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分式·新定义问题—浙教版数学七（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2025八上·临海期末）规定运算为：，例如：，则当且时，的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；分式的加减法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：，且，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】由新定义并结合已知的等式可得，通分后并结合平方差公式可得，约分后即可求解．
2．（2024七下·越城期末） 对于实数 定义运算 “※” 如下： ，如 . 若 ※ ，则 的值为 (　　)
A．-4 B．-11 C．11 D．无法确定
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵ ※ ，
∴，
解得m=-11，
经检验知m=-11为方程的根.
故答案为：B.
【分析】根据新定义的运算规则得到，进而解分式方程即可求解。
3． 为实数， 定义一种新运算： ． 若关于 的方程 无解，则 的值是（　　）
A．4 B．-3 C．4 或 -3 D．4 或 3
【答案】D
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：∵， ，
∴，
若方程无解，则ax≠3x+3，即(3-a)x+3≠0，明显地，当a=3时(3-a)x+3≠0，
原方程有曾根x=3，∴(3-a)×3+3=0，解得a=4，
故a的值为4或3.
故答案为：D.
【分析】根据新运算的定义先改写原方程为熟知的分式方程，此时会发现是等号两边是同分母的分式方程， 根据方程无解的条件，则分两种情况讨论：①分子不相等（a=3）；②分子尽管相等，但求解出的x代入分母后反而会使得分式方程无意义（a=4）.
4．在实数范围内定义运算 ， 其法则为 ． 则当 时， 的值为(　　)
A． B．-2 C． D．2
【答案】A
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】
∵
∴
a+1+a=0
∴
故选A.
【分析】本题通过新定义，得出分式方程，然后依解分式方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为 1，依次进行即可.
5．对于实数a，b，定义一种新运算“”.例如，，则的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：B.
【分析】利用题中的新定义，列出分式方程，再在分式方程的两边同时乘以（x+4）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出答案.
6．对于非零实数，规定．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据题意得，去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，解得.
经检验，是分式方程的根.
故答案为：A.
【分析】把2×(2x-1)=1转化为普通的分式方程是解题关键.
7．在计算 时， 把运算符号 “ ”看成了 “+”， 得到的计算结果是 ， 则这道题的计算结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的除法；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】先根据同分母分式加法法则计算并结合题意可求出，进而代入原式按分式除法法则计算可得答案.
8．（【全品中考复习】浙教版中考数学作业本第6课时 分式方程及其应用） 对实数a，b 定义一种新运算“☆”为：a☆b= 例如：1☆ 则方程(-2)☆x=1的解是 (　　)
A．x=1 B．x=3 C．x=-3 D．x=-1
【答案】C
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得
去分母得：-2+x=1+2x，
解得：x=-3，
经检验，x=-3是分式方程的解，
故选： C.
【分析】根据定义的新运算列得分式方程，解方程并检验即可.
二、填空题
9． 定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b， 若(x+1) x= 则x的值为　 　.
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵ (x+1) x=
∴，
去分母得，，
整理可得，2x2+x=0，
∴x(2x+1)=0，
∴或，
经检验，x=0是方程的增根，是原方程的解.
故答案为： .
【分析】根据新定义得到关于x 的分式方程，解分式方程即可求解.理解新定义，并掌握分式方程的解法是解决本题的关键.
10．（2025七下·绍兴期末） 定义一种新运算：，若，则=　 　.
【答案】6
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：依题意
解得m=6
经检验m=6是该分式方程的解，
故答案为：6 .
【分析】新定义题型难度一般不大，只要严格按照题目定义的运算方式，这里的m对应定义中的a，2对应定义中的b，列出相应的方程求解即可。
11．（2025七下·义乌月考）设m，n为实数，定义如下一种新运算：m☆n=，若关于x的方程a（x☆x）=（x☆12）+1无解，则a=　 　.
【答案】3或4
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据新运算，原方程可化为
ax=12-3x-9，
∴(a-3)x=3.
∵关于x的方程无解，
∴a-3=0或3x-9=0.
当a-3=0时a=3；
当3x-9=0时，x=3.
∴，
∴a=4
故答案为：3或4.
【分析】先根据新运算的规定，转化为方程，再根据分式方程、一次方程无解的情况得结论.
12．（2024七下·诸暨期末）定义运算“”：，当时，满足，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：分两种情况：
（1）当时，，
解得：，
检验：当时，，
所以符合题意；
（2）当时，，
解得：，
检验：当时，，
所以符合题意；
综上所述，x的值为2或8．
故答案为：2或8
【分析】分两种情况：当时，；当时，；解出即可．
13．定义一种新运算： 对于任意的非零实数 ． 若 ， 则 的值为　 　
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
去分母可得：
∴
解得：（舍去）
故答案为：
【分析】根据新运算可得，再解方程即可求出答案.
14．若关于的分式方程的解为，我们就说这个方程是“和解方程”.比如：就是一个“和解方程”.如果关于的分式方程是一个“和解方程”，则　 　.
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：解方程得：，
关于的分式方程是一个和解方程，
，
解得：，
经检验是方程的解．
故答案为：．
【分析】先根据等式的性质求出方程的解，再根据“和解方程”得出，再求出即可．
三、解答题
15．（2025·定海模拟）阅读理解：
定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”．
例如：我们称是的“差分式”，
解答下列问题：
（1）分式是分式的“ 差分式”．
（2）分式 是分式的“差分式”．
① （含的代数式表示）；
②若 的值为正整数，为正整数，求的值．
（3）已知，分式是的“差分式”（其中为正数），求的值．
【答案】（1）
（2）①；
②由①得，
∴，
又∵ 的值为正整数，为正整数，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴的值为或；
（3）∵分式是的“差分式”
∴，
，且，
∴，
∵为正数，
∴，
∴的值为．
【知识点】分式的加减法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）①∵分式 是分式的“差分式”
∴，
整理，得，
解得，；
故答案为：.
【分析】（1）根据材料提示进行计算即可求解；
（2）根据“差分式”的计算方法可得，利用分式的混合运算即可求出C；
（3）根据“差分式”的计算方法可得，利用分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：①，
∴，
解得，；
②，为正整数，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴的值为或；
（3）解：，
，且，
∴，
∵为正数，
∴，
∴的值为．
16．（2025七下·兰溪期末）在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，.我们知道，假分数可以化为带分数，例如：
，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）.
例如：①；
②.
（1）判断为　 　（填真分式或假分式）；
（2）仿照例子，将分式化为带分式.
（3）若分式的值为整数，求x的整数值.
【答案】（1）真分式
（2）解：
（3）解：，
当为整数时，也为整数，
∴x+1可取得的整数值为±1，±3，
∴x的可能整数值为0，-2，2，-4.
【知识点】分式的概念；分式的值；分式的约分
【解析】【解答】解：（1）分子的次数为1，分母的次数为2，1<2，故分式为真分式.
故填：真分式.
【分析】(1)根据题意不难得出此分式分子的次数小于分母的次数，则为真分式.
(2)根据题意，进行变形，转化为分子一项与分母相同，再拆项即可得出答案.
(3)先将其转化为带分式，再进行判断为整数时的取值即可得出答案.
17．（2025七下·永康期末）定义关于☆的一种新运算：（x，y是实数，且），例如。
（1）求的值。
（2）是否存在x的值，使得成立？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：
（2）解：由题意，得 .
去分母，得x=-x+3(x-1)，
解这个方程，得x=3.
经检验x=3是原方程的解.
∴原方程的解为x=3
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）直接代入新定义运算公式计算即可；
（2）根据题意建立分式方程并求解即可.
18．（2025七下·柯桥月考）我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，∴x1＝1，x2＝3．
再如为十字分式方程，可化为，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若为十字分式方程，则x1＝ 　 　 ，x2＝ 　 　 ．
（2）若十字分式方程的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值．
【答案】（1）-2；-3
（2）解：根据“十字分式方程”的计算步骤可知，mn=5，m+n=-2，
∴.
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：（1）∵ ，即，
∴ x1＝-2 ，x2＝-3 ．
故答案为：（1）-2、-3。
【分析】本题主要考查“十字分式方程”的定义和运用。
（1）根据条件和定义可知 ，其中 x1＝a，x2＝b ，因此可以综合考虑6和-5，即将6变形为（-2）×（-3），-5变形为（-2）+（-3），这样即可求出 x1和x2；
（2）分别列出mn=5，m+n=-2，然后将 进行通分变形，最后分子利用完全平方公式进一步变形为（m+n）2-2mn，代入计算即可。
1 / 1分式·新定义问题—浙教版数学七（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2025八上·临海期末）规定运算为：，例如：，则当且时，的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024七下·越城期末） 对于实数 定义运算 “※” 如下： ，如 . 若 ※ ，则 的值为 (　　)
A．-4 B．-11 C．11 D．无法确定
3． 为实数， 定义一种新运算： ． 若关于 的方程 无解，则 的值是（　　）
A．4 B．-3 C．4 或 -3 D．4 或 3
4．在实数范围内定义运算 ， 其法则为 ． 则当 时， 的值为(　　)
A． B．-2 C． D．2
5．对于实数a，b，定义一种新运算“”.例如，，则的解为（　　）
A． B． C． D．
6．对于非零实数，规定．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．在计算 时， 把运算符号 “ ”看成了 “+”， 得到的计算结果是 ， 则这道题的计算结果是（　　）
A． B． C． D．
8．（【全品中考复习】浙教版中考数学作业本第6课时 分式方程及其应用） 对实数a，b 定义一种新运算“☆”为：a☆b= 例如：1☆ 则方程(-2)☆x=1的解是 (　　)
A．x=1 B．x=3 C．x=-3 D．x=-1
二、填空题
9． 定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b， 若(x+1) x= 则x的值为　 　.
10．（2025七下·绍兴期末） 定义一种新运算：，若，则=　 　.
11．（2025七下·义乌月考）设m，n为实数，定义如下一种新运算：m☆n=，若关于x的方程a（x☆x）=（x☆12）+1无解，则a=　 　.
12．（2024七下·诸暨期末）定义运算“”：，当时，满足，则的值为　 　．
13．定义一种新运算： 对于任意的非零实数 ． 若 ， 则 的值为　 　
14．若关于的分式方程的解为，我们就说这个方程是“和解方程”.比如：就是一个“和解方程”.如果关于的分式方程是一个“和解方程”，则　 　.
三、解答题
15．（2025·定海模拟）阅读理解：
定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”．
例如：我们称是的“差分式”，
解答下列问题：
（1）分式是分式的“ 差分式”．
（2）分式 是分式的“差分式”．
① （含的代数式表示）；
②若 的值为正整数，为正整数，求的值．
（3）已知，分式是的“差分式”（其中为正数），求的值．
16．（2025七下·兰溪期末）在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，.我们知道，假分数可以化为带分数，例如：
，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）.
例如：①；
②.
（1）判断为　 　（填真分式或假分式）；
（2）仿照例子，将分式化为带分式.
（3）若分式的值为整数，求x的整数值.
17．（2025七下·永康期末）定义关于☆的一种新运算：（x，y是实数，且），例如。
（1）求的值。
（2）是否存在x的值，使得成立？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。
18．（2025七下·柯桥月考）我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，∴x1＝1，x2＝3．
再如为十字分式方程，可化为，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若为十字分式方程，则x1＝ 　 　 ，x2＝ 　 　 ．
（2）若十字分式方程的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；分式的加减法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：，且，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】由新定义并结合已知的等式可得，通分后并结合平方差公式可得，约分后即可求解．
2．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵ ※ ，
∴，
解得m=-11，
经检验知m=-11为方程的根.
故答案为：B.
【分析】根据新定义的运算规则得到，进而解分式方程即可求解。
3．【答案】D
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：∵， ，
∴，
若方程无解，则ax≠3x+3，即(3-a)x+3≠0，明显地，当a=3时(3-a)x+3≠0，
原方程有曾根x=3，∴(3-a)×3+3=0，解得a=4，
故a的值为4或3.
故答案为：D.
【分析】根据新运算的定义先改写原方程为熟知的分式方程，此时会发现是等号两边是同分母的分式方程， 根据方程无解的条件，则分两种情况讨论：①分子不相等（a=3）；②分子尽管相等，但求解出的x代入分母后反而会使得分式方程无意义（a=4）.
4．【答案】A
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】
∵
∴
a+1+a=0
∴
故选A.
【分析】本题通过新定义，得出分式方程，然后依解分式方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为 1，依次进行即可.
5．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：B.
【分析】利用题中的新定义，列出分式方程，再在分式方程的两边同时乘以（x+4）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据题意得，去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，解得.
经检验，是分式方程的根.
故答案为：A.
【分析】把2×(2x-1)=1转化为普通的分式方程是解题关键.
7．【答案】D
【知识点】分式的除法；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】先根据同分母分式加法法则计算并结合题意可求出，进而代入原式按分式除法法则计算可得答案.
8．【答案】C
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得
去分母得：-2+x=1+2x，
解得：x=-3，
经检验，x=-3是分式方程的解，
故选： C.
【分析】根据定义的新运算列得分式方程，解方程并检验即可.
9．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵ (x+1) x=
∴，
去分母得，，
整理可得，2x2+x=0，
∴x(2x+1)=0，
∴或，
经检验，x=0是方程的增根，是原方程的解.
故答案为： .
【分析】根据新定义得到关于x 的分式方程，解分式方程即可求解.理解新定义，并掌握分式方程的解法是解决本题的关键.
10．【答案】6
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：依题意
解得m=6
经检验m=6是该分式方程的解，
故答案为：6 .
【分析】新定义题型难度一般不大，只要严格按照题目定义的运算方式，这里的m对应定义中的a，2对应定义中的b，列出相应的方程求解即可。
11．【答案】3或4
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据新运算，原方程可化为
ax=12-3x-9，
∴(a-3)x=3.
∵关于x的方程无解，
∴a-3=0或3x-9=0.
当a-3=0时a=3；
当3x-9=0时，x=3.
∴，
∴a=4
故答案为：3或4.
【分析】先根据新运算的规定，转化为方程，再根据分式方程、一次方程无解的情况得结论.
12．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：分两种情况：
（1）当时，，
解得：，
检验：当时，，
所以符合题意；
（2）当时，，
解得：，
检验：当时，，
所以符合题意；
综上所述，x的值为2或8．
故答案为：2或8
【分析】分两种情况：当时，；当时，；解出即可．
13．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
去分母可得：
∴
解得：（舍去）
故答案为：
【分析】根据新运算可得，再解方程即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：解方程得：，
关于的分式方程是一个和解方程，
，
解得：，
经检验是方程的解．
故答案为：．
【分析】先根据等式的性质求出方程的解，再根据“和解方程”得出，再求出即可．
15．【答案】（1）
（2）①；
②由①得，
∴，
又∵ 的值为正整数，为正整数，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴的值为或；
（3）∵分式是的“差分式”
∴，
，且，
∴，
∵为正数，
∴，
∴的值为．
【知识点】分式的加减法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）①∵分式 是分式的“差分式”
∴，
整理，得，
解得，；
故答案为：.
【分析】（1）根据材料提示进行计算即可求解；
（2）根据“差分式”的计算方法可得，利用分式的混合运算即可求出C；
（3）根据“差分式”的计算方法可得，利用分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：①，
∴，
解得，；
②，为正整数，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴的值为或；
（3）解：，
，且，
∴，
∵为正数，
∴，
∴的值为．
16．【答案】（1）真分式
（2）解：
（3）解：，
当为整数时，也为整数，
∴x+1可取得的整数值为±1，±3，
∴x的可能整数值为0，-2，2，-4.
【知识点】分式的概念；分式的值；分式的约分
【解析】【解答】解：（1）分子的次数为1，分母的次数为2，1<2，故分式为真分式.
故填：真分式.
【分析】(1)根据题意不难得出此分式分子的次数小于分母的次数，则为真分式.
(2)根据题意，进行变形，转化为分子一项与分母相同，再拆项即可得出答案.
(3)先将其转化为带分式，再进行判断为整数时的取值即可得出答案.
17．【答案】（1）解：
（2）解：由题意，得 .
去分母，得x=-x+3(x-1)，
解这个方程，得x=3.
经检验x=3是原方程的解.
∴原方程的解为x=3
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）直接代入新定义运算公式计算即可；
（2）根据题意建立分式方程并求解即可.
18．【答案】（1）-2；-3
（2）解：根据“十字分式方程”的计算步骤可知，mn=5，m+n=-2，
∴.
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：（1）∵ ，即，
∴ x1＝-2 ，x2＝-3 ．
故答案为：（1）-2、-3。
【分析】本题主要考查“十字分式方程”的定义和运用。
（1）根据条件和定义可知 ，其中 x1＝a，x2＝b ，因此可以综合考虑6和-5，即将6变形为（-2）×（-3），-5变形为（-2）+（-3），这样即可求出 x1和x2；
（2）分别列出mn=5，m+n=-2，然后将 进行通分变形，最后分子利用完全平方公式进一步变形为（m+n）2-2mn，代入计算即可。
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