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浙教版数学八年级下册期中仿真模拟卷（四）（范围：1-4章）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2026·南山模拟） 下列奥运会的运动图标中，是中心对称图形的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：A
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
2．（2026·衢州模拟）使 有意义的x的取值范围在数轴上表示为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：
故答案为：C .
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可得，求出x的取值范围，在数轴上表示解答即可．
3．（2023七上·管城期中）一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线，这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线，
∴n-3=10，
∴n=13，
故答案为：D．
【分析】根据多边形的对角线结合题意得到n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，进而即可求解。
4．（2021八下·赣州期末）在2021年的生物操作模拟考试中，甲、乙、丙、丁四个班级的平均分相同，方差分别为： ， ， ， ，则四个班体考成绩最稳定的是（　　）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲、乙、丙和丁四个班级的平均分相等，方差分别为： ， ， ， ，
∴甲班的方差最小，
∴甲班体育考试成绩最稳定．
故答案为：A．
【分析】根据四个班的平均分相等结合给定的方差值，即可找出成绩最稳的班级。
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵二次根式加减时，需被开方数相同才能合并，
选项A：与被开方数不同，不能合并，故错误；
选项B：，故错误；
选项C：与被开方数不同，不能合并，故错误；
选项D：，正确．
故选：D．
【分析】根据合并同类二次根式的法则逐项判断解答即可.
6．（2026·浙江一模）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步 ”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步 ”设长为x步，则下列方程正确的是（　　）
A．x（x-12）=864 B．x（x+12）=864
C．x（12-x）=864 D．2（x+x+12）=864
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可列方程为．
故答案为：A.
【分析】设长为步，则宽为步，利用矩形面积公式列方程解答即可．
7．（2026九下·杭州月考）某学校开展“书香校园，立体阅读”活动，为了了解学生阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的阅读时间（单位：h）统计如下表：
阅读时间（h） 6 7 8 9 10 11 12
人数（人） 5 6 9 10 6 3 1
九年（1）班学生阅读时间的中位数和众数是（　　）
A．8，9 B．8.5，9 C．8.5，10 D．8，10
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格可知，一周阅读时间是9小时的人数最多，是10人，因此众数为10.
5+6+9+10+6+3+1=40（人）
阅读时间按从小到大排列，第20个是8小时，第21个是9小时
∴（8+9）÷2=8.5（小时）
即中位数是8.5.
故答案为：B
【分析】根据中位数和众数的定义求解即可。
8．（2026八上·宣化期末）用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设（　　）
A．是锐角 B．不是锐角 C．是直角 D．不是直角
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设不是锐角。
故答案为：B．
【分析】根据反证法，可先假设结论的反面成立，本题要证明的结论是一定是锐角，所以可假设不是锐角即可。
9．（2026·顺德模拟）若x1， x2是方程 的两个根，则 的值是（　　)
A．3 B．5 C．-15 D．15
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ 若x1， x2是方程 的两个根，
∴，
∴=x1x2（x1+x2）=3×5=15.
故答案为：D.
【分析】首先根据根与系数的关系可得出，进而即可得出=x1x2（x1+x2）=3×5=15.
10．如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵如图②，，，
∴，
∵现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，
∴能裁剪的纸条的条数为（条），，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
同理可得：另两条纸条的长分别为，，
∴长方形纸条的总长度为，
如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），
∴，，
∴，
∴正方形美术作品的面积为，
故选：C．
【分析】 先算出等腰直角三角形的总面积，再算出所有裁剪纸条的总面积，两者相减即可得到正方形美术作品的面积。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2026·南山模拟） 若x=1是一元二次方程 的一个根，则m的值为　 　。
【答案】4
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将x=1代入方程可得：
12-m+3=0
解得：m=4
故答案为：4
【分析】将x=1代入方程可得关于m的一次方程，再解方程即可求出答案.
12．（2025八下·祁阳期中）如图，D、E分别是AB、AC的中点，若∠B＝60°，则∠ADE＝　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：因为D、E分别是AB、AC的中点，
所以DE是△ ABC的中位线，根据三角形中位线定理，可得DEBC。
因为DE BC，∠ B = 60°，根据“两直线平行，同位角相等”，
所以∠ ADE=∠B = 60°。
故答案为：．
【分析】本题主要考查三角形中位线定理和平行线的性质。解题的关键在于先根据中点条件判定出DE为△ ABC的中位线，从而得出DE与BC平行，再利用平行线的同位角相等的性质，结合已知的∠ B的度数，求出∠ADE的度数。
13．（2023八下·宁武期中）已知，则　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的化简求值；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：根据根式的双重非负性可知
而
∴
∴a-3=0 且 2-b=0
解得：a=3 b=2
∴原式===
【分析】考查根式的双重非负性，即
14．某单位要买一批直径为20 mm的零件，现有A，B两个零件加工厂，他们生产所需的材料相同，价格也相同，现分别从两个厂的产品中随机抽取10个零件，测得它们的直径，数据绘制成箱线图如图，你认为该单位应该选择购买　 　厂生产的这批零件.
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差；箱线图
【解析】【解答】解：A厂生产的10个零件直径的平均数为：(20.2+19.8+20.2+20.2+19.8+19.7+20+20.1+19.7+20.3)÷10=20(mm)，
B厂生产的10个零件直径的平均数为：(20.1+19.9+20+20.1+20+19.9+19.8+19.9+20+20.1)÷10
A厂生产的10个零件直径的方差为： [
=0.048，
=0.01，
∴B厂生产的10个零件的直径更稳定在20mm附近，
∴该单位应该选择购买B厂生产的这批零件.
故答案为：B.
【分析】方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.根据方差的定义分别求出两个厂生产的10个零件直径的方差，然后得出结论即可.
15．（2026八下·绍兴月考）定义：关于x的一元二次方程： m、n是常数， 与 m、n是常数， 称为“同族二次方程”．例如： 与 是“同族二次方程”．
如果关于x的一元二次方程 与 (a、b是常数、a≠0)是“同族二次方程”．那么代数式 的最小值是　 　．
【答案】2026
【知识点】解二元一次方程组；配方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：由“同族二次方程"定义，方程ax2+bx+5=0可写为a(x-1)2+1=0，
展开得ax2-2ax+a+1=0，与ax2+bx+5=0比较系数，
得，解得a=4，b=-8
∴ax2-bx+2030=4x2+8x+2030=4(x+1)2+2026，
∵(x+1)2≥0，
∴最小值为2026.
故答案为：2026.
【分析】根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的m和n值，通过比较系数求出a和b的值，再将代数式配方即可得到最小值.
16．（2025八下·浙江月考）如图，在平行四边形中，，，作的平分线交边于点，且有，是边上的动点，且满足，是边上的动点，连接．当时，的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，，AD=BC=8
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD//BC，AG⊥BC于点G，
∴，
∴AG=4.
∵，即，
∴.
∵AD=8，
∴，
∴.
∵BF=BM，∠ABE=∠EBC，BP=BP，
∴△FBP≌△MBP(SAS)，
∴PF=PM，
∴，
∴F，P，N三点共线，且FN⊥CD，此时，F与A重合，P与O重合，C与N重合，
∴
故答案为：.
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，证明AE=AB，利用等面积法可求得AG=4，进而再利用平面四边形的面积公式求得.利用勾股定理计算DK的长，可得DK=DC.证明△FBP≌△MBP，可得PF=PM，继而由，可得F，P，N三点共线，且FN⊥CD，可得F与A重合，P与O重合，C与N重合，继而可得BM的长.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八下·海曙期中）（1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】解：（1）原式
；
（2）
，
，
，
，
解得：，．
【知识点】二次根式的混合运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】 本题主要考查二次根式的混合运算以及解一元二次方程的能力，需要熟练掌握相关运算法则和解题步骤。
（1）该小题考查二次根式的混合运算，解答时需按照二次根式的运算规则逐步计算；
（2）该小题考查解一元二次方程，解题时需要先将方程化为标准形式，然后运用配方法进行求解。
18．（2025八下·杭州期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（-3，2)，B（0，4)，C（0，2) ．
（1）画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C，此时点A1坐标为 ▲ .
（2）以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为　 　.
【答案】（1）解：如图， 即为所求.
由图可得， 点. 坐标为(3，2).
故答案为： (3，2).
（2）或或(3，4)
【知识点】平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（2）如图， 点均满足题意，∴此时点D坐标为或或(3，4).
故答案为：或或(3，4).
【分析】(1)根据中心对称的性质作图即可；
(2)根据平行四边形的判定确定点D的位置，即可得出答案.
19．（2022八下·岱山期末）如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF//AB交DE的延长线于点F，连结BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形；
（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
【答案】证明：（1）∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC中位线，
∴DE∥BC，
即DF∥BC，
∵CF//AB，
∴四边形BCFD是平行四边形；
解：（2）∵AB＝BC，E是AC的中点
∴BE⊥AC，
∵点D是边AB的中点，
∴AB=2BD=4，
在Rt△ABE中，，
∴AC=2AE= .
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先由三角形中位线定理可证DF//BC，又CF//AB，则两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）由等腰三角形三线合一可得BE垂直平分AC，再由中点的概念可得AB，再利用勾股定理求出AE，再由中点的概念得AC等于AE的2倍即可．
20．在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并完成证明过程.
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线AC，BD 相交于点O，点 E，F 在对角线AC 上， ▲ （填写序号）.
求证：BE=DF.
【答案】证明：选择①时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
在 和 中，
选择②时，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形DEBF是平行四边形，
选择③时，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
在 和 中，
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】选择①时， 证 ，即可得出结论；选择②时，证四边形DEBF是平行四边形，即可得出结论；选择③时，证 (AAS)， 即可得出结论.
21．如图，将一张长、宽分别为a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形。
（1）用含a，b，x的代数式表示这张纸片剩余部分的面积。
（2）当 求剩余部分的面积。
【答案】（1）解：剩余部分的面积为
（2）解：把 代入
得( 400-8-4×2=384
【知识点】二次根式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据矩形的面积减去四个正方形的面积解答即可；
（2）把相应的值代入(1)进行运算即可.
22．为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
（1）求豆沙粽和肉粽的单价；
（2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量(单位：个)和付款金额(单位：元)．
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈妈 20 30 270
小乐妈妈 30 20 230
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A， B两种包装销售，每包都是40个粽子(包装成本忽略不计) ，每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙棕数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为( 80-4m)包，( 4m+8)包，A，B两种包装的销售总额为17 280元。求m的值
【答案】（1）解：设豆沙粽的单价为x元，肉粽的单价为2x元．
由题意可得10x+ 12x2x= 136，
解得x=4，
∴2x=8，
即豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元．
（2）解：①设豆沙粽优惠后的单价为a元，肉粽优惠后的单价为b元，
由题意可得，解得
即豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元．
②由题意可得[3m+7(40-m)]×(80-4m) +[3×(40-m)+7m]×(4m+8)=17280，
解得m=19或m=10，
∵m≤(40-m)，∴m≤
∴m=10．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设豆沙粽的单价是x元，肉粽的单价是y元，根据“某顾客端午节前在超市购买购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，且肉粽单价是豆沙粽的2倍”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)①设豆沙粽优惠后的单价是a元，肉粽优惠后的单价是b元，利用总价=单价×数量，结合小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量和付款金额，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
②利用销售总额=销售单价×销售数量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半，即可确定m的值.
23．（2026八上·深圳期末）在学校举办的“劳动与科技”实践周中，八年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田．其中甲组地块采用“智能水肥一体化”技术种植，乙组地块采用“传统土壤”方式种植．为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了10颗草莓进行甜度检测（单位：Brix，数值越大越甜）．
【数据收集】
甲组（智能水肥）：11，13，13，12，14，13，12，13，15，14
乙组（传统土壤）：10，16，12，14，11，13，13，16，13，12
【数据整理】同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和部分图表．
表：甲、乙两组草莓甜度统计分析表
组别 平均数 众数 中位数 方差
甲 13 a 13 1.2
乙 13 13 b 3.4
【问题解答】
（1）填空：请直接写出表格中和的值：____，______；
（2）绘图：请在答题卡相应位置画出乙组数据的箱线图（提示：请标出最小值、最大值、下四分位数、上四分位数和中位数）；
（3）决策应用：如果高端超市收购草莓的标准是“甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式？请说明理由．
【答案】（1）13，13
（2）解：最小值为10；下四分位数为12，中位数是13，上四分位数为14，最大值为16，
画箱线图如下：
（3）解：推荐甲组（智能水肥一体化）的种植方式，
理由：两组数据的平均数众数中位数都相同，但甲组的方差小于乙组的方差；方差越小，数据的波动越小，甜度越稳定、品质越均匀，符合高端超市“甜度稳定且品质均匀”的收购标准。
【知识点】中位数；方差；众数；箱线图
【解析】【解答】解：（1）甲组数据中，数字13出现次数最多，所以众数，
乙组数据按大小顺序排列为：10，11，12，12，13，13，13，14，16，16，
所以，中位数；
故答案为：13；13；
【分析】
（1）根据众数的定义：出现次数最多的数据，可得a的值；根据中位数的定义：将一组数据从小到大排列后，数据有偶数个，取中间两个数的平均数，可得b=13，解答即可；
（2）根据箱线图和乙组数据特征分析，然后画出图形，解答即可；
（3）根据箱线图比较两组数据可知甲组成绩比较分散，即可得出结论．
（1）解：甲组数据中，数字13出现次数最多，所以众数，
乙组数据按大小顺序排列为：10，11，12，12，13，13，13，14，16，16，
所以，中位数；
故答案为：13；13；
（2）解：最小值为10；下四分位数为12，中位数是13，上四分位数为14，最大值为16，
画箱线图如下：
（3）解：推荐甲组（智能水肥一体化）的种植方式，
理由：两组数据的平均数众数中位数都相同，但甲组的方差小于乙组的方差；方差越小，数据的波动越小，甜度越稳定、品质越均匀，符合高端超市“甜度稳定且品质均匀”的收购标准。
24．（2025八下·义乌期中）【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．
（1）【概念理解】：如图①，若，，，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形；
（2）【性质应用】：如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当，时， ；
（3）【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明与的数量关系；
（4）【拓展提高】：已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，若，，，请直接写出的长．
【答案】（1）是
（2）4或2
（3）解：AC=BE，理由如下：
由题意知：和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，是等腰三角形，
又∵，则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，且∠BDC=90°，
∴△ABD是等腰三角形，△BDC是等腰直角三角形，
当时，
由勾股定理得：，
当BD=AB=1时，由勾股定理得：，
综上：BC2=4或2；
故答案为：4或2；
（4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，
∴是等腰直角三角形，
如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接
则
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．
【分析】（1）易得△ABD是等腰三角形，然后利用勾股定理的逆定理证明，从而得△BDC是等腰直角三角形，根据“ 真等腰直角四边形 ”定义即可得出结论；
（2）由题意及“真等腰直角四边形”定义可得△ABD是等腰三角形，△BDC是等腰直角三角形，然后分当时与当时，分别勾股定理算出BC2即可；
（3）根据“等腰直角四边形”定义得出△BDC与△ADE都是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得BD=CD，AD=DE及∠BDC=∠ADE=90°，由角的构成及等式性质推出∠ADC=∠EDB，从而利用“SAS”证明△ADC≌△EDB，由全等三角形的对应边相等得AC=BE；
（4）根据“等腰直角四边形”定义得出△BDC是等腰直角三角形，构造等腰直角三角形，将△ABC逆时针旋转90°得△EDB，BC与BD重合，连接AE、DE，由旋转的性质得AC=DE，AB=EB，∠ABE=90°，则△ABE是等腰直角三角形，由勾股定理算出AE，进而再求出∠EAD=90°，在Rt△ADE中，利用勾股定理算出DE即可得出答案.
（1）解：∵，，
∴，是等腰三角形，
∵，
则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是等腰三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，
∴是等腰三角形，
当时，
由勾股定理得：，
当时，由勾股定理得：，
综上：或2；
故答案为：4或2；
（3）解：由题意知：和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，
∴是等腰直角三角形，
如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接
则
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．
1 / 1浙教版数学八年级下册期中仿真模拟卷（四）（范围：1-4章）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2026·南山模拟） 下列奥运会的运动图标中，是中心对称图形的是（　　)
A． B．
C． D．
2．（2026·衢州模拟）使 有意义的x的取值范围在数轴上表示为(　　)
A． B．
C． D．
3．（2023七上·管城期中）一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线，这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．12 D．13
4．（2021八下·赣州期末）在2021年的生物操作模拟考试中，甲、乙、丙、丁四个班级的平均分相同，方差分别为： ， ， ， ，则四个班体考成绩最稳定的是（　　）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2026·浙江一模）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步 ”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步 ”设长为x步，则下列方程正确的是（　　）
A．x（x-12）=864 B．x（x+12）=864
C．x（12-x）=864 D．2（x+x+12）=864
7．（2026九下·杭州月考）某学校开展“书香校园，立体阅读”活动，为了了解学生阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的阅读时间（单位：h）统计如下表：
阅读时间（h） 6 7 8 9 10 11 12
人数（人） 5 6 9 10 6 3 1
九年（1）班学生阅读时间的中位数和众数是（　　）
A．8，9 B．8.5，9 C．8.5，10 D．8，10
8．（2026八上·宣化期末）用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设（　　）
A．是锐角 B．不是锐角 C．是直角 D．不是直角
9．（2026·顺德模拟）若x1， x2是方程 的两个根，则 的值是（　　)
A．3 B．5 C．-15 D．15
10．如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2026·南山模拟） 若x=1是一元二次方程 的一个根，则m的值为　 　。
12．（2025八下·祁阳期中）如图，D、E分别是AB、AC的中点，若∠B＝60°，则∠ADE＝　 　．
13．（2023八下·宁武期中）已知，则　 　．
14．某单位要买一批直径为20 mm的零件，现有A，B两个零件加工厂，他们生产所需的材料相同，价格也相同，现分别从两个厂的产品中随机抽取10个零件，测得它们的直径，数据绘制成箱线图如图，你认为该单位应该选择购买　 　厂生产的这批零件.
15．（2026八下·绍兴月考）定义：关于x的一元二次方程： m、n是常数， 与 m、n是常数， 称为“同族二次方程”．例如： 与 是“同族二次方程”．
如果关于x的一元二次方程 与 (a、b是常数、a≠0)是“同族二次方程”．那么代数式 的最小值是　 　．
16．（2025八下·浙江月考）如图，在平行四边形中，，，作的平分线交边于点，且有，是边上的动点，且满足，是边上的动点，连接．当时，的值为　 　．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八下·海曙期中）（1）计算：．
（2）解方程：．
18．（2025八下·杭州期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（-3，2)，B（0，4)，C（0，2) ．
（1）画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C，此时点A1坐标为 ▲ .
（2）以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为　 　.
19．（2022八下·岱山期末）如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF//AB交DE的延长线于点F，连结BE．
（1）求证：四边形BCFD是平行四边形；
（2）当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
20．在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并完成证明过程.
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线AC，BD 相交于点O，点 E，F 在对角线AC 上， ▲ （填写序号）.
求证：BE=DF.
21．如图，将一张长、宽分别为a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形。
（1）用含a，b，x的代数式表示这张纸片剩余部分的面积。
（2）当 求剩余部分的面积。
22．为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
（1）求豆沙粽和肉粽的单价；
（2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量(单位：个)和付款金额(单位：元)．
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈妈 20 30 270
小乐妈妈 30 20 230
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A， B两种包装销售，每包都是40个粽子(包装成本忽略不计) ，每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙棕数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为( 80-4m)包，( 4m+8)包，A，B两种包装的销售总额为17 280元。求m的值
23．（2026八上·深圳期末）在学校举办的“劳动与科技”实践周中，八年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田．其中甲组地块采用“智能水肥一体化”技术种植，乙组地块采用“传统土壤”方式种植．为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了10颗草莓进行甜度检测（单位：Brix，数值越大越甜）．
【数据收集】
甲组（智能水肥）：11，13，13，12，14，13，12，13，15，14
乙组（传统土壤）：10，16，12，14，11，13，13，16，13，12
【数据整理】同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和部分图表．
表：甲、乙两组草莓甜度统计分析表
组别 平均数 众数 中位数 方差
甲 13 a 13 1.2
乙 13 13 b 3.4
【问题解答】
（1）填空：请直接写出表格中和的值：____，______；
（2）绘图：请在答题卡相应位置画出乙组数据的箱线图（提示：请标出最小值、最大值、下四分位数、上四分位数和中位数）；
（3）决策应用：如果高端超市收购草莓的标准是“甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式？请说明理由．
24．（2025八下·义乌期中）【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．
（1）【概念理解】：如图①，若，，，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形；
（2）【性质应用】：如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当，时， ；
（3）【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明与的数量关系；
（4）【拓展提高】：已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，若，，，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：A
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：
故答案为：C .
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可得，求出x的取值范围，在数轴上表示解答即可．
3．【答案】D
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线，
∴n-3=10，
∴n=13，
故答案为：D．
【分析】根据多边形的对角线结合题意得到n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，进而即可求解。
4．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲、乙、丙和丁四个班级的平均分相等，方差分别为： ， ， ， ，
∴甲班的方差最小，
∴甲班体育考试成绩最稳定．
故答案为：A．
【分析】根据四个班的平均分相等结合给定的方差值，即可找出成绩最稳的班级。
5．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵二次根式加减时，需被开方数相同才能合并，
选项A：与被开方数不同，不能合并，故错误；
选项B：，故错误；
选项C：与被开方数不同，不能合并，故错误；
选项D：，正确．
故选：D．
【分析】根据合并同类二次根式的法则逐项判断解答即可.
6．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可列方程为．
故答案为：A.
【分析】设长为步，则宽为步，利用矩形面积公式列方程解答即可．
7．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格可知，一周阅读时间是9小时的人数最多，是10人，因此众数为10.
5+6+9+10+6+3+1=40（人）
阅读时间按从小到大排列，第20个是8小时，第21个是9小时
∴（8+9）÷2=8.5（小时）
即中位数是8.5.
故答案为：B
【分析】根据中位数和众数的定义求解即可。
8．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设不是锐角。
故答案为：B．
【分析】根据反证法，可先假设结论的反面成立，本题要证明的结论是一定是锐角，所以可假设不是锐角即可。
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ 若x1， x2是方程 的两个根，
∴，
∴=x1x2（x1+x2）=3×5=15.
故答案为：D.
【分析】首先根据根与系数的关系可得出，进而即可得出=x1x2（x1+x2）=3×5=15.
10．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵如图②，，，
∴，
∵现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，
∴能裁剪的纸条的条数为（条），，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
同理可得：另两条纸条的长分别为，，
∴长方形纸条的总长度为，
如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），
∴，，
∴，
∴正方形美术作品的面积为，
故选：C．
【分析】 先算出等腰直角三角形的总面积，再算出所有裁剪纸条的总面积，两者相减即可得到正方形美术作品的面积。
11．【答案】4
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将x=1代入方程可得：
12-m+3=0
解得：m=4
故答案为：4
【分析】将x=1代入方程可得关于m的一次方程，再解方程即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：因为D、E分别是AB、AC的中点，
所以DE是△ ABC的中位线，根据三角形中位线定理，可得DEBC。
因为DE BC，∠ B = 60°，根据“两直线平行，同位角相等”，
所以∠ ADE=∠B = 60°。
故答案为：．
【分析】本题主要考查三角形中位线定理和平行线的性质。解题的关键在于先根据中点条件判定出DE为△ ABC的中位线，从而得出DE与BC平行，再利用平行线的同位角相等的性质，结合已知的∠ B的度数，求出∠ADE的度数。
13．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的化简求值；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：根据根式的双重非负性可知
而
∴
∴a-3=0 且 2-b=0
解得：a=3 b=2
∴原式===
【分析】考查根式的双重非负性，即
14．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差；箱线图
【解析】【解答】解：A厂生产的10个零件直径的平均数为：(20.2+19.8+20.2+20.2+19.8+19.7+20+20.1+19.7+20.3)÷10=20(mm)，
B厂生产的10个零件直径的平均数为：(20.1+19.9+20+20.1+20+19.9+19.8+19.9+20+20.1)÷10
A厂生产的10个零件直径的方差为： [
=0.048，
=0.01，
∴B厂生产的10个零件的直径更稳定在20mm附近，
∴该单位应该选择购买B厂生产的这批零件.
故答案为：B.
【分析】方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.根据方差的定义分别求出两个厂生产的10个零件直径的方差，然后得出结论即可.
15．【答案】2026
【知识点】解二元一次方程组；配方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：由“同族二次方程"定义，方程ax2+bx+5=0可写为a(x-1)2+1=0，
展开得ax2-2ax+a+1=0，与ax2+bx+5=0比较系数，
得，解得a=4，b=-8
∴ax2-bx+2030=4x2+8x+2030=4(x+1)2+2026，
∵(x+1)2≥0，
∴最小值为2026.
故答案为：2026.
【分析】根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的m和n值，通过比较系数求出a和b的值，再将代数式配方即可得到最小值.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，，AD=BC=8
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD//BC，AG⊥BC于点G，
∴，
∴AG=4.
∵，即，
∴.
∵AD=8，
∴，
∴.
∵BF=BM，∠ABE=∠EBC，BP=BP，
∴△FBP≌△MBP(SAS)，
∴PF=PM，
∴，
∴F，P，N三点共线，且FN⊥CD，此时，F与A重合，P与O重合，C与N重合，
∴
故答案为：.
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，证明AE=AB，利用等面积法可求得AG=4，进而再利用平面四边形的面积公式求得.利用勾股定理计算DK的长，可得DK=DC.证明△FBP≌△MBP，可得PF=PM，继而由，可得F，P，N三点共线，且FN⊥CD，可得F与A重合，P与O重合，C与N重合，继而可得BM的长.
17．【答案】解：（1）原式
；
（2）
，
，
，
，
解得：，．
【知识点】二次根式的混合运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】 本题主要考查二次根式的混合运算以及解一元二次方程的能力，需要熟练掌握相关运算法则和解题步骤。
（1）该小题考查二次根式的混合运算，解答时需按照二次根式的运算规则逐步计算；
（2）该小题考查解一元二次方程，解题时需要先将方程化为标准形式，然后运用配方法进行求解。
18．【答案】（1）解：如图， 即为所求.
由图可得， 点. 坐标为(3，2).
故答案为： (3，2).
（2）或或(3，4)
【知识点】平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（2）如图， 点均满足题意，∴此时点D坐标为或或(3，4).
故答案为：或或(3，4).
【分析】(1)根据中心对称的性质作图即可；
(2)根据平行四边形的判定确定点D的位置，即可得出答案.
19．【答案】证明：（1）∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC中位线，
∴DE∥BC，
即DF∥BC，
∵CF//AB，
∴四边形BCFD是平行四边形；
解：（2）∵AB＝BC，E是AC的中点
∴BE⊥AC，
∵点D是边AB的中点，
∴AB=2BD=4，
在Rt△ABE中，，
∴AC=2AE= .
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先由三角形中位线定理可证DF//BC，又CF//AB，则两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）由等腰三角形三线合一可得BE垂直平分AC，再由中点的概念可得AB，再利用勾股定理求出AE，再由中点的概念得AC等于AE的2倍即可．
20．【答案】证明：选择①时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
在 和 中，
选择②时，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形DEBF是平行四边形，
选择③时，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
在 和 中，
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】选择①时， 证 ，即可得出结论；选择②时，证四边形DEBF是平行四边形，即可得出结论；选择③时，证 (AAS)， 即可得出结论.
21．【答案】（1）解：剩余部分的面积为
（2）解：把 代入
得( 400-8-4×2=384
【知识点】二次根式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据矩形的面积减去四个正方形的面积解答即可；
（2）把相应的值代入(1)进行运算即可.
22．【答案】（1）解：设豆沙粽的单价为x元，肉粽的单价为2x元．
由题意可得10x+ 12x2x= 136，
解得x=4，
∴2x=8，
即豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元．
（2）解：①设豆沙粽优惠后的单价为a元，肉粽优惠后的单价为b元，
由题意可得，解得
即豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元．
②由题意可得[3m+7(40-m)]×(80-4m) +[3×(40-m)+7m]×(4m+8)=17280，
解得m=19或m=10，
∵m≤(40-m)，∴m≤
∴m=10．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设豆沙粽的单价是x元，肉粽的单价是y元，根据“某顾客端午节前在超市购买购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，且肉粽单价是豆沙粽的2倍”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)①设豆沙粽优惠后的单价是a元，肉粽优惠后的单价是b元，利用总价=单价×数量，结合小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量和付款金额，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
②利用销售总额=销售单价×销售数量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半，即可确定m的值.
23．【答案】（1）13，13
（2）解：最小值为10；下四分位数为12，中位数是13，上四分位数为14，最大值为16，
画箱线图如下：
（3）解：推荐甲组（智能水肥一体化）的种植方式，
理由：两组数据的平均数众数中位数都相同，但甲组的方差小于乙组的方差；方差越小，数据的波动越小，甜度越稳定、品质越均匀，符合高端超市“甜度稳定且品质均匀”的收购标准。
【知识点】中位数；方差；众数；箱线图
【解析】【解答】解：（1）甲组数据中，数字13出现次数最多，所以众数，
乙组数据按大小顺序排列为：10，11，12，12，13，13，13，14，16，16，
所以，中位数；
故答案为：13；13；
【分析】
（1）根据众数的定义：出现次数最多的数据，可得a的值；根据中位数的定义：将一组数据从小到大排列后，数据有偶数个，取中间两个数的平均数，可得b=13，解答即可；
（2）根据箱线图和乙组数据特征分析，然后画出图形，解答即可；
（3）根据箱线图比较两组数据可知甲组成绩比较分散，即可得出结论．
（1）解：甲组数据中，数字13出现次数最多，所以众数，
乙组数据按大小顺序排列为：10，11，12，12，13，13，13，14，16，16，
所以，中位数；
故答案为：13；13；
（2）解：最小值为10；下四分位数为12，中位数是13，上四分位数为14，最大值为16，
画箱线图如下：
（3）解：推荐甲组（智能水肥一体化）的种植方式，
理由：两组数据的平均数众数中位数都相同，但甲组的方差小于乙组的方差；方差越小，数据的波动越小，甜度越稳定、品质越均匀，符合高端超市“甜度稳定且品质均匀”的收购标准。
24．【答案】（1）是
（2）4或2
（3）解：AC=BE，理由如下：
由题意知：和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，是等腰三角形，
又∵，则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，且∠BDC=90°，
∴△ABD是等腰三角形，△BDC是等腰直角三角形，
当时，
由勾股定理得：，
当BD=AB=1时，由勾股定理得：，
综上：BC2=4或2；
故答案为：4或2；
（4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，
∴是等腰直角三角形，
如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接
则
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．
【分析】（1）易得△ABD是等腰三角形，然后利用勾股定理的逆定理证明，从而得△BDC是等腰直角三角形，根据“ 真等腰直角四边形 ”定义即可得出结论；
（2）由题意及“真等腰直角四边形”定义可得△ABD是等腰三角形，△BDC是等腰直角三角形，然后分当时与当时，分别勾股定理算出BC2即可；
（3）根据“等腰直角四边形”定义得出△BDC与△ADE都是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得BD=CD，AD=DE及∠BDC=∠ADE=90°，由角的构成及等式性质推出∠ADC=∠EDB，从而利用“SAS”证明△ADC≌△EDB，由全等三角形的对应边相等得AC=BE；
（4）根据“等腰直角四边形”定义得出△BDC是等腰直角三角形，构造等腰直角三角形，将△ABC逆时针旋转90°得△EDB，BC与BD重合，连接AE、DE，由旋转的性质得AC=DE，AB=EB，∠ABE=90°，则△ABE是等腰直角三角形，由勾股定理算出AE，进而再求出∠EAD=90°，在Rt△ADE中，利用勾股定理算出DE即可得出答案.
（1）解：∵，，
∴，是等腰三角形，
∵，
则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是等腰三角形，
∴四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，
∴是等腰三角形，
当时，
由勾股定理得：，
当时，由勾股定理得：，
综上：或2；
故答案为：4或2；
（3）解：由题意知：和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴；
（4）解：∵四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，
∴是等腰直角三角形，
如图3，将逆时针旋转，得，与重合，连接
则
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．
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