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换元法解分式方程—浙教版数学七（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．用换元法解方程时，若设，则原方程可化为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：把代入原方程得：，
转化为整式方程为，即．
故答案为：A.
【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设，则原方程化为，再转化为整式方程即可求解．
2．若实数x，y满足x2-2xy+y2+x-y-6=0，则x-y的值是(　　)
A．-1 B．6 C．-2或3 D．2或-3
【答案】D
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【分析】将x2-2xy+y2化为（x-y)2，然后将x-y看作一个整体，然后再用换元法求解．
【解答】设x-y=m，则原方程可化为：
m2+m-6=0，
解得x1=2，x2=-3；
故选D．
【点评】换元法就是解题过程中把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．
3．（2025八下·义乌月考）已知实数满足，则的值为（　　）
A．-2 B．4 C．－2或4 D．2
【答案】B
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解： 原方程为；
等式变形；
即；
设，则原方程为；
即；
解得t=4或t=-2；
①当时，
则
∴a无解
即舍去；
②当时
则；
∴a有解
即有意义；
故答案为：B.
【分析】 首先，观察给定方程的形式，将方程重新组织，变换为关于的方程，从而简化求解过程。 通过对方程的化简和解方程，找出的可能值。
4．在分式方程 中， 设 ， 可得到关于 的整式方程(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】
设，则
∴，
故答案为D.
【分析】本题考查的是整体代入法，得出分式方程，再去分母化为整式方程即可.
5．（2016八上·吴江期中）（x2+y2）2﹣4（x2+y2）﹣5=0，则x2+y2的值为（　　）
A．5 B．﹣1 C．5或﹣1 D．无法确定
【答案】A
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：设=tx2+y2，则原方程可化为：（t﹣5）（t+1）=0，
所以t=5或t=﹣1（舍去），即x2+y2=5．
故选：A．
【分析】先设x2+y2=t，则方程即可变形为t2﹣4t﹣5=0，解方程即可求得t即x2+y2的值．
6．（2016九上·昌江期中）已知实数a、b满足（a2+b2）2﹣2（a2+b2）=8，则a2+b2的值为（　　）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2
【答案】B
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：设a2+b2=x，
原方程变为：x2﹣2x=8，
x2﹣2x﹣8=0，
（x﹣4）（x+2）=0，
解得：x1=4，x2=﹣2，
因为平方和是非负数，
所以a2+b2的值为4；
故选B．
【分析】设a2+b2=x，则原方程变为x2﹣2x=8，解这个方程即可求得的a2+b2值．
7．用换元法解分式方程-+1=0时，如果设=y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（　　）
A．y2+y-3=0 B．y2-3y+1=0 C．3y2-y+1=0 D．3y2-y-1=0
【答案】A
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】把=y代入方程 +1=0，得：y-+1=0．
方程两边同乘以y得：y2+y-3=0．
故选：A．
【分析】换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是 x - 1 x ，设 x - 1 x =y，换元后整理即可求得．用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
8．已知实数a，b，若a＞b，，则ab的最大值是（　　）
A．1 B． C．2 D．2
【答案】A
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：设a﹣b=x，ab=t，===2
∴，
△=b2﹣4ac=8﹣8t≥0，
∴t≤1
仅当，时，a﹣b=2，ab=1成立，
故选A．
【分析】设a﹣b=x，ab=t，再将转化成a﹣b，ab的形式，从而求出a﹣b，ab的值，再确定出ab的最大值．
二、填空题
9．方程组 的解为　 　.
【答案】
【知识点】换元法解分式方程；整体思想
【解析】【解答】解：设，，原方程组化为，解得
∴，，即，解得，
经检验，是原方程的解，
故答案为：.
【分析】通过换元法将方程变为关于a，b的二元一次方程组，求解后得到x，y的二元一次方程组，再求解即可.
10．在解分式方程 时，小华将 设为m，并代入原分式方程，化简之后得到一个新的一元二次方程进行求解，则小华得到的新的一元二次方程为　 　.
【答案】
【知识点】换元法解分式方程；一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解： 解分式方程 时，小华将 设为m，
则，所以，即为小华得到的新的一元二次方程.
故答案为：.
【分析】根据小华的做法，代入m转化为m的方程，再去分母化为整式方程即可.
11． 若方程 的解为 ， 则方程 的解为 　 　
【答案】
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解： ，
整理得：，
当a=-2b时，原方程为 ，
∴，
解得：；
故答案为：.
【分析】先将第二个方程整理，与第一个方程对比即可列出方程，解方程即可求解.
12．用换元法解方程 时， 若设 ， 则原方程可化为关于 的方程是　 　
【答案】
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：，
设 ，则.
所以原方程可化为关于 的方程是.
故答案为：.
【分析】设 ，则，代入后可将原方程转化为关于 的方程.
13．（2022七下·温州期末）若方程的解为，则方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；换元法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，，
令x=2y，则两个分式方程为同解分式方程，
又∵x=是方程的解，
∴2y=，
∴y=，
经检验，y=是分式方程的解.
故答案为：.
【分析】观察两个分式方程，令x=2y，则两个分式方程为同解方程，又x=是方程的解，即得2y=，即可求得y的值.
14．（2024七下·平湖期末）方程组的解为　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组；换元法解分式方程
【解析】【解答】解：令，
则原方程组为
解得，，即，
解得，，
经检验，是原方程组的解，
故答案为：．
【分析】先令，利用换元法将分式方程转化为整式方程，先解关于m，n的二元一次方程组，再解关于x，y的二元一次方程组即可．
三、解答题
15．（2025九上·金东期中）已知
（1）求 的值；
（2）若2a-b=10， 求a+2b的值.
【答案】（1）解：∵
∴a＝b，
∴
（2）解：设 ，
∴a＝2k，b＝3k，
∵2a﹣b＝10，
∴4k﹣3k＝10，
解得：k＝10，
∴a＝20，b＝30，
∴a+2b＝20+2×30＝20+60＝80
【知识点】换元法解分式方程；比例的性质
【解析】【分析】（1）根据比例的性质得a＝b，代入所求的式子计算即可；
设 ，得a＝2k，b＝3k，根据2a﹣b＝10，得出k＝10，进而求得a，b的值，代入代数式，即可求解．
16． 阅读下面材料， 解答后面的问题．
解方程： ．
解 ： 设 ， 则原方程化为 ，
方程两边同时乘 ， 得 ， 解得 ．
经检验： 都是方程 的解．
当 时， ， 解得 ； 当 时， ， 解得 ．
经检验， 或 都是原分式方程的解，
原分式方程的解为 或 ．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题： 模仿上述解题过程， 用换元法解方程：
【答案】解：原方程化为 ，
设 ， 则原方程化为 ，
方程两边同时乘以 ， 得 ，
解得 ，
经检俭， 都是方程 的解．
当 时， ， 该方程无解；
当 时， ， 解得 ．
经检验， 是原分式方程的解，
原分式方程的解为 ．
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【分析】根据所给例题，设，可得整式方程，解方程求得y的值，再求x的值，把不合题意的解舍去，最后解分式方程即可．
17．小明邀请你参与数学接龙游戏：
[问题]解分式方程：.
[小明解答的部分]解：设，则有，故原方程可化为，去分母并移项，得.
[接龙]
【答案】解：方程整理得：，
开方得：，
解得：，
，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入最简公分母得：，
分式方程的解为．
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【分析】利用直接开平方法求出关于t的方程的解，即为的值，进而解分式方程求出x的值，检验即可．
18．（2022·杭州模拟）小明邀请你请参与数学接龙游戏：
【问题】解分式方程： ，
【小明解答的部分 】解：设 ，则有 ，故原方程可化为 ，去分母并移项，得 .
【接龙 】
【答案】解： 方程整理得： ，
开方得： ，
解得： ，
，
去分母得： ，
解得： ，
检验：把 代入最简公分母得： ，
分式方程的解为 .
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【分析】根据换元法设 ，可得方程 ，去分母并移项得 ，变形为 ，利用直接开平方法解方程求出t值，即得，再解方程并检验即可.
1 / 1换元法解分式方程—浙教版数学七（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．用换元法解方程时，若设，则原方程可化为（　　）
A． B． C． D．
2．若实数x，y满足x2-2xy+y2+x-y-6=0，则x-y的值是(　　)
A．-1 B．6 C．-2或3 D．2或-3
3．（2025八下·义乌月考）已知实数满足，则的值为（　　）
A．-2 B．4 C．－2或4 D．2
4．在分式方程 中， 设 ， 可得到关于 的整式方程(　　)
A． B． C． D．
5．（2016八上·吴江期中）（x2+y2）2﹣4（x2+y2）﹣5=0，则x2+y2的值为（　　）
A．5 B．﹣1 C．5或﹣1 D．无法确定
6．（2016九上·昌江期中）已知实数a、b满足（a2+b2）2﹣2（a2+b2）=8，则a2+b2的值为（　　）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2
7．用换元法解分式方程-+1=0时，如果设=y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（　　）
A．y2+y-3=0 B．y2-3y+1=0 C．3y2-y+1=0 D．3y2-y-1=0
8．已知实数a，b，若a＞b，，则ab的最大值是（　　）
A．1 B． C．2 D．2
二、填空题
9．方程组 的解为　 　.
10．在解分式方程 时，小华将 设为m，并代入原分式方程，化简之后得到一个新的一元二次方程进行求解，则小华得到的新的一元二次方程为　 　.
11． 若方程 的解为 ， 则方程 的解为 　 　
12．用换元法解方程 时， 若设 ， 则原方程可化为关于 的方程是　 　
13．（2022七下·温州期末）若方程的解为，则方程的解为　 　．
14．（2024七下·平湖期末）方程组的解为　 　．
三、解答题
15．（2025九上·金东期中）已知
（1）求 的值；
（2）若2a-b=10， 求a+2b的值.
16． 阅读下面材料， 解答后面的问题．
解方程： ．
解 ： 设 ， 则原方程化为 ，
方程两边同时乘 ， 得 ， 解得 ．
经检验： 都是方程 的解．
当 时， ， 解得 ； 当 时， ， 解得 ．
经检验， 或 都是原分式方程的解，
原分式方程的解为 或 ．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题： 模仿上述解题过程， 用换元法解方程：
17．小明邀请你参与数学接龙游戏：
[问题]解分式方程：.
[小明解答的部分]解：设，则有，故原方程可化为，去分母并移项，得.
[接龙]
18．（2022·杭州模拟）小明邀请你请参与数学接龙游戏：
【问题】解分式方程： ，
【小明解答的部分 】解：设 ，则有 ，故原方程可化为 ，去分母并移项，得 .
【接龙 】
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：把代入原方程得：，
转化为整式方程为，即．
故答案为：A.
【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设，则原方程化为，再转化为整式方程即可求解．
2．【答案】D
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【分析】将x2-2xy+y2化为（x-y)2，然后将x-y看作一个整体，然后再用换元法求解．
【解答】设x-y=m，则原方程可化为：
m2+m-6=0，
解得x1=2，x2=-3；
故选D．
【点评】换元法就是解题过程中把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．
3．【答案】B
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解： 原方程为；
等式变形；
即；
设，则原方程为；
即；
解得t=4或t=-2；
①当时，
则
∴a无解
即舍去；
②当时
则；
∴a有解
即有意义；
故答案为：B.
【分析】 首先，观察给定方程的形式，将方程重新组织，变换为关于的方程，从而简化求解过程。 通过对方程的化简和解方程，找出的可能值。
4．【答案】D
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】
设，则
∴，
故答案为D.
【分析】本题考查的是整体代入法，得出分式方程，再去分母化为整式方程即可.
5．【答案】A
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：设=tx2+y2，则原方程可化为：（t﹣5）（t+1）=0，
所以t=5或t=﹣1（舍去），即x2+y2=5．
故选：A．
【分析】先设x2+y2=t，则方程即可变形为t2﹣4t﹣5=0，解方程即可求得t即x2+y2的值．
6．【答案】B
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：设a2+b2=x，
原方程变为：x2﹣2x=8，
x2﹣2x﹣8=0，
（x﹣4）（x+2）=0，
解得：x1=4，x2=﹣2，
因为平方和是非负数，
所以a2+b2的值为4；
故选B．
【分析】设a2+b2=x，则原方程变为x2﹣2x=8，解这个方程即可求得的a2+b2值．
7．【答案】A
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】把=y代入方程 +1=0，得：y-+1=0．
方程两边同乘以y得：y2+y-3=0．
故选：A．
【分析】换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是 x - 1 x ，设 x - 1 x =y，换元后整理即可求得．用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
8．【答案】A
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：设a﹣b=x，ab=t，===2
∴，
△=b2﹣4ac=8﹣8t≥0，
∴t≤1
仅当，时，a﹣b=2，ab=1成立，
故选A．
【分析】设a﹣b=x，ab=t，再将转化成a﹣b，ab的形式，从而求出a﹣b，ab的值，再确定出ab的最大值．
9．【答案】
【知识点】换元法解分式方程；整体思想
【解析】【解答】解：设，，原方程组化为，解得
∴，，即，解得，
经检验，是原方程的解，
故答案为：.
【分析】通过换元法将方程变为关于a，b的二元一次方程组，求解后得到x，y的二元一次方程组，再求解即可.
10．【答案】
【知识点】换元法解分式方程；一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解： 解分式方程 时，小华将 设为m，
则，所以，即为小华得到的新的一元二次方程.
故答案为：.
【分析】根据小华的做法，代入m转化为m的方程，再去分母化为整式方程即可.
11．【答案】
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解： ，
整理得：，
当a=-2b时，原方程为 ，
∴，
解得：；
故答案为：.
【分析】先将第二个方程整理，与第一个方程对比即可列出方程，解方程即可求解.
12．【答案】
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：，
设 ，则.
所以原方程可化为关于 的方程是.
故答案为：.
【分析】设 ，则，代入后可将原方程转化为关于 的方程.
13．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；换元法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，，
令x=2y，则两个分式方程为同解分式方程，
又∵x=是方程的解，
∴2y=，
∴y=，
经检验，y=是分式方程的解.
故答案为：.
【分析】观察两个分式方程，令x=2y，则两个分式方程为同解方程，又x=是方程的解，即得2y=，即可求得y的值.
14．【答案】
【知识点】解二元一次方程组；换元法解分式方程
【解析】【解答】解：令，
则原方程组为
解得，，即，
解得，，
经检验，是原方程组的解，
故答案为：．
【分析】先令，利用换元法将分式方程转化为整式方程，先解关于m，n的二元一次方程组，再解关于x，y的二元一次方程组即可．
15．【答案】（1）解：∵
∴a＝b，
∴
（2）解：设 ，
∴a＝2k，b＝3k，
∵2a﹣b＝10，
∴4k﹣3k＝10，
解得：k＝10，
∴a＝20，b＝30，
∴a+2b＝20+2×30＝20+60＝80
【知识点】换元法解分式方程；比例的性质
【解析】【分析】（1）根据比例的性质得a＝b，代入所求的式子计算即可；
设 ，得a＝2k，b＝3k，根据2a﹣b＝10，得出k＝10，进而求得a，b的值，代入代数式，即可求解．
16．【答案】解：原方程化为 ，
设 ， 则原方程化为 ，
方程两边同时乘以 ， 得 ，
解得 ，
经检俭， 都是方程 的解．
当 时， ， 该方程无解；
当 时， ， 解得 ．
经检验， 是原分式方程的解，
原分式方程的解为 ．
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【分析】根据所给例题，设，可得整式方程，解方程求得y的值，再求x的值，把不合题意的解舍去，最后解分式方程即可．
17．【答案】解：方程整理得：，
开方得：，
解得：，
，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入最简公分母得：，
分式方程的解为．
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【分析】利用直接开平方法求出关于t的方程的解，即为的值，进而解分式方程求出x的值，检验即可．
18．【答案】解： 方程整理得： ，
开方得： ，
解得： ，
，
去分母得： ，
解得： ，
检验：把 代入最简公分母得： ，
分式方程的解为 .
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【分析】根据换元法设 ，可得方程 ，去分母并移项得 ，变形为 ，利用直接开平方法解方程求出t值，即得，再解方程并检验即可.
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