，这个等腰三角形的腰长为18，底边长为9或腰长为12，底边长为21。
1
2
3
4
5
6
7
7.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，求∠B的度数。
解：根据题意，分两种情况讨论。
如图1，当交点在腰AC上时，
△ABC是锐角三角形，∠A＝90°－50°＝40°。
∴∠B＝∠C＝×(180°－40°)＝70°。
1
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3
4
5
6
7
如图2，当交点在腰CA的延长线上时，
△ABC为钝角三角形，∠BAC＝90°＋
50°＝140°。
∴∠B＝∠C＝×(180°－140°)＝20°。
∴∠B的度数为70°或20°。
1
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5
6
7(共9张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
基础专题3　与等边三角形有关的证明
1.如图，E为等边三角形ABC的边AC上的一点，且∠1＝∠2，CD＝BE。求证：△ADE是等边三角形。
1
2
3
4
证明：∵E为等边三角形ABC的边AC上的一点，
∴AB＝AC，∠BAE＝60°。
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(SAS)。
∴AD＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°。
∴△ADE是等边三角形。
1
2
3
4
2.如图，在等边三角形ABC中，点B，P，Q三点在同一条直线上，且∠ABP＝∠ACQ，∠BAP＝∠CAQ。请判断△APQ的形状，并加以证明。
解：△APQ是等边三角形。证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°。
在△ABP与△ACQ中，
1
2
3
4
∴△ABP≌△ACQ(ASA)。
∴AP＝AQ。
又∵∠BAP＋∠PAC＝∠CAQ＋∠PAC，即∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形。
1
2
3
4
3.如图，在等边三角形ABC中，AE，CD相交于点F，且BD＝CE。求∠AFD的度数。
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AC＝BC。
在△CBD和△ACE 中，
1
2
3
4
BD＝CE，∠B＝∠ACE，BC＝AC，
∴△CBD≌△ACE(SAS)。
∴∠BCD＝∠CAE。
∵∠AFD＝∠CAE＋∠ACD，
∴∠AFD＝∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝60°。
1
2
3
4
4.如图，在等边三角形ABC中，E为AB的中点，点D在CB的延长线上，且DE＝EC。
求证：CB＝2BD。
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°。
∵EB＝AE，
∴CE⊥AB，CE是∠ACB的平分线。
∴∠BEC＝90°，∠BCE＝30°。
1
2
3
4
∴2BE＝CB。
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠BCE＝30°。
∴∠DEB＝60°－30°＝30°。
∴BD＝BE。
∴CB＝2BD。
1
2
3
4(共8张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
综合与实践
(2025厦门期中)按照要求测量木料之间的距离。
A.木料特征：图1是一块木料，其中两边m和n相互平行。
B.测量目标：需要测量图1这块木料中平行边m和n之间的垂直距离。
C.测量工具：如图2，一把刻度尺。(刻度尺宽度为t cm，两端受损，可以测量木料上任意两点之间的距离，但无法用刻度尺直接画出直角)
D.测量方法及求解过程。
(1)小清同学完成的测量步骤及求解过程，如
图3所示，测量步骤如下：
步骤一：在边m上取点A，在边n上取点B，C；
步骤二：连接AB，AC；
步骤三：把刻度尺一边与BC重合，另一边与AB交于点D，与AC交于点E；
步骤四：测得BC＝a cm，DE＝b cm。
求解过程如下：
过点A作AM⊥BC交DE于点N，交n于点M，
则MN＝①___cm，AM⊥DE。
设AM＝x cm，则AN＝②________cm。
∵S△ABC＝S△ADE＋S梯形DBCE，
t
　(x－t)
∴BC·AM＝DE·AN＋(DE＋BC)MN。
∴ax＝③______________＋④________________。
∴这块木料上平行边m和n之间的垂直距离AM＝x cm＝⑤cm。
请补充小清同学求解过程中①②③④⑤所缺的内容。
b(x－t)　
(b＋a)t　
(2)小庄同学也想利用所提供的测量工具，设计另一种测量木料平行边之间的距离的方案，请你根据图4帮助小庄同学完成测量方案，要求写出测量步骤及求解过程。
要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示。(说明：操作、说明思路相同的方案视为同一种方案)
解：测量步骤如下：
步骤一：在平行边m，n上分别取A，B两点；
步骤三：在AB上取点D，使AD＝a cm；
步骤四：在点B的右侧，边n上取点C，使CD＝a cm；
步骤五：连接AC，用刻度尺测出AC＝b cm。求解过程如下：
如图4。
步骤二：连接AB，用刻度尺测量AB的长度为a cm；
根据测量可知，BD＝AB－AD＝a cm，
∴AD＝BD＝CD。
∴∠CBD＝∠BCD，∠CAD＝∠ACD。
∵∠CBD＋∠BCD＋∠CAD＋∠ACD＝180°，
∴∠BCD＋∠ACD＝×180°＝90°，即∠ACB＝90°。
∴AC⊥BC，这块木料上平行边m和n之间的垂直距离AC为b cm。(共16张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
1　三角形内角和定理
第2课时　三角形内角和定理的推论
知识点1　三角形内角和定理的推论1
1.如图，把含有60°角的直角三角尺的斜边放在直线l上，则∠α的度数是(　 　)
A.120°
B.130°
C.140°
D.150°
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10
D
2.(2025福州仓山区期末)如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，点C处有一灯塔，当轮船从点A行驶到点B时，∠ACB的度数是(　 　)
A.20° B.30°
C.40° D.50°
1
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3
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5
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7
8
9
10
C
3.(2025福建)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按图中所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°。当AD∥BC时，∠ADE的大小为(　 　)
A.5°
B.15°
C.25°
D.35°
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10
B
4.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E。
求证：∠BAC＝∠B＋2∠E。
证明：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ECD＝∠ACE。
∵∠ECD＝∠E＋∠B，∠BAC＝∠E＋∠ACE，
∴∠BAC＝∠E＋∠ECD＝∠E＋∠E＋∠B＝∠B＋2∠E。
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10
知识点2　三角形内角和定理的推论2
5.如图所示，下列结论正确的是(　 　)
A.∠1＞∠B＞∠2
B.∠B＞∠2＞∠1
C.∠2＞∠1＞∠B
D.∠1＞∠2＞∠B
1
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9
10
D
6.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E是AD上一点。
求证：∠BED＞∠C。
证明：∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＋∠BAD＝90°。
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°。
∴∠DAC＋∠C＝90°。
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7
8
9
10
∴∠BAD＝∠C。
∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED＞∠BAD。
∴∠BED＞∠C。
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7
8
9
10
7.如图，点E是△ABC的外角∠CBD内部一点，满足∠CAB＝3∠EAB，∠CBD＝3∠EBD。若∠C＝42°，则∠E的度数是______。
1
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10
14°
8.如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变。为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应______(填“增加”或“减少”)____°。
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10
减少
10
9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D。点P为线段AD上的一个点，过点P作PE⊥AD交BC的延长线于点E。
(1)若∠B＝35°，∠ACB＝85°，则∠E＝____°；
1
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10
25
(2)探究∠E与∠B，∠ACB之间的数量关系，并说明理由。
解：∠E＝(∠ACB－∠B)。
理由如下：设∠B＝x，∠ACB＝y。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC。
∵∠B＋∠ACB＋∠BAC＝180°，
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10
∴∠BAC＝180°－x－y。
∴∠BAD＝(180°－x－y)。
∴∠PDE＝∠B＋∠BAD＝x＋(180°－x－y)＝90°＋(x－y)。
∵PE⊥AD，∴∠PDE＋∠E＝90°。
∴∠E＝90°－
＝(y－x)＝(∠ACB－∠B)。
1
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10
解：∵∠ACE＝∠A＋∠ABC，
10.如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D。
(1)若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度数；
∴∠ACD＋∠ECD＝∠A＋∠ABD＋∠DBE，
∠DCE＝∠D＋∠DBC。
又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
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10
∴∠ABD＝∠DBE，∠ACD＝∠ECD。
∴∠A＝2(∠DCE－∠DBC)，
∠D＝∠DCE－∠DBC。
∴∠A＝2∠D。
∵∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，∴∠A＝60°。
∴∠D＝30°。
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10
(2)若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图2，猜想∠D，∠M，∠N的关系，并说明理由。
解：∠D＝(∠M＋∠N－180°)。
理由如下：延长BM，CN交于点A，如图2。
则∠A＝∠BMN＋∠CNM－180°。
由(1)知，∠D＝∠A，
∴∠D＝(∠BMN＋∠CNM－180°)。
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10(共17张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
5　角平分线
第1课时　角平分线
知识点1　角平分线的性质
1.(2024青海)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是(　 　)
A.4
B.3
C.2
D.1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(第1题)
C
2.如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为___。
(第2题)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3.(2024泉州五中月考)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在边AC上，BD＝DF。求证：CF＝EB。
证明：∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝90°。
又∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DC＝DE。　　　
1
2
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9
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)。
∴CF＝EB。
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9
知识点2　角平分线的判定
4.小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线。如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明
说：“射线OP就是∠BOA的平分线。”他这样做的依据是(　 　)
A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形的三条高交于一点
D.三角形三边的垂直平分线交于一点
(第4题)
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9
A
5.如图，在△ABC中，D是AC上一点，DE⊥AB，
DF⊥BC，垂足分别为E，F，DE＝DF，G是BC
上一点，DG∥AB。求证：DG＝BG。
证明：如图，连接BD。
∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝DF，∴∠EBD＝∠FBD。
∵DG∥AB，∴∠GDB＝∠EBD。
∴∠GDB＝∠FBD。
∴DG＝BG。
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6.(2025龙岩上杭模拟)如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC＝8，则PD的长为(　 　)
A.2
B.4
C.6
D.8
(第6题)
1
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6
7
8
9
B
7.(2025厦门一中模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，＝，AC＝1 cm，则BC的长为_____cm。
(第7题)
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7
8
9
2
8.(2025厦门期中)定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α＋2β＝90°，那么我们称这个三角形为“近直角三角形”。
(1)若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝60°，则∠A＝____ °。
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15
(2)如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，CD是△ABC的角平分线。
①试判断△DBC是不是“近直角三角形”，并说明理由；
解：△DBC是“近直角三角形”。理由如下：
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACB＝2∠BCD。
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9
∵∠CAB＝90°，∴∠B＋∠ACB＝90°。
∴∠B＋2∠BCD＝90°。
∴△DBC是“近直角三角形”。
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9
②求BD的长度。
解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，则∠CED＝∠BED＝90°，
∴∠CAB＝∠CED＝90°。
∵CD是△ABC的角平分线，
∴AD＝DE，∠ACD＝∠ECD。
∵CD＝CD，
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9
∴Rt△ACD≌Rt△ECD(HL)。
∴CE＝AC＝8。
∴BE＝BC－CE＝10－8＝2，
DE＝AD＝AB－BD＝6－BD。
在Rt△BED中，
由勾股定理，得BD2＝22＋(6－BD)2。
解得BD＝。
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9
9.已知在△ABC中，D是BC边上的点(不与点B，C重合)，连接AD。
(1)如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD∶S△ACD＝______。
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1∶1
(2)如图2，当AD是∠BAC的平分线时，AB＝m，AC＝n，用含m，n的代数式表示S△ABD∶S△ACD的值。
∵AD为∠BAC的平分线，∴DE＝DF。
∵AB＝m，AC＝n，
∴S△ABD∶S△ACD＝∶＝m∶n。
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9
解：如图2，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F。
(3)如图3，AD平分∠BAC，延长AD到点E，使得DE＝AD，连接BE。若AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，则S△ABC＝___。
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9(共21张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
章末复习　
三角形与多边形、等腰(等边)三角形
考点1　三角形及多边形的内角和与外角和
1.下列图形中，能确定∠1＞∠2的是(　 　)
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14
C
2.(2025北京)若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为(　 　)
A.60 B.90
C.120 D.150
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14
C
3.如果一个多边形的内角和是它外角和的3倍，那么这个多边形是____边形。
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13
14
八
4.如图，∠ABC＝110°，∠DEF＝140°，求∠A＋∠C＋∠D＋∠F的度数。
解：如图，连接AC，DF。
∵∠ABC＝110°，∠DEF＝140°，
∴∠1＋∠2＝70°，∠3＋∠4＝40°。
∴∠BAF＋∠BCD＋∠CDE＋∠AFE＝360°－70°－40°＝250°。
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考点2　等腰三角形
5. (2024兰州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝(　 　)
A.100°
B.115°
C.130°
D.145°
(第5题)
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14
B
6.(2025三明宁化期末)已知等腰三角形的三边长分别为x＋1，2x＋3，7，则其中x的值为___。
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2
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，
∠DBC＝∠BAC。
求证：AC⊥BD。
证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点F。
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴∠CAE＝∠BAC。
∵∠DBC＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠DBC。
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14
∵∠1＝∠2，∠ADF＝180°－∠1－∠CAE，
又∵∠BEF＝180°－∠2－∠DBC＝90°，
∴∠ADF＝90°。
∴AC⊥BD。
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14
考点3　等边三角形
8.如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，若∠1＝∠2，∠DFE＝80°，则∠EDF＝______。
(第8题)
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14
40°
9.(2025广西)如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD＝，则AD＝。
(第9题)
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14
－1
10.如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，AE，BD相交于点O， 连接DE。
(1)判断△CDE的形状，并说明理由；
解：△CDE是等边三角形。理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，BC＝AC。
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∵BD⊥AC，AE⊥BC，∴CE＝BC，CD＝AC。
∴CD＝CE。
∴△CDE是等边三角形。
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14
(2)若OA＝12，求OE的长。
解：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，
∴AE，BD分别平分∠BAC，∠ABC。
∴∠OBE＝∠DBA＝∠BAE＝×60°＝30°。
∴OA＝OB，OB＝2OE。
∴OA＝2OE。
∵OA＝12，∴OE＝6。
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14
考点4　反证法及逆命题、逆定理
11.下列定理中，没有逆定理的是(　 　)
A.两直线平行，内错角相等
B.直角三角形两锐角互余
C.对顶角相等
D.同位角相等，两直线平行
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14
C
12.(2024三明尤溪月考)用反证法证明“x＞3”时，首先应假设______。
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13
14
x≤3
13.设a，b为实数，且a2＋b2＝2，试用反证法证明：a＋b≤2。
证明：假设a2＋b2＝2时，a＋b＞2，
则(a＋b)2＞4，即a2＋2ab＋b2＞4＝2(a2＋b2)。
∴a2－2ab＋b2＜0。
∴(a－b)2＜0。
这与任意实数的偶次方的非负性相矛盾，
∴假设不成立。
∴a2＋b2＝2时，a＋b≤2。
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13
14
14.如图，在△ABD中，BA＝BD。在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC。
(1)若∠BAE＝90°，求∠DAC的度数；
解：∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C。
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝(180°－∠B)。
∵∠BAE＝90°，
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14
∴∠B＝90°－∠AED＝90°－2∠C。
∴∠BAD＝(180°－∠B)＝[180°－(90°－2∠C)]＝45°＋∠C。
∴∠DAE＝90°－∠BAD＝90°－(45°＋∠C)＝45°－∠C。
∴∠DAC＝∠DAE＋∠EAC＝45°－∠C＋∠C＝45°。
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14
(2)若∠BAE＝n°，求∠DAC的度数。
解：设∠B＝m°。
∴∠BAD＝(180°－m°)＝90°－m°，
∠AEB＝180°－n°－m°。
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝n°－90°＋m°。
∵EA＝EC，
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14
∴∠CAE＝∠AEB＝90°－n°－m°。
∴∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝n°－90°＋m°＋90°－n°－m°＝n°。
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14(共9张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
阅读与理解
定义：点P是△ABC内部的一点，若经过点P和△ABC中的一个顶点的直线把△ABC平分成两个面积相等的图形，则称点P是△ABC关于这个顶点的均分点。例如：图1中，点P是△ABC关于顶点A的均分点。
(1)下列图形中，点D一定是△ABC关于顶点B的均分点的是____。(填序号)
①
(2)在△ABC中，BC＝2，AB＝AC且AB＞BC，点P是△ABC关于顶点A的均分点，且BP＝，求出∠BPC的度数。
解：如图。
∵AB＝AC，点P是△ABC关于顶点A的均分点，
∴BD＝CD。
∴AD⊥BC。
∵BC＝2，
∴BD＝1。
∵BP＝，
∴∠BPD＝45°。
∴∠BPC＝90°。
(3)如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10，点P是△ABC关于顶点A的均分点，直线AP与BC交于点D，当BP⊥AD时，BP＝4。
①补全图形；
解：补全图形如图2所示。
②连接CP，求CP的长。
解：如图2，过点C作CE⊥AP，交直线AP于点E。
∵点P是△ABC关于顶点A的均分点，BC＝10，
∴BD＝CD＝5。
在Rt△BPD中，
∵∠BPD＝90°，
∴BP2＋PD2＝BD2。
∵BP＝4，BD＝5，
∴PD＝3。
∵BP⊥AP，CE⊥AP，
∴∠BPD＝∠CED＝90°。
∵∠BDP＝∠CDE，BD＝CD，
∴△BPD≌△CED(AAS)。
∴PD＝DE＝3，PB＝CE＝4。
∴PE＝2PD＝6。
在Rt△PEC中，
CP＝＝＝2。(共21张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
2　等腰三角形
第3课时　等边三角形的判定
知识点1　等边三角形的判定
1.下列条件不能得到等边三角形的是(　 　)
A.有一个内角是60° 的锐角三角形
B.有一个内角是60° 的等腰三角形
C.顶角和底角相等的等腰三角形
D.腰和底边相等的等腰三角形
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A
2.在△ABC中，∠A＝∠B，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是__________________________(写出一个
即可)。
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13
∠A＝∠C(答案不唯一)
3.在△ABC中，若AB＝AC＝10 cm，∠A＝60°，则BC＝______。
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13
10 cm　
4.如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°。
求证：△ADC是等边三角形。
证明：∵DC＝DB，∠B＝30°，∴∠DCB＝∠B＝30°。
∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°。
又∵AD＝DC，∴△ADC是等边三角形。
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13
5.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，BD是AC边上的高，E为线段BC上的一点，且CE＝AD。求证：△CDE是等边三角形。
证明：∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，∠C＝60°。
又∵在△ABC中，BD是AC边上的高，∴AD＝CD。
∵CE＝AD，∴CD＝CE。
∴△CDE是等边三角形。
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13
知识点2　含30°角的直角三角形的性质
6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，则AB的长为(　 　)
A.1.5
B.3
C.6
D.9
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12
13
C
7.(2024宁德质检)如图，在等边三角形ABC中，D为AB的中点，DE⊥BC于点E。若BE＝5，则AB的长是____。
1
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13
20
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB交AB于点D。
求证：AB＝4BD。
证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴在Rt△ABC中，AB＝2CB。
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13
又∵CD⊥AB，∴∠A＋∠B＝∠B＋∠DCB＝90°。
∴∠DCB＝∠A＝30°。
∴在Rt△BCD中，CB＝2BD。
∴AB＝4BD。
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13
9.如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB的度数为(　 　)
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
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12
13
C
10.(2025安徽)如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC。若DE＝，则AC的长是
(　 　)
A.4
B.6
C.2
D.3
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12
13
B
11.(2025南充)如图，∠AOB＝90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E。设OC＝1，则OE的长是。
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13
12.如图，在等边三角形ABC中，延长BC到点E，连接AE，若AE＝3，∠CAE＝15°，求AB的长。
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D。
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°。
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝30°。
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13
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝30°＋15°＝45°。
∴∠AED＝∠DAE＝45°。
∴AD＝DE。
∴AE＝AD。
∵AE＝3，
∴AD＝3。
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12
13
在Rt△ADB中，
∠BAD＝30°，
∴BD＝AB。
∴AB2＝BD2＋AD2＝＋32。
解得AB＝2。
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13
13.如图1，在△ACD中，P是CD的中点，B是
AD延长线上的一点，连接BC，AP。
(1)若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，AC＝BD，试判断AP与CD的位置关系，并说明理由。
解：AP⊥CD。理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，
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∴∠B＝30°。
∴AB＝2AC。
∵BD＝AC，
∴AD＝AC。
∴△ADC是等边三角形。
∵P是CD的中点，
∴AP⊥CD。
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13
(2)如图2，过点D作DE∥AC，交AP的延长线于点E，连接BE。若∠CAD＝60°，BD＝AC，求证：BC＝2AP。
证明：∵DE∥AC，
∴∠CAP＝∠DEP。
又∵CP＝DP，∠CPA＝∠DPE，
∴△CPA≌△DPE(AAS)。
∴AP＝EP＝AE，DE＝AC。
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13
∵BD＝AC，∴BD＝DE。
又∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠CAD＝60°。
∴△BDE是等边三角形。
∴BD＝BE，∠EBD＝60°。
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13
∵BD＝AC，
∴AC＝BE，AB＝AB。
∴△CBA≌△EAB(SAS)。
∴BC＝AE＝2AP。
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13(共19张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
3　直角三角形
第2课时　直角三角形全等的判定
知识点1　用“HL”判定两个直角三角形全等
1.(2024泉州鲤城区期末)如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，能直接判定Rt△ABD≌Rt△CDB的依据是(　 　)
A.HL
B.ASA
C.SAS
D.SSS
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9
10
11
A
2.如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，BE＝DF。若要用“HL”判定Rt△ABF≌Rt△CDE，则需要添加的条件为 _______。
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AF＝CE
3.(2025宁德福鼎期中)如图，已知∠A＝∠D＝90°，E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AF＝DE，BE＝CF。求证：Rt△ABF≌Rt△DCE。
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE。
∵∠A＝∠D＝90°，
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∴△ABF与△DCE都是直角三角形。
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)。
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知识点2　用其他方法判定两个直角三角形全等
4.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是(　 　)
A.斜边和一条直角边对应相等 B.两个锐角对应相等
C.一个锐角和斜边对应相等 D.两条直角边对应相等
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　B
5.如图，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F。下列条件中，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是________。(填序号)
①AB＝DC，∠B＝∠C；
②AB＝DC，AB∥CD；
③AB＝DC，BE＝CF；
④AB＝DF，BE＝CF。
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①②③
6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F。若BF＝AC，则∠ABC＝____°。
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7.如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，且AD＝A'D'。求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'。
证明：在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中，
∵AC＝A'C'，AD＝A'D'，
∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL)。
∴CD＝C'D'。
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∵AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，
∴CB＝C'B'。
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS)。
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8.如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD交于点O，OB＝OC，图中全等的直角三角形共有___对，分别是_______________
__________________________________________________。
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Rt△EOC；Rt△ADO≌Rt△AEO；Rt△ADC≌Rt△AEB
Rt△DOB≌
9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝_______时，△ABC和△PQA全等。
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5或10
10.求证：有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。
解：已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠ACB＝∠A'C'B'＝90°，CD⊥AB于点D，C'D'⊥A'B'于点D'，BC＝B'C'，CD＝C'D'。
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'。
证明：∵CD⊥AB于点D，C'D'⊥A'B'于点D'，
∴∠CDB＝∠C'D'B'＝90°。
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在Rt△CDB与Rt△C'D'B'中，
∴Rt△CDB≌Rt△C'D'B'(HL)。
∴∠B＝∠B'。
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(ASA)。
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11.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BA＝3，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线C－A－B－C运动。设点P的运动时间为t s(t＞0)。
(1)BC＝___。
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(2)①若点P在边AB上，AP的长为_______(用含t的代数式表示)，t的取值范围是___________；
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2t－5
2.5≤t≤4　
②若点P在∠BAC的平分线上，求t的值。
解：当点P与点A重合时，
∵2t＝5，∴t＝。
当点P在BC上时，如图，AP平分∠BAC，
过点P作PH⊥AC于点H。
∵PB⊥AB，∴PH＝PB。
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∵AP＝AP，
∴Rt△APH≌Rt△APB(HL)。
∴AH＝AB＝3。
∴CH＝AC－AH＝2。
∵PC＝5＋3＋4－2t＝12－2t，
∴PB＝BC－PC＝4－(12－2t)＝2t－8。∴PH＝2t－8。
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∵PC2＝PH2＋CH2，
∴(12－2t)2＝(2t－8)2＋22。
解得t＝。
综上所述，t的值是或。
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