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分式·最简分式—浙教版数学七（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．下列分式中，最简分式是(　　)
A． B． C． D．
2．下列分式中，属于最简分式的是 （　　）
A． B． C． D．
3．下列分式中，属于最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知 表示一个整式，若 是最简分式，则 可以是（　　）
A．7 B． C． D．
5．（2023七下·余姚期末）下列说法正确的是（　　）
A．形如的式子叫分式
B．分式不是最简分式
C．分式与的最简公分母是
D．当时，分式有意义
6．（2020八上·庆云期末）化简的结果是（　　）
A． B．a C． D．
7．下面各分式：，，，，其中最简分式有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如果，，那么等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．分式中，最简分式的个数是　 　.
10．（2022七下·浙江）从下列几个均不为零的式子 中任选两个都可以组成分式，请选择一个不是最简分式的分式进行化简：　 　
11．（2017八上·临海期末）对于分式 ，我们把分式 叫做 的伴随分式. 若分式 ，分式 是 的伴随分式，分式 是 的伴随分式，分式 是 的伴随分式，以此类推…，则分式 　 　.
12．列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有　 　个．
13．计算：=　 　
14．已知三张卡片上面分别写有 ， ， 从中任选两张卡片， 组成一个最简分式为　 　 ． (写出一个分式即可)
三、解答题
15．请判断下列分式中， 哪些是最简分式．
16．问题：当a为何值时，分式无意义？
小明是这样解答的：解：因为，由a﹣3=0，得a=3，所以当a=3时，分式无意义．
你认为小明的解答正确吗？如不正确，请说明错误的原因．
17．计算：
（1）（xy﹣x2）÷
（2）．
18．若a＞0，M=，N=，
（1）当a=3时，计算M与N的值；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、，故此选项中的分式不是最简分式，此选项不符合题意；
B、的分子与分母没有公因式，故此选项中的分式是最简分式，此选项符合题意；
C、，故此选项中的分式不是最简分式，此选项不符合题意；
D、，故此选项中的分式不是最简分式，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分子、分母除“1”之外，没有其它公因式的分式，就是最简分式，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、，故此选项中的分式不是最简分式，不符合题意；
B、故此选项中的分式不是最简分式，不符合题意；
C、分式的分子与分母中除1以外，没有其它的公因式，故此选项中的分式是最简分式，符合题意；
D、，故此选项中的分式不是最简分式，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】分式的分子与分母中除1以外，没有其它的公因式的分式就是最简分式，据此逐个判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、，该分式的分子分母没有公因式，故属于最简分式，此选项符合题意；
B、，故该选项的分式不是最简分式，此选项不符合题意；
C、，故该选项的分式不是最简分式，此选项不符合题意；
D、，故该选项的分式不是最简分式，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，观察分子与分母没有公因式的分式就是最简分式，据此逐个判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】当M=7时，=不是分式，不符合题意要求，∴选项A错误；
当M=8x时，=，分式的分子、分母含有公因式2x，还可以约分，不是最简分式，
∴选项B错误；
当M=x2-x时，=分式的分子、分母含有公因式x，还可以约分，不是最简分式，
∴选项C错误；
当M=y2时，=分式的分子、分母没有公因式，是最简分式，∴选项D正确.
故正确答案选：D.
【分析】根据最简分式的定义：一个分式的分子、分母没有公因式时叫最简分式，判断。可以把分式的分子、分母分别因式分解，看看有没有公因式，如果没有，就是最简分式.然后把各选项分别代入、判断即可.
5．【答案】D
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；最简分式的概念；最简公分母
【解析】【解答】解：A、形如，A、B都是整式，且B中含有字母的式子叫分式 ，故选项A错误；
B、分式是最简分式，故选项B错误；
C、分式与的最简公分母是，故选项C错误；
D、当时，分式有意义 ，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】分式中字母的取值不能使分母为零，据此判断D选项；分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此判断B选项；
各分母的系数的最小公倍数与各分母所有字母的最高次幂的积为最简公分母，据此判断C选项；形如，A、B都是整式，且B中含有字母的式子叫分式 ，据此判断A选项.
6．【答案】B
【知识点】分式的约分；最简分式的概念；分式的乘除法
【解析】【解答】解：原式==a．
故答案选B．
【分析】将原式变形后，约分即可得到结果．
7．【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：==，不是最简分式；
==，不是最简分式；
==﹣1，不是最简分式；
是最简分式，
最简分式有1个；
故选D．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
8．【答案】B
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：由已知得=1﹣a，b=1﹣，
两式相乘，得（1﹣a）（1﹣）=1，
展开，得1﹣﹣a+=1
去分母，得ac+2=2a
两边同除以a，得c+=2．
故选B．
【分析】所求分式涉及字母a、c，故要消除b，根据两个已知等式中b的倒数关系消除b，再把所得等式变形即可．
9．【答案】1
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：，不是最简分式；
不能约分，是最简分式；
，不是最简分式；
，不是最简分式；
是最简分式的个数是1.
故答案为：1.
【分析】根据最简分式中分母、分子不含公因式，不能再约分，据此把分子、分母分解因式看是否能继续约分即可.
10．【答案】 (答案不唯一)
【知识点】分式的约分；最简分式的概念
【解析】【解答】解：∵x2-4=（x+2）（x-2） ，x2-2x=x（x-2），x2-4x+4=（x-2）2，x2+2x=x（x+2），x2+4x+4=（x+2）2，
∴.
故答案为： (答案不唯一).
【分析】分别将各个式子分解因式，然后任选两个都可以组成分式，再选择一个不是最简分式的分式进行化简
11．【答案】
【知识点】最简分式的概念；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵分式 P1 = ，分式 P2 是 P1 的伴随分式，
∴ P2==，
∵分式 P3 是 P2 的伴随分式，
∴ P3==，
∵分式 P4 是 P3 的伴随分式，
∴P4==，
∵分式 P5 是 P4 的伴随分式，
∴P5==，
......
由此可知，从P1到P4开始，每4个一循环，
20174=5041，
∴P2017=.
故答案为：.
【分析】利用伴随分式的定义，P=，P'=，把P1 、P2 、P3 、P4 、P5都表示出来，可以得出循环的规律，求解即可.
12．【答案】2
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：①是最简分式；
②==，不是最简分式；
③=，不是最简分式；
④是最简分式；
最简分式有①④，共2个；
故答案为：2．
【分析】根据确定最简分式的标准即分子，分母中不含有公因式，不能再约分，即可得出答案．
13．【答案】
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：原式=
=
=．
故答案为：．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
14．【答案】 或答案不唯一
【知识点】分式的约分；最简分式的概念
【解析】【解答】解：∵或是最简分式，
故答案为：或.
【分析】根据分式的定义，分式的分母必须为x-1或x2-1，当分子为x-1时，不是最简分式；当分子为x2-1时，不是分式.
15．【答案】解： ， 所以 为最简分式．
【知识点】最简分式的概念
【解析】【分析】 利用最简分式的意义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式，由此逐一分析探讨得出答案即可.
16．【答案】解：不正确，理由如下：
∵a2﹣9=0，即a=±3时，分式无意义，
∴小明的解答错误．
【知识点】分式的约分；最简分式的概念；分式的乘除法
【解析】【分析】根据分式无意义的条件为：分母不等于0即可判断．
17．【答案】解：（1）原式=﹣x（x﹣y） =﹣x2y；
（2）原式= =．
【知识点】分式的约分；最简分式的概念；分式的乘除法
【解析】【分析】（1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
18．【答案】解：（1）当a=3时，M==，N==；（2）方法一：猜想：M＜N理由：M﹣N=﹣==，∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，∴<0，∴M﹣N＜0，∴M＜N；方法二：猜想：M＜N理由：=，∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a2+4a+3＞0，∴<1，∴，∴M＜N．
【知识点】分式的约分；最简分式的概念；分式的乘除法
【解析】【分析】（1）直接将a=3代入原式求出M，N的值即可；
（2）直接利用分式的加减以及乘除运算法则，进而合并求出即可．
1 / 1分式·最简分式—浙教版数学七（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．下列分式中，最简分式是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、，故此选项中的分式不是最简分式，此选项不符合题意；
B、的分子与分母没有公因式，故此选项中的分式是最简分式，此选项符合题意；
C、，故此选项中的分式不是最简分式，此选项不符合题意；
D、，故此选项中的分式不是最简分式，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分子、分母除“1”之外，没有其它公因式的分式，就是最简分式，据此逐一判断得出答案.
2．下列分式中，属于最简分式的是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、，故此选项中的分式不是最简分式，不符合题意；
B、故此选项中的分式不是最简分式，不符合题意；
C、分式的分子与分母中除1以外，没有其它的公因式，故此选项中的分式是最简分式，符合题意；
D、，故此选项中的分式不是最简分式，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】分式的分子与分母中除1以外，没有其它的公因式的分式就是最简分式，据此逐个判断得出答案.
3．下列分式中，属于最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、，该分式的分子分母没有公因式，故属于最简分式，此选项符合题意；
B、，故该选项的分式不是最简分式，此选项不符合题意；
C、，故该选项的分式不是最简分式，此选项不符合题意；
D、，故该选项的分式不是最简分式，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，观察分子与分母没有公因式的分式就是最简分式，据此逐个判断得出答案.
4．已知 表示一个整式，若 是最简分式，则 可以是（　　）
A．7 B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】当M=7时，=不是分式，不符合题意要求，∴选项A错误；
当M=8x时，=，分式的分子、分母含有公因式2x，还可以约分，不是最简分式，
∴选项B错误；
当M=x2-x时，=分式的分子、分母含有公因式x，还可以约分，不是最简分式，
∴选项C错误；
当M=y2时，=分式的分子、分母没有公因式，是最简分式，∴选项D正确.
故正确答案选：D.
【分析】根据最简分式的定义：一个分式的分子、分母没有公因式时叫最简分式，判断。可以把分式的分子、分母分别因式分解，看看有没有公因式，如果没有，就是最简分式.然后把各选项分别代入、判断即可.
5．（2023七下·余姚期末）下列说法正确的是（　　）
A．形如的式子叫分式
B．分式不是最简分式
C．分式与的最简公分母是
D．当时，分式有意义
【答案】D
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；最简分式的概念；最简公分母
【解析】【解答】解：A、形如，A、B都是整式，且B中含有字母的式子叫分式 ，故选项A错误；
B、分式是最简分式，故选项B错误；
C、分式与的最简公分母是，故选项C错误；
D、当时，分式有意义 ，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】分式中字母的取值不能使分母为零，据此判断D选项；分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此判断B选项；
各分母的系数的最小公倍数与各分母所有字母的最高次幂的积为最简公分母，据此判断C选项；形如，A、B都是整式，且B中含有字母的式子叫分式 ，据此判断A选项.
6．（2020八上·庆云期末）化简的结果是（　　）
A． B．a C． D．
【答案】B
【知识点】分式的约分；最简分式的概念；分式的乘除法
【解析】【解答】解：原式==a．
故答案选B．
【分析】将原式变形后，约分即可得到结果．
7．下面各分式：，，，，其中最简分式有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：==，不是最简分式；
==，不是最简分式；
==﹣1，不是最简分式；
是最简分式，
最简分式有1个；
故选D．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
8．如果，，那么等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：由已知得=1﹣a，b=1﹣，
两式相乘，得（1﹣a）（1﹣）=1，
展开，得1﹣﹣a+=1
去分母，得ac+2=2a
两边同除以a，得c+=2．
故选B．
【分析】所求分式涉及字母a、c，故要消除b，根据两个已知等式中b的倒数关系消除b，再把所得等式变形即可．
二、填空题
9．分式中，最简分式的个数是　 　.
【答案】1
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：，不是最简分式；
不能约分，是最简分式；
，不是最简分式；
，不是最简分式；
是最简分式的个数是1.
故答案为：1.
【分析】根据最简分式中分母、分子不含公因式，不能再约分，据此把分子、分母分解因式看是否能继续约分即可.
10．（2022七下·浙江）从下列几个均不为零的式子 中任选两个都可以组成分式，请选择一个不是最简分式的分式进行化简：　 　
【答案】 (答案不唯一)
【知识点】分式的约分；最简分式的概念
【解析】【解答】解：∵x2-4=（x+2）（x-2） ，x2-2x=x（x-2），x2-4x+4=（x-2）2，x2+2x=x（x+2），x2+4x+4=（x+2）2，
∴.
故答案为： (答案不唯一).
【分析】分别将各个式子分解因式，然后任选两个都可以组成分式，再选择一个不是最简分式的分式进行化简
11．（2017八上·临海期末）对于分式 ，我们把分式 叫做 的伴随分式. 若分式 ，分式 是 的伴随分式，分式 是 的伴随分式，分式 是 的伴随分式，以此类推…，则分式 　 　.
【答案】
【知识点】最简分式的概念；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵分式 P1 = ，分式 P2 是 P1 的伴随分式，
∴ P2==，
∵分式 P3 是 P2 的伴随分式，
∴ P3==，
∵分式 P4 是 P3 的伴随分式，
∴P4==，
∵分式 P5 是 P4 的伴随分式，
∴P5==，
......
由此可知，从P1到P4开始，每4个一循环，
20174=5041，
∴P2017=.
故答案为：.
【分析】利用伴随分式的定义，P=，P'=，把P1 、P2 、P3 、P4 、P5都表示出来，可以得出循环的规律，求解即可.
12．列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有　 　个．
【答案】2
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：①是最简分式；
②==，不是最简分式；
③=，不是最简分式；
④是最简分式；
最简分式有①④，共2个；
故答案为：2．
【分析】根据确定最简分式的标准即分子，分母中不含有公因式，不能再约分，即可得出答案．
13．计算：=　 　
【答案】
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：原式=
=
=．
故答案为：．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
14．已知三张卡片上面分别写有 ， ， 从中任选两张卡片， 组成一个最简分式为　 　 ． (写出一个分式即可)
【答案】 或答案不唯一
【知识点】分式的约分；最简分式的概念
【解析】【解答】解：∵或是最简分式，
故答案为：或.
【分析】根据分式的定义，分式的分母必须为x-1或x2-1，当分子为x-1时，不是最简分式；当分子为x2-1时，不是分式.
三、解答题
15．请判断下列分式中， 哪些是最简分式．
【答案】解： ， 所以 为最简分式．
【知识点】最简分式的概念
【解析】【分析】 利用最简分式的意义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式，由此逐一分析探讨得出答案即可.
16．问题：当a为何值时，分式无意义？
小明是这样解答的：解：因为，由a﹣3=0，得a=3，所以当a=3时，分式无意义．
你认为小明的解答正确吗？如不正确，请说明错误的原因．
【答案】解：不正确，理由如下：
∵a2﹣9=0，即a=±3时，分式无意义，
∴小明的解答错误．
【知识点】分式的约分；最简分式的概念；分式的乘除法
【解析】【分析】根据分式无意义的条件为：分母不等于0即可判断．
17．计算：
（1）（xy﹣x2）÷
（2）．
【答案】解：（1）原式=﹣x（x﹣y） =﹣x2y；
（2）原式= =．
【知识点】分式的约分；最简分式的概念；分式的乘除法
【解析】【分析】（1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
18．若a＞0，M=，N=，
（1）当a=3时，计算M与N的值；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
【答案】解：（1）当a=3时，M==，N==；（2）方法一：猜想：M＜N理由：M﹣N=﹣==，∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，∴<0，∴M﹣N＜0，∴M＜N；方法二：猜想：M＜N理由：=，∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a2+4a+3＞0，∴<1，∴，∴M＜N．
【知识点】分式的约分；最简分式的概念；分式的乘除法
【解析】【分析】（1）直接将a=3代入原式求出M，N的值即可；
（2）直接利用分式的加减以及乘除运算法则，进而合并求出即可．
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