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分式·约分通分—浙教版数学七（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．设图1中阴影部分的面积与图2 中阴影部分的面积之比为k，则k= (　　)
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】分别表示两个阴影部分面积，然后计算比值，约分化简即可.
2．（2024七下·临平月考）已知，则分式的值是（　　）
A．-5 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】分式的通分；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵
∴y-x=2xy
∴原式=
∴A、C、D错误，B正确.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了分式的通分和整体代入思想，若将xy看做整体，用x-y（或y-x）代入求解，亦可.
3．计算 所得的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：
=
=5xy
故答案为：D.
【分析】先把提取公因式：5xy，进行因式分解，然后约分即可.
4． 如果 为整数， 那么使分式 的值为整数的 的值有(　　)
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】C
【知识点】分式的值；分式的约分
【解析】【解答】
∵ 为整数， 分式 的值为整数
∴m+1是2的因数
则m+1=-2，-1，1，2
因此m=-3，-2，0，1
故答案为C.
【分析】先把分式的分子，分母因式分解，再约分，之后再保证化简的结果为整数即可.
5．计算 ， 结果是（　　）
A．-1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的通分
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】本题考查分式的运算，掌握通分、约分的方法是解题关键。
6．化简 的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】先将分式的分子因式分解，再利用分式的约分的计算方法分析求解即可.
7．计算 ， 结果为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】分式的约分；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】同分母分式相加，分母不变，分子相加. 最后注意约分结果.
8．已知x，y，z满足则的值为(　　)
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；分式的约分；等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：B
【分析】先根据等式的性质进行变换得到进而代入根据整式的加减运算和分式的约分即可求解。
二、填空题
9．填空。
【答案】解：①.
故括号内应为；
②.
故括号内应为.
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】①根据题意，括号的式子除以得到，因此可用乘以得到答案；
②根据题意，a+b除以括号的式子得到，因此可用a+b乘以的倒数得到答案.
10． 将分式 和 进行通分时，分母 可因式分解为　 　，分母9-3a可因式分解为　 　，因此最简公分母是　 　.
【答案】(a+3)(a-3)；-3(a-3)；-3(a+3)(a-3)
【知识点】分式的通分；最简公分母
【解析】【解答】解：∵a2-9=(a-3)(a+3)，9-3a=-(3a-9)=-3(a-3)，
∴最简公分母为-3(a+3)(a-3).
故答案为：(a+3)(a-3)；-3(a-3)；-3(a+3)(a-3).
【分析】第一个分式的分母可利用平方差公式分解因式；第二个分式的分母先利用添括号法则放到一个带负号的括号内，进而再利用提取公因式法分解因式；最后找出系数的最小公倍数，相同因式的最高次幂及只在第一个分母中含有的因式连同指数的积就是最简公分母.
11．若一个长方形的面积是 平方米， 其长为 米， 则长方形的宽为 　 　 米．
【答案】（2x-5）
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：÷=÷=2x-5
故答案为：（2x-5）.
【分析】根据长方形的宽等于面积除以长列出式子，再把分解成，约分即可.
12．（2019七下·温州期末）如图，在长方形ABCD中，AB=10，BC=13．E，F，G，H分别是线段AB，BC，CD，AD上的定点．现分别以BE，BF为边作长方形BEQF，以DG为边作正方形DGIH．若长方形BEQF与正方形DGIH的重合部分恰好是一个正方形，且BE=DG，Q，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，S3．若 ，则S3=　 　 ．
【答案】
【知识点】列式表示数量关系；分式的约分
【解析】【解答】解：设DG=a， 则HD=a， GC=DC-DG=10-a，
AE=AB-BE=10-a， AH=AD-HD=13-a，
则S1=AH×AE=(13-a)(10-a)，
S2=GC×GC=(10-a)(10-a)，
，
(a≠10)，
∴，
∴70-7a=39-3a，
∴4a=31，
∴，
∴GC=10-a=10-=，
∴重合部分的正方形边长是10-2×=，
∴
故答案为：.
【分析】设DG为a， 把HD、AE、CG和AE用含a的代数式表示出来，列出S1和S2的表达式， 根据 ，求出a值，则GC可求，S3的边长可求，则面积也可求。
13．已知：2x+y=10xy，则代数式的值为　 　
【答案】
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【解答】解：∵2x+y=10xy，
∴.
故答案为：.
【分析】先用10xy替换分式中的2x+y，分式的分子、分母分别合并同类项后，再约分化简即可.
14．如果=2，那么=　 　.
【答案】
【知识点】分式的约分；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵=2，∴a=2b，
原式=.
故答案为：.
【分析】由 =2可得a=2b，然后将a=2b代入原式中进行化简求值即可解答.
三、解答题
15．在研究一个分式的值的变化时，我们会将它化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，如：
（1）下列各式中，能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的是　 　(填序号).
（2）将分式 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和.
【答案】（1）①③④
（2）解：
【知识点】分式的约分；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：（1）①，符合要求；
②，不符合要求；
③，符合要求；
④，符合要求.
故答案为：①③④.
【分析】（1）判断各分式是否能拆分为整式与分子为常数的分式的和，需通过多项式除法或拆分分子，验证是否存在整式部分和余数为常数的分式部分；
（2）通过将分子中的-3拆项成-7+4，然后可进行因式分解，结果含因式，最终化简得到一个整式与一个分子为常数的分式的和.
16．（2025·余姚模拟）观察下面的等式：
第 1 个等式：，
第 2 个等式：，
第 3 个等式：，
第 4 个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第 5 个等式：　 　；
（2）请你猜想第 n 个等式（用含 n 的式子表示），并证明.
【答案】（1）
（2）解：猜想的第n个等式为；
证明：
.
【知识点】分式的通分；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】(1)直接由条件规则可得第5个等式；
(2)由题意写出第n个代数式，根据分式的性质通分，再作减法，即可证明结论.
17．（2025七下·兰溪期末）在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，.我们知道，假分数可以化为带分数，例如：
，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）.
例如：①；
②.
（1）判断为　 　（填真分式或假分式）；
（2）仿照例子，将分式化为带分式.
（3）若分式的值为整数，求x的整数值.
【答案】（1）真分式
（2）解：
（3）解：，
当为整数时，也为整数，
∴x+1可取得的整数值为±1，±3，
∴x的可能整数值为0，-2，2，-4.
【知识点】分式的概念；分式的值；分式的约分
【解析】【解答】解：（1）分子的次数为1，分母的次数为2，1<2，故分式为真分式.
故填：真分式.
【分析】(1)根据题意不难得出此分式分子的次数小于分母的次数，则为真分式.
(2)根据题意，进行变形，转化为分子一项与分母相同，再拆项即可得出答案.
(3)先将其转化为带分式，再进行判断为整数时的取值即可得出答案.
18．（2025七下·杭州月考）已知（a，b是常数，）①
（1）若，，求；
（2）试将等式①变形成“”形式，其中A，B表示关于a，b，t的整式；
（3）若的取值与x无关，试求a与b的数量关系.
【答案】（1）解：当 ，时，
；
（2）解：将 两边都乘以 得，
，
去括号得，，
移项得，，
即.
（3）解：∵t的取值与x无关，
∴，即，
∴，即，
∴.
【知识点】分式的约分；利用等式的性质将等式变形
【解析】【分析】（1）代入 ，到原式计算即可；
（2）等号两边同时乘以，然后去括号，将含x的项都移去等号左边，其余移去右边，最后左边提取公因式即可；
（3）若的取值与x无关，意味着及，计算即得到a、b的数量关系.
1 / 1分式·约分通分—浙教版数学七（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．设图1中阴影部分的面积与图2 中阴影部分的面积之比为k，则k= (　　)
A．1 B． C． D．
2．（2024七下·临平月考）已知，则分式的值是（　　）
A．-5 B． C．1 D．
3．计算 所得的结果是（　　）
A． B． C． D．
4． 如果 为整数， 那么使分式 的值为整数的 的值有(　　)
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
5．计算 ， 结果是（　　）
A．-1 B． C． D．
6．化简 的结果是（　　）
A． B． C． D．
7．计算 ， 结果为（　　）
A．1 B．2 C． D．
8．已知x，y，z满足则的值为(　　)
A．1 B． C． D．
二、填空题
9．填空。
10． 将分式 和 进行通分时，分母 可因式分解为　 　，分母9-3a可因式分解为　 　，因此最简公分母是　 　.
11．若一个长方形的面积是 平方米， 其长为 米， 则长方形的宽为 　 　 米．
12．（2019七下·温州期末）如图，在长方形ABCD中，AB=10，BC=13．E，F，G，H分别是线段AB，BC，CD，AD上的定点．现分别以BE，BF为边作长方形BEQF，以DG为边作正方形DGIH．若长方形BEQF与正方形DGIH的重合部分恰好是一个正方形，且BE=DG，Q，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，S3．若 ，则S3=　 　 ．
13．已知：2x+y=10xy，则代数式的值为　 　
14．如果=2，那么=　 　.
三、解答题
15．在研究一个分式的值的变化时，我们会将它化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，如：
（1）下列各式中，能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的是　 　(填序号).
（2）将分式 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和.
16．（2025·余姚模拟）观察下面的等式：
第 1 个等式：，
第 2 个等式：，
第 3 个等式：，
第 4 个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第 5 个等式：　 　；
（2）请你猜想第 n 个等式（用含 n 的式子表示），并证明.
17．（2025七下·兰溪期末）在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，.我们知道，假分数可以化为带分数，例如：
，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）.
例如：①；
②.
（1）判断为　 　（填真分式或假分式）；
（2）仿照例子，将分式化为带分式.
（3）若分式的值为整数，求x的整数值.
18．（2025七下·杭州月考）已知（a，b是常数，）①
（1）若，，求；
（2）试将等式①变形成“”形式，其中A，B表示关于a，b，t的整式；
（3）若的取值与x无关，试求a与b的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】分别表示两个阴影部分面积，然后计算比值，约分化简即可.
2．【答案】B
【知识点】分式的通分；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵
∴y-x=2xy
∴原式=
∴A、C、D错误，B正确.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了分式的通分和整体代入思想，若将xy看做整体，用x-y（或y-x）代入求解，亦可.
3．【答案】D
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：
=
=5xy
故答案为：D.
【分析】先把提取公因式：5xy，进行因式分解，然后约分即可.
4．【答案】C
【知识点】分式的值；分式的约分
【解析】【解答】
∵ 为整数， 分式 的值为整数
∴m+1是2的因数
则m+1=-2，-1，1，2
因此m=-3，-2，0，1
故答案为C.
【分析】先把分式的分子，分母因式分解，再约分，之后再保证化简的结果为整数即可.
5．【答案】C
【知识点】分式的通分
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】本题考查分式的运算，掌握通分、约分的方法是解题关键。
6．【答案】D
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】先将分式的分子因式分解，再利用分式的约分的计算方法分析求解即可.
7．【答案】B
【知识点】分式的约分；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】同分母分式相加，分母不变，分子相加. 最后注意约分结果.
8．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；分式的约分；等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：B
【分析】先根据等式的性质进行变换得到进而代入根据整式的加减运算和分式的约分即可求解。
9．【答案】解：①.
故括号内应为；
②.
故括号内应为.
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】①根据题意，括号的式子除以得到，因此可用乘以得到答案；
②根据题意，a+b除以括号的式子得到，因此可用a+b乘以的倒数得到答案.
10．【答案】(a+3)(a-3)；-3(a-3)；-3(a+3)(a-3)
【知识点】分式的通分；最简公分母
【解析】【解答】解：∵a2-9=(a-3)(a+3)，9-3a=-(3a-9)=-3(a-3)，
∴最简公分母为-3(a+3)(a-3).
故答案为：(a+3)(a-3)；-3(a-3)；-3(a+3)(a-3).
【分析】第一个分式的分母可利用平方差公式分解因式；第二个分式的分母先利用添括号法则放到一个带负号的括号内，进而再利用提取公因式法分解因式；最后找出系数的最小公倍数，相同因式的最高次幂及只在第一个分母中含有的因式连同指数的积就是最简公分母.
11．【答案】（2x-5）
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：÷=÷=2x-5
故答案为：（2x-5）.
【分析】根据长方形的宽等于面积除以长列出式子，再把分解成，约分即可.
12．【答案】
【知识点】列式表示数量关系；分式的约分
【解析】【解答】解：设DG=a， 则HD=a， GC=DC-DG=10-a，
AE=AB-BE=10-a， AH=AD-HD=13-a，
则S1=AH×AE=(13-a)(10-a)，
S2=GC×GC=(10-a)(10-a)，
，
(a≠10)，
∴，
∴70-7a=39-3a，
∴4a=31，
∴，
∴GC=10-a=10-=，
∴重合部分的正方形边长是10-2×=，
∴
故答案为：.
【分析】设DG为a， 把HD、AE、CG和AE用含a的代数式表示出来，列出S1和S2的表达式， 根据 ，求出a值，则GC可求，S3的边长可求，则面积也可求。
13．【答案】
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【解答】解：∵2x+y=10xy，
∴.
故答案为：.
【分析】先用10xy替换分式中的2x+y，分式的分子、分母分别合并同类项后，再约分化简即可.
14．【答案】
【知识点】分式的约分；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵=2，∴a=2b，
原式=.
故答案为：.
【分析】由 =2可得a=2b，然后将a=2b代入原式中进行化简求值即可解答.
15．【答案】（1）①③④
（2）解：
【知识点】分式的约分；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：（1）①，符合要求；
②，不符合要求；
③，符合要求；
④，符合要求.
故答案为：①③④.
【分析】（1）判断各分式是否能拆分为整式与分子为常数的分式的和，需通过多项式除法或拆分分子，验证是否存在整式部分和余数为常数的分式部分；
（2）通过将分子中的-3拆项成-7+4，然后可进行因式分解，结果含因式，最终化简得到一个整式与一个分子为常数的分式的和.
16．【答案】（1）
（2）解：猜想的第n个等式为；
证明：
.
【知识点】分式的通分；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】(1)直接由条件规则可得第5个等式；
(2)由题意写出第n个代数式，根据分式的性质通分，再作减法，即可证明结论.
17．【答案】（1）真分式
（2）解：
（3）解：，
当为整数时，也为整数，
∴x+1可取得的整数值为±1，±3，
∴x的可能整数值为0，-2，2，-4.
【知识点】分式的概念；分式的值；分式的约分
【解析】【解答】解：（1）分子的次数为1，分母的次数为2，1<2，故分式为真分式.
故填：真分式.
【分析】(1)根据题意不难得出此分式分子的次数小于分母的次数，则为真分式.
(2)根据题意，进行变形，转化为分子一项与分母相同，再拆项即可得出答案.
(3)先将其转化为带分式，再进行判断为整数时的取值即可得出答案.
18．【答案】（1）解：当 ，时，
；
（2）解：将 两边都乘以 得，
，
去括号得，，
移项得，，
即.
（3）解：∵t的取值与x无关，
∴，即，
∴，即，
∴.
【知识点】分式的约分；利用等式的性质将等式变形
【解析】【分析】（1）代入 ，到原式计算即可；
（2）等号两边同时乘以，然后去括号，将含x的项都移去等号左边，其余移去右边，最后左边提取公因式即可；
（3）若的取值与x无关，意味着及，计算即得到a、b的数量关系.
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