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分式方程的实际应用—浙教版数学七（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．随着 5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大。为了满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500 万件产品所需的时间与更新技术前生产400 万件产品所需的时间相同，求更新技术前每天的产量。设更新技术前每天生产x万件产品，则根据题意可列方程(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设更新技术前每天生产x万件，则现在每天生产(30+x)万件，
∵现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，
∴ ；
故答案为： B.
【分析】根据题意更新技术前每天生产x万件，现在每天生产(30+x)万件，再根据生产总量÷生产速度=生产时间列出方程即可.
2．（2025七下·绍兴期末） 《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420km的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km，则提前1日到达储粮站. 设运输这批公粮原计划每日行x km，则根据题意可列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：依题意列方程为
故答案为：A .
【分析】本题抓住提速前后的时间相差一天这个等量关系，分别表示出提速前的天数、提速后的天数，利用“提速后所用天数+1=原计划天数”即可列出符合题意的分式方程。
3．（2025·温州三模）小鹿两次购买相同药物的费用均为200元，第二次购买时每盒降价8元，他多买了2盒.设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设第一次购买时该药品的单价为x元/盒，则第二次购买时该药品的单价为 元/盒，
由题意得：
故答案为：C.
【分析】设第一次购买时该药品的单价为x元/盒，则第二次购买时该药品的单价为 元/盒，根据小鹿两次购买相同药物的费用均为200元，第二次多买了2盒，列出分式方程即可.
4．（2025·玉环二模）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文， ▇ .”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文， ▇ ”设绫布有尺，则可得方程为，根据此情境，题中“ ▇ ”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（　　）
A．每尺绫布比每尺罗布贵120文
B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文
D．绫布的总价比罗布总价便宜120文
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设绫布有x尺，则罗布有3×10-x=(30-x)尺，
设绫布有x尺，则可得方程为，
∴缺失的条件为每尺绫布和每尺罗布一共需要120文，
故答案为：C.
【分析】绫布有必尺，则罗布有(30-x)尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；根据方程得到绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文即可.
5．（2024七下·滨江期末）某市为美化城市环境，计划在道路两旁种植花卉20万株，由于工作人员的齐心协力，实际每天种植花卉比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植x万株，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设原计划每天植树万棵，则实际每天植树万棵，
根据题意得：．
故选：A．
【分析】 设原计划每天种植x万株，根据“ 实际每天种植花卉比原计划多， 提前2天完成任务”列分式方程即可．
6．（2023七下·江北期末）体育测试中，小超和小铭进行1000米测试，小超的速度是小铭的1.25倍，小超比小铭快了30秒，设小铭的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设小铭的速度是x米/秒，则小超的速度为，由题意得：
．
变形得：
故答案为：C．
【分析】设小铭的速度是x米/秒，则小超的速度为，然后根据“小超的测试时间=小铭的测试时间－30”列出方程即可．
7．（2023·椒江模拟）“杭台高铁”台州至杭州铁路长为236千米，从台州到杭州乘某趟“G”字头列车比乘某趟“D”字头列车少用15分钟，“G”字头列车比“D”字头列车每小时多行驶40千米，设“G”字头列车速度为每小时x千米，则可列方程为（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
8．（2019七下·苍南期末）商家常将单价不同的A，B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A，B两种糖的总价与A，B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为（　　）
A．50元/千克 B．60元/千克 C．70元/千克 D．80元/千克
【答案】B
【知识点】列式表示数量关系；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设A、B两种糖的单价为x、y， “什锦糖”甲 混合时所谓的相同质量是m， “什锦糖”乙 混合时所谓的相同金额是n， “什锦糖”甲单价为a， “什锦糖”甲单价为b， 则：
，
把y=40+x代入上式解得：x=60.
故答案为：B
【分析】根据题意设单价、数量和金额等未知量，注意有些未知量是为解题需要，但设而不求，分别计算两种情况下的“什锦糖”单价，结合已知的单价关系，解出x即可。
二、填空题
9．（2020·嘉兴·舟山）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程　 　。
【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一次分钱的人数为x人，根据题意得
.
故答案为：.
【分析】此题的等量关系为：第二次分钱的人数=第一次分钱的人数+6；10÷第一次分钱的人数=40÷第二次分钱的人数，设未知数，列方程即可。
10．（2025·镇海区模拟）《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为　 　天，
【答案】11
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设规定时间为天，根据题意得：
，
整理得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
故答案为：11．
【分析】设规定时间为天，根据题中的相等关系"快马的速度=慢马的速度×"可列关于x的分式方程，解方程并检验即可求解．
11．甲、乙两人在社区提供医疗服务，甲每小时比乙每小时多接诊1人，甲接诊16人所用时间与乙接诊14人所用时间相等.甲、乙两人每小时分别接诊多少人？设甲每小时接诊人，则可列分式方程　 　.
【答案】
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲每小时采样x人，则乙每小时采样（x-1）人，根据题意得：
故答案为：.
【分析】根据题意列出合适的等量关系，即可得出分式方程．
12．某商品的买人价为 元， 出售价为 50 元，则毛利率为 ． 若用含 的代数式表示 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：两边同乘a，得到ap=50-a，
移项得ap+a=50，
即a(p+1)=50，
两边同除以p+1，得到，
故答案为：.
【分析】利用等式性质把公式变形，将p看作常数，解关于a的方程即可.
13．（2024·拱墅模拟）某水界店搞促销活动，对某种水果打8折出售，若用40元钱买这种水界，可以比打折前多买2斤，则该水果打折前的单价为　 　元/斤.
【答案】5
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设打折前的单价为x元/斤，则打折后的价格为0.8x元/斤，
依题意得，
解得
经检验，x=5符合题意，
故答案为：5.
【分析】根据常见销售问题找出等量关系并解对应方程即可.
14．（2024七上·兰溪期末）腊味食品是川渝人民的最爱，去年12月份，某销售商出售腊肠、腊舌、腊肉的数量之比为，腊肠、腊舌、腊肉的单价之比为．今年1月份，该销售商将腊肠单价上调，腊舌、腊肉的单价不变，并加大了宣传力度，预计今年1月份的营业额将会增加，其中腊肉增加的营业额占总增加营业额的，今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的．若腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为，则今年1月份出售腊肠与腊肉的数量之比是　 　．
【答案】20：21
【知识点】分式方程的实际应用
三、解答题
15．（2025八下·龙湾月考） 界首市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
①为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个 ．
②要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价为 ▲ 元
【答案】（1）解：设5月份销售该品牌头盔x个（x＞0）。
，
解得x=180，
将x=180代入原分式方程检验，没有增根，
∴5月份销售该品牌头盔180个.
∴该品牌头盔销售量的月增长率为。
（2）解：①设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个。则列式为
（y-30）[600-10×（y-40）]=10000，
整理化简得到y2-130y+4000=0，解得y=80或50.
如果尽可能让顾客得到实惠，则售价尽量接近进价，
即y=50，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元；
②65
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2） ② 设要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价为a元。
则W=（a-30）[600-10×（a-40）]=-10a2+1300a-40000，
当a=时，利润W最大。
∴该品牌头盔每个的售价为65元.
故答案为：（2）② 65.
【分析】本题主要考查分式的实际应用、一元二次方程的实际应用以及抛物线的相关性质。
（1）根据“ 从4月份到6月份销售量的月增长率相同 ”，可以列出4月到5月的销量增长率为，5月到6月的销量增长率为，最后列出分式方程计算即可，计算完结果之后代入检验，以免产生增根，最后代入任意一个分式中即可计算出月增长率；
（2）①根据条件“ 当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个 ”，可以列出当实际售价应定为y元/个时，对应的销售量是600-10×（y-40）；而每一个头盔对应的利润是y-30，因此可以列出等式方程（y-30）[600-10×（y-40）]=10000，求出y=80或50。如果尽可能让顾客得到实惠，则售价尽量接近进价，因此y=50为答案；
②结合①的列式与分析，可以列出抛物线方程W=（a-30）[600-10×（a-40）]，整理得到W=-10a2+1300a-40000，此时根据抛物线特点，即当a=时，该抛物线利润最大，代入即可计算出结果。
16．（2025八上·台州月考）武汉某快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人每小时的工作效率相当于一名工人每小时工作效率的20倍，若用一台机器人分拣6000件货物，比原先30名工人分拣这些货物只多用小时.
（1）求一台机器人每小时可分拣多少件货物
（2）此仓库“双十二”前夕收到货物68万件，为了在6小时内分拣完所有货物，公司调配了20 台机器人和20名工人，工作3小时后，又调配了15 台机器人进行增援，该公司能否在规定的时间内完成任务 请说明理由；
（3）公司技术部为了提速，对机器人“东东”的程序进行优化.若该仓库有a万件货物待分拣，用相同的时间分拣，提速后的“东东”可比提速前多分拣1万件，则机器人“东东”平均提速　 　件/小时.(用含a的式子表示)
【答案】（1）解：设一名工人每小时分拣x件，则一台机器人每小时分拣20x件，依题意得，
，
整理，得，
解得x=200.
经检验，x=200是原方程的解.
因此，机器人每小时分拣20x=20×200=4000件．
（2）解：能否在规定时间内完成任务.
理由：先计算前3小时的分拣量：
20台机器人+20名工人每小时分拣量为20×4000+20×200=80000+4000=84000件.
前3小时共分拣：84000×3=252000件
剩余货物：680000-252000=428000件
后3小时的分拣量（增加15台机器人）：
35台机器人+20名工人每小时分拣量为35×4000+20×200=140000+4000=144000件
后3小时共分拣：144000×3=432000件
比较：432000>428000.
因此，能在规定时间内完成任务．
（3）
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解： (3) 设提速前每小时分拣v件，提速后每小时分拣v+Δv件．
解得
由(1)知v=4000，代入得
故答案为：.
【分析】(1)通过设工人效率为x，根据时间差建立分式方程，求解得到机器人效率；
(2)分阶段计算分拣量，比较剩余货物与后续分拣能力，判断是否能按时完成；
(3)利用“相同时间”建立等式，推导出提速的表达式．
17．（2025七下·义乌月考）随着新能源汽车使用的日益普及，各个社区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，鸡鸣山社区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表：
单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总价（单位：元）
3 2 4400
2 3 4600
（1）求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；
（2）如果生产每个单枪充电桩和每个双枪充电桩的时间一样，新能源厂计划制作300个充电桩进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个充电桩？
（3）鸡鸣山社区准备用10000元购置单枪和双枪充电线桩，要求两种充电桩都要买，且钱全部用完，请问有哪几种不同的购置方案？
【答案】（1）解：设单枪新能源充电桩的单价为a元，双枪新能源充电桩的单价为b元，
由题意得：
解得
答：单枪充电桩单价是800元，双枪充电桩单价是1000元
（2）解：设原计划平均每天制作x个充电桩，则实际平均每天制作1.5x个充电桩，
根据题意得：
解得x=20，
经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意，
答：原计划平均每天制作20个充电桩
（3）解：设购买了单枪m个，双枪n个，
根据题意得：800m+1000n=10000
整理得：4m+5n=50，
∵m，n为正整数，
∴或
方案一：购买单枪充电桩5个，双枪充电桩6个；
方案二：购买单枪充电桩10个，双枪充电桩2个
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】(1)根据3个单枪充电桩和2个双枪充电桩4400元，2个单枪充电桩和3个双枪充电桩4600元，即可列出方程组，求解即可；
(2)设原计划平均每天制作x个充电桩，则实际平均每天制作1.5x个充电桩，根据制作300个充电桩，提前5天完成任务，即可列出分式方程，求解即可；
(3)设购买了单枪m个，双枪n个，根据鸡鸣山社区准备用10000元购置单枪和双枪充电线桩，要求两种充电桩都要买，且钱全部用完，列出二元一次方程，再根据m，n为正整数可求出解.
18．（2025七下·德清期末） 根据以下素材，探索完成任务．
学校奖品购买方案设计
素材1 某现代科技产品专卖店销售智能手环与无线耳机，已知智能手环的单价是无线耳机的1.5倍．小张发现，用1080元购买智能手环的数量比用600元购买无线耳机的数量多3件．
素材2 某学校计划花费5400元在该专卖店购买智能手环和无线耳机作为科技节奖品颁发给“科技小能手”．购买后发现，智能手环的数量比无线耳机少15只．
素材3 学校完成购买后，专卖店为了回馈学校，赠送了m张（）优惠券用于下次购物抵扣．使用这些优惠券后，通过再次购买或兑换，使得智能手环与无线耳机的数量最终相同．
问题解决
任务一 【探求商品单价】请运用适当方法，求出智能手环与无线耳机的单价．
任务二 【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，根据学校的购买情况，求出原本购买的智能手环与无线耳机的数量．
任务三 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案，并求出m的值．
【答案】解：(任务一)设无线耳机的单价是x元，智能手环的单价是1.5x元，
根据题意得：
解得：
经检验， 是所列方程的解，且符合题意， (元)。
答：智能手环的单价是60元，无线耳机的单价是40元；
(任务二)设原本购买a个智能手环，则购买( 个无线耳机，
根据题意得：( 解得：
(个)。
答：原本购买48个智能手环，63个无线耳机；
(任务三)设使用b张兑换券兑换智能手环，则使用 张兑换券兑换无线耳机，
根据题意得：
又∵均为非负整数，且：
答： m的值为10.
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(任务一)设无线耳机的单价是x元，智能手环的单价是1.5x元，利用数量=总价÷单价，结合用1080元购买智能手环的数量比用600元购买无线耳机的数量多3件，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值 (即无线耳机的单价)，再将其代入1.5x中，即可求出智能手环的单价；
(任务二)设原本购买a个智能手环，则购买 个无线耳机，利用总价=单价×数量，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值 (即购买智能手环的数量)，再将其代入( 中，即可求出购买无线耳机的数量；
(任务三)设使用b张兑换券兑换智能手环，则使用 张兑换券兑换无线耳机，根据兑换后智能手环与无线耳机的数量最终相同，可列出关于b，m的二元一次方程，结合b，( 均为非负整数且1 即可得出结论.
1 / 1分式方程的实际应用—浙教版数学七（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．随着 5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大。为了满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500 万件产品所需的时间与更新技术前生产400 万件产品所需的时间相同，求更新技术前每天的产量。设更新技术前每天生产x万件产品，则根据题意可列方程(　　)
A． B．
C． D．
2．（2025七下·绍兴期末） 《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420km的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km，则提前1日到达储粮站. 设运输这批公粮原计划每日行x km，则根据题意可列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·温州三模）小鹿两次购买相同药物的费用均为200元，第二次购买时每盒降价8元，他多买了2盒.设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·玉环二模）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文， ▇ .”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文， ▇ ”设绫布有尺，则可得方程为，根据此情境，题中“ ▇ ”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（　　）
A．每尺绫布比每尺罗布贵120文
B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文
D．绫布的总价比罗布总价便宜120文
5．（2024七下·滨江期末）某市为美化城市环境，计划在道路两旁种植花卉20万株，由于工作人员的齐心协力，实际每天种植花卉比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植x万株，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023七下·江北期末）体育测试中，小超和小铭进行1000米测试，小超的速度是小铭的1.25倍，小超比小铭快了30秒，设小铭的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2023·椒江模拟）“杭台高铁”台州至杭州铁路长为236千米，从台州到杭州乘某趟“G”字头列车比乘某趟“D”字头列车少用15分钟，“G”字头列车比“D”字头列车每小时多行驶40千米，设“G”字头列车速度为每小时x千米，则可列方程为（　　）．
A． B．
C． D．
8．（2019七下·苍南期末）商家常将单价不同的A，B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A，B两种糖的总价与A，B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为（　　）
A．50元/千克 B．60元/千克 C．70元/千克 D．80元/千克
二、填空题
9．（2020·嘉兴·舟山）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程　 　。
10．（2025·镇海区模拟）《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为　 　天，
11．甲、乙两人在社区提供医疗服务，甲每小时比乙每小时多接诊1人，甲接诊16人所用时间与乙接诊14人所用时间相等.甲、乙两人每小时分别接诊多少人？设甲每小时接诊人，则可列分式方程　 　.
12．某商品的买人价为 元， 出售价为 50 元，则毛利率为 ． 若用含 的代数式表示 ，则 　 　.
13．（2024·拱墅模拟）某水界店搞促销活动，对某种水果打8折出售，若用40元钱买这种水界，可以比打折前多买2斤，则该水果打折前的单价为　 　元/斤.
14．（2024七上·兰溪期末）腊味食品是川渝人民的最爱，去年12月份，某销售商出售腊肠、腊舌、腊肉的数量之比为，腊肠、腊舌、腊肉的单价之比为．今年1月份，该销售商将腊肠单价上调，腊舌、腊肉的单价不变，并加大了宣传力度，预计今年1月份的营业额将会增加，其中腊肉增加的营业额占总增加营业额的，今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的．若腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为，则今年1月份出售腊肠与腊肉的数量之比是　 　．
三、解答题
15．（2025八下·龙湾月考） 界首市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
①为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个 ．
②要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价为 ▲ 元
16．（2025八上·台州月考）武汉某快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人每小时的工作效率相当于一名工人每小时工作效率的20倍，若用一台机器人分拣6000件货物，比原先30名工人分拣这些货物只多用小时.
（1）求一台机器人每小时可分拣多少件货物
（2）此仓库“双十二”前夕收到货物68万件，为了在6小时内分拣完所有货物，公司调配了20 台机器人和20名工人，工作3小时后，又调配了15 台机器人进行增援，该公司能否在规定的时间内完成任务 请说明理由；
（3）公司技术部为了提速，对机器人“东东”的程序进行优化.若该仓库有a万件货物待分拣，用相同的时间分拣，提速后的“东东”可比提速前多分拣1万件，则机器人“东东”平均提速　 　件/小时.(用含a的式子表示)
17．（2025七下·义乌月考）随着新能源汽车使用的日益普及，各个社区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，鸡鸣山社区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表：
单枪充电桩数量（单位：个） 双枪充电桩数量（单位：个） 总价（单位：元）
3 2 4400
2 3 4600
（1）求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；
（2）如果生产每个单枪充电桩和每个双枪充电桩的时间一样，新能源厂计划制作300个充电桩进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个充电桩？
（3）鸡鸣山社区准备用10000元购置单枪和双枪充电线桩，要求两种充电桩都要买，且钱全部用完，请问有哪几种不同的购置方案？
18．（2025七下·德清期末） 根据以下素材，探索完成任务．
学校奖品购买方案设计
素材1 某现代科技产品专卖店销售智能手环与无线耳机，已知智能手环的单价是无线耳机的1.5倍．小张发现，用1080元购买智能手环的数量比用600元购买无线耳机的数量多3件．
素材2 某学校计划花费5400元在该专卖店购买智能手环和无线耳机作为科技节奖品颁发给“科技小能手”．购买后发现，智能手环的数量比无线耳机少15只．
素材3 学校完成购买后，专卖店为了回馈学校，赠送了m张（）优惠券用于下次购物抵扣．使用这些优惠券后，通过再次购买或兑换，使得智能手环与无线耳机的数量最终相同．
问题解决
任务一 【探求商品单价】请运用适当方法，求出智能手环与无线耳机的单价．
任务二 【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，根据学校的购买情况，求出原本购买的智能手环与无线耳机的数量．
任务三 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案，并求出m的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设更新技术前每天生产x万件，则现在每天生产(30+x)万件，
∵现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，
∴ ；
故答案为： B.
【分析】根据题意更新技术前每天生产x万件，现在每天生产(30+x)万件，再根据生产总量÷生产速度=生产时间列出方程即可.
2．【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：依题意列方程为
故答案为：A .
【分析】本题抓住提速前后的时间相差一天这个等量关系，分别表示出提速前的天数、提速后的天数，利用“提速后所用天数+1=原计划天数”即可列出符合题意的分式方程。
3．【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设第一次购买时该药品的单价为x元/盒，则第二次购买时该药品的单价为 元/盒，
由题意得：
故答案为：C.
【分析】设第一次购买时该药品的单价为x元/盒，则第二次购买时该药品的单价为 元/盒，根据小鹿两次购买相同药物的费用均为200元，第二次多买了2盒，列出分式方程即可.
4．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设绫布有x尺，则罗布有3×10-x=(30-x)尺，
设绫布有x尺，则可得方程为，
∴缺失的条件为每尺绫布和每尺罗布一共需要120文，
故答案为：C.
【分析】绫布有必尺，则罗布有(30-x)尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；根据方程得到绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文即可.
5．【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设原计划每天植树万棵，则实际每天植树万棵，
根据题意得：．
故选：A．
【分析】 设原计划每天种植x万株，根据“ 实际每天种植花卉比原计划多， 提前2天完成任务”列分式方程即可．
6．【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设小铭的速度是x米/秒，则小超的速度为，由题意得：
．
变形得：
故答案为：C．
【分析】设小铭的速度是x米/秒，则小超的速度为，然后根据“小超的测试时间=小铭的测试时间－30”列出方程即可．
7．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
8．【答案】B
【知识点】列式表示数量关系；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设A、B两种糖的单价为x、y， “什锦糖”甲 混合时所谓的相同质量是m， “什锦糖”乙 混合时所谓的相同金额是n， “什锦糖”甲单价为a， “什锦糖”甲单价为b， 则：
，
把y=40+x代入上式解得：x=60.
故答案为：B
【分析】根据题意设单价、数量和金额等未知量，注意有些未知量是为解题需要，但设而不求，分别计算两种情况下的“什锦糖”单价，结合已知的单价关系，解出x即可。
9．【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一次分钱的人数为x人，根据题意得
.
故答案为：.
【分析】此题的等量关系为：第二次分钱的人数=第一次分钱的人数+6；10÷第一次分钱的人数=40÷第二次分钱的人数，设未知数，列方程即可。
10．【答案】11
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设规定时间为天，根据题意得：
，
整理得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
故答案为：11．
【分析】设规定时间为天，根据题中的相等关系"快马的速度=慢马的速度×"可列关于x的分式方程，解方程并检验即可求解．
11．【答案】
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲每小时采样x人，则乙每小时采样（x-1）人，根据题意得：
故答案为：.
【分析】根据题意列出合适的等量关系，即可得出分式方程．
12．【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：两边同乘a，得到ap=50-a，
移项得ap+a=50，
即a(p+1)=50，
两边同除以p+1，得到，
故答案为：.
【分析】利用等式性质把公式变形，将p看作常数，解关于a的方程即可.
13．【答案】5
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设打折前的单价为x元/斤，则打折后的价格为0.8x元/斤，
依题意得，
解得
经检验，x=5符合题意，
故答案为：5.
【分析】根据常见销售问题找出等量关系并解对应方程即可.
14．【答案】20：21
【知识点】分式方程的实际应用
15．【答案】（1）解：设5月份销售该品牌头盔x个（x＞0）。
，
解得x=180，
将x=180代入原分式方程检验，没有增根，
∴5月份销售该品牌头盔180个.
∴该品牌头盔销售量的月增长率为。
（2）解：①设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个。则列式为
（y-30）[600-10×（y-40）]=10000，
整理化简得到y2-130y+4000=0，解得y=80或50.
如果尽可能让顾客得到实惠，则售价尽量接近进价，
即y=50，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元；
②65
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2） ② 设要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价为a元。
则W=（a-30）[600-10×（a-40）]=-10a2+1300a-40000，
当a=时，利润W最大。
∴该品牌头盔每个的售价为65元.
故答案为：（2）② 65.
【分析】本题主要考查分式的实际应用、一元二次方程的实际应用以及抛物线的相关性质。
（1）根据“ 从4月份到6月份销售量的月增长率相同 ”，可以列出4月到5月的销量增长率为，5月到6月的销量增长率为，最后列出分式方程计算即可，计算完结果之后代入检验，以免产生增根，最后代入任意一个分式中即可计算出月增长率；
（2）①根据条件“ 当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个 ”，可以列出当实际售价应定为y元/个时，对应的销售量是600-10×（y-40）；而每一个头盔对应的利润是y-30，因此可以列出等式方程（y-30）[600-10×（y-40）]=10000，求出y=80或50。如果尽可能让顾客得到实惠，则售价尽量接近进价，因此y=50为答案；
②结合①的列式与分析，可以列出抛物线方程W=（a-30）[600-10×（a-40）]，整理得到W=-10a2+1300a-40000，此时根据抛物线特点，即当a=时，该抛物线利润最大，代入即可计算出结果。
16．【答案】（1）解：设一名工人每小时分拣x件，则一台机器人每小时分拣20x件，依题意得，
，
整理，得，
解得x=200.
经检验，x=200是原方程的解.
因此，机器人每小时分拣20x=20×200=4000件．
（2）解：能否在规定时间内完成任务.
理由：先计算前3小时的分拣量：
20台机器人+20名工人每小时分拣量为20×4000+20×200=80000+4000=84000件.
前3小时共分拣：84000×3=252000件
剩余货物：680000-252000=428000件
后3小时的分拣量（增加15台机器人）：
35台机器人+20名工人每小时分拣量为35×4000+20×200=140000+4000=144000件
后3小时共分拣：144000×3=432000件
比较：432000>428000.
因此，能在规定时间内完成任务．
（3）
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解： (3) 设提速前每小时分拣v件，提速后每小时分拣v+Δv件．
解得
由(1)知v=4000，代入得
故答案为：.
【分析】(1)通过设工人效率为x，根据时间差建立分式方程，求解得到机器人效率；
(2)分阶段计算分拣量，比较剩余货物与后续分拣能力，判断是否能按时完成；
(3)利用“相同时间”建立等式，推导出提速的表达式．
17．【答案】（1）解：设单枪新能源充电桩的单价为a元，双枪新能源充电桩的单价为b元，
由题意得：
解得
答：单枪充电桩单价是800元，双枪充电桩单价是1000元
（2）解：设原计划平均每天制作x个充电桩，则实际平均每天制作1.5x个充电桩，
根据题意得：
解得x=20，
经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意，
答：原计划平均每天制作20个充电桩
（3）解：设购买了单枪m个，双枪n个，
根据题意得：800m+1000n=10000
整理得：4m+5n=50，
∵m，n为正整数，
∴或
方案一：购买单枪充电桩5个，双枪充电桩6个；
方案二：购买单枪充电桩10个，双枪充电桩2个
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】(1)根据3个单枪充电桩和2个双枪充电桩4400元，2个单枪充电桩和3个双枪充电桩4600元，即可列出方程组，求解即可；
(2)设原计划平均每天制作x个充电桩，则实际平均每天制作1.5x个充电桩，根据制作300个充电桩，提前5天完成任务，即可列出分式方程，求解即可；
(3)设购买了单枪m个，双枪n个，根据鸡鸣山社区准备用10000元购置单枪和双枪充电线桩，要求两种充电桩都要买，且钱全部用完，列出二元一次方程，再根据m，n为正整数可求出解.
18．【答案】解：(任务一)设无线耳机的单价是x元，智能手环的单价是1.5x元，
根据题意得：
解得：
经检验， 是所列方程的解，且符合题意， (元)。
答：智能手环的单价是60元，无线耳机的单价是40元；
(任务二)设原本购买a个智能手环，则购买( 个无线耳机，
根据题意得：( 解得：
(个)。
答：原本购买48个智能手环，63个无线耳机；
(任务三)设使用b张兑换券兑换智能手环，则使用 张兑换券兑换无线耳机，
根据题意得：
又∵均为非负整数，且：
答： m的值为10.
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(任务一)设无线耳机的单价是x元，智能手环的单价是1.5x元，利用数量=总价÷单价，结合用1080元购买智能手环的数量比用600元购买无线耳机的数量多3件，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值 (即无线耳机的单价)，再将其代入1.5x中，即可求出智能手环的单价；
(任务二)设原本购买a个智能手环，则购买 个无线耳机，利用总价=单价×数量，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值 (即购买智能手环的数量)，再将其代入( 中，即可求出购买无线耳机的数量；
(任务三)设使用b张兑换券兑换智能手环，则使用 张兑换券兑换无线耳机，根据兑换后智能手环与无线耳机的数量最终相同，可列出关于b，m的二元一次方程，结合b，( 均为非负整数且1 即可得出结论.
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