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2026 年九年级学业水平模拟测试（一）数学试题
（满分150分 时间120分钟）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）
1.2026 的相反数是（ ）
A. 2026 B. 2026 C. D.
2.如图所示的几何体的俯视图是（ ）
3.地球与太阳之间的平均距离约为 149600000 km，用科学记数法表示为（ ）
A. 1.496×109 B. 1.496×108 C. 1.496×107 D. 14.96×107
4.下列图形中，是轴对称但不是中心对称图形的是（ ）
5.化简 的结果是（ ）
A. B. C. 1 D. 1
6.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. ∣a∣>∣b∣ B. a+b<0 C. a+2>b+2 D. ∣a 1∣>∣b 1∣
7.现有背面完全相同，正面分别写有 “论语”、“孟子”、“大学” 和 “中庸” 的四张卡片，正面朝下放置，洗匀后抽取一张，放回后再抽取一张，抽取的两张卡片正面写的是 “论语” 和 “孟子” 的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.若点( 6,y1),( 1,y2),(2,y3)在反比例函数y=(k<0)的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是（ ）
A. y29.如图，在边长为 2 的正方形ABCD中，按步骤作图：①分别以A,B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于AB两侧，过两交点作直线，分别交AB,CD于点E,F；②连接AF，以A为圆心作弧，交AB,AF于两点，再分别以这两点为圆心作弧，两弧交于∠BAF内一点，过A与该交点作射线，交BC于点M；③过点M作MN⊥AD于点N。线段BM的长为（ ）
A. B. 3 C. 2 3 D. 1
10.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)，2a2+b=0，A(x1,y1)和B(3a,y2)
是抛物线上的两点，对于2≤x1≤3都有y1A.a>1或a< 3 B. a>1或 2
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）
11.小球在如图地板上自由滚动，随机停留在阴影区域的概率是______。
（第11题图） （第13题图） （第14题图） （第15题图）
12.已知x=1是一元二次方程x2+ax+2b=0的解，则2a+4b=______。
13.如图，在正五边形ABCDE内，以AB为边作等边△ABF，再以点A为圆心，AE长为半径作弧，若AB=3，则阴影部分的面积是______。
14.已知A,B两地相距 80 km，小明和小亮分别从A,B两地出发相向而行，小亮先出发；图中l1,l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系，则小亮出发______ h 后两人的路程和为 80 km。
15.如图，矩形ABCD中，AB=BC，点E是AB的中点，点F在边BC上且BF=2，连接EF,EC，若∠FEC=30 ，则BC=______。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分）
16.（7 分）计算： 2cos45 +(π 2026)0+∣ ∣+() 1
17.（7 分）解不等式组，并写出所有整数解。
18.（7 分）如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在BC,CD边上，∠BAF=∠DAE，求证：BE=DF。
19.（8 分）如图是自卸式货车主视示意图，矩形货厢ABCD的长AB=4.2 m。卸货时，货厢绕A点转轴旋转，货厢底部A,B两点垂直方向与水平距离之比记作i，A点转轴与后轮转轴M的水平距离为安全轴距，测得安全轴距为0.7 m。货厢对角线交点G为重心，测得∠ACB=66.4 。
（1）求货厢对角线AC的长；
（2）若i=1:1，货车是否会发生倾覆事故？说明理由。
（参考数据：sin66.4 ≈0.92，cos66.4 ≈0.40，cos68.6 ≈0.36，tan68.6 ≈2.55）
20.（9 分）学校开展航天知识竞赛，从七、八年级各随机抽取 20 名学生成绩（百分制，整数，≥60 分，分四组：A.60≤x<70；B.70≤x<80；C.80≤x<90；D.90≤x≤100），部分信息如下：
七年级 C 组数据：84，84，84，85，85，87，88
八年级 20 名成绩：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99
根据以上信息，解答下列问题:
（1）求a= ,b= ,m= ；
（2）求七年级 C 组对应扇形的圆心角；
（3）七年级 560 人，八年级 500 人，估计成绩不低于 90 分的总人数。
21. （8 分）如图，AB是⊙O的直径，点C,E在⊙O上，连接AC,CE,EB，过点C作⊙O的切线交EB的延长线于点D，且CD⊥EB。
（1）求证：∠ABE=2∠A；
（2）若tanE=，AB=2，求CD的长。
22.(10分)当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长。某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A，B两种配件。已知购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元;购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元。
(1)求 A、B 两种配件的进货单价；
(2)若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件，B配件进货件数不低于A配件件数的2倍。据市场销售分析，A配件提价20%销售，B配件按进价的1.5倍销售。怎样安排A，B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大 最大利润是多少
23.（10 分）如图，点A(2,3)和点B在反比例函数y=(x>0)的图象上，点B在A右侧，作BC⊥y轴，垂足为C，连接AB,AC。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若△ABC的面积为 6，求直线AB的表达式；
（3）在x轴上存在点P，当△ABP是等腰直角三角形时，直接写出所有满足条件的点B坐标。
24.(12分)在数学综合实践活动中，同学们以特殊三角形为载体，探究动点背景下的几何问题。研究发现:通过构造全等三角形或相似三角形，可实现线段与角的转化。如图，在AABC中，AB=AC，BAC=90°，点M,N分别为AC，AB上的动点(不含端点)。
(1)如图1，若AN=CM，将MA绕点M顺时旋转90°得到MD，判断MIV和CD的数量关系并说明理由;
(2)如图2，在第(1)问的条件下，作AEMN于点E，交BC于点F，连接AD，CD。试猜想四边形AFCD的形状，并说明理由;
（3）如图 3，若AB=AC=6，AN=3CM，连接BM,CN，求BM+CN的最小值。
25.（12 分）如图，抛物线y=ax2+bx 3与x轴交于A( 1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C。
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是直线BC下方的抛物线上一动点：
① 连接AC,DC，当∠DCB=∠ACB时，求点D的坐标；
② 设点D横坐标为2m，过点D作x轴的垂线，交直线y=mx+m于点E。当线段DE的长度随m的增大而减小时，求m的取值范围。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）
1.2026 的相反数是（ A ）
A. 2026 B. 2026 C. D.
2.如图所示的几何体的俯视图是（ D ）
3.地球与太阳之间的平均距离约为 149600000 km，用科学记数法表示为（ B ）
A. 1.496×109 B. 1.496×108 C. 1.496×107 D. 14.96×107
4.下列图形中，是轴对称但不是中心对称图形的是（ C ）
5.化简 的结果是（ C ）
A. B. C. 1 D. 1
6.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ D ）
A. ∣a∣>∣b∣ B. a+b<0 C. a+2>b+2 D. ∣a 1∣>∣b 1∣
7.现有背面完全相同，正面分别写有 “论语”、“孟子”、“大学” 和 “中庸” 的四张卡片，正面朝下放置，洗匀后抽取一张，放回后再抽取一张，抽取的两张卡片正面写的是 “论语” 和 “孟子” 的概率是（ A ）
A. B. C. D.
8.若点( 6,y1),( 1,y2),(2,y3)在反比例函数y=(k<0)的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是（ B ）
A. y29.如图，在边长为 2 的正方形ABCD中，按步骤作图：①分别以A,B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于AB两侧，过两交点作直线，分别交AB,CD于点E,F；②连接AF，以A为圆心作弧，交AB,AF于两点，再分别以这两点为圆心作弧，两弧交于∠BAF内一点，过A与该交点作射线，交BC于点M；③过点M作MN⊥AD于点N。线段BM的长为（ D ）
A. B. 3 C. 2 3 D. 1
10.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)，2a2+b=0，A(x1,y1)和B(3a,y2)
是抛物线上的两点，对于2≤x1≤3都有y1A.a>1或a< 3 B. a>1或 2
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）
11.小球在如图地板上自由滚动，随机停留在阴影区域的概率是______。
（第11题图） （第13题图） （第14题图） （第15题图）
12.已知x=1是一元二次方程x2+ax+2b=0的解，则2a+4b=___－2___。
13.如图，在正五边形ABCDE内，以AB为边作等边△ABF，再以点A为圆心，AE长为半径作弧，若AB=3，则阴影部分的面积是______。
14.已知A,B两地相距 80 km，小明和小亮分别从A,B两地出发相向而行，小亮先出发；图中l1,l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系，则小亮出发___1.4___ h 后两人的路程和为 80 km。
15.如图，矩形ABCD中，AB=BC，点E是AB的中点，点F在边BC上且BF=2，连接EF,EC，若∠FEC=30 ，则BC=______。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分）
16.（7 分）计算： 2cos45 +(π 2026)0+∣ ∣+() 1
=2－+1++3
=6
17.（7 分）解不等式组，并写出所有整数解。
解不等式①得x≤2
解不等式②得x>
原不等式组的解集：＜x≤2
整数解：1,2
18.（7 分）如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在BC,CD边上，∠BAF=∠DAE，求证：BE=DF。
证明∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D
∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF ∠EAF=∠DAE ∠EAF，即∠BAE=∠DAF
在△BAE和△DAF中：
∴△BAE≌△DAF(ASA)，
∴BE=DF
19.（8 分）如图是自卸式货车主视示意图，矩形货厢ABCD的长AB=4.2 m。卸货时，货厢绕A点转轴旋转，货厢底部A,B两点垂直方向与水平距离之比记作i，A点转轴与后轮转轴M的水平距离为安全轴距，测得安全轴距为0.7 m。货厢对角线交点G为重心，测得∠ACB=66.4 。
（1）求货厢对角线AC的长；
（2）若i=1:1，货车是否会发生倾覆事故？说明理由。
（参考数据：sin66.4 ≈0.92，cos66.4 ≈0.40，cos68.6 ≈0.36，tan68.6 ≈2.55）
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90
在Rt△ABC中，sin∠ACB=，
∴AC=≈4.6 m
答：货厢对角线AC的长为4.6 m。
(2)不会发生事故，
理由：作GK⊥AN于K，
∵i=1:1，
∴∠BAN=45
∵∠CAB=90 66.4 =23.6 ，
∴∠CAK=45 +23.6 =68.6
∵G是矩形对角线交点，
∴GA= AC=2.3 m
在Rt△AGK中，cos∠GAK=，
∴AK=AG cos68.6 ≈2.3×0.36≈0.8 m
∵0.8>0.7，
∴货车不会发生倾覆事故。
20.（9 分）学校开展航天知识竞赛，从七、八年级各随机抽取 20 名学生成绩（百分制，整数，≥60 分，分四组：A.60≤x<70；B.70≤x<80；C.80≤x<90；D.90≤x≤100），部分信息如下：
七年级 C 组数据：84，84，84，85，85，87，88
八年级 20 名成绩：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99
根据以上信息，解答下列问题:
（1）求a= ,b= ,m= ；
（2）求七年级 C 组对应扇形的圆心角；
（3）七年级 560 人，八年级 500 人，估计成绩不低于 90 分的总人数。
（1）七年级 A 组：20×10%=2人，B 组：20×25%=5人，C 组 7 人，D 组：20 2 5 7=6人
七年级中位数a为第 10、11 个数的平均数：=84.5；八年级众数b=86；
m= ×100=30
∴a=84.5，b=86，m=30
（2）七年级 C 组圆心角：×360 =126
（3）七年级不低于 90 分人数：560×30%=168人；八年级：500×=125人
总人数：168+125=293人
21. （8 分）如图，AB是⊙O的直径，点C,E在⊙O上，连接AC,CE,EB，过点C作⊙O的切线交EB的延长线于点D，且CD⊥EB。
（1）求证：∠ABE=2∠A；
（2）若tanE=，AB=2，求CD的长。
解（1）连接OC，
∵CD是切线，
∴CD⊥OC
∵CD⊥EB，
∴OC∥EB，
∴∠BOC=∠ABE
∵∠BOC=2∠A，
∴∠ABE=2∠A
（2）连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90
∵∠A=∠E，
∴tanA=tanE==，
∴AC=2BC
∵AB=2，
∴BC=2，AC=4
∵∠ACB=∠OCD=90 ，
∴∠ACO=∠BCD
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=∠BCD，
又∠ACB=∠D=90
∴△ABC∽△CBD，
∴=
∴CD==
22.(10分)当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长。某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A，B两种配件。已知购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元;购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元。
(1)求 A、B 两种配件的进货单价；
(2)若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件，B配件进货件数不低于A配件件数的2倍。据市场销售分析，A配件提价20%销售，B配件按进价的1.5倍销售。怎样安排A，B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大 最大利润是多少
.解:(1)设A配件的进货单价是x元，B配件的进货单价是y元
根据题意得:，
解得
答：A 单价250元，B 单价60元。
（2）设购进 Am件，则 B(300 m)件，由300 m≥2m，
得m≤100
总利润w=250×20%m+60×0.5(300 m)=20m+9000
∵20>0，
∴w随m增大而增大，当m=100时，wmax=20×100+9000=11000元
此时 B：300 100=200件
答：购进 A100件，B200件时利润最大，最大利润11000元。
23.（10 分）如图，点A(2,3)和点B在反比例函数y=(x>0)的图象上，点B在A右侧，作BC⊥y轴，垂足为C，连接AB,AC。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若△ABC的面积为 6，求直线AB的表达式；
（3）在x轴上存在点P，当△ABP是等腰直角三角形时，直接写出所有满足条件的点B坐标。
（1）将A(2,3)代入y=，得k=6，
∴解析式：y=
（2）设B(a,)，作AD⊥BC于D，则D(2,)，
AD=3
S△ABC=a·(3 )=6，
解得a=6，
∴B(6,1)
设AB解析式y=kx+b，代入A(2,3),B(6,1)：
得，
解得
∴直线AB：y= x+4
（3）满足条件的B坐标：(5,1.2)，(+1, 1)，(6,1)
24.(12分)在数学综合实践活动中，同学们以特殊三角形为载体，探究动点背景下的几何问题。研究发现:通过构造全等三角形或相似三角形，可实现线段与角的转化。如图，在AABC中，AB=AC，BAC=90°，点M,N分别为AC，AB上的动点(不含端点)。
(1)如图1，若AN=CM，将MA绕点M顺时旋转90°得到MD，判断MIV和CD的数量关系并说明理由;
(2)如图2，在第(1)问的条件下，作AEMN于点E，交BC于点F，连接AD，CD。试猜想四边形AFCD的形状，并说明理由;
（3）如图 3，若AB=AC=6，AN=3CM，连接BM,CN，求BM+CN的最小值。
（1）MN=CD，
理由：∵MA绕M顺时针旋转90 得MD，
∴MA=MD，∠AMD=90
∴∠DMC+∠AMC=90 ，
又∠BAC=90 ，
∴∠AMN+∠AMC=90
∴∠DMC=∠AMN，
又AN=CM，
∴△ANM≌△MCD(SAS)，
∴MN=CD
四边形AFCD是平行四边形，
理由：∵AB=AC，∠BAC=90 ，
∴∠ACB=45
∵MA旋转90 得MD，
∴∠MAD=45 =∠ACB，
∴AD∥CF
由△ANM≌△MCD，
得∠ANM=∠DCM
∵AE⊥MN，
∴∠ANM+∠NAE=90 ，
又∠NAE+∠MAE=90
∴∠ANM=∠MAE，
∴∠DCM=∠MAE，
∴DC∥AF
∴四边形AFCD是平行四边形
（3）过点C作∠MCP=90 ，使CP=2，连接PM,BP
∵==，∠MCP=∠NAC=90 ，
∴△MCP∽△NAC
∴MP=NC，
∴BM+CN=BM+MP≥BP
当B,M,P共线时，最小值为BP的长，计算得BP=10
∴BM+ CN的最小值为10
25.（12 分）如图，抛物线y=ax2+bx 3与x轴交于A( 1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C。
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是直线BC下方的抛物线上一动点：
① 连接AC,DC，当∠DCB=∠ACB时，求点D的坐标；
② 设点D横坐标为2m，过点D作x轴的垂线，交直线y=mx+m于点E。当线段DE的长度随m的增大而减小时，求m的取值范围。
（1）将A( 1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx 3
得，
解得
∴抛物线：y=x2 2x 3
（2）① ∵A( 1,0),B(3,0),C(0, 3)，
∴OB=OC，∠OCB=45 ，tan∠ACO=
过C作CM∥x轴交抛物线于M，则∠BCM=45
∵∠DCB=∠ACB，
∴∠MCD=∠ACO，
tan∠MCD=
设D(t,t2 2t 3)，作DN⊥CM于N，
则t 3 (t2 2t 3)=
解得t=（t=0舍去），
∴D(, )
② ∵D在BC下方，
∴0<2m<3，
即0D(2m,4m2 4m 3)，E(2m,2m2+m)
DE=2m2+m (4m2 4m 3)= 2m2+5m+3= 2(m )2+
∵开口向下，
∴当m≥时，DE随m增大而减小
结合0

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